菲涅耳公式 折反射定律
Chapter 1 理论基础
1.1 介质中的Maxwell ’s equations 与物质方程
微分形式
=t =J+t ==0B E D H D B ρ????-?
??
???????
???
??
（1-1）
传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）
00==()J=D E E P
B H H M E
εεμμσ?=+??
=+????
（1-2）
麦克斯韦方程组与物质方程描写了整个电磁场空间与全时间过程中电磁场的分布与变化情况。因此，所有关于电磁波的产生与传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键与核心。
1.2 积分形式与边界条件
由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式
0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ?
=-??
?=+??
?
=??
=????????????
（1-3） 得边界条件为
（1-4）
式
（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）： （1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。
（2）α为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。 （3）σ为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。
Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播
2.1 反射定律和折射定律
光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为
入射波0exp[()]i i i i E E i t k r ω=- 反射波0exp[()]r r r r E E i t k r ω=- 折射波0exp[()]t t t t E E i t k r ω=- 界面两侧的总电场为：
10020exp[()]exp[()]
exp[()]
i r i i i r r r t t t t E E E E i t k r E i t k r E E E i t k r ωωω?=+=-?+-???
==-??? 由电场的边界条件21()0n E E ?-=，有
000exp[()]exp[()]exp[()]
i i i r r r t t t n E i t k r n E i t k r n E i t k r ωωω?-?+?-?=?-?欲使上式对任意的时间t 和界面上r 均成立，则必然有：
i r t ωωωω
===
（1-5）
i r t k r k r k r
?=?=?
（1-6）
可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。
（1-7）
由于r 可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量()r i k k -和
()t i k k -均与界面的法线n 平行，由此可以推知，i k 、r k 、t k 与n 共面，该
平面称为入射面。由此可得出结论：反射波和折射波均在入射面内。 上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得
cos(
)cos(
)cos(
)
2
2
2
i i r r t t k k k π
π
π
θθθ-=-=-
（1-8）
又由于1/i k n c ω=，1/r k n c ω=，2/t k n c ω=，得
12()sin sin i r i t n n θθθθ
=??
=?反射角等于入射角（折射定律）
（1-9）
2.2 菲涅耳公式
折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。
电场E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于
入射面，称为‘s ’分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p ’分量。
首先研究入射波仅含‘s ’分量和仅含‘p ’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
（1）单独存在s 分量的情形
首先规定：电场和磁场的s 分量垂直于纸面， 向外为正，向内为负。
在界面上电场切向分量连续：
21()0n E E ?-=
另外由式（1-5）、（1-6），可得
000is rs ts E E E += （2-1）
在界面上磁场的切向分量连续：
21()0n H H ?-=
注意，如图所示。所以同理有
000cos cos cos ip i rp r tp t
H H H θθθ-+=-
（2-2）
非磁性各向同性介质中E 、H 的数值之间的关系：
那么式（2-1）整理为
101020cos cos cos is i rs r ts t
n E n E n E θθθ-+=-
（2-3）
联立式（2-1）（2-3）可得
012012cos cos cos cos rs i t
s is i t
E n n r E n n θθθθ-=
=
+
010122cos cos cos ts i
s is i t
E n t E n n θθθ=
=
+
（2）单独存在p 分量的情形
首先规定：p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。
根据E 、H 的边界条件得：
000is rs ts H H H +=
000cos cos cos ip i rp r tp t E E E θθθ+=
再利用E 、H 的数值关系以与正交性，得到
021021cos cos cos cos rp i t p ip
i t
E n n r E n n θθθθ-=
=
+
010212cos cos cos tp i
p ip
i t
E n t E n n θθθ=
=
+
综上所述，S 波与P 波的反射系数和透射系数的表达式为：
0120120210210101201021cos cos cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos rs i t s is i t
rp i t p
ip i t
ts i
s is i t tp i p ip i t E n n r E n n E n n r E n n E n t E n n E n t E n n θθθθ
θθθθθθθθθθ-?==?+?
?-==?+??
?==
?+?
?==
?+?
sin()sin()tan()tan()2cos sin sin()2cos sin sin()cos()i t s
i t i t p i t
i t s i t i t
p i t i t r r t t θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-?=-?+?
-?=?+??
?=?+?
?=?+-?
