07 第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程
第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
)(x f qy y p y =+'+'' (7.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(7.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(7.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(7.1)的一个特解*y . 方程(7.1)的特解的形式与右端的自由项)(x f 有关，如果要对)(x f 的一般情形来求方程(7.1)的特解仍是非常困难的，这里只就)(x f 的两种常见的情形进行讨论.
1．x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：
m
m m m
m a x a x
a x
a x P ++++=--11
10)( ；
2．x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x m ωλsin )(，其中λ，ω是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式.
分布图示
★ 二阶常系数非齐次线性方程的求解问题
★ x
m e x P x f λ)()(=型
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4
★ 例5
★ 例6
★ x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x
m ωλsin )(型
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10
★ 例11
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7—7
★ 返回
内容要点
一、x m e x P x f λ)()(=型
当x m e x P x f λ)()(=时，二阶常系数非齐次线性微分方程(7.1)具有形如
x
m k
e
x Q x y λ)(*
= (7.4)
的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次（m 次）的多项式，而k 按λ是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.4)式中的k 是特征方程的根
λ的重数（即若λ不是特征方程的根，k 取0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）.
二、x e x P x f x m ωλc o s )()(=或x e x P x
m ωλs i n )(型
即要求形如
x e x P qy y p y x
m ωλcos )(=+'+'' (7.5) x
e
x P qy y p y x
m ωλsin )(=+'+'' (7.6)
两种方程的特解.
由欧拉公式知道，x e x P x m ωλcos )(和x e x P x m ωλsin )(分别是 )s i n (c o s )()()(x i x e x P e x P x m x i m ωωλωλ+=+ 的实部和虚部.
我们先考虑方程
x
i m e
x P qy y p y )()(ωλ+=+'+''. (7.7)
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(7.7)的一个特解，则根据第五节的定理5知道，方程(7.7)的特解的实部就是方程(7.5)的特解，而方程(7.7)的特解的虚部就是方程(7.6)的特解.
方程(7.7)的指数函数x i e )(ωλ+中的ωλi +(0≠ω)是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以ωλi +只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(7.7)具有形如
x
i m k
e
x Q x y )(*
)(ωλ+= (7.8)
的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次（m 次）的多项式，而k 按λ是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.8)式中的k 是特征方程含根ωλi +的重复次数.
例题选讲
x
m e
x P x f λ)()(=型
例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解?
(1) ;653x e y y y =+'+'' (2) ;3652x xe y y y -=+'+'' (3) .)13(22x e x y y y -+-=+'+''
解 (1) 因3=λ不是特征方程0652=++r r 的根,故方程具有特解形式：;30*x e b y = (2) 因2-=λ是特征方程0652=++r r 的单根,故方程具有特解形式:;)(210*x e b x b x y -+=
(3) 因1-=λ是特征方程0122=++r r 的二重根，所以方程具有特解形式：
.)(212
02
*
x
e
b x b x b x y -++=
例2（E02）求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.
解 题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,1323
3100??
?=--=-b b b 解得.311
10??
?=-=b b 于是，所求特解为.3
1
*+-=x y
例3（E03）求方程x xe y y y 223=+'-''的通解.
解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=
因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y += 代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2
10=b ,11-=b
于是，求得题没方程的一个特解*y .)121
(2x e x x -=
从而，所求题设方程的通解为
.)12
1(
2221x
x
x
e
x x e
C e C y -++=
例4 求微分方程x e x y y +=+''的通解.
解 特征方程为,012
=+r 特征根为,1i r =,2i r -=
故对应齐次方程的通解为 ,sin cos 21x C x C Y +=
观察可得, x y y =+''的一个特解为,*1x y =x e y y =+''的一个特解为.2
1*
2x
e y =
为由非齐次线性微分方程的叠加原理知
*
y *
2*
1y y +=x
e
x 2
1+
=
是原方程的一个特解，从而原方程的通解为 y .21s i n c o s 21x
e x x C x C +
++=
例5 求方程1)46(22++-=+'-''x e x y y y x 的特解.
