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高一数学圆的方程经典例题

高一数学圆的方程经典例题
高一数学圆的方程经典例题

典型例题一

例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个?

分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答.

解法一:圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r .

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则

324

311

34332

2

<=+-?+?=

d .

如图,在圆心1O 同侧,及直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1

l 及圆有两个交点,这两个交点符合题意.

又123=-=-d r .

∴及直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.

∴符合题意的点共有3个.

解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且及之距离为1的直线和圆的交点.

设所求直线为043=++m y x ,则14

3112

2

=++=

m d ,

∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即

06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :.

设圆9)3()3(221=-+-y x O :

的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34

36

34332

2

1=+-?+?=

d ,14

316

34332

2

2=+-?+?=

d .

∴1l 及1O 相切,及圆1O 有一个公共点;2l 及圆1O 相交,及圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个.

说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则

324

311

34332

2

<=+-?+?=

d .

∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个.

显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线及圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.

到一条直线的距离等于定值的点,在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点.求直线及圆的公共点个数,一般根据圆及直线的位置关系来判断,即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断.

典型例题三

例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 及圆的关系.

分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而

要判断点P 及圆的位置关系,只须看点P 及圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.

解法一:(待定系数法)

设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.

∴?????=+-=+-2

22

24)3(16)1(r

a r a

解之得:1-=a ,202=r .

所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13

12

4-=--=

AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x .

又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(22=++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为

r PC d >=++==254)12(22.

∴点P 在圆外.

说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和

半径这两个关键的量,然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢?

典型例题四

例4 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有( ).

(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个

分析:把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ,圆心为()21--,

,半径为22=r ,圆心到直线的距离为2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2,所以选C .

典型例题五

例5 过点()43--,

P 作直线l ,当斜率为何值时,直线l 及圆()()4212

2

=++-y x C :

有公共点,如图所示. 分析:观察动画演示,分析思路. 解:设直线l 的方程为

()34+=+x k y

043=-+-k y kx

根据r d ≤有

214

322

≤+-++k

k k

整理得

0432=-k k

解得

3

40≤

≤k .

典型例题六

例6 已知圆422=+y x O :,求过点()42,P 及圆O 相切的切线. 解:∵点()42,

P 不在圆O 上, ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =

21422

=++-k k

解得 4

3=

k 所以 ()424

3+-=x y 即 01043=+-y x

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为2=x .

说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.

本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用200r y y x x =+,求出切点坐标

0x 、0y 的值来解决,此时没有漏解.

典型例题七

例7 自点()33,

-A 发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,反射光线所在的直线及圆074422=+--+y x y x C :相切

(1)求光线l 和反射光线所在的直线方程. (2)光线自A 到切点所

经过的路程.

分析、略解:观察动画演示,分析思路.根据对称关系,首先求出点A 的对称点

A '的坐标为()33--,

,其次设过A '的圆C 的切线方程为

()33-+=x k y

根据r d =,即求出圆C 的切线的斜率为

34=

k 或4

3

=k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为

0334=+-y x 或0343=--y x

最后根据入射光及反射光关于x 轴对称,求出入射光所在直线方程为

0334=++y x 或0343=-+y x

图3

光路的距离为M A '

,可由勾股定理求得72

2

2

=-'='CM C A M A . 说明:本题亦可把圆对称到x 轴下方,再求解.

典型例题八

例8 如图所示,已知圆422=+y x O :及y 轴的正方向交于A 点,点B 在直线2=y 上运动,过B 做圆O 的切线,切点为C ,求ABC ?垂心H 的轨迹.

分析:按常规求轨迹的方法,设),(y x H ,找y x ,的关系非常难.由于H 点随B ,C 点运动而运动,可考虑H ,B ,C 三点坐标之间的关系.

解:设),(y x H ,),(''y x C ,连结AH ,CH , 则BC AH ⊥,AB CH ⊥,BC 是切线BC OC ⊥, 所以AH OC //,OA CH //,OC OA =, 所以四边形AOCH 是菱形.

所以2==OA CH ,得?????=-=.

,

2''

x x y y

又),(''y x C 满足42

'2'=+y x ,

所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程.

说明:题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取

代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析及动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.

典型例题九

例9 求半径为4,及圆042422=---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程.

分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.

解:则题意,设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-:

. 圆C 及直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或

)4,(2-a C .

又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA .

(1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a .

2

224)4()1022(=-+--y x ,或

2224)4()1022(=-++-y x .

(2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2221)14()2(=--+-a (无解),

故622±=a .

∴所求圆的方程为2

224)4()622(=++--y x ,或

2224)4()622(=+++-y x .