上面左边的式子就是著名的Fresnel 公式。利用折射定律，Fresnel 公式还可以写成右边的形式。
2.3 反射波和透射波的性质
2.3.1 n1 ①两个透射系数t s 和t p 都随着入射角i θ增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，t s 和t p 都大于零，即折射光不发生相位突变。 ② r s 始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s 分量振动方向始终与入射波s 分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。 ③对于r p ，它的代数值随着入射角i θ单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式 ，当0p r =时有90i t θθ+=，即sin cos i t θθ=，又由折射定律 12sin sin i t n n θθ=，联立可得此时入射角为布儒斯特角。布儒斯特定律内容： 如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p 分量，只有s 分量；反射角与折射角互为余角。 （2）反射率和透射率 上图中i A r A t A 为波的横截面面积，0A 为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为is I ，则每秒入射到界面上0A 面积的能量为 0cos is is i is i W I A I A θ== 又由光强表达式，上式可写成 21000||cos 2is is i n W E A c θμ= 类似地，反射光和折射光的能量表达式为 21000||cos 2rs rs i n W E A c θμ= 22000||cos 2ts ts t n W E A c θμ= 于是反射率和折射率分别为 2 2 21||cos cos ||cos cos rs rs s s is is ts t ts t s s is i is i W I R r W I W I n T t W I n θθθθ?===??? ?==?=??? 类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率R p和透射率T p： 2 2 2 1 || cos cos || cos cos rp rp p p ip ip tp tp t t p p ip i ip i W I R r W I W I n T t W I n θθ θθ ? === ? ? ? ?==?=? ? ? s R与 s T之间、 p R与 p T之间均存在‘互补’关系，即： 这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。 当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有： 222 |||||| i is ip E E E =+ 从而有： i is ip i is ip I I I W W W =+?=+ 类似还有r rs rp W W W =+，t ts tp W W W =+ 可以定义反射率R 和透射率T 为： ， 注意：入射光波的s 分量(p 分量)只对折射率、反射率的s 分量(p 分量)有贡献。 如果入射波中s 和p 分量的强度比为α，i is ip W W W α=+，则有： 1 []1s p R R R αα = ++和 即R 和T 分别是s R 、p R 和s T 、p T 的加权平均。 但是仍然有：1R T += 正入射时，s 分量和p 分量的差异消失。若用R 0和T 0表示此时的反射率和透射率，则有： 以与22 2212 002 1124()n n n T t n n n == + 利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(30i θ<)的反射率和透射率。 2.3.2 n1>n2的情况 这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。 由折射定律可知， t i θθ< 把90t θ=所对应的入射角称为全反射临界角，用c θ表示。即。 因此分i c θθ≤和i c θθ>两种情况来讨论。 （1）当i c θθ≤时 此时90t θ≤，可以直接用Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n 1 对于s 分量来说，当i c θθ<时，0s r >，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于p 分量来说，在i B θθ<范围内，0p r <，说明有半波损失，而在B i c θθθ<<范围内，0p r >，说明无半波损失。 注意，所以必然是B c θθ<，说明布儒斯特定律依然有效，同时也说明无论是n 1>n 2还是n 1 t s 和t p 均大于1，且随着i θ的增大而增大，但是这不意味着透射率T 大于 1以与T 必然随i θ的增大而增大。 （2）当i c θθ>时 因为全反射临界角满足。由该式可见，当i c θθ>时，会出现的现象，这显然是不合理的。此时折射定律12sin sin i t n n θθ=不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式。 由于t θ在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。 而i θ始终是实参量，为此应将cos t θ写成如下的虚数形式： cos t θ=== 有关 2 cosθ取虚数的物理意义与其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数 22 22 cos sin ||exp() cos sin i i s s rs i i i n r r i i n θθ ? θθ -- == +- 222 222 cos sin ||exp() cos sin i i s p rp i i n i n r r i n i n θθ ? θθ -- == +- 并且有 ||||1 s p r r == p 2 tan tan 22 r rs i n ? ? == 式中， 21 / n n n =，是二介质的相对折射率；|| s r、|| p r为反射光与入射光的 s分量、p分量光场振幅大小之比。 