解 其对应齐次方程的特征方程为,0122=+-r r 解得特征根为1r 2r =.1=由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和:
x
e
x y y y )46(22
-=+'-'' (1)
12+=+'-''x y y y (2)
因特征方程有重根,1=r 所以设方程(1)的特解 ,)(22120*1x
e x b x b x
b y ++= 将其代入方程)1(并消去,x e 整理后得
,
4626122
212
0-=++x b x b x b 即,2
10=
b ,01=b ,22-=b
于是得特解.)22
1
(22*1
x e x x y -=
又因特征方程有重根,1=r 所以设方程(2)的特解为 .*2B Ax y += 求导后代入方程，解出,1=A ,3=B 得特解 3*2+=x y 所以题设方程的特解为：
*
y *
*
21y y +=.3)22
1(
22++-=x e x x x
例6（E04）求方程x e y y y y =+'+''+'''33的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为,013323=+++r r r 特征根1r 2r =3r =.1-= 所求齐次方程的通解
.)(2
321x
e
x C x C x C Y -++=
由于1=λ不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为,0*x e b y =代入题设方程易解得
,8
10=
b 故所求方程的通解为
y *y Y +=.8
1)(2321x
x
e e
x C x C C +
++=-
例7 求方程x y y sin 4=+''的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解
.sin cos 21x C x C Y +=
作辅助方程.4ix e y y =+''
i =λ 是单根,故设.*
ix
Axe y =代入上式得42=Ai ?,2i A -=
∴*
y ix
ixe
2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2*
x x y -=
从而题设方程的通解为
.cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=
x e
x P x f x
m ωλcos )()(=或x
e
x P x
m ωλsin )(型
例8（E05）求方程x x y y 2cos =+''的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解
x C x C Y sin cos 21+=
作辅助方程.2ix xe y y =+''
i
2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*
ix e B Ax y +=代入辅助方程得
,034=-B Ai 13=-A ?,3
1-
=A i
B 9
4-
=
∴*y =??? ??--i x 9431ix e
2=??? ??--i x 943
1
)2sin 2(cos x i x + i x x x -+
-
=2sin 94
2cos 3
1?
?
?
??+x x x 2sin 312cos 94
取实部得到所求非齐次方程的一个特解:
.
2sin 942cos 3
1x x x y +
-
=
所求非齐次方程的通解为
.2sin 942cos 3
1sin cos 21x x x x C x C y +
-
+=
例9 设函数)(x y 满足
,1)0(,)](sin 6[1)(0
2
=-+
='?
y dt t y t x y x
求)(x y .
解 将方程两端对x 求导，得微分方程 ,sin 62x y y =+''即),2cos 1(3x y y -=+''
特征方程为,012=+r 特征根为,1i r =,2i r -=对应齐次方程的通解为,sin cos 21x C x C Y += 注意到方程的右端)(x f x 2cos 33-=),()(21x f x f +=且i i 2±=±βα不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解
*y *
2*1y y +=,
2sin 2cos x c x b a ++=
代入方程定出,0,1,3===c b a 从而原方程的通解为
y .32cos sin cos 21+++=x x C x C
又在原方程的两端令,0=x 得
,1)0(=y ,1)0(='y 又在原方程的两端令,0=x 得,1)0(='y ,1)0(=y ,1)0(='y 定出,1,321=-=C C 从而所求函数为
.32cos cos 3sin )(++-=x x x x y
例10（E06）求以x e x x C C y 2221)(-++=(其中21,C C 为任意常数)为通解的线性微分方程. 解法1 y ',)2(222x e x C y -++-= (1)
y ''.)2(222222x
x
e
x C e
y --+-+-= (2)
由式(1)知,2)2(22y y e x C x +'=+-代入(2)式得,42222y y e y y x -'-+'-=''- 所求方程为.2442x e y y y -=+'+''
解法 2 因,)(221x e x C C y -+=由解的结构知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解,,22x x xe e --故有二重特征根21r r =,2-=于是特征方程为
,0)2(2
=+r 即,0442
=++r r 对应齐次线性方程为,044=+'+''y y y
令该方程为),(44x f y y y =+'+''因x e x 22-为其解,故
)(x f x
x
x
e
x e
x e
x 222222
4)(4)(---+'+''=,22x
e
-=
从而所求方程为 .2442x e y y y -=+'+''
例11 已知函数x
x
e x e
y )1(2++=是二阶常系数非齐次线性微分方程
x
ce
by y a y =+'+''的一个特解, 试确定常数b a ,与c 及该方程的通解.
