中考数学创新题方案设计
中考数学创新题——方案设计
知能训练：
1.（2004年青海省湟中县）请用几何图形“△”、“‖”、“”（一个三角形，两条平
行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切，诙谐的解说词.（至少两幅图）
吊灯2.（2005年青岛市）小明和小刚想要利用如图的两个转盘玩游戏，请你帮助他们设计
一个游戏，使游戏的规则对双方是公平的。
3.（2005年湖北省宜昌市）质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次
去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取. (要求写出具体的操作步骤)
4.（2005年内江市）李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。
⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？
为什么？
⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？
为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。
（2005年大连市）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。这个游戏是否公平？请说明理由；
5.如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个
公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，
设计一个不公平的游戏。
6.（2005年茂名）如图所示，转盘被等分成六个扇形，在上面依次写上数字1、2、3、
4、5、6；
(1) 若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少？ (2) 请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率
为3
2
。
7. （2005年安徽）两人袄去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票
价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案:
(1) 甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时,
他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.
(2) 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题: (3) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?
(4) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己乘上等车的可能性大? 为什么?
8. (2004年四省（区）)在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量
A 、
B 两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 (1) 画出测量图案；
(2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
(3) 计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
9. （2005年河南省）有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面
积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。
10. （2005年河南省）如图是一条河，点A 为对岸一棵大树，点B 是该岸一根标杆，且
AB 与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A 、B 两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。
A
B
C
D
备用图(2)
A B C
D
备用图(1)
11. （2005年四川省）如图，小勇想估测家门前的一棵
树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0．5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？（结果保留1位小数；参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）
12. （2005年贵阳市）某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低
于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/
件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ； (1) 求出一次函数b kx y +=的解析式；
(2) 若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，销售单价
定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
13. （2005年河北省）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，
以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）。
(1) 用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； (2) y 与x 之间的函数关系式； (3) 面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多
少？
14. （2005年临沂市）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材
料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
15. （2005年资阳市）已知某项工程由甲、乙两队合做
12天可以完成，共需工程费用
13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元. (1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度
考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
16. （2005年泉州市）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，同时又推出购买“个
人年票”的售票方法（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A 、B 两类：A 类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票，；B 类年票每张40元，持票者每次进入公园时需再购买每次2元的门票.现有甲、乙、丙三位游客在一年中分别选择用A 类年票、B 类年票、一次性使用门票三种方式去游园，并且乙、丙每人一年中恰好都进入该公园x 次.
(1) 分别写出乙、丙每人一年的门票费支出（用含x 的代数式表示）
(2) 三位游客每人一年的门票费支出中，当甲的支出为最少时：①问乙、丙每人一年中
进入该公园至少超过多少次？②求此时三位游客一年中游园共支出的门票费总额的最小值.
答案：
1.略
2. 解：（方法一）
（1）.用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号. （2）．在144个小物品（大小相同的小纸片或小球等）上标出1到144个数. （3）把这144个小物品用袋（箱）装好，并均匀混合.
（4）每次从袋（箱）中摸出一个小物品，记下上面的数字后，将小物品返回袋中并均匀混合. （5）将上述步骤4重复30次，共得到30个数.
（6）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.（不答此点不扣分） （方法二）
（1）用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号. （2）使计算器进入产生随机数的状态. （3）．将1到144作为产生随机数的范围.
