《有限元基础教程》_【MATLAB算例】3.3.7(2)__三梁平面框架结构的有限元分析(Beam2D2Node)

【MA TLAB 算例】3.3.7(2) 三梁平面框架结构的有限元分析

(Beam2D2Node)

如图3-19所示的框架结构，其顶端受均布力作用，结构中各个

截面的参数都为：113.010Pa E =?，746.510I m -=?，426.810A m -=?。试基

于MA TLAB 平台求解该结构的节点位移以及支反力。

图3-19 框架结构受一均布力作用

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

（1） 结构的离散化与编号

将该结构离散为3个单元，节点位移及单元编号如图3-20所示，

有关节点和单元的信息见表3-5。

（a ） 节点位移及单元编号

（b）等效在节点上的外力

图3-20 单元划分、节点位移及节点上的外载

（2）各个单元的描述

首先在MA TLAB环境下，输入弹性模量E、横截面积A、惯性矩I和长度L，然后针对单元1，单元2和单元3，分别二次调用函数Beam2D2Node_ElementStiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)，且单元2和单元3的刚度矩阵相同。

>> E=3E11;

>> I=6.5E-7;

>> A=6.8E-4;

>> L1=1.44;

>> L2=0.96;

>> k1=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L1);

>> k2=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L2);

（3）建立整体刚度方程

将单元2和单元3的刚度矩阵转换成整体坐标下的形式。由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK(12×12)，对KK清零，然后两次调用函数Beam2D2Node_Assemble进行刚度矩阵的组装。

>>

T=[0,1,0,0,0,0;-1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,0,1] ;

>> k3=T'*k2*T;

>> KK=zeros(12,12);

>> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k1,1,2);

>> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,3,1); >> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,4,2) KK = 1.0e+008 * 1.4431 0 0.0127 -1.4167 0 0 -0.0264 0 0.0127 0 0 0 0 2.1328 0.0056 0 -0.0078 0.0056 0 -2.1250 0 0 0 0 0.0127 0.0056 0.0135 0 -0.0056 0.0027 -0.0127 0 0.0041 0 0 0 -1.4167 0 0 1.4431 0 0.0127 0 0 0 -0.0264 0 0.0127 0 -0.0078 -0.0056 0 2.1328 -0.0056 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0.0056 0.0027 0.0127 -0.0056 0.0135 0 0 0 -0.0127 0 0.0041 -0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0 0 0 2.1250 0 0 0 0 0.0127 0 0.0041 0 0 0 -0.0127 0 0.0081 0 0 0 0 0 0 -0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0 0 0 2.1250 0 0 0 0 0.0127 0 0.0041 0 0 0 -0.0127 0 0.0081

（4） 边界条件的处理及刚度方程求解

该问题的位移边界条件为0444333======θθv u v u 。因此，将针

对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点2的位移将对应

KK 矩阵中的前6行和前6列，则需从KK (12×12)中提出，置给k ，然

后生成对应的载荷列阵p ，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB

中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。

>> k=KK(1:6,1:6); >> p=[3000;-3000;-720;0;-3000;720]; >> u=k\p u = 0.0009 -0.0000 -0.0014 0.0009 -0.0000 -0.0000 [将列排成了行]

（5）支反力的计算

在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出

对应的支反力；先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移

进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(12×1)，再代

回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式(3-180)的对

应关系就可以找到对应的支反力。

>> U=[u;0;0;0;0;0;0]

U = 0.0009 -0.0000 -0.0014 0.0009 -0.0000 -0.0000 [将列排成了行]

0 0 0 0 0 0 [将列排成了行]

>> P=KK*U

P = 1.0e+003 *

3.0000 -3.0000 -0.7200 0.0000 -3.0000 0.7200 [将列排成了行]

-0.6658 2.2012 0.6014 -2.3342 3.7988 1.1283 [将列排成了行]

matlab有限元分析实例

MATLAB: MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图像处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、机器人，控制系统等领域。 MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室），软件主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。 MATLAB有限元分析与应用:

《MATLAB有限元分析与应用》是2004年4月清华大学出版社出版的图书，作者是卡坦，译者是韩来彬。 内容简介： 《MATLAB有限元分析与应用》特别强调对MATLAB的交互应用，书中的每个示例都以交互的方式求解，使读者很容易就能把MATLAB用于有限分析和应用。另外，《MATLAB有限元分析与应用》还提供了大量免费资源。 《MATLAB有限元分析与应用》采用当今在工程和工程教育方面非常流行的数学软件MATLAB来进行有限元的分析和应用。《MATLAB有限元分析与应用》由简单到复杂，循序渐进地介绍了各种有限元及其分析与应用方法。书中提供了大量取自机械工程、土木工程、航空航天工程和材料科学的示例和习题，具有很高的工程应用价值。

结构力学实验-平面桁架结构的设计

结构力学实验土木建筑学院 实验名称：平面桁架结构的设计 实验题号:梯形桁架D2-76 姓名: 学号： 指导老师: 实验日期:

一、实验目的 在给定桁架形式、控制尺寸和荷载条件下，对桁架进行内力计算，优选杆件截面，并进行刚度验算。 ①掌握建立桁架结构力学模型的方法，了解静定结构设计的基本过程； ②掌握通过多次内力和应力计算进行构件优化设计的方法； ③掌握结构刚度验算的方法。 梯形桁架D ；其中结点1到结点7的水平距离为15m；结点1到结点8的距离为2m；结点7到结点14的距离为3m。选用的是Q235钢，[ɑ]=215MPa。

完成结构设计后按如下步骤计算、校核、选取、设计、优化 二、强度计算 1）轴力和应力 2）建立结构计算模型后，由“求解→内力计算”得出结构各杆件的轴力N（见图3）再由6=N/A得出各杆件应力。 表1内力计算 杆端内力值 ( 乘子 = 1) -------------------------------------------------------------------------------------------- 杆端 1 杆端 2 ------------------------------------- ------------------------------------------ 单元码轴力剪力弯矩轴力剪力弯矩 -------------------------------------------------------------------------------------------- 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 51.9230769 0.00000000 0.00000000 51.9230769 0.00000000 0.00000000 3 77.1428571 0.00000000 0.00000000 77.1428571 0.00000000 0.00000000 4 67.5000000 0.00000000 0.00000000 67.5000000 0.00000000 0.00000000 5 39.7058823 0.00000000 0.00000000 39.7058823 0.00000000 0.00000000 6 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 -54.0000000 0.00000000 0.00000000 -54.0000000 0.00000000 0.00000000 8 -52.0383336 0.00000000 0.00000000 -52.0383336 0.00000000 0.00000000 9 -77.3140956 0.00000000 0.00000000 -77.3140956 0.00000000 0.00000000 10 -81.1798004 0.00000000 0.00000000 -81.1798004 0.00000000 0.00000000 11 -81.1798004 0.00000000 0.00000000 -81.1798004 0.00000000 0.00000000 12 -67.6498337 0.00000000 0.00000000 -67.6498337 0.00000000 0.00000000 13 -39.7940198 0.00000000 0.00000000 -39.7940198 0.00000000 0.00000000 14 -54.0000000 0.00000000 0.00000000 -54.0000000 0.00000000 0.00000000 15 66.4939824 0.00000000 0.00000000 66.4939824 0.00000000 0.00000000 16 -41.5384615 0.00000000 0.00000000 -41.5384615 0.00000000 0.00000000 17 33.3732229 0.00000000 0.00000000 33.3732229 0.00000000 0.00000000 18 -21.8571428 0.00000000 0.00000000 -21.8571428 0.00000000 0.00000000 19 5.27613031 0.00000000 0.00000000 5.27613031 0.00000000 0.00000000 20 -18.0000000 0.00000000 0.00000000 -18.0000000 0.00000000 0.00000000 21 19.7385409 0.00000000 0.00000000 19.7385409 0.00000000 0.00000000 22 -31.5000000 0.00000000 0.00000000 -31.5000000 0.00000000 0.00000000 23 42.0090820 0.00000000 0.00000000 42.0090820 0.00000000 0.00000000 24 -47.6470588 0.00000000 0.00000000 -47.6470588 0.00000000 0.00000000 25 62.0225709 0.00000000 0.00000000 62.0225709 0.00000000 0.00000000