解法1 将x x e x e y )1(2++=代入原方程得
,
1)0(='y
,
)1()23()24(2x
x
x x
ce xe
b a e b a e
b a =++++++++
比较两边同类项系数，得方程组 ,024=++b a ,23c b a =++.01=++b a 解此方程组,得,3-=a ,2=b ,1-=c
于是原方程为,23x e y y y -=+'-''其通解为.221x x x xe e C e C y ++=
解法2 将已知方程的特解改写为,2x x x xe e e y ++=
因对应齐次方程的解应是rx e 型的,如x e 2是对应齐次方程的解, x e 也可能是，因原方程的自由项是,x Ce 而x xe 或x e x )1(+是原非齐次方程的解,故x e 也是对应齐次方程的解(即1=r 也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为
,0)1)(2(=--r r 即,0232
=+-r r
于是得.2,3=-=b a 将x xe y =*代入方程x Ce y y y =+'-''23得
,2)1(3)2(x
x
x
x
Ce xe
e x e x =++-+
原方程的通解为 .221x x x xe e C e C y ++=
课堂练习
1.写出微分方程x e x y y y 228644+=+'-''的待定特解的形式.
2.求微分方程x e x y y 22='+''的通解.
3.求微分方程x e y y y x cos 96=+'-''的通解.
4. 求微分方程x x y y 42+=''-'''的通解.
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习 一、常系数线性微分方程的形式和名词解释 1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为： ) (1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++??L 其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数 2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。 3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。 4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。初值问题的解是即满足 微分方程又满足初始条件的特解。 二、常系数线性齐次微分方程的解法 01)1(1)(=+′+++??y a y a y a y n n n n L 其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零 1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ， k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。 011 1=++++??n n n n a a a λλ λL 2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。 3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形 式不同，解的形式也不同）。 (1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。 方程的通解为 t n t t c c c y n 21e e e 21λλλ+++=L 例 求齐次微分方程032=?′?′′y y y 的通解 特征方程 0322=??λλ 求出特征方程的根3121=?=λλ 方程的通解 t t c c y ?+=e e 231 (2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。 方程的通解为 t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++?L L 例 求齐次微分方程043=?′′+′′′y y y 的通解 特征方程0432 3 =?+λλ 求出特征方程的根21 321?===λλλ
常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常 广东广州 华南师范大学 （郑海珍20052201323 李璇20052201333） 『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它 在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。 『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解； 『正文』： 常系数非齐次线性微分方程形如： )()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1) 的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组 )(),(),(21t x t x t x n ， 再设法求出方程（1）的一个特解 ) (~t x ，则方程（1）的通解易得为 ),(~)()(1 t x t x c t x n i i i +=∑= n i c i ,,2,1, =为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容 易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。下面将一一介绍几种求方程(1) 的特解的方法。 首先给出本文常用符号：
n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ 为方程（1）的特征方程。k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为 k u u u ,,21。)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。 一、 常数变易法 [ 1 ] 可设方程（1）的特解形如： )()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1） 其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*） ??????? ??='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21 )1(1)2(2)2(21 )2(122 112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n ………………（*） 解方程组（*）得到)(,),(),(21 t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解 )(~t x 。 此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量 大。 二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ] 令 , ,,,) 1(21-='==n n x x x x x x 则 ,,,,)1(13221 n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- ) ()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n +----=+----=='---
(整理)常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 132() 的通解。 解：] 23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++-?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()]x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
变系数_非线性微分方程的求解
变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl
Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl
Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
常系数线性微分方程的解的结构分析
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of
Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：
第六章 非线性微分方程
第六章 非线性微分方程 §6.1 稳定性 6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理 本章讨论非线性常微分方程组 n R Y Y t G dt dY ∈=),;( （6.1） 的解的性态. 设给定方程组（6.1）的初值条件为 ， （6.2） 00)(Y t Y =考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t L =的某区域 b Y Y a t t R ≤?≤?00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑== n i i y Y 1 2 . 所谓在域上关于),(Y t G G Y 满足局部利普希 茨条件是指：对于G 内任一点，存在闭邻域，而于),(00Y t G R ?),(Y t G R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数，使得不等式 0>L Y Y L Y t G Y t G ?≤?~ );()~;( （6.3） 对所有R Y t Y t ∈),(),~ ,(成立. 称为利普希茨常数. L 存在唯一性定理 如果向量函数在域),(Y t G R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ?=，它在区间h t t ≤?0上连续，而且 0000),;(Y Y t t =? 这里);(max ),, min(),(Y t G M M b a h G Y t ∈==. 解的延拓与连续定理 如果向量函数在域G 内连续，且关于),(Y t G Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ?=)),0t ((0G Y ∈可以延拓，或者延拓到（或）；或者使点∞+∞?)),;(,(00Y t t t ?任意接近区域G 的边界. 而解 ),;(00Y t t ?作为的函数在它的存在范围内是连续的. 00,;Y t t 可微性定理 如果向量函数及 ),(Y t G ),,2,1,(n j i y G j i L ??在域内连续，那么方程组G
线性常系数微分方程典型例题
二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x