九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章 一元二次方程

第 1 讲 一元二次方程概念及解法

知识要点 】

. 知识结构网络

、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2

b b 0 或

2

x a 2

b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。

2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次

项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m ）2

n 的形式（ 5）如果右边是非

负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax 2

bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值；

（2）计算

2 2 b b 2

4ac b 2

4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2

4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a

2 b 2

4ac 0，则方程无实数解。

典型例题】

2

解：(3x 1)( 2x 3) 0

，x 2

解： x

2

11

4

经典练习】

、直接开方法

二、配方法注： （1） 2x 2

2x 30 0 二、公式法

1. 用求根公式法解下列方程

2

（1）x 2

2x 2 0；

∴ 3x 1 0或 2x

2)3x 2

4x 1（用公式

法）

解：

3x

4x

4)

2

3×( 1)

28 0

( 4) 28 2 × 3 ±7 x

1

27 3 ，x 2 2 3 27 3

3）

2x 2

2x 30 用配方

法）

x 2

(x

2

x

2 22

4)

( 42)

2

4

15 ( 42)2

121 8 ∴

x 1

3 2，

x 2

5

2 2

1) (x 1)2

(1

2x)2

2)(x a)2

b

x 1

15

∴x

2

2)3x 2

4x 1

2

(2)2y2 8y 1 0 ；

解：

21

(3)2x2 3x 0 ；

8

解：

2

(4)3y2 2y 1；

解：

(5)2x2 5x 1 0；

解：

2

(6)x2 2 5x 3 0 ；

解：

2

(7)3x2 4x 5 0 ；

解： (7)方程无实数根；

(8)2x2 4 3x 2 2 0 ；

解：

2

(9)0.02x2 0.03x 0.35；

解： (9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式，

(10)(1 2 3)x x2 3(1 3)

解：。

三、因式分解

1. 用因式分解法解下列各方程：

(1)x2－5x－24＝0；

解：；

(2)12x2＋x－ 6＝0；解：；

3)x2－4x－165＝0

(4)2x 2

－23x ＋56＝0；

解：(2x 7)( x 8) 0，x 1 7

，x 2 8；

2

(5) 9x 2 24x 16 4x 12；

解： (6) 3(x 3) 3(3 x)2

；

解：

(7)

x 2

( 3 2)x 6 0

解： ； (8)

(x 2)2

5x 10

6；

解： （x －2）2

－5（x －2）＋6＝0，（x －2－ 2）（x －2－3）＝0，x 1＝4，x 2＝5； （ 9） t （t ＋ 3）＝28；

解： （9）t 2

＋3t －28＝0，（t ＋7）（t －4）＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （ 10） （x ＋1）（x ＋3）＝ 15。

解： x 2

＋4x ＋3＝15，（x ＋6）（x －2）＝0，x 1＝－ 6，x 2＝2 2. 用因式分解法解下列方程： （1）（y －1）2

＋2y （y －1）＝0；

解：

（2）（3x ＋ 2）2

＝ 4（x － 3）2

；

解

：

[( 3x 2) 2(x 3)][( 3x 2) 2(x 3)] 0 (5x 4

4)( x 8) 0，x 1

， x 2

8

（3

）

9(2x ＋3)2－4(2x － 5)2＝0；

解[3(2x ＋ 3)＋ 2(2x －5)][3(2x ＋3)＝0，

1 19

(10x 1)( 2x 19) 0，x

1 110

，x 2 12

9

4）（2y ＋1）2

＋3（2y ＋1）＋2＝0。

解： ［（2y ＋ 1）＋ 1］［（2y ＋ 1）＋ 2］＝0， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）

A. 7x 2－x －1＝0

B. 9x 2

＝4（3x －1）

2

3 2 2 C. x 2

7x 15 0 D. x 2

x 1 0 22

解析 : 因为△＝ 4（a ＋b ＋c ）2－12（a 2＋b 2＋c 2

）

＝4（－2a 2

－2b 2

－2c 2

＋2ab ＋ 2ac ＋2bc ）

＝－ 4［（a － b ）2＋ （b － c ）2＋ （c － a ）2

］＜0

3. 若方程 m 2

x 2

（2m 3）x 1 0 的两个实根的倒数和是 S ，求： S 的取值范围。 分析： 本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根， 数式表示 m ，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。

x ， x ， 则x

2m 3

1

xx

解： 设方程的两个实根为 1， 2，

2 ，

m m

∵方程有两个实根

∴ （2m 3）2 4m

2

0， 且

m

2 ≠0

∴ m 3 且 m ≠ 0

4

2m 3

1 1 x 1 x

1

m 2

2m 3

x 1 x 2 x 1x 2

1

2 m

S 3

2

3

S

且 S

≠ 3。 2

4. 已知关于 x 的方程 x 2＋（2m ＋1）x ＋（m －2）2

＝0。m 取什么值时， （1）方

程有两个不相等的实数根

（2）方程有两个相等的实数根 （ 3）方程没有实数根

解析 :△＝ （2m ＋1）2 －4（m － 2）2

＝ 5（4m －3）。

（ 1）当 ，即 时，原方程有两个不相等的实数根；

2）当 时，原方程有两个相等的实数根； 3）当 时，原方程没有实数根。

22

5. 已知关于 x 的方程 x 2

2（k 1）x k 2

2k 1 0 ①

（ 1）求证：对于任意实数 k ，方程①总有两个不相等的实数根。

2

（2）如果 a 是关于 y 的方程 y 2

（x 1 x 2 2k ）y （x 1 k ）（x 2 k ） 0 ②的

根， 实数根。

2. 若 a ，b ，c 互不相等，则方程 A. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 （a 2＋b ＋c 2）x 2