rs ?、 rp ?为全反射时，反射光中的s分量、p分量光场相对入射光的相位变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定： p rs r i ??? ?=-= 因此，在n一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。 当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？ 当把t s、t p的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现t s、t p都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波。在发生全反射时，光波场将透入到 第二个介质很薄的一层（约为光波波长）范围内，这个波叫倏逝波。 现假设介质界面为xOy 平面，入射面为xOz 平面，则在一般情况下可将透射波场表示为 00exp[()]exp[(sin cos )]t t t t t t t t t t E E i t k r E i t k x k z ωωθθ=--=--- 上式可改写为 0exp[(sin t t t t t t E E i t k x ik ωθ=--- 102 exp[(sin )]t t t t t i n E E k i t k x n ωθ=--- 这是一个沿着z 方向振幅衰减，沿着界面x 方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有cos t θ取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上存在的倏逝波。 倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质内部。因而全反射时Rs =1、t s ≠0和R p =1、t p ≠0并不违反能量守恒定律。 具体性质参看《物理光学与应用光学》P38 2.4 Stocks 倒逆关系 Stokes' reversible relation 可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。 如上左图所示，假设入射光束的振幅为A ，相应反射光束与折射光束为Ar ，At 。再设一束振幅为Ar 的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar ）相应反射和折射分别是Arr 、Art ；再设一束振幅为t 的光束逆向传播（上右图中橙色光束At ），相应反射和折射分别为A t r'、At t'。 由于最初的反射光行波和折射光行波r 、t 正逆抵消。则另外第二、第三象限的光束也抵消，得到斯托克斯倒逆关系，即： A 'A '0rr Att A rt Atr +=?? +=?（第二象限）（第三象限） 整理后，得 r 、t 为从n1介质到n2介质入射时的反射和折射系数； r'、t'为从n2到n1介质入射时的反射和折射系数。 时间的两种表示方式与时间公式的推导 物体运动状态分为运动和静止。当个别物体静止的时候，时间依然存在，就是说时间与个别物体的静止无关。 1，我们可以用运动表示时间。 时间认识有两种，一，当所有物体的运动都停止的时候，认为时间是不存在的，或者说时间也静止。这种认识认为a，当运动产生的时候，产生时间，时间开始流动。运动是时间的开始，运动结束的时候，时间终结。运动产生时间的不同，运动使时间具有不同的时刻。b,当个别物体静止的时候，时间依然存在。时间与个别物体的运动或静止无关，但时间与所有物体是否静止有关，当所有的物体都静止的时候，时间静止。 二，所有物体的运动都停止的时候，认为时间是存在的，时间与所有的物体是否静止无关。 2，我们可以用静止表示时间。物体静止的时候，时间依然存在，就是说时间与物体是运动还是静止无关，我们可以用静止表示时间。用静止表示的时间与运动表示的时间是一样的。 在机械运动中可以用物体在空间的位置的变化表示运动，不变表示静止，所以我们可以用{s}表示物体在空间的位置，s发生变化，那么{s}表示物体运动，s不发生变化，那么{s}表示物体静止。当用静止表示时间的时候，时间就是一个不能表示出变化的量，即{s}。或者说时间是一个不变的量。通常我们会把运动表示的时间即变化的时间强加于这种静止表示的时间之上，认为时间是运动的‘只不过，用静止表示的时候，无法把时间的运动表示出来，这与时间无关。静止物体的时间与运动的物体的时间是一样的，这段时间我们可以用运动表示出来，即{s}.为了区别不同，前者用{sa}表示，后者用{sb}表示，那么{sa}＝{sb}。单从数学上讲，这表示的是一个不变量与一个变量相等，一个定量与一个增量相等。通常我们用运动表示时间，那么时间是一个变量，一个增量。用静止描述时间，时间用静量或者说定量，不变量表示的时候，运动是无法描述的。[在热运动中，可以用{t}表示运动。] 从数学的角度讲，认为所有运动都停止的时候，时间依然存在的意义不大，或者说没有意义的。 静止{s}表示的时间的物理意义是什么？如果不能转换成运动表示，那么静止{s}表示的时间的物理意义就是时间是一个不变量。那么，当所有运动都停止的时候，时间是不变量。当个别物体静止的时候，此时，在其他运动的物体看来，它是运动的，运动与静止具有相对性。 另外就是静止物体的时间可以用运动物体来表示。 从物理的角度看，时间是一个静量【或说定量，不变量】是没有意义的，时间是动量【动量作变化的量讲】，才有意义。从这里讲，那么运动的开始，是时间的起点；运动结束，时间停止。运动与时间同步。时间与运动具有相同的量。这里的运动指的是‘运动‘这种运动状态。物体是运动的，与物体运动快慢无关。我们不能说‘运动快的物体，物体是运动的，运动慢的物体，物体就不是运动的’。运动的快慢是对运动状态的描述，与运动过程的长短无关。不能说运动快的物体，运动过程就长，运动慢的物体，运动过程就短。