2017年高考北京理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.（2017北京卷理）若集合–21{|}A x x =<<，{|–1B x x =<或3}x >，则A B =（ ）

A.1|}–2{x x <<-

B.3|}–2{x x <<

C.1|}–1{x x <<

D.3|}1{x x <<

【答案】：A

【解析】：{}21A B x x =-<<-，故选A ．

【考点】：集合的基本运算 【难度】：易

2.（2017北京卷理）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）

A.(),1-∞

B.(),1-∞-

C.()1,+∞

D.()1,-+∞

【答案】：B

【解析】：()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以10

10a a +

->?

，解得：1a <-，故选B ． 【考点】：复数代数形式的四则运算 【难度】：易

3.（2017北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）

A.2

B.32

C.

5

3 D.85

【答案】：C

【解析】：0k =时，03<成立，第一次进入循环11

1,21

k s +===，13

<成立，第二次进入循环,213

2,22

k s +===，23<成立，第三次进入循环

31

523,332

k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ．

【考点】：程序框图 【难度】：易

4.（2017北京卷理）若x ，y 满足32x x y y x ≤??

+≥??≤?，，， 则2x y +的最大值为

（ ）

A.1

B.3

C.5

D.9

【答案】：D

【解析】：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为1

2

-的一组平行线，当过点()

3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+?=，故选D ．

【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划 【难度】：易

5.（2017北京卷理）已知函数1

()3()3

x x f x =-，则()f x （ ）

A.是奇函数，且在R 上是增函数

B.是偶函数，且在R 上是增函数

C.是奇函数，且在R 上是减函数

D.是偶函数，且在R 上是减函数

【答案】：A

【解析】：()()113333x

x

x

x f x f x --??

??

-=-=-=- ?

???

??

，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数,13x

??

???

是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选A ．

【考点】：函数奇偶性+单调性 【难度】：易

6.（2017北京卷理）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】：A

【解析】：若0λ?<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么

0cos1800m n m n m n ?==-<，反过来，若0m n ?<，那么两向量的夹角为

(0

90,180?? ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分

不必要条件，故选A ．

【考点】：向量、不等式、逻辑运算 【难度】：易

7.（2017北京卷理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）

A.32

B.23

C.22

D.2

【答案】：B

【解析】：几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=，故选B ．

【考点】：三视图 【难度】：易

8．（2017年北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可 观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与

M N

最接近的是（ ）

（参考数据：30.48lg ≈）

A.3310

B.5310

C.7310

D.9310

【答案】：D

【解析】：设361

80

310

M x N == ，两边取对数，361

36180803

lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=?-=，所以93.2810x =，即

M N 最接近93

10，故选D ．

【考点】：对数运算 【难度】：中

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．

9．（2017年北京理）若双曲线22

1y x m

-=的离心率为3，则实数m = ．

【答案】：2

【解析】：根据题意得2

2

1,a b m ==

且2223a b c c

e a

?+=??==??，解得2m = 【考点】：双曲线离心率 【难度】：易

10．（2017年北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则

2

2

a b = ．

【答案】：1

【解析】：由题意可知：322131383,211(2)

a d q d q

b -+-+=-=?==-?==-?-． 【考点】：等差数列+等比数列

【难度】：易

11．(2017年北京理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为______．

【答案】：1

【解析】：由题意可知2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=?-+-=，所以

min ||||211AP AC r =-=-=． 【考点】：极坐标 【难度】：中

12．(2017年北京理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边

关于y 轴对称．若1

sin 3

α=，cos()αβ-= ．

【答案】：7

9

-

【解析】：

2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19

βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-【考点】：三角函数定义+差角公式 【难度】：易

13．(2017年北京理)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为_______．

【答案】：1-，2-，3-

【解析】：取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>，故此命题为假命题

（此题答案不唯一）

【考点】：简易逻辑命题真假判断 【难度】：易

14．(2017年北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1i =，2，3．①记1Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_________．②记i P 为第i 名工人在这一天中平均每小时加

工的零件数，则1P ，2P ，3P 中最大的是_________．

【答案】：1Q ；2.p ．

【解析】：作图可得11A B 中点纵坐标比22A B ，33A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q ，分

别作1B ，2B ，3B 关于原点的对称点1B '，2B '，3B '，比较直线11A B '，22A B '，33A B '斜率，可得22

A B '最大，所以选2p ． 【考点】：实际应用，极坐标，对称

【难度】：中

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）在ABC ?中，=60A ∠，3

7

c a =． （Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）若7a =，求ABC ?的面积．

【答案】：（Ⅰ）33

sin 14

C =

（Ⅱ）63S = 【解析】：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=?，3

7

c a =，

所以由正弦定理得sin 3333

sin 7214

c A C a =

=?=

． （Ⅱ）因为3

7c a a =<，所以60C A ∠<∠=，

由7a =，所以3

737

c =?=．

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232

b b =+-??， 解得8b =或5b =-（舍）．

所以△ABC 的面积113

sin 8363222

S bc A ==???=．

【考点】：正弦定理+余弦定理+三角形面积公式 【难度】：易

16．（本小题14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，6PA PD ==

，4AB =．

（Ⅰ）求证：M 为PB 的中点；

（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；

（Ⅲ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

【答案】：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

π

（Ⅲ）269

【解析】：（Ⅰ）设,AC BD 交点为E ，连接ME ． 因为PD ∥平面MAC ，平面

MAC

平面PBD ME =，所以PD ME ∥

． 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，在PBC ?中，知M 为PB 的中点．

（Ⅱ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE ． 因为PA PD =，所以OP AD ⊥．

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ?平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ． 因为OE ?平面ABCD ，所以OP OE ⊥． 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥．