＋2（a ＋b ＋ c ）

x ＋ 3＝ 0（ B. 有两个不相等的实数根 D.

0，求出 m 的取值范围，再用 S 的代

S 3 2

3

4且

≠0

其中 x 1，x 2 为方程①的两个

2

2 2 2 2

4(k 1)2

4(k 2 2k 1) 4k 2

8k 4 4k 2

8k

∴对于任意实数 k ，方程①总有两个不相等的实数根。

注： 第（ 2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

∴ x 1 x

2 2(k 1)，x 1x 2

k 2

2k 1 ∴ x 1

x

2

2k 2(k 1) 2k 2

(x 1 k )( x 2

k )

x

1x

2

k ( x 1 x 2) k 2

k 2

2k 1 2k (k

1) k 21

∴方程

② 为

y 2

2y 1

∵a 是方程②的根，∴

2

a 2a 1 0 ∴a ≠ 0，a 1 ≠ 0， a 2

2a 1

∴

(a 1

a a )÷ 4

·a

2 1

a 1

a 1 a

a 1 a 2· a 1·a 2 1 (a 1 a 2 )( a 2 a (a 1)

4 a

4a 2

1

) [a 1 (2a 1)]( 2a 1 1) ( a ·)

2a 4a 2

4a 2 2）解： ∵ x 1，x 2是方程①的两个实数根

2

6. 已知关于 x 的一元二次方程

ax 2

2ax c 0 的两个实数根之差的平方

为 m

1）试分别判断当 a 1， c

3与

a

2，c 2 时， m 4是否成立，并说明理

由；

2）若对于任意一个非零的实数 a ， m 4 总成立，求实数 c 及 m 的值。

解：

（1） 当a 1，c

3时，原方程化为 2x 3 0，则 x 1 1，x 2 ∴m [1 (

3)]2

16 4

即m

4成

立

当a 2，c

2

时， 原方程化为 2x 2

4x

42

×2× 2 0 ，可设方程的两根分别

为

x 1，

x 2

则

2，

x 1x 2

求：代数式 (a 1 a a 1)÷a 41 a 1

的值。

分析： 第（ 1 ）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（ 2 ）题首先利用根与系数关系可将方程②化成

y 2

2y

2

1 0，再利用根的定义得到 a 2

2a 1，将代数式化简后，

2a 1整体代入即可求出代数

式的

值。 证明：

∴m

2

(x 1 x 2) (x 1

x 2)2

4x 1x 2 4 2 2 4

即m 4不成立

（2） 设原方程两个实数根是

x 1，x

2

x 2

2，x 1x 2

c

则

a

2

2

4c

m (x 1 x 2)2

(x 1 x 2)2

4x 1x 2 4

a

4c

∵对于任意一个非零的实a ，都44

a

∴c 0

当c 0时， 4a 2

∴c 0， m 4

第 2 讲 根的判别式

【知识要点 】

1.根的判别式：

关于 x 的一元二次方程

ax 2

bx c 0(a≠ 0)

b 2 4ac

当 0 时，方程有两个不相等的实根 当 0 时，方程有两个相等的实根 当 0 时，方程无实根 【典型例题】

1. a ，b ，c 是三角形的三条边，

求证：关于 x 的方程 b 2x 2＋（b 2＋c 2－a 2）x ＋c 2

＝0 没有实数根

分析： 此题需证出△< 0。已知条件中 a ，b ，c 是三角形的三边，所以有 a>0，b>0，c>0。还应注意有一个隐含关系 “任意两边之和大于第三边” ，“任意两边之差小于第三边” 。

证明： 因为△＝ （b 2＋c 2－ a 2）2－4b 2c 2 ＝[（b 2＋c 2－a 2）＋ 2bc][（b 2＋ c 2－ a 2

） － 2bc] ＝

[（b ＋c ）2－a 2][（b －c ）2－a 2

] ＝ （b ＋ c ＋a ）（b ＋ c － a ）（b － c ＋ a ）（b － c － a ）。

（要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负 ） 因为 b ＋ c> a ，即 b ＋ c － a> 0，

同理 b －c ＋a> 0，又 c ＋a>b ，即 b －c －a<0。

又 a ＋ b ＋ c>0，所以△＝ （b ＋ c ＋a ）（b ＋ c － a ）（b － c ＋a ）（b －c － a ）< 0。 所以，原方程没有实数根。