运动过程或说运动过程的长短就是运动的量。运动过程长，运动的量就大，运动过程短，运动的量就小。运动的量就是时间的量。 我们用运动表示时间，用时间描述运动，其实就是用运动描述运动。 所有的物体都是处在同一个空间的，物体是运动还是静止都与其他物体的运动状态相对应。 简单说就是物体之间是相互对应的。或者可以说成，运动与运动是相互对应的。 运动与运动是相互对应的，所有的物体都处在同一时刻，对于一个时刻来说，可以说是静止的。对于任一个时刻，物体都是静止的。那么，为什么我们感觉运动是实实在在的呢？是通过对比。我们说物体是运动的，是因为两个物体间空间间隔发生变化，我们通过物体空间位 学生姓名年级授课时间教师姓名课时 教学目标掌握匀变速运动位移与时间的关系并运用（知道其推导方法）；掌握位移与速度的关系并运用。重点难点表达式：x = v0 + at2/2、v2 - v02 = 2ax .运用公式解决具体问题。 自由落体运动 对于自由落体运动，我们有哪些方法来获得（测量到）它的运动信息？ 利用打点计时器纸带法。 实验(记录自由落体的运动信息) 分析实验结果： 思考 1、位移与时间的关系？ 2、速度如何算？速度与时间的关系？ 3、加速度如何算？加速度与时间的关系？ 作业 教学效果/ 课后反思 学生自评针对本堂收获和自我表现（对应指数上打√） ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 签名 2 gt v t = 自由落体运动规律的公式： 221gt s = gs v t 22= g ：自由落体的加速度，重力加速度 说明：在同一地点，从同一高度同时自由下落的同物体，下落快慢相同，同时到达地面。 ①定义：在同一地点，做自由落体运动的物体均具有相同的加速度，这个加速度叫 自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g 表示。 ②方向：竖直向下，它的标准值：g=9.8m/s 2 ③经过对不同地区g 值的精确测量，可以发现地球上不同地方g 值不同。 应用： 1、 一个小球在离地面200米处以Vo 的速度向上运动,9秒末的速度大小是2Vo,求几秒后落 地? 2.一条铁链长5米，铁链上端悬挂在某一点，放开后让它自由下落，铁链经过悬点正下方 25米处某一点所用的时间是多少。（取g=10m/s) 3.一物体从某一高度自由下落，经过一高度为2米的窗户用时间0.4秒，g 取10m/s.则物体 开始下落时的位置距窗户上檐的高度是多少米。 4、有两个小球，一个小球从屋顶往下放，另一个小球在距离屋顶b 米处，当屋顶的小球下 落到a 米时，开始放另一个小球，最后两个小球同时落地。求屋的高度 5、一物体自由下落,先后经过A.B.C 三点,经过ab 和bc 相隔时间相等,已知ab=23m,bc=33m, 求物体开始下落点离A 点的高度. 机械加工时间定额的计算公式和方法 2、刨削、插削 所用符号机加工工时定额,机械加工定额,机加工工时,定额计算方法,加工中心定额,工时 tj——机动时间(min) L——切刀或工作台行程长度(mm) 1——被加工工件长度(mm) 11——切入长度(mm) 12——切出长度(mm) 13——附加长度(mm) 14——行程开始超出长度(mm) 15——行程结束时超出长度(mm) B——刨或插工件宽度(mm) h——被加工槽的深度或台阶高度(mm) U——机床平均切削速度(m/min) f——每双行程进给量(mm) i——走刀次数 n——每分钟双行程次数 n=(1000×VC)/L×(1+K) 注： 龙门刨：K=0.4-0.75 插床：K=0.65-0.93 牛头刨：K=0.7-0.9 单件生产时上面各机床K=1 ①插或刨平面 tj=(B+12+13)×i/(f×n)=2×(B×11+12+13)×i/(f×Um×1000)(min) ②刨或插槽 tj=(h+1)×i/(f×n)=(h+1)×i×L/(f×Um×1000)(min) 注： 龙门刨：14+15=350mm 牛头刨：14+15=60mm(各取平均值) ③刨、插台阶 tj=(B+3)×i/(f×n)(横向走刀刨或插)(min) tj=(h+1)×i/(f×n)(垂直走刀刨或纵向走刀插)(min) 3、钻削或铰削 所用符号机加工工时定额,机械加工定额,机加工工时,定额计算方法,加工中心定额,工时 tj——机动时间(min)1——加工长度(mm) 11——切入长度(mm)11——切出长度(mm) f——每转进给量(mm/r)n——刀具或工件每分钟转数(r/min) Φ——顶角(度)D——刀具直径(mm) L——刀具总行程=1+11+12(mm) 钻削时：11=1+D/[2×tg(Φ/2)]或11≈0.3P(mm) 荥阳高中高一物理第二章匀变速直线运动的研究制作人：于天然审核人：胡艳丽 第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系 【教学目标】 1、体会数学微分与极限思想在物理中的应用； 2、理解位移时间公式的推导过程与思想 3．理解位移时间公式，掌握用其解题的思路与注意事项 【教学过程】 一、复习回顾： 1、匀速直线运动是不变的运动，其v-t图像是。 匀速直线运动的位移与时间的关系式：。 2、匀变速直线运动是不变的运动，其v-t图像是。 其特点是在相等的时间内，相同。 物体做匀变速直线运动时，速度和时间的关系：。 3、物体做匀变速直线运动，若满足，则物体做匀加速直线运动， 若满足，则物体做匀减速直线运动。 二、匀速直线运动的位移 【例1】一质点沿一直线做匀速直线运动。其速度为3m/s，则在2s内该质点走过的位移为多少？在v-t图像中如何表示？ 【思考】图中图线与坐标轴所围成的面积为。 小结：在匀速直线运动的v-t图像中，可以用来表示物体发生的位移。 三、探究匀变速直线运动的位移和时间关系 1、通过阅读课本第38页“匀变速直线运动位移”在推导匀变速直线运动的位移公式时 采用的数学思想是，结合图像试推导出在时间t内匀变速直线 运动的位移公式：。其中各个物理量的含义是什么？ 2、对于该公式的理解： ①该公式为式，代入数据计算时各个物理量要求。 ②如果匀变速直线运动的初速度为0，该公式可以简化为。 3、结合课本第39页例题，总结求解物理计算题时的基本步骤。并完成第40页课后习题第2、3题。 