第七专题平面桁架结构

平面桁架结构 一、平面桁架的形式 1．屋盖结构体系 屋盖分为无檩屋盖有檩屋盖。无檩屋盖一般用于预应力混凝土大型屋面板等重型屋面，将屋面板直接放在屋架上。有檩屋盖常用于轻型屋面材料的情况。 2．屋架的形式 屋架外形常用的有三角形、梯形、平行弦和人字形等。 桁架外形应尽可能与其弯矩图接近，这样弦杆受力均匀，腹杆受力较小。腹杆的布置应尽量用长杆受拉、短杆受压，腹杆的数目宜少，总长度要短，斜腹杆的倾角一般在30°～60°之间，腹杆布置时应注意使荷载都作用在桁架的节点上。 （1）三角形桁架 三角形桁架适用于陡坡屋面（i＞1/3）的有檩屋盖体系，屋架通常与柱子只能铰接。弯矩图与三角形的外形相差悬殊，弦杆受力不均，支座处内力较大，跨中内力较小，弦杆的截面不能充分发挥作用。支座处上、下弦杆交角过小内力又较大，使支座节点构造复杂。 （2）梯形桁架 梯形屋架适用于屋面坡度较为平缓的无檩屋盖体系，它与简支受弯构件的弯矩图形比较接近，弦杆受力较为均匀。梯形屋架与柱的连接可以做成铰接也可以做成刚接。梯形屋架的中部高度一般为（1/10～1/8）L，与柱刚接的梯形屋架，端部高度一般为（1/16～1/12）L，通常取为2.0～2.5m。与柱铰接的梯形屋架，端部高度可按跨中经济高度和上弦坡度决定。 （3）人字形桁架 人字形屋架的上、下弦可以是平行的，坡度为1/20～1/10，节点构造较为统一；也可以上、下弦具有不同坡度或者下弦有一部分水平段，以改善屋架受力情况。人字形屋架因中高度一般为2.0～2.5m，跨度大于36m时可取较大高度但不宜超过3m；端部高度一般为跨度的1/18～1/12。 （4）平行弦桁架 平行弦桁架在构造方面有突出的优点，弦杆及腹杆分别等长、节点形式相同、能保证桁架的杆件重复率最大，且可使节点构造形式统一，便于制作工业化。 3．托架形式 支承中间屋架的桁架称为托架，托架一般采用平行弦桁架，其腹杆采用带竖杆的人字形体系。托架高度般取跨度的1/5～1/10，托架的节间长度一般为2m或3m。 二、屋盖支撑

有限元的MATLAB解法

有限元的MATLAB解法 1.打开MATLAB。 2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。 3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标） 用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。 4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。 5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击

“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。 6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。 7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。 8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。 9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单击“Plot”按钮，显示三维图形解。 10.如果要画等值线图和矢量场图，单击“Plot”菜单下“Parameters”选项,打开“Plot Selection”对话框。选中Contour和Arrows两项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图。 11.将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution”,再点击“Mesh”中“Export Mesh”。