经典习题】

2

1.关于 x的一元二次方程（a c）

x 2 bx ac

0有两个相等的实数

根，

那么以 a、 b、c 为三边长的三

角形是

（）

A. 以 a 为斜边的直角三角形

B. 以 c 为斜边的直角三角形

C. 以 b 为底边的等腰三角形

D. 以 c 为底边的等腰三角形 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2

（k

1）x

0，∴ k

由根与系数关系，

∴k

则有 x 1 x 2

(2k 1)，x x

∵ x 12 x 22

11

∴ (x 1 x 2)2 2x 1x 2

11

[ (2k 1)] 2

2(k 2

2) 11 4k 2 4k 1 2k 2 4 11

2k 2

4k 6 0 k 2

2k 3 0 (k 3)( k 1) 0

解： 设方程的两

根为

x 1，

x

2 14

k 2

1 0

1）k 取什么值时， 方程有两个实数根。 （ 2） 如果方程的两个实数根 x 1，x 2 满足 |x 1| x 2，求 k

的值。 解： （1）

[ (k 1)] 2

4(14k 2 1) 2k 3 0

解得 k

3

， ，

∴ 当k 2

时， 方程有两个实数根

x 1 | x 2 ，分两种情况

①当 x 1 0时，得 x 1 x 2

，∴方程有两个相等的实数根。 2， ②当 x 0时， x 2

x 1，∴ x 1 x 2 0

∴k

1，由（1）知k 3

2， 矛盾

∴k

1舍去

3. 已知方程 x 2 (2k 1)x k 2 2 0的两根的平方和为 11，求 k 的值。

∴ k1 3，k 2 1

∵( 2k 1)24(k 22)

4k 9

∴当k 3时，0，舍去

当k 1时，0。

∴k 1

注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4．含有绝对值的一元二次方程

（1）. 方程 x|x| －8|x| －4＝0 的实数根的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：显然 x＝0 不是方程的根。

当 x< 0 时， x｜x｜－ 8｜ x｜－ 4< 0。

∴ x< 0 的任何实数不可能是方程的根。

当 x>0 时，方程为 x2－8x－4＝ 0。

此方程两根之积为－ 4<0，可见两根为一正一负。又因 x> 0，故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。

（2）. 求方程 x2－|2x－1|－4＝0 的实数根。

1

解：令2x 1 0得x

2

1

显然

x 2不是方程的解

当x 1

时

，

2

方程是x2 (2x

1) 4 0 2

即x

22x 3 0，解得x 3或x 1

x＝－1 舍

去，

∴ x ＝ 3

当x 1

时

2

方程是x 2 (1 2x) 4 0

即x

22x 5 0，解得x 1± 6

x 1 6 舍去，∴ x 1 6 故方程的实数根是x1 3，x2 1 6 。

5．a，b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算：b a d c ad bc，那么（21 x）4x5=18 时，x=

6. 已知x1,x2是方程x2 4x 19 0 的两根，求代数式x13 35x2 1的值。

7（. 广东广州， 19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax 2

bx 1 0（a 0） 有两个相等的实数根，

求

(a 2)

a

2b

2

b 2 4

(a 2)2 b 2

4

1

的值。

化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．

答案】解：

2

22

∴⊿＝b 2 4ac 0，即 b 2 4a 0．

分析】由于这个方程有两个相等的实数根， 因此⊿＝b 2

4a 0，可得出 a 、b 之间的关系，

然后将

（a ab 2

2)2 b

2

ab

2 (a 2) 2

b 2

4

ab

2

a 2

4a 4 b 2

4

ab

2

a

2 4a b 2

ab

2

ab 2

0 ， ∴

2 a

b 2

4

a

8.（四川乐山中考） 22

若关于 x 的一元二次方程 x 2

2（2 k ）x 12 0 有实数根 1） 求实数 k 的取值范围；

2） 设 t ，求 t 的最小值． k

3） 解：（ 1） ∵一元二次方程 x 2 2（2 k ）x k 2

12 0有实数根 4) ∴ 0 ，

分????? 2

6） 解得 k 2 ．?

???????????分???? 4

7） （3） 由根与系数的关系得：

[ 2(2 k)] 4 2k ，

8） ∴t 4 2k 4 2，

??????????????

分??7 k

k k

9） ∵k

2，∴

2

4 k

2 0，

10)

442

k

2，

11) 即 t 的最小值

4． ?

????????????分

9.（ 四川绵阳中考） 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2（1－m ）x －m 2

的两实数根

为 x 1，x 2． （ 1）求 m 的取值范围；

（2）设 y = x 1 + x 2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．

答案】（1）将原方程整理为 x 2

+ 2（m －1）x + m 2

= 0． 原方程有两个实数根，

△= [ 2（m －1）2

－4m 2

=－8m + 4≥0，得 m≤ 1

．

2

2） ∵ x 1，x 2为 x 2 + 2（m －1）x + m 2

= 0 的两根，

即 4(2 k)2

4(k 2

12) 0 ，

5）

∴ y = x1 + x2 =－ 2m + 2，且 m≤ ．

2

1

因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m =1时，取得极小值 1．

2

2

10.（湖北孝感中考）关于 x的一元二次方程x2 x p 1 0有两实数根 x1、x2.