1 使用时间：2016年9月13日周二单印1×1200 学号：姓名： 【例2】一辆汽车以20m/s的速度行驶，现因故刹车，并最终停止运动，已知汽车刹车过程中的加速度大小是5m/s2。则汽车从开始刹车经过5s所通过的距离是多少？ 【例3】从车站开出的汽车，做匀加速运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20s，行进了50m，求汽车的最大速度。 【随堂练习】 1、物体的位移随时间变化的函数关系式为x=4t+2t2，x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是（） A、4m/s和2m/s2 B、0和4m/s2 C、4m/s和4m/s2 D、4m/s和0 2、汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后6s汽车通过的位移之比为（） A、1：1 B、3：1 C、3：4 D、4：3 3、正以30m/s的速率运行中的列车，街道前方小站的请求：在该站停靠1min，接一个垂危病人上车。列车决定先以加速度大小是0.6m/s2匀减速直线运动到小站恰停止，停车1min后再以1.0m/s2的加速度匀加速直线启动，直到恢复到原来的速度行驶。求该列车由于临时停车，共耽误多少时间？ 2 Chapter 1 理论基础 1.1 介质中的Maxwell ’s equations 与物质方程 微分形式 =t =J+t ==0B E D H D B ρ????-? ?? ??????? ??? ?? （1-1） 传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程） 00==()J=D E E P B H H M E εεμμσ?=+?? =+???? （1-2） 麦克斯韦方程组与物质方程描写了整个电磁场空间与全时间过程中电磁场的分布与变化情况。因此，所有关于电磁波的产生与传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键与核心。 1.2 积分形式与边界条件 由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。 积分形式 0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ? =-?? ?=+?? ? =?? =???????????? （1-3） 得边界条件为 （1-4） 式 （1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）： （1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。 （2）α为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。 （3）σ为界面上的自由电荷面密度。 （4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。 时间的推导公式 关键字;时间，公式，相对论，力学，运动，时间的由来作者：中国吴兴广 前言我初看<论证时间是所有运动物体的一个共量>的时候，觉得很有感触，而再看时，好像文中又没说什么。你是否有这样的疑问？你是怎么看《时间的本质之时间的由来的》?正文在经典力学中，我们认为时间是一个与运动无关的量。可以说时间是一个自变量，因此我们选择了时间作为基本量，这个有基本单位s.在这里时间与运动无关，运动大小不影响时间。时间可以用来描述运动，描述运动的大小。根据V=S/T（T为自变量）推出T=S/V.其中T表示时间，S表示位移，V表示速度。在公式T=S/V中我们认为T是自变量，公式的意义是我们可以根据物体的位移与速度求出时间来。我们是站在T是自变量的角度看这个公式的。在相对论中，在时间是一个自变量的观点上，根据绝对速度得出时间具有相对性，时间是一个与运动物体有关的，随着运动的越大而越慢。因此我认为无论经典力学还是相对论都是以时间是一个自变量为出发点的，是从我们可以用钟表表示时间出发来认识时间的。那么为什么钟表可以表示时间？时间从哪里来的？时间一直是一个自变量吗？ 不是的。 在没有时间的概念以前，时间是这样来的。还得从钟表说起，钟表不表示时间以前是作什么的？通过对参考系的理解，发现，钟表起的作用与参考系类似。钟表以自身运动的大小为标准来描述物体运动的大小。参考系本身作用是作一个定点，我们通过参考系可以描述一个物体运动的长短(或运动的多少)，但是参考系无法描述出一个物体的运动大小。因此，我们找来一个运动的物体作为标准来描述物体运动的大小。这就是钟表的最初由来。这个物体就是钟表。 在描述物体运动的大小或比较不同的物体的运动大小时， 我们发现运动的物体有一个共同的量，所有运动的物体都有这个量。【1】这个量是同一的，是一样的。这个量还是个变量。这个量就是：作为标准的物体以本身的运动（大小）经过的空间。物体经过的空间就是运动的长短或说位移。用公式表示就是，运动的长短/运动的大小=这个共同的量。用现在的符号，用数学公式表示就是T=S/V.这个共同的量就是T,与运动的大小无关。1)运动大（或快）的物体与运动小的物体都有这个量，并且相等。2）因为与运动的大小无关，因此一个物体运动大时与运动小时的组合，这个量也是不变的。那么运动的大小发生改变时也与这个量无关。3)这个变量是一个因变量，因运动物体经过空间的变化而变化。具体的见《时间的本质之时间的由来》。后来我们就用这个原本用来测量其他物体运动大小的物体来表示这个共同的量，即时间。S/V是这个量，这是个因变量，T=S/V是这个量的公式。时间的来自哪里？时间来自运动，没有运动，就没有时间。T=S/V，这里的时间单位是一个推导单位，由S/V得出。与力的单位F有些类似。 当我们把这个量从所有的物体中提出来或者说用钟表表示这个量的时候，这个量就变成一个与所描述物体的运动大小无关的量，与运动的大小改不改变无关的量。这时，我们认为时间是一个自变量。在经典力学中，我们对时间的认识是从这开始的。我们把时间选为基本量，用来描述其它的物理量。例如，根据V=S/T得出运动的大小V的单位。 我认为相对论则直接从时间是一个自变量出发（未考虑没有用钟表表示时间以前的阶段，未考虑时间的由来）,根据绝度速度推出时间与运动的关系。