（4）进行30次按键，记录下每次按键产生的随机数，共得到30个数. （5）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.（不答此点不扣分） 3. 解：⑴这个游戏对双方公平 ∵P(奇)=
412121=?，P(偶)=4
3 3 P(奇)= P(偶)，∴这个游戏对双方公平
⑵不公平 列表：如右图 得：P(和大于7)=
125，P(和小于或等于7)=12
7 李红和张明得分的概率不等，∴这个游戏对双方不公平
(只要所求概率正确即可得分，不一定列表) 建议：(略，只要合理均可得分) 4. 解：（1）不公平。……………………………………………………………………1分 因为抛掷两枚硬币，所有机会均等的结果为：
正正，正反，反正，反反。……………………………………………………2分
所以出现两个正面的概率为1
4，………………………………………………3分
出现一正一反的概率为
2142=。………………………………………………4分 因为二者概率不等，所以游戏不公平。………………………………………5分
（1） 游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（一反一正），则乙赢…………7分
游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，
则甲、乙都不赢。……………7分 5.（1）P （指针指向奇数区域）=
2
1
63=……………………………………4分 （2）方法一：如图所示，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域
的概率为3
2
…………………………………8分
方法二：自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于3时，指针指
向的区域的概率是3
2
………………………………8分
（注：答案不唯一，只要答案合力都给满分）
6. 答案不惟一． 解：(1)如图所示：
(2)在陆地上找到可以直接到达点A 、B 的一点D ，在AO 的延长线上取一点C,并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ． (3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．
又∠COD=∠AOB ， ∴ △COD ≌△AOB ． ∴ CD=AB=a ．
7. 只要正确、合理即可，以下三种方案供参考。写出一种方案给4分，满分8分。 解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h 。
方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E 、F ，则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝
方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE ＝(a ＋b)，连接AE ，则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝。
方案三：如图3，连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。
分析此方案可知，∵AE ＝EC ，∴S △AEB ＝S △EBC ，S △AED ＝S △ECD ， ∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ，
∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半
8. 测量A 、B 两点间距离的方法有很多种，答案不惟一，一般采用全等、相似的知识来解决，只要答案合理、正确均给分。 9.
A B C D
E F 图1A B C D E 图 2A B C
D E 图 3
10.（1）由题意得： ?
??+=+=b k b k 80407050,∴???=-=1201
b k
∴一次函数的解析式为：120+-=x y
（2）
900)90(7200180)120)(60(2
2+--=-+-=+--=x x x x x w ∵抛物线开口向下，∴当90 ∴当84=x 时，864)84120)(6084(=--=w 答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元。 11. 解：⑴每个面包的利润为(x －5)角 卖出的面包个数为（300－20x ）（或[160－（x －7）×20]）…………4分 ⑵ 150040020)5)(20300(2 -+-=--=x x x x y 即 1500400202 -+-=x x y …………………………………………8分 ⑶ 500)10(2015004002022+--=-+-=x x x y ………………10分 ∴当x=10时，y 的最大值为500。 ∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角………………………………………12分 12. 解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为： 48048 505 =； 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) … (1分) 方案二：只买小包装．则需买包数为：480 1630 = 所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元) ……… (2分) 方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装 y 包．所需费用为W 元。 则5030480 3020 x y W x +=?? =+?…………（4分） 10 3203 W x =-+…………（5分） ∵050480x <<，且x 为正整数， ∴x =9时，最小W =290(元)． ∴购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。………（7分） 答：购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。…… (8分) 13. (1) 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要(2x-10)天.……………1分 根据题意有 11210x x +-= 112，…………………………………………………3分 解得x 1=3(舍去)，x 2=20.………………………………………………………4分 ∴ 乙队单独完成需要 2x －10=30 (天). 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天. …………………5分 (没有答的形式，但说明结论者，不扣分) (2) 设甲队每天的费用为y 元，则由题意有 12y+12(y －150)=138000，解得y=650 . ………………………………………7分 ∴ 选甲队时需工程费用650×20=13000，选乙队时需工程费用500×30=15000. ∵ 13000 <15000， ∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.………………………………8分 14. 15. 解：（1）y ＝4000x －600x －3000x ＝400x （2）设应把x 吨进行粗加工，其余进行精加工，由题可得不等式： 11 x 50x 32 ＋（－）≤20，解得：x ≥30 设这时总获利y 元，则y ＝400x ＋（4500－3000－900）（50－x ） 化简得y ＝－200x ＋30000 由一次函数性质可知：这个函数y 随x 的增大而减少，当x 取最小值30时， 16. (1)以EF 所在直线为x 轴,经过H 且垂直于EF 的直线为y 轴, 建立平面直角坐标系, ( 2分) 显然E(-5,0),F(5,0),H(0,3) ( 4分) 设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c ( 5分) 依题意有:?? ? ??==+-=++305250 525c c b a c b a 解之??? ??? ? ==-=30253c b a 所以y=325 32 +- x ( 8分) (2).y=1, 路灯的位置为 ( 6 3 5,1)或(-635,1). (只要写一个即可) ( 10分) (3)当x=4时,y=3425 3 2+?-=1.08 点到地面的距离为1.08+2=3.08 因为3.08-0.5=2.58>2.5 所以能通过 ( 12分)