A ,x ≥A
(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组
装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是
( )
A .75,25
B .75,16
C .60,25
D .60,16
答案D
解析由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为c
A
=15,故组装第4件产品
所需时间为c
4
=30,解得c=60,将c=60代入
c
A
=15,得A=16.
函数建模问题
典例:(12分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲
将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在
甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q (百件)与销售价格
P (元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
审题视角 (1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供的信息,从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法. 规范解答
解 设该店月利润余额为L ,
则由题设得L =Q (P -14)×100-3 600-2 000,① 由销量图易得Q =?????
-2P +50 14≤P ≤20,-3
2P +40 20
代入①式得
L =????
?
-2P +50P -14×100-5 600 14≤P ≤20,? ????
-32P +40P -14×100-5 600 20
(1)当14≤P ≤20时,L max =450元,此时P =19.5元; 当20
故当P =19.5元时,月利润余额最大,为450元.[8分] (2)设可在n 年后脱贫,
依题意有12n ×450-50 000-58 000≥0,解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.[12分]
解函数应用题的一般程序:
第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系;
第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知
识建立相应的数学模型;
第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论;
第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际
问题的意义.
第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,
必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
温馨提醒(1)本题经过了三次建模:①根据月销量图建立Q与P的函数关系;②建立利润余额函数;③建立脱贫不等式.
(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下
解决的问题发生了变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活中分段函数的应用非常广泛.
(3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.
方法与技巧
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础;
2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
失误与防范
1.函数模型应用不当是常见的解题错误.所以,正确理解题意,选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础.
2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
A组专项基础训练
(时间:35分钟,满分:57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1. 有一批材料可以围成200 m长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地
方
围成一块矩形场地(如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 ( )
A .1 000 m 2
B .2 000 m 2
C .2 500 m 2
D .3 000 m 2
答案 C
解析 设围成的场地宽为x m ,面积为y m 2
, 则y =3x (200-4x )×1
3
=-4x 2
+200x (0.
2. (2011·湖北改编)里氏震级M 的计算公式:M =lg A -lg A 0,其中A 是测震仪记录的地
震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
( )
A .6 1 000
B .4 1 000
C .6 10 000
D .4 10 000
答案 C
解析 由M =lg A -lg A 0知,M =lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为
6级.
设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2,则lg A 1
A 2
=lg A 1-lg A 2=(lg A 1
-
lg A 0)-(lg A 2-lg A 0)=9-5=4.∴A 1A 2
=104
=10 000,∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.
3. 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y =
a e nt ,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m 分钟后甲桶中的水只有a
8
升,则m
的值为
( )
A .8
B .10
C .12
D .15
答案 B
解析 由已知条件可得a e 5n
=a 2,e 5n =12
.
由a e nt =a 8,得e nt
=18
,所以t =15,m =15-5=10.
4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客