而这个结论与绝对速度有关，与绝度速度的大小无关。（即只要有绝对速度，无论大小都能得出。） 同样是公式T=S/V，我们对时间的理解不一样，就可造成意义的不同。 首先我们描述运动的大小的时候，发现这个量，这个量就等于S/V。后来我们用时间表示这个量，用T表示时间。所以T=S/V。在这里公式T=S/V表示时间的由来，时间是一个因变量。T说的是所有物体的共量。T说的是所有物体的时间。 当我们发现这是一个共量，时间是相同的时候，我们用一个物体的运动大小表示所有的物体 简谐运动周期公式的推导 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标 系。 图2 图 3 图4 则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 图5 物理常见公式的推导 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT- 高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1 、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： F1－F2 F F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物 体，所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2 )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O f静 f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= gV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G Mm R h m () + = 2 V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π 简谐振动及其周期公式的推导与证明 简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。 位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的 一 般式：)cos(?ω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）； 振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移； 全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程； 频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示； 周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示； 角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ； 相位：?ωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率 就是角频率，即dt d φω=； 初相：位移一般式中?表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态； 回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。（因此回复力同向心力是一种效果力） 如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得： )cos(2?ωω+-=t A a 又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式： kx x m F -=-=2ω 由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。 式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。 简谐振动周期公式：k m T π 2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。 单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。 我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式： L x ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为 F=mgsin θ， 物体运动状态分为运动和静止.当个别物体静止地时候，时间依然存在，就是说时间与个别物体地静止无关. ，我们可以用运动表示时间. 时间认识有两种，一，当所有物体地运动都停止地时候，认为时间是不存在地，或者说时间也静止.这种认识认为，当运动产生地时候，产生时间，时间开始流动.运动是时间地开始，运动结束地时候，时间终结.运动产生时间地不同，运动使时间具有不同地时刻.,当个别物体静止地时候，时间依然存在.时间与个别物体地运动或静止无关，但时间与所有物体是否静止有关，当所有地物体都静止地时候，时间静止.文档来自于网络搜索 二，所有物体地运动都停止地时候，认为时间是存在地，时间与所有地物体是否静止无关.，我们可以用静止表示时间.物体静止地时候，时间依然存在，就是说时间与物体是运动还是静止无关，我们可以用静止表示时间.用静止表示地时间与运动表示地时间是一样地.文档来自于网络搜索 在机械运动中可以用物体在空间地位置地变化表示运动，不变表示静止，所以我们可以用{}表示物体在空间地位置，发生变化，那么{}表示物体运动，不发生变化，那么{}表示物体静止.当用静止表示时间地时候，时间就是一个不能表示出变化地量，即{}.或者说时间是一个不变地量.通常我们会把运动表示地时间即变化地时间强加于这种静止表示地时间之上，认为时间是运动地‘只不过，用静止表示地时候，无法把时间地运动表示出来，这与时间无关.