如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，

(4,4,0)BD =-，(2,0,2)PD =-．

设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00

BD PD ??=???=??n n ，即440

220x y x z -=???-=??．

令1x =，则1y =，2z =

．于是(1,1,2)=n ．

平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1

cos ,||||2

?=

=<>n p n p n p ．

由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为

3

π．

（Ⅲ）由题意知2

(1,2,

)2

M -，(2,4,0)D ，2(3,2,)2MC =-． 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||26

sin |cos ,|9||||

MC MC MC α?==

=<>n n n ． 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为

26

9

． 【考点】：立体几何+空间向量（二面角、正弦值） 【难度】：易

17．（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中""* 表示服药者，""+表示未服药者．

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中,,,A B C D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于

1.7 的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差

的大小．（只需写出结论）

【答案】：（Ⅰ）0.3（Ⅱ）1（Ⅲ）大于

【解析】：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为

15

0.350

=． （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2．

211

22222

222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6

P P P ξξξ=========．

所以ξ的分布列为

ξ

0 1 2

P

1

6 23 16

故ξ的期望121

()0121636

E ξ=?

+?+?=． （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．

【考点】：分布列+数学期望+概率

【难度】：易

18．（本小题14分）

已知抛物线C ：2

2y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2

作直线l 与抛物线C 交于不同的两点

M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．

【答案】：（Ⅰ）焦点坐标为1(,0)4

，准线方程为1

4x =-（Ⅱ）见解析

【解析】：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ，得1

2

p =．

所以抛物线C 的方程为2y x =．

抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4

，准线方程为1

4x =-．

（Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 的斜率存在且不为0．

设1

(0,)2

为点Q ，过Q 的直线MN 方程为1

2

y kx =+（0k ≠），设11(,)M x y ，22(,)N x y ，显然，1x ，2x 均不为0．

由212y kx y x ?

=+???=?

，得224(44)10k x k x +-+=． 考虑2

2

1(1)4124

k k k ?=--??=-，由题意0?>，所以12

k <． 则122

1k

x x k -+=

，① 122

1

4x x k =

． ② 由题意可得A ，B 横坐标相等且同为1x ，

因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x x ． 直线ON 的方程为22y y x x =

，点B 的坐标为2112

(,)y x

x x ． 若要证明A 为BM 的中点，只需证2A B M y y y =+，即证

12

112

2x y y x x +=，即证1221122x y x y x x +=，

将11221212

y kx y kx ?

=+????=+

??代入上式，

即证2112121

1()()222kx x kx x x x +++=，即证 12121

(22)()02

k x x x x -+

+= ③

将①②代入③得 2211(22)

042k k k k --+=，化简有22

11022k k

k k --+=恒成立，

所以2A B M y y y =+恒成立． 故A 为线段BM 的中点．

【考点】：椭圆的性质+直线与椭圆的关系

【难度】：中

19．（本小题13分）

已知函数()cos x

f x e x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2

π

上的最大值和最小值．

【答案】（1）1y =（2）最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22

f =-

【解析】（Ⅰ）因为()e cos x

f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x

f x x x f ''=--=．

又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1x

h x x x =--，则

()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．

当π(0,)2

x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2

上单调递减．

所以对任意π(0,]2

x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2

上单调递减．

因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22

f =-． 【考点】：导数的计算+导数在研究函数中的应用 【难度】：中

20．（本小题13分）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，其中12max{,,,}s x x x ???表示

12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =

所以111110,c b a =-=-=

21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-?-?=-，

3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-?-?-?=-．

下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-?． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，

11()()k k b a n b a n -?--?

[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =--- (1)(2)k n =--

∵10k ->且20n -≤

∴11()()0k k b a n b a n -?--?≤?11()()k k b a n b a n -?-?≥．

因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-?=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，

故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列

（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -?，22b a n -?，n n b a n -?，

考虑其中任意项i i b a n -?(i ∈*

N 且1)i n ≤≤，

i i b a n -?11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-? 11()(1)()b a b a n i d d n =-?+--?

下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -?11()(1)b b a n i d =-?+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -?--?=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-? 此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列

②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -?--?=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-?=-? 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列

此时取1m =，则123,,,c c c ???是等差数列，命题成立．

（2）若0a d >，则此时a b d n d -?+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．

故必存在m ∈*

N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -?+<

则当n m ≥时，

11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -?--?=--?+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤

因此，当n m ≥时，11n c b a n =-?．

此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．

（3）0a d <，则此时a b d n d -?+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．

故必存在s ∈*

N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -?+>

则当n s ≥时，

()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -?--?=--?+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤

因此当n s ≥时，n n n c b a n =-?．

此时

n n n n n c b a n b a n n n -?==-+11()b a a b b d d n d a d n

-=-?+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明

n c C

An B n n

=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，n

c M n

>． ①若0C ≥，则取||

[]1M B m A

-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，

||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A

--++=++>?+=≥≥ 此时命题成立． 若0C <，则取||

[]1M C B m A

--=+

当n m ≥时

||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A

--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥

此时命题成立．

因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，n

c M n

>． 综合以上三种情况，命题得证．

【考点】：等差数列+不等式

【难度】：易