（1）求 p 的取值范围；（ 4 分）

（2）若[2 x1（1 x1）][ 2 x2（1 x2）] 9,求p的值.（ 6 分）

答案】解：( 1)由题意得：

( 1) 2 4(p 1) 0. ????2分

5

解得：p ????分4 4

(2)由[2 x1(1 x1)][ 2 x2(1 x2)] 9得，

(2 x1 x12 )( 2 x2 x22 ) 9. ????分6

x1,x2 是方程 x2 x p 1 0的两实数根 x12 x1p 1 0,x22 x2p 1 0,

22

x1 x1 p 1,x2 x2 p 1.

(2 p 1)(2 p 1) 9,即(p 1)2 9. ????分8

p 2,或 p 4. ????9分

5

p , 所求 p 的值为 p 4. ????分10

4

说明：1．可利用x1x21,得x11 x2,

x2 1 x1 代入原求值式中求解； 11.（山东淄博中考）已知关于 x 的方程x2 2（k 3）x k 2 4k 1 0．

（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；

22

（3）若以方程x2 2（k 3）x k 2 4k 1 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y m的图象上，求满足条件的 m 的最小值．

x

【答案】解: （ 1）由题意得△＝2 k 3 2 4 k2 4k 1 ≥0

化简得2k 10 ≥0，解得 k≤5．

（2）将 1 代入方程，整理得k2 6k 6 0 ，解这个方程得k1 3 3，k2 3 3.

（ 3）设方程x2 2（k 3）x k2 4k 1 0的两个根为x1，x2，

根据题意得m x1x2 ．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2 k2 4k 1，

1

22

那么m k2 4k 1 k 2 2 5 ，所以，当 k＝2 时 m 取得最小值－ 5 12.（广东茂名中考）已知关于x的一元二次方程x2 6x k2 0（k为常数）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1 2x2 14 ，试求出方程的两个实数根和k 的值．【答案】解：（1）b2 4ac （ 6）2 4 1 （ k2） 36 4k2 0，·················2 分

因此方程有两个不相等的实数根．

2)

b 6

2)Q x1 x2 6 ，

1 2

a 1

又Q x12x214 ，

解得：k

4 ．·················································7 分

第 3 讲根与系数的关系

知识要点】

1.根与系数关系

关于 x 的一元二次

方程ax 2bx c 0(a≠ 0)当

时，

有

x1

x

2

bc

， x1x2

推论1 ：如果方程

x2

px

q 0的两个实数根是

x1，

x2，那么 x1

x2

p,x1x2 q.

推论2 ：以 x1 , x 2

为根的

一

元

次方程（二次项系数

为1

）是： x2(x1 x2 )x x1 x2 0

典型例题】

1. 已知方程

2

x

3xm 0的两个实根中，其中一个是另

一个的

2 倍，求 m 的值。

解：设方程的一个根为x，另一根 2x

3

x 2x 1

由根系关系知 2

m 3分4分

解方程组：

x1 x2 6,

x1 2x2 14,

解得：

x1 2,

x2 8.

5分

方法一：将x1 22

2代入原方程得：( 2)2 6 ( 2) k2 0 ，6分解得：k 4 ．7分

c

方法二：将x1和x2 代入x1x2 ，得：28

k2

6分

x

解得： 2

m 1 m 1

2. 已知方

程3x 27x 30 的两根x1、x2 （x1 x2）不解方程，求x1x2和x12x22的

值。

2 x 1 x 2

2 2

7 13 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

9

经典习题】

. 选择题。

1. 已知 x 3是关于 x 的一元二次方程 k 1 x 2

2kx 3 0的一个根，则 k 与另一根分别为（ ）

A. 4

B. -4

C. 1

D. -1

3. 若方程 x 2

x k 0有两负根，则 k 的取值范围是（ ） 11

A. k 0

B. k 0

C. k

D. 0 k 44

2

4. 若方程 x 2

px q 0 的两根中，只有一个是 0，那么（ ）

A.

p

q

B. p 0， q 0

C. p 0， q

D. 不能确定

5. 方程

x

2

px p 2

1

4

0 的大根与小根之差

等于

（）

A. 1

B

.

2p 2 1 C. 1

D.