静止物体地时间与运动地物体地时间是一样地，这段时间我们可以用运动表示出来，即{}.为了区别不同，前者用{}表示，后者用{}表示，那么{}＝{}.单从数学上讲，这表示地是一个不变量与一个变量相等，一个定量与一个增量相等.通常我们用运动表示时间，那么时间是一个变量，一个增量.用静止描述时间，时间用静量或者说定量，不变量表示地时候，运动是无法描述地.[在热运动中，可以用{}表示运动.]文档来自于网络搜索 从数学地角度讲，认为所有运动都停止地时候，时间依然存在地意义不大，或者说没有意义地. 静止{}表示地时间地物理意义是什么？如果不能转换成运动表示，那么静止{}表示地时间地物理意义就是时间是一个不变量.那么，当所有运动都停止地时候，时间是不变量.当个别物体静止地时候，此时，在其他运动地物体看来，它是运动地，运动与静止具有相对性.另外就是静止物体地时间可以用运动物体来表示.文档来自于网络搜索 从物理地角度看，时间是一个静量【或说定量，不变量】是没有意义地，时间是动量【动量作变化地量讲】，才有意义.从这里讲，那么运动地开始，是时间地起点；运动结束，时间停止.运动与时间同步.时间与运动具有相同地量.这里地运动指地是‘运动‘这种运动状态.物体是运动地，与物体运动快慢无关.我们不能说‘运动快地物体，物体是运动地，运动慢地物体，物体就不是运动地’.运动地快慢是对运动状态地描述，与运动过程地长短无关.不能说运动快地物体，运动过程就长，运动慢地物体，运动过程就短.运动过程或说运动过程地长短就是运动地量.运动过程长，运动地量就大，运动过程短，运动地量就小.运动地量就是时间地量.文档来自于网络搜索 我们用运动表示时间，用时间描述运动，其实就是用运动描述运动. 所有地物体都是处在同一个空间地，物体是运动还是静止都与其他物体地运动状态相对应.简单说就是物体之间是相互对应地.或者可以说成，运动与运动是相互对应地.文档来自于网络搜索 运动与运动是相互对应地，所有地物体都处在同一时刻，对于一个时刻来说，可以说是静止地.对于任一个时刻，物体都是静止地.那么，为什么我们感觉运动是实实在在地呢？是通过对比.我们说物体是运动地，是因为两个物体间空间间隔发生变化，我们通过物体空间位置地变化，说物体是运动地.我们通过感受物体空间位置地变化，来说物体是运动地.而物体空 高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力：G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1 、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围：? F1－F2 ?≤ F≤ F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体， 所受合外力为零。 F合=0 或：F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力：f= μ F N 说明：①F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围：O≤ f静≤ f m(f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力：F= ρgV (注意单位) 7、万有引力：F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2)G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量，R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表面 的高度） a 、万有引力=向心力 G V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π 高中地理计算公式 一、时间的计算 1、求时区： 时区数＝已知经度／15°（商四舍五入取整数，即为时区数） 2、求区时： 所求区时＝已知区时±时区差（东加西减） 3、求地方时： 所求地方时＝已知地方时±4分钟／度×经度差（东加西减） 二、太阳高度的计算 1、求正午太阳高度： H＝90°－︱纬度差︱（纬度差指当地纬度与太阳直射纬度之间的差） 2、求子夜太阳高度： H＝︱纬度和︱－90°（纬度和指当地纬度与太阳直射纬度之间的和） 3、求南北两楼的楼间距： L＝h?cotH (h为楼高，H为该地一年中最小的正午太阳高度) 三、昼夜长短的计算 1、求昼长： （1）昼长＝昼弧∕15° （2）昼长＝日落时间－日出时间 （3）昼长＝24－夜长 （4）昼长＝（12－日出地方时）×2 （5）昼长＝（日落地方时－12） 2、求夜长 （1）夜长＝夜弧∕15° （2）夜长＝24－昼长 （3）夜长＝（24－日落地方时）×2 （4）北半球某纬度的夜长＝南半球同纬度的昼长 四、日出、日落时刻的计算 １、求日出时刻： （1）日出时刻＝当地纬线与晨线交点的时刻（2）日出时刻＝12－昼长∕2 2、求日落时刻： （1）日落时刻＝当地纬线与昏线交点的时刻（2）日落时刻＝12＋昼长∕2 五、球面距离的计算 （1）赤道和经线上的距离111Km×度数 （2）纬线上的距离＝111Km×度数?COSθ(θ为当地的纬度) （3）对趾点的计算:经度互补,一东一西；纬度相等,一南一北。 六、比例尺的计算 （1）比例尺＝图上距离∕实地距离 （2）缩放图幅面积＝原图幅面积×比例尺缩放的平方 七、相对高度的计算 （1）陡崖相对高度：（n－1）d≤H＜(n＋1)d (n为等高线条数，d为等高距) （2）H＝T∕6°×1000米 (H为两地相对高度,T为两地温差) 2010～2011学年第一学期 MATLAB 课程 1、用MATLAB 语言，绘制SPR 理论中 r p 、r s 、R 对于入射角和折率比值n=n 1/n 2的二维和三维图形,其中n 的范围为（0.6，1.5），并结合每一个图形分析其特点及物理意义。 