说明:对本题,易发生以下误解:

由题意,所求圆及直线0=y 相切且半径为4,则圆心坐标为)4,(a C ,且方程形如2224)4()(=-+-y a x .又圆042422=---+y x y x ,即

2223)1()2(=-+-y x ,其圆心为)1,2(A ,半径为3.若两圆相切,则

34+=CA .故2227)14()2(=-+-a ,解之得1022±=a .所以欲求圆的方

程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .

上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形,而疏漏了圆心在直线

0=y 下方的情形.另外,误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全

面的.

典型例题十

例10 已知圆0622=+-++m y x y x 及直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点,O 为原点,且OQ OP ⊥,求实数m 的值.

分析:设P 、Q 两点的坐标为),(11y x 、),(22y x ,则由1-=?OQ OP k k ,可得02121=+y y x x ,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为x y ,由直线l 及圆的方程构造以x

y 为未知数的一元二次方程,由根及系数关系得出OQ OP k k ?的值,从而使问题得以解决.

解法一:设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x .一方面,由OQ OP ⊥,得

1-=?OQ OP k k ,即

12

2

11-=?x y x y ,也即:02121=+y y x x . ① 另一方面,),(11y x 、),(22y x 是方程组??

?=+-++=-+0

60

322

2

m y x y x y x 的实数解,

即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ②

的两个根.

∴221-=+x x ,5

27

421-=

m x x . ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上,

∴])(39[4

1)3(2

1)3(2

121212121x x x x x x y y ++-=-?-=. 将③代入,得5

12

21+=

m y y . ④ 将③、④代入①,解得3=m ,代入方程②,检验0>?成立, ∴3=m .

解法二:由直线方程可得y x 23+=,代入圆的方程

0622=+-++m y x y x ,有

0)2(9

)6)(2(31222=++-+++y x m

y x y x y x ,

整理,得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m . 由于0≠x ,故可得

012)3(4))(274(2=++-+-m x

y

m x y m .

∴OP k ,OQ k 是上述方程两根.故1-=?OQ OP k k .得

127

412-=-+m m

,解得3=m .

经检验可知3=m 为所求.

说明:求解本题时,应避免去求P 、Q 两点的坐标的具体数值.除此之外,还应对求出的m 值进行必要的检验,这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在.

解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于x

y 的二次齐次方程,虽有规律可循,但需一定的变

形技巧,同时也可看出,这种方法给人以一种淋漓酣畅,一气呵成之感.

典型例题十一

例11 求经过点)5,0(A ,且及直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.

分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标及半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标.又圆及两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.

解:∵圆和直线02=-y x 及02=+y x 相切, ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上,

又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等. ∴

5

25

2y x y x +=-.

∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x . 又∵圆过点)5,0(A ,

∴圆心C 只能在直线03=-y x 上. 设圆心)3,(t t C

∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC , ∴

22)53(5

32-+=+t t t t .

化简整理得0562=+-t t . 解得:1=t 或5=t

∴圆心是)3,1(,半径为5或圆心是)15,5(,半径为55. ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x . 说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且及两已知直线相切的圆的方程的常规求法.

典型例题十二

例12 设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线

02=-y x l :的距离最小的圆的方程.

分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.

解法一:设圆心为),(b a P ,半径为r . 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a .

由题设知:圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为?90,故圆截x 轴所得弦长为r 2.

∴222b r =

又圆截y 轴所得弦长为2. ∴122+=a r .

又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为

5

2b a d -=

∴2

225b

a d -=

ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b

当且仅当b a =时取“=”号,此时5

5min =d . 这时有???=-=1

22

2

a b b a

∴??

?==11b a 或?

??-=-=11

b a 又2222==b r

故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二:同解法一,得

5

2b a d -=

∴d b a 52±=-.

∴2225544d bd b a +±=. 将1222-=b a 代入上式得:

01554222=++±d bd b .

上述方程有实根,故

0)15(82≥-=?d ,

∴5

5

d .

将5

5

=

d 代入方程得1±=b . 又1222+=a b ∴1±=a . 由12=-b a 知a 、b 同号.

故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x .

说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?

典型例题十三

例13 两圆0111221=++++F y E x D y x C :及0222222=++++F y E x D y x C :相交于A 、B 两点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程.

分析:首先求A 、B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.

解:设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ,则有:

0101012

020=++++F y E x D y x ① 0202022

020=++++F y E x D y x ②

①-②得:0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D .

∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D .

∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程. 又过A 、B 两点的直线是唯一的.

∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为

0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D .

说明:上述解法中,巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线及方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现了对曲线及方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.

典型例题十四

例14 已知对于圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,,不等式

0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围.