2p 2

1

1 5 1 5

6. 以 1 5

， 1 5

为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ） 22

解： 由题设条件

x

2

x 1x 2 1

4x 1 x 2

13 3

A. 2， -1

B. -1， 2

C. -2，1

D. 1，-2

2

2. 已知方程 3x 2

m 4 xm 1 0 的两根互为相反数，则 m 的值是（ A. x 2

x 1 0 B. x 2

x 1 0

2

C. x 2

x 1 0

2

D. x 2

x 1 0

x

1 x

2

x

2

x 1 x 2

. 填空题。

7. 关于 x 的一元二次方程 x 2

2 m 1 x m 2

0的两根互为倒数，则 m ＝ ____ 。

2

8. 已知一元二次方程 ax 2

bx c 0两根比 2：3，则 a ，b ，c 之间的关系是 _ 。

2

1

9. 已知方程 x 2

mx m m 4 0的两根 x 1、x 2，且

x 1 2 x 2 2 9 ，则 m ____________________

3

10. 已知 、 __

是方程 x 2 ___ 。

5x 20 的两根，不解方程可

得：

22

，

1 1

__ ，

3 3

2

11. 已知 2

2

13， 1

__________ 。

1

2 ，则

以 、

为根的

一

元二次方程是 __

. 解答题。

12. 已知方程

2

2x 2

3x 70 的两

根 、

，求作以

2 、

2

为两根的方程。

8. 设 x 1 2t ，x 2 3t ，则

x 1 x 2 m

1

13. 设 x 1、x 2 是方程 x 2

2m 1 x m 2

0 的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求 m 的值。 试题答案】

. 选择题。 1. A 2. B 3. D . 填空题。

2

2

2 m 1 4m 2

0 m

7.

4. B

5. C

6. B

1

2 m 1 1 5t

6t

2 b

a c a

6b 2 25ac

1 2

3

x1 2 x2 2 9

10 .

m m 4 2m 5 3

2m 150

5 或

m

5时，

11.

1

由

此

22

3 原方程

△<

5 25

24

185

8

1

23

8

6

或

13

13

，

故舍

去，

25

13

22

12

33

2

45

4 41

2

13

2

所求方程x25x 0

或

x

2

3x

三 . 解答题。

人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)

一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。

5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，

九年级数学上册一元二次方程习题库

九年级数学上册习题库（六） 杨成超 二次根式 1.已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x+（m 2－4）=0有一个解是0，求m 的值。 2.已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 3.下列方程中的一元二次方程是( ) A.3(x+1)2=2(x －1) B. 2 1x +x 1 －2=0 C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=(x+1)(x －1) 4.已知关于x 的方程(m －3)7 2-m x －x=5是一元二次方程，求m 的值. 5将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,－1 B. 3,－2,－1 C. 3,－2,1 D. －3,－2,1 6.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有___________. ①x 2＋2x ＋y ＝1 ②－5x 2＝0 ③2x 2－1=3x ④（m 2＋1）x ＋m 2＝6 ⑤3x 3－x ＝0 ⑥x 2+ 1 x －1=0 7.已知方程(m+2)x 2+(m+1)x －m=0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是二元一次方程. 8.把方程x(x+1)=4(x －1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项. 9.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程. 10．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－ 1 x =1 （B ）x 2+y=2 （C 22=2 （D ）x+5=（－7）2 12.方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4 13．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 14．一元二次方程3x 23－2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 15．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________．

七年级一元二次方程

二元一次方程 二元一次方程：每个方程都含有两个未知数（x 和y ）， 并且含有未知数的项的次数都是1，这 样的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的解：是二元一次方程两边的值相等的两 个未知数的值，叫做二元一次方程 的解。 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方 程和在一起，就组成了一个二元一次 方程组。 二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共 解，叫做二元一次方程组的解。 代入消元法：例1 二元一次方程组的解法 加减消元法： 巩固提升： 用代入消元法解下列方程组 （1）???=+=53x y x （2）???==+y x y x 3232 （3）? ??+-=+8257 3y x y x 练习： 1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） Ａ、???=+=321y x Ｂ、???=-=+01y x y x Ｃ、???==+01xy y x Ｄ、???=-=1 2y x x y 2、已知x ，y 的值：①???==22y x ②???==23y x ③???-=-=23y x ④? ??==66 y x 其中，是二元一次方程42=-y x 的解的 是（ ） Ａ、① Ｂ、② Ｃ、③ Ｄ、④ 3、若方程826=-y kx 有一解?? ?=-=2 3 y x 则k 的值等于（ ） Ａ、61 - Ｂ、61 C 、32 Ｄ、3 2- 4、已知一个二元一次方程组的解是???-=-=2 1 y x 则这个方程组是（ ） Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 ???=-=+23xy y x ???=--=+123y x y x ???-=-=32x y y x ?????-=+=-4 21 6 532y x y x

九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章 一元二次方程 第 1 讲 一元二次方程概念及解法 知识要点 】 . 知识结构网络 、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2 b b 0 或 2 x a 2 b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。 2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次 项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m ）2 n 的形式（ 5）如果右边是非 负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值； （2）计算 2 2 b b 2 4ac b 2 4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2 4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a 2 b 2 4ac 0，则方程无实数解。 典型例题】 2