2211211222211211 cos 1sin cos cos cos cos cos 1sin p n n n n r n n n n θθθθθθθθ---==++- 2211112222112211 cos 1sin cos cos cos cos cos 1sin s n n n n r n n n n θθθθθθθθ---==++- (其中r p 为反射光中平行分量的反射系数；r s 为反射光中垂直分量的反射系数； R-反射率；n 1、n 2分别表示两种不同介质的折射率) 答案： 程序： （1）%反射系数r ，和反射率R 与折射率之比n 的关系； clear; clc; clf; n=0.6:0.05:1.5; zeta1=pi/10; %入射角 zeta2=real(asin(n.*sin(zeta1))); %折射角 rpz=-n.*cos(zeta2)+cos(zeta1); %平行分量反射部分分子 rpm=n.*cos(zeta2)+cos(zeta1); %平行分量反射部分分母 rp=rpz./rpm; %平行分量反射系数 rsz=n.*cos(zeta1)-cos(zeta2); %垂直分量反射部分分子 rsm=n.*cos(zeta1)+cos(zeta2); %垂直分量反射部分分母 rs=rsz./rsm; %垂直分量反射系数 Rp=rp.^2; %平行分量反射率 Rs=rs.^2; %垂直分量反射率 t=0.6:0.005:1.5; y=0; y1=-0.4:0.005:0; t1=1; plot(n,rp,'c',n,rs,'*:',n,Rp,'k-',n,Rs,'g',t,y,'-',t1,y1,'-') text(1.3,-0.1,'rp'); text(1.2,0.09,'rs'); text(0.65,0.023,'Rp'); text(0.65,0.065,'Rs'); text(0.9,-0.2,'(n<1)'); text(1.2,-0.2,'(n>1)'); title('relationships between rp,rs,Rp,Rs and n=n1/n2'); 时间计算公式 The final edition was revised on December 14th, 2020. 高中地理计算公式 一、时间的计算 1、求时区： 时区数＝已知经度／15°（商四舍五入取整数，即为时区数） 2、求区时： 所求区时＝已知区时±时区差（东加西减） 3、求地方时： 所求地方时＝已知地方时±4分钟／度×经度差（东加西减） 二、太阳高度的计算 1、求正午太阳高度： H＝90°－︱纬度差︱（纬度差指当地纬度与太阳直射纬度之间的差）2、求子夜太阳高度： H＝︱纬度和︱－90°（纬度和指当地纬度与太阳直射纬度之间的和） 3、求南北两楼的楼间距： L＝h?cotH (h为楼高，H为该地一年中最小的正午太阳高度) 三、昼夜长短的计算 1、求昼长： （1）昼长＝昼弧∕15° （2）昼长＝日落时间－日出时间 （3）昼长＝24－夜长 （4）昼长＝（12－日出地方时）×2 （5）昼长＝（日落地方时－12） 2、求夜长 （1）夜长＝夜弧∕15° （2）夜长＝24－昼长 （3）夜长＝（24－日落地方时）×2 （4）北半球某纬度的夜长＝南半球同纬度的昼长 四、日出、日落时刻的计算 １、求日出时刻： （1）日出时刻＝当地纬线与晨线交点的时刻（2）日出时刻＝12－昼长∕ 2 2、求日落时刻： （1）日落时刻＝当地纬线与昏线交点的时刻（2）日落时刻＝12＋昼长∕2 五、球面距离的计算 （1）赤道和经线上的距离111Km×度数 （2）纬线上的距离＝111Km×度数?COSθ(θ为当地的纬度) （3）对趾点的计算:经度互补,一东一西；纬度相等,一南一北。 六、比例尺的计算 （1）比例尺＝图上距离∕实地距离 （2）缩放图幅面积＝原图幅面积×比例尺缩放的平方 七、相对高度的计算 （1）陡崖相对高度：（n－1）d≤H＜(n＋1)d (n为等高线条数，d为等高距) （2）H＝T∕6°×1000米 (H为两地相对高度,T为两地温差) 八、有关人口的计算 （1）人口密度＝人口数∕总面积 重点高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 周期公式 序号公式T 理解或者公式特点例题1 自变量的和不是常数，两个自变量之差是 常数，两个函数值相加为常数。 2 即是上一个公 式的特例 2a 两个自变量之差是常数。两个函数值相加 为常数。 3 2a 正负号，倒数，两个自变量之差是常数。 4 4a 类似第3个公。 5 2a 类似第3个公式。 6 例如： 整理后： 令x=x+1得到： 6a 两个函数值之和等于另一个函数值，且两 个作为加数的函数的自变量是 7 图像向左平移a个单位，和向左平移b个 单位重合。原来两个点x坐标差的距离就 是他们的周期。两个自变量之差是常数， 两个函数值相等。 8 函数f(x)的图像S有两个对称轴 x=a,x=b（a≠b） 2|a-b| 对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自 对称这两个知识点相关 9 函数f(x)的图像S有两个对称中心 和（a≠b） 2|a-b| 对称中心多和奇函数以及一个函数图像的 自对称这两个知识点相关 10 函数f(x)的图像S有一个对称中心 和一条对称轴x=a，（a≠b） 4|a-b| 知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像 的自对称 以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。 解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。 1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则 解：令x=0，f(0)=0; 令，； 令，； 令，； ∴ 2.定义在R上的函数f(x)满足，则f(2009)= 解：整理， 得到 令x=x+1得到，时间的两种表示方式与时间公式的推导
运动学推导公式
机械加工时间定额的计算公式和方法
第3节位移和时间关系(1)公式的推导
菲涅耳公式 折反射定律
时间的推导公式
简谐运动周期公式的推导
物理常见公式的推导
简谐振动及其周期推导与证明
时间的两种表示方式与时间公式的推导
物理常见公式的推导
时间计算公式
matlab-对菲涅尔公式画图
时间计算公式
重点高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程