2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第2课时类比推理课后提升训练

第二章推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理 第2课时 类比推理 课后篇巩固提升 1.给出下列三个类比结论:①类比a x ·a y =a x+y ,则有a x ÷a y =a x-y

;②类比

log a (xy )=log a x+log a y ,则有sin(α+β)=sin α+sin β;③类比(a+b )2=a 2+2ab+b 2

,则有

(a+b )2=a 2+2a ·b+b 2

.

其中正确结论的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3

①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知正确,因此正确结论有2个.

2.在等差数列{a n }中,有结论a 1+a 2+…+a 8

8

=

a 4+a 5

2

,类比该结论,在等比数列{b n }中,可有结论

( ) A.

a 1+a 2+…+a 8

8

=

a 4+a 5

2

B.√b 1+b 2+…+b 88=√b 4+b 5

C.√b 1b 2…b 8=√b 4b 5

D.√a 1a 2…a 88=√a 4a 5

b 1b 8=b 2b 7=b 3b 6=b 4b 5,所以√b 1b 2…b 88=√(a 4a 5)48

=√a 4a 5,故选D .

3.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r=2a

a +a +a ;类比这个结论可知:四面体P-ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,四面体P-ABC 的体积为V ,则r=( ) A.

a

a 1+a 2+a 3+a 4

B.

2a

a 1+a 2+a 3+a 4

C.3a

a

1+a 2+a 3+a 4

D.4a

a

1+a 2+a 3+a 4

ABC 的三条边长a ,b ,c 类比到四面体P-ABC 的四个面面积S 1,S 2,S 3,S 4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数1

3,从而可知选C .证明如下:以四面体各面为底,内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ,所以V=1

3S 1r+1

3S 2r+1

3S 3r+1

3S 4r ,故r=3a

a 1+a 2+a 3+a 4

.

4.在平面直角坐标系内,方程a

a +a

a =1表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a 和

b 的直线,拓展到空间,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为a ,b ,

c (abc ≠0)的平面方程为( )

A .a a +

a a +a a =1 B .

a aa +a aa +a

aa

=1 C .aa

aa +aa

aa +aa

aa =1 D .ax+by+cz=1

解析从方程a a

+a a

=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是a a

+

a a

+a

a

=1.

5.若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }b n =

a 1+a 2+…+a a

a

也是等差数列.类比这一性质可知,若

正项数列{c n }是等比数列,且{d n }也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A.d n =a 1+a 2+…+a a

a

B.d n =

a 1·a 2·…·a a

a

C.d n =√

c 1n +c 2

n +…+c n n n

a

D.d n =√a 1·a 2·…·a a a

{a n }是等差数列,则设其首项为a 1,公差为d ,则a 1+a 2+…+a n =na 1+

a (a -1)

2

d ,∴

b n =a 1+

a -12

d=a 2n+a 1-a

2,即{b n }为等差数列;若{c n }是等比数列,则设其首项为c 1,公比为q ,则

c 1·c 2·…·c n =a 1a

·q

1+2+…+(n-1)

=a 1a

·a

a (a -1)

2

,∴d n =√a 1·a 2·…·a a a

=c 1·a

a -12

,即{d n }

为等比数列.故选D .

6.在平面几何中,△ABC 中的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为aa aa =aa

aa (如图①).把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD 中(如图②),平面DEC 平分二面角A-CD-B 且与AB 相交于点E ,则得到的结论是 .

图①

图②

,可得

aa aa

=

a △aaa a △aaa

.

=

a △aaa a △aaa

7.圆的面积S=πr 2

,周长C=2πr ,两者满足C=S'(r ),类比此关系写出球的公式的一个结论是 .

,球的体积V=4

3πR 3,表面积S=4πR 2

,满足S=V'(R ).

V=4

3πR 3

,表面积S=4πR 2

,满足S=V'(R )

8.解决问题“求方程3x +4x =5x 的解”有如下思路:方程3x +4x =5x

可变为(35)a +(45

)a

=1,由函数

f (x )=(35)a +(45)a

可知,f (2)=1,且函数f (x )在R 上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上

述解法,可得到不等式x 6

-(2x+3)>(2x+3)3

-x 2

的解集是 .

x 6+x 2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f (x )=x 3

+x ,显然函数f (x )在R 上单调递增,

而(2)>f (2x+3),所以x 2

>2x+3,解得x>3或x<-1.

-∞,-1)∪(3,+∞)

9.若数列{a n }满足a 1=1,a n +a n+1=(14)a

,设S n =a 1+4a 2+42a 3+…+4n-1a n (n ∈N *

),类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法,试求5S n -4n

a n .

,S n =a 1+a 2×4+a 3×42

+…+a n ×4a -1,①

两边同乘以4,得

4S n =a 1×4+a 2×42

+…+a n-1×4a -1+a n ×4n

,②

由①+②,得5S n =a 1+(a 1+a 2)×4+(a 2+a 3)×42+…+(a n-1+a n )×4a -1+a n ×4n

.

又a 1=1,a n +a n+1=(14)a

,

所以a 1+a 2=1

4,a 2+a 3=(14)2

, 所以5S n =1+1+…+1? a 个1

+a n ×4n

.

故5S n -4n

a n =n.