解：(3x 1)( 2x 3) 0 ，x 2 解： x 2 11 4 经典练习】 、直接开方法 二、配方法注： （1） 2x 2 2x 30 0 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 2 （1）x 2 2x 2 0； ∴ 3x 1 0或 2x 2)3x 2 4x 1（用公式 法） 解： 3x 4x 4) 2 3×( 1) 28 0 ( 4) 28 2 × 3 ±7 x 1 27 3 ，x 2 2 3 27 3 3） 2x 2 2x 30 用配方 法） x 2 (x 2 x 2 22 4) ( 42) 2 4 15 ( 42)2 121 8 ∴ x 1 3 2， x 2 5 2 2 1) (x 1)2 (1 2x)2 2)(x a)2 b x 1 15 ∴x 2 2)3x 2 4x 1

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二 元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元 一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的 解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数由多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做 代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个 未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简 称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数 乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个 未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 一．解答题（共16小题）

九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结

一元二次方程知识点复习 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式，则k =。 知识点4．整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解 练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。

九年级上册一元二次方程单元测试题及答案

一元二次方程测试题 一、 填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。 2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。 3、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42 +=+-x x ，所以_______,21==x x 。 4、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。 5、当≥0时，一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式为。 6、如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x +=，21x x ?=。 7、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m =，两个根分别为。 8、若方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k =，另一个根为。 9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是。 10、关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于。 二、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、下列方程中，一元二次方程是（） （A ）221x x +（B ）bx ax +2（C ）()()121=+-x x （D ）052322=--y xy x 2、方程()()1132=-+x x 的解的情况是（） （A ）有两个不相等的实数根（B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根（D ）有一个实数根 3、如果一元二次方程()012 =+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有（） （A ）m =0（B ）m =－1（C ）m =1（D ）以上结论都不对 4、已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2 111x x +的值为（） （A ）2 1-（B ）2（C ）21（D ）-2 5、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（）

数学人教版七年级上册一元二次方程

21．1 一元二次方程 一、教学内容解析 1、内容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数和一元二次方程的解（根）． 2、内容解析 本节在引言的基础上，安排了两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察出它们的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示. 一元二次方程的一般形式是以未知数的个数和次数为标准定义的，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），根据概念的要求，在具体例子的归纳方向上做出引导，有利于学生思考并给出辨析性问题“为什么规定a≠0” 本节都有列方程的内容，这样安排既可以使学生认识引入一元二次方程概念的必要性，也可以分散列方程这一教学难点，循序渐进地培养由实际问题抽象出方程模型的能力。 本节的重点是理解一元二次方程及其有关概念，期中设计一元二次方程根的概念，但是教学中不要过早把学生的注意力引向解方程. 二、教学目标设置 知识与技能 使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 过程与方法 1、经历由事实问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使学生体会到，一元二次方程是刻画现实世界中的数量关系的一个有效模型 2、通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，

使学生对概念的理解具备完整性和深刻性. 情感态度与价值观 通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识. 教学目标解析 达成目标标志： 学生能从实际问题抽象出一元二次方程并理解认识一元二次方程，及其一般形式，识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 学生能积极参与交流讨论，得出结论使学生对概念的理解更加完整和深刻. 三、学生学情分析 学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，学生已经对整式方程和分式方程有了辨析，整式方程按其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，在教学过程中也是通过这三个方面来掌握本节课的重点一元二次方程的概念。为了通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程成为本节课的难点. 四、教学策略分析 1、本节课采用了概念教学的一半进程：分析典型丰富的具体例证，抽象不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念. 2、难点突破方法：通过问题设计引导学生进行分析，并通过交流、讨论得出结论. 教学难点：理解一元二次方程及其有关概念. 教学重点：通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程. 教学方法：引导、探究式教学

最新九年级数学一元二次方程练习(含答案)

一元二次方程单元测试卷 （考试时间：60分钟 满分：100分） 班级 座号 姓名 成绩 一、填空题：(共22分，第1小题4分，第2-8题每空格2分) 1.把一元二次方程4)3(2=-x 化为一般形式是 ，其中二次项为： ， 一次项系数为： ，常数项为： 2.写出一个有一根为2=x 的一元二次方程．．．．．．_________ _____ 3.方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 4.写出一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式为 5.已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= , 另一根为 6.若两数和为7，积为12，则这两个数是 。 7.直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是 8.若关于x 的方程062=++kx x 的根是整数,则K 的值可以是 (只要求写出一个) 二、选择题：(每小题3分，共18分) 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） （A ）()()1212+=+x x （B ）02112=-+x x （C ）02=++c bx ax （D ） 1222-=+x x x 2．使得代数式3x 2－6的值等于21的x 的值是( ) （A ）3 （B ）-3 （C ）±3 （D ）3± 3．关于x 的一元二次方程02=-k x 有实数根，则（ ） （A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0 4．用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为( ) （A ）22()24p p x +=（B ）224()24p p q x -+= （C ）224()24 p p q x +-=（D ）2 24()24 p q p x --= 5．使分式2 42--x x 的值等于零的x 是( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）±2 （D ）±4 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( ) （A ）x(x ＋1)＝1035 （B ）x(x －1)＝1035 （C ） 21x(x+1)＝1035 （D ）2 1x(x-1)＝1035