解:运用圆的参数方程,设P 的坐标为()θθsin 1cos +,

, [)πθ20,∈ 即θcos =x ,θsin 1+=y , ∵0≥++m y x 恒成立 ∴()y x m +-≥恒成立

即()θθsin 1cos ++-≥m 恒成立

∴只需m 大于等于()θθsin 1cos ++-的最大值.

令()()14sin 21sin cos sin 1cos -??

?

?

?+-=-+-=++-=πθθθθθu

u 的最大值为12-

∴12-≥m

说明:在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法.采用这种设法的优点在于,一方面可以减少参数的个数,另一方面可以灵活地运用三角公式.从代数的观点看,这种设法的实质就是三角代换.

另外本题也可以不用圆的参数方程求解,本题的实质就是求最值问题,

方法较多.但以上述解法较简.

典型例题十五

例15 试求圆?

??==θθsin 2,

cos 2y x (θ为参数)上的点到点)4,3(A 距离的最大

(小)值.

分析:利用两点间距离公式求解或数形结合求解.

解法一:设P 是圆???==θθsin 2,

cos 2y x 上任一点,则)sin 2,cos 2(θθP .所以

22)sin 24()cos 23(θθ-+-=PA

θθsin 16cos 12425--+=

)4

3

arctan ()sin(2029=+-=??θ.

因为R ∈θ,所以R ∈+?θ,因此

当1)sin(-=+?θ时,72029=+=最大值PA . 当1)sin(=+?θ时,32029=-=最小值PA . 解法二:将圆??

?==θ

θsin 2,

cos 2y x 代入普通方程得422=+y x .

如图所示可得,A P 1、A P 2分别是圆上的点到)4,3(A 的距离的最小值和最大值.易知:31=A P ,72=A P .

说明:

(1)在圆的参数方程??

?+=+=θ

θsin ,

cos r b y r a x (θ为参数)中,),(b a A 为圆心,

)0(>r r 为半径,参数θ的几何意义是:圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆

时针方向旋转到P 所得圆心角的大小.若原点为圆心,常常用

)sin ,cos (θθr r 来表示半径为r 的圆上的任一点.

(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具.

典型例题十六

例16 已知圆的方程为222r y x =+,圆内有定点),(b a P ,圆周上有两个动点A 、B ,使PB PA ⊥,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

分析:利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解. 解法一:如图,在矩形APBQ 中,连结AB ,PQ 交于M ,

显然AB OM ⊥,PQ AB =,

在直角三角形AOM 中,若设),(y x Q ,则)2

,2(b

y a x M ++. 由2

2

2

OA AM OM =+,即

22222])()[(4

1

)2()2(

r b y a x b y a x =-+-++++, 也即)(222222b a r y x +-=+,这便是Q 的轨迹方程.

解法二:设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ,则22121r y x =+,22222r y x =+. 又2

2

AB PQ =,即

)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-.①

又AB 及PQ 的中点重合,故21x x a x +=+,21y y b y +=+,即

)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②

①+②,有)(222222b a r y x +-=+. 这就是所求的轨迹方程.

解法三:设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q , 由于APBQ 为矩形,故AB 及PQ 的中点重合,即有

βαcos cos r r a x +=+, ① βαsin sin r r b y +=+, ②

又由PB PA ⊥有

1cos sin cos sin -=--?--a

r b

r a r b r ββαα ③

联立①、②、③消去α、β,即可得Q 点的轨迹方程为

)(222222b a r y x +-=+.

说明:本题的条件较多且较隐含,解题时,思路应清晰,且应充分利用图形的几何性质,否则,将使解题陷入困境之中.

本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法,它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法二及解法三,从本质上是一样的,都可以称为参数方法.解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数,故需列出五个方程;而解法三中,由于借助了圆222r y x =+的参数方程,只涉及到两个参数α、β,故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是,利用了图形的几何特征,借助数形结合的思想方法求解.

典型例题十七

例17 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点,求1

2

+-=

x y u 的取值范围. 分析一:利用圆上任一点的参数坐标代替x 、y ,转化为三角问题来解决.

解法一:设圆122=+y x 上任一点)sin ,(cos θθP 则有θcos =x ,θsin =y )2,0[πθ∈ ∴1

cos 2

sin +-=

θθu ,∴2sin cos -=+θθu u

∴)2(sin cos +-=-u u θθ.

即2)sin(12+=-+u u ?θ(u =?tan ) ∴1

)2()sin(2

++=

-u u ?θ.

又∵1)sin(≤-?θ ∴

11

22

≤++u u

解之得:43-≤u .