九年级上册数学一元二次方程单元测试卷

九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题（★写批注）姓名：日期： 1．（3分）一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为：，一次项系数为：．2．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于． 3．（3分）已知方程（x+a）（x﹣3）=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同，则a=． 4．（3分）一元二次方程x2﹣x+4=0的解是． 5．（3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为．6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．7．（3分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=． 8．（3分）已知实数x满足=0，那么的值为． 9．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为． 10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．11．（3分）已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为． 12．（3分）方程：y（y﹣5）=y﹣5的解为：． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为． 二、选择题（★写批注） 14．（3分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．7 15．（3分）若的值为0，则x的值是（）

A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．2 D．﹣3 16．（3分）一元二次方程x2﹣1=0的根为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1 17．（3分）将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是（） A．（2x﹣1）2=0 B．（2x﹣1）2=4 C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=5 18．（3分）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0第22题图 19．（3分）若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（） A．﹣1或B．1或C．1或D．1或 20．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 21．（3分）如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（） A．m＜1 B．0＜m≤1C．0≤m＜1 D．m＞0 22．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m ﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 23．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m=0 B．m≠1C．m≥0且m≠1D．m为任意实数 24．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE 的长度为（）

七年级数学下一元二次方程

二元一次方程组复习学案 一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组 （1）二元一次方程：叫二元一次方程。 （2）二元一次方程组：叫做二元一次方程组。 （3）方程组的解：叫方程组的一个解。 例题： 1、下列各方程哪个是二元一次方程（） A 、8x －y ＝y B 、xy ＝3 C 、2x2－y ＝9 D 、 2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝。 同类练习： 1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（ ） （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）只有三个 （D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程的基本思想：。 （2）代入消元法：这种解方程组的方法叫做代入消元法。 （3）加减消元法：这种解方程组的方法叫做加减消元法。 例题： 1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝。 2．以下方程，与???=+=+75252y x y x 不同解的是 （ ） A ．???=+=+104252y x y x B ．? ??=+=+75214104y x y x C ．???=+=+2352y x y x D ．???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x

九年级数学一元二次方程练习题

九年级数学一元二次方程练习题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下面关于的方程中：①;②;③; ④();⑤-1.一元二次方程的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列方程中，一定有实数解的是() 3.要使方程+是关于的一元二次方程，则() A.B. C.且 D.且 4.若，则的值是() 5.若关于的一元二次方程有实数根，则() 6.一元二次方程的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是() 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价() 9.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，?则这个两位数为() 10.已知分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是() A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 二、填空题(每小题3分，共24分) 11.若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是________. 12.已知关于的方程的一个根是，则_______. 13.关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值是_______. 14.若(是关于的一元二次方程，则的值是________. 15.若且，则一元二次方程必有一个定根，它是_______. 16.若矩形的长是，宽是，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______. 17.若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________. 18.关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为. 三、解答题(共46分) 19.(5分)在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程(43)的解. 20.(5分)求证：关于的方程有两个不相等的实数根. 21.(5分)方程较大根为，方程较小根为，求的值. 22.(6分)若方程的两根是和，方程的正根是，试判断以为边长 的三角形是否存在.若存在，求出它的面积;若不存在，说明理由. 23.(6分)已知关于的方程(的两根之和为，两根之差为1，?其中是△的三边长. (1)求方程的根;(2)试判断△的形状. 24.(5分)在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正 方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%， 求所截去小正方形的边长.

人教版七年级数学上册第三章：一元二次方程 基础检测题

人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》基础检测题 (时间：80分钟 满分：100分) 一、单项选择题(共12题,共48分) 1.下列方程为一元一次方程的是（ ）. A. x 2-4x=3 B.x=0 C.x+2y=3 D. x-1=x 1 2.已知方程2x+3=5，则等于（ ） A. 15 B. 16 C.17 D. 34 3.若关于x 的方程mx m-2-m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）. A. 0 B. 3 C.-3 D. 2 4.下列等式变形正确的是（ ）. A.如果s=21ab ，那么b=a s 2； B.如果 2 1 x=6，那么x=3； C.如果x-3=y-3 ，那么x-y=0； D.如果mx=my ，那么 x=y. 5.下列解方程去分母正确的是( ) A.由,得 ； B.由 ,得； C.由 ,得 ； D.由 ,得 . 6.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）. A ．60元 B ．80元 C ． 120元 D ．180元 7.把一根长为100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm ，则锯出的木棍不可能是（ ） A ．65cm B ．35cm C ． 65cm 或35cm D ．70cm 8.某市举行的青年歌手大奖赛今年共有人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人， 设去年参赛的有x 人，则为（ ）. A. B. C. D. 9.某校七年级数学竞赛共有10道题，每答对一题得5分，不答或答错一题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）. A.6 B. 7 C.9 D.8 10.某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（ ）. A.赚16元 B.赔16元 C.不赚不赔 D.无法确定 11.某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造成林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把公顷旱地改成林地，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 12.小明在做解方程作业时，不小心将方程中 的一个常数污染了看不 清楚，被污染的方程是 ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是 ，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(共6题,共24分) 13.当=m_________时，方程的解为2x+m=x+1,x=-4 14.当=x_________时，式子与的值互为相反数． 15.甲水池有水31吨，乙水池有水11吨，甲池的水每小时流入乙池2吨，________小时后，甲池的水与乙池的水一样多.

九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法

编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.

人教版七年级下册一元二次方程练习题

1、已知24x y -=，则. 142______x y -+=-7 2、若3321m n m n mx ny -+-=是关于x 、y 的二元一次方程组，则______m n =5/4. 3、若一个二元一次方程组的解是32 x y =??=?，请写出一个符合要求的二元一次方程组_____________________{x+y=5 x-y=1. 4、已知()2563640x y x y +-+--=，则()2_____x y +=100/9. 5、消去方程组235342x t y t =-??=+?中的t ，得_____4x+15y=26______. 6、当m =___6或4 2____时，方程组2448x my x y +=??+=? 的解是正整数. 7.、下列方程中的二元一次方程组的是( B ) A ．32141x y y z -=??=+? B ．3232a b a =??-=? C ．13124y x x y ?+=????+=?? D ．13mn m n =-??+=? 8、已知201 2S v t at =+，当t =1时，S =13；当t =2时，S =42，则当t =3 时，S 等于( B . ) A ． B ．87 C ． D ．69 9、已知单项式532y x a b +与2244y a b --?的和仍是单项式，则x 、y 的值为 ( )

A ．12x y =??=? B ．21x y =??=-? C ．015x y =???=?? D ．21x y =??=? .10.已知方程组51542 ax y x by +=??-=-?，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-??=-?，乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =??=?，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解x 与y 的差x y -的值是多少

15道九年级一元二次方程计算题【附详细过程】

15道九年级一元二次方程计算题 1、解方程：x2—2x—1＝0． 2、解方程： 3、解方程：x2＋x－＋1＝0． 4、解方程： 5、用配方法解方程： 6、解方程：3 ( x - 5 )2 = 2 ( 5- x ) 7、解方程：． 8、 9、解方程：(x -1)2 + 2x (x - 1) = 0 10、解方程：. 11、用配方法解方程：。 12、解方程：． 13、解方程：x2－6x＋1＝0． 14、用配方法解一元二次方程： 15、解方程：．

参考答案 一、计算题 1、解：a=1,b=-2,c=-1 B2-4ac=(-2)2-4*1*(-1)=8 X= 方程的解为x=1+x=1- 2、原方程化为 ∴ 即 ∴， 3、解：设x2＋x＝y，则原方程变为y－＋1＝0． 去分母，整理得y2＋y－6＝0， 解这个方程，得y1＝2，y2＝－3． 当y＝2 时，x2＋x＝2，整理得x2＋x－2＝0， 解这个方程，得x1＝1，x2＝－2． 当y＝－3 时，x2＋x＝－3，整理得x2＋x＋3＝0， ∵△＝12－4×1×3＝－11＜0，所以方程没有实数根．

经检验知原方程的根是x1＝1，x2＝－2． 4、解：移项，得配方，得 ∴∴ （注：此题还可用公式法，分解因式法求解，请参照给分）5、）解：移项，得x2 +5x=－2， 配方，得 整理，得（）2= 直接开平方，得= ∴x1=，x2= 6、解： 7、解： ∴或

∴， 8、 9、解法一： ∴， 解法二： ∵a = 3，b = 4，c = 1 ∴ ∴ ∴， 10、解：- -两边平方化简， 两边平方化简. -- 解之得--- 检验：将.

初中数学 九年级上一元二次方程教案

22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm ，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m ， 苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 108

苏教版数学九年级上册一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案

练习一 一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2 +x=1 B.2x 2 -x-12=12； C.2(x 2 -1)=3(x-1) D.2(x 2 +1)=x+2 2.下列方程:①x 2 =0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32 x -32x x -8x+ 1=0 中, 一元二次方程的个数是( ) A.1个 B2个 C.3个 D.4个 3.把方程（+(2x-1)2 =0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2 -4x-4=0 B.x 2 -5=0C.5x 2 -2x+1=0 D.5x 2 -4x+6=0 4.方程x 2 =6x 的根是( ) A.x 1=0,x 2=-6 B.x 1=0,x 2=6 C.x=6 D.x=0 5.方2x 2 -3x+1=0经为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A.23162x ? ?-= ?? ?; B.2312416x ??-= ???; C.2 31416x ??-= ???; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x 2 =2x-1 B.4x 2 +4x+ 54 2 0x -= D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2 =1000 B.200+20032x=1000 C.200+20033x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分) 9.方程 2(1)5 322 x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2 +bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2 +1与4x 2 -2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2 +6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x 的方程4mx 2 -mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.