分析二:1

2

+-=x y u 的几何意义是过圆122=+y x 上一动点和定点)

2,1(-的连线的斜率,利用此直线及圆122=+y x 有公共点,可确定出u 的取值范围.

解法二:由1

2

+-=

x y u 得:)1(2+=-x u y ,此直线及圆122=+y x 有公共点,故点)0,0(到直线的距离1≤d .

11

22

≤++u u 解得:4

3-≤u .

另外,直线)1(2+=-x u y 及圆122=+y x 的公共点还可以这样来处理:

由??

?=++=-1

)

1(22

2y x x u y 消去y 后得:0)34()42()1(2222=++++++u u x u u x u ,

此方程有实根,故0)34)(1(4)42(2222≥+++-+=?u u u u u , 解之得:4

3-≤u .

说明:这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便.

典型例题十八

例18 已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ,不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围.

分析一:为了使不等式0≥++m y x 恒成立,即使m y x -≥+恒成立,只须使m y x -≥+min )(就行了.因此只要求出y x +的最小值,m 的范围就可求得.

解法一:令y x u +=,

由???=-+=+1

)1(2

2y x u y x 得:0)1(2222=++-u y u y ∵0≥?且228)1(4u u -+=?, ∴0)12(42≥++-u u .

即0)122≤--u u ,∴2121+≤≤-u , ∴21min -=u ,即21)(min -=+y x

又0≥++m y x 恒成立即m y x -≥+恒成立.

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为 222)(r y a x =+-.又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2 2 2 7)14()2(=-+-a ,或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解),故可得 1022±=a .∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .

高中数学圆方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 22)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13 124-=--=AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(22=++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目 1.求满足下列条件的圆的方程 (1)过点A(5,2)和B(3,-2),且圆心在直线32-=x y 上;(2)圆心在835=-y x 上,且与两坐标轴相切;(3)过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;(4)与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且直线 x y =截圆所得弦长为72;(5)过原点,与直线1:=x l 相切,与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切;(6)以C(1,1)为圆心,截直线2-=x y 所得弦长为22;(7)过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点,且面积最小的圆的方程. (8)已知圆满足①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0,求该圆的方程. (9)求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆(1)求实数m 的取值范围 (2)求该圆半径r 的取值范围(3)求面积最大的圆的方程(4)求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值

(1)过)4,3(-的切线方程(2)过)7,5(的切线方程、切线长;切点弦方程、切点弦长 (3)以)2,1(为中点的弦的方程 (4)过)2,1(的弦的中点轨迹方程 (5)斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点,O 为坐标原点,若OQ OP ⊥,求实数m 的值. 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点,求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上,被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求: (1)通过圆心的反射线方程,(2)在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O (1)判断两圆的位置关系 (2)求它们的公共弦所在的方程 (3)求公共弦长 (4)求公共弦为直径的圆的方程. 题型五、最值问题 思路1:几何意义 思路2:参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x (1)求 x y 的最小值 (2)求2 2y x ++32-y 的最值;(3)求y x 2-的最值(4)|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++.(1)证明:不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交(2)求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A (1,0),B (-1,0)两点,已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点,PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线,A 、B 是切点, C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的互相垂直的弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 343322 1=+-?+?=d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?=d . ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个. 显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1. 到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断. 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 124-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为: 23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C

高中理科椭圆的典型例题

典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331-= e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点, OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x ,

由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()0212 22=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,211 1a x y M M +=-=, 41 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF = -12 ,∴115 4 5x ex a AF -=-=. 同理2545x CF -=.∵BF CF AF 2=+,且5 9 =BF , ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ,即821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得() 212 2 21024x x y y x --=-

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心 (a , b ),半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节:圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。二、圆的方程 (1) ; 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系: 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内 (2) 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为?- D E ? ,半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时,方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 (3) 求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . (1) 此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2) 若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线 y =2x +5 上,半径为 2. 练习: 1.方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是( ) A.以(1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 B.以(1,2) 为圆心, 为半径的圆 C.以(-1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 D.以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆 2.过点 A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线 x +y -2=0 上的圆的方程是( ). A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4 3.点(1,1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A. -1 < a < 1 B. 0 < a < 1 C. a < -1 或 a > 1 D. a = ±1 4.若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆,则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M (5,-7),则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y =x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 7. 以点 C (-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 1 D 2 + E 2 - 4F

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高中数学圆的方程综合训练试题

圆的方程综合训练试题 一、选择题 1.直线0643=+-y x 与圆4)3()2(2 2=-+-y x 的位置关系是( ) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心王新敞 2.若直线0=++a y x 与圆a y x =+2 2相切,则a 为( ) A.0或2 B.2 C.2 D.无解王新敞 3.两圆094622 =+-++y x y x 和0191262 2=-+--+y x y x 的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离王新敞 4.以M (-4,3)为圆心的圆与直线052=-+y x 相离,那么圆M 的半径r 的取值范围是( ) A.0<r <2 B.0<r <5 C.0<r <25 D.0<r <10 5.两圆2 2 2 r y x =+与r r y x ()1()3(2 2 2 =++->0)外切,则x 的值是( ) A.10 B. 5 C.5 D. 2 10 王新敞 6.已知半径为1的动圆与圆16)7()5(2 2 =++-y x 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(2 2=++-y x B. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(2 2=++-y x C. 9)7()5(2 2=++-y x D. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(2 2=++-y x 王新敞 7.以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( ) A. 16)4()3(22=++-y x B. 16)4()3(2 2=-++y x C. 9)4()3(22=++-y x D. 9)4()3(2 2=-++y x 王新敞 二、填空题 8.圆02410222=-+-+y x y x 与圆08222 2=-+++y x y x 的交点坐标是 王新敞

人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

(数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。

解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则 ,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证:m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点P,并求P点坐标。分析:不论m为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =-2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 ∵m ∈R ,∴ 得

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02,A , 其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331- = e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点, M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x , 由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22 2112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,

4 1 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的 距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF =-12 , ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=. 同理 25 4 5x CF - =. ∵ BF CF AF 2=+,且5 9= BF , ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x , 即 821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 () 2122 21024x x y y x --=-

圆方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .

(1) 当042 2 >-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2 E D C ,半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形. 注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交???时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=?时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0

最新高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理

习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-;已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,即得圆心),(b a C 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 二、位置关系问题 例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 3 1-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31= 四、弦长问题 例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点,且弦AB 的长为32,则=a . 五、夹角问题 例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)5 3 (C)23 (D) 0 六、圆心角问题 例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率=k . 七、最值问题 例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25 八、综合问题 例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ π π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π

(数学试卷高一)圆与方程测试题及答案

必修2第四章《圆与方程》单元测试题 (时间:60分钟,满分:100分) 班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值依次为 (A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( ) (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( ) (A) 11<<-a (B) 10<-所表示的曲线关于直线y x =对称,必有 ( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 8. 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC 的形状是( ) (A) 直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )斜三角形 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10.两圆x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2 -6x=0的连心线方程为 ( ) A .x+y+3=0 B .2x -y -5=0

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析:以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案:D 2.以点A(-5,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析:∵圆与x 轴相切,∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案:A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为____________. 解析:设其圆心为P(a,a),而切点为A(1,0),则P A⊥x 轴,∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立,得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决,若圆与x 轴相切于点(1,0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0,1). 答案:(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3,那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析:令 x y =k,即y=kx ,直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案:D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解:由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0),直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此,所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案:C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析:由平面几何性质,所求最大值为P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径,即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

高中数学_圆的方程题型总结

圆的方程题型总结 一、基础知识 1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____;圆心________ ,半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=表示圆的条件为: (1)_______ _______; (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系: 直线0Ax By C ++=,圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=,圆心到直线的距离为d. 则:(1)d=_________________; (2)当______________时,直线与圆相离; 当______________时,直线与圆相切; 当______________时,直线与圆相交; (3)弦长公式:____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :()()2 2 2 111x a y b r -+-=; 圆2C :()()2 2 2 222x a y b r -+-= 则有:两圆相离? __________________; 外切?__________________; 相交?__________________________; 切?_________________; 含?_______________________. 二、题型总结: (一)圆的方程 ☆1.2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ,半径 .

☆☆2.点(1,2-a a )在圆x 2+y 2-2y -4=0的部,则a 的取值围是( ) A .-1所表示的曲线关于直线y x =对称,必有( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 ☆☆☆4.圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 ☆5.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A. 2 2 430x y x y ++-= B. 2 2 430x y x y +--= C. 2 2 4340x y x y ++--= D. 2 2 4380x y x y +--+= ☆☆6.过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆 方程是( ) A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 ☆7.过点()1,1A -,()1,1B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程( ) A. ()()22314x y -++= B.()()22 314x y ++-= C. ()()22111x y -+-= D. ()()22 111x y +++= ☆☆8.圆2 22690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 ( ) A .2 2 (7)(1)1x y +++= B .22 (7)(2)1x y +++= C . 2 2 (6)(2)1x y +++= D .2 2 (6)(2)1x y ++-= ☆9.已知△ABC 的三个项点坐标分别是A (4,1),B (6,-3),C (-3,0),求△ABC 外接圆的方程.

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