基于MATLAB的平面刚架静力分析

基于MATLAB 的平面刚架静力分析 为了进一步理解有限元方法计算的过程，本文根据矩阵位移法的基本原理应用MATLAB 编制计算程序对以平面刚架结构进行了静力分析。本文还利用ANSYS 大型商用有限元分析软件对矩阵位移法的计算结果进行校核，发现两者计算结果相当吻合，验证了计算结果的可靠性。 一、 问题描述 如图1所示的平面刚架，各杆件的材料及截面均相同，E=210GPa ，截面为0.12×0.2m 的实心矩形，现要求解荷载作用下刚架的位移和内力。 5m 4m 3m 图1 二、矩阵位移法计算程序编制 为编制程序方便考虑，本文计算中采用“先处理法”。具体的计算步骤如下。

（1） 对结构进行离散化，对结点和单元进行编号，建立结构（整体）坐标系 和单元（局部）坐标系，并对结点位移进行编号； （2） 对结点位移分量进行编码，形成单元定位向量e λ； （3） 建立按结构整体编码顺序排列的结点位移列向量δ，计算固端力e F P 、等 效结点荷载E P 及综合结点荷载列向量P ； （4） 计算个单元局部坐标系的刚度矩阵，通过坐标变换矩阵T 形成整体坐标 系下的单元刚度矩阵e T e K T K T = ； （5） 利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K ； （6） 按式1=K P δ- 求解未知结点位移； （7） 计算各单元的杆端力e F 。 根据上述步骤编制了平面刚架的分析程序。程序中单元刚度矩阵按下式计算。 32322 23 2 32 22 0000 1261260 064620 00001261260062640 EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l K EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l ??- ??? ???- ?? ? ???- ??? ?=??-?? ? ???---??? ???-??? ?

基于Matlab语言的按平面三角形单元划分的结构有限元程序设计模板

基于Matlab语言的按平面三角形单元划分的结构有限元程序设计 专业：建筑与土木工程 班级：建工研12-2 姓名：韩志强 学号： 471220580

基于Matlab语言的按平面三角形单元划分 结构有限元程序设计 一、有限单元发及Matlab语言概述 1. 有限单元法 随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切的预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。有限单元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。 有限元法把一个复杂的结构分解成相对简单的“单元”，各单元之间通过结点相互连接。单元内的物理量由单元结点上的物理量按一定的假设内插得到，这样就把一个复杂结构从无限多个自由度简化为有限个单元组成的结构。我们只要分析每个单元的力学特性，然后按照有限元法的规则把这些单元“拼装”成整体，就能够得到整体结构的力学特性。 有限单元法基本步骤如下： (1)结构离散：结构离散就是建立结构的有限元模型，又称为网格划分或单元划分，即将结构离散为由有限个单元组成的有限元模型。在该步骤中，需要根据结构的几何特性、载荷情况等确定单元体内任意一点的位移插值函数。 (2)单元分析：根据弹性力学的几何方程以及物理方程确定单元的刚度矩阵。 (3)整体分析:把各个单元按原来的结构重新连接起来，并在单元刚度矩阵的基础上确定结构的总刚度矩阵，形成如下式所示的整体有限元线性方程： {}[]{}δ F=① K 式中，{}F是载荷矩阵,[]K是整体结构的刚度矩阵,{}δ是节点位移矩阵。 (4)载荷移置:根据静力等效原理，将载荷移置到相应的节点上，形成节点载荷矩阵。 (5)边界条件处理:对式①所示的有限元线性方程进行边界条件处理。 (6)求解线性方程:求解式①所示的有限元线性方程，得到节点的位移。在该步骤中，若有限元模型的节点越多，则线性方程的数量就越多，随之有限元分析的计算量也将越大。 (7)求解单元应力及应变根据求出的节点位移求解单元的应力和应变。

2016基本平面刚架各种荷载MATLAB程序

% 平面刚架MATLAB程序 % 2003.9.16 2007.2.28 2008.4.1 2009.10 2011.10 2013.9 2014.09 2016.03 %************************************************* % 变量说明 % NPOIN NELEM NVFIX NFPOIN NFPRES % 总结点数,单元数, 约束个数, 受力结点数, 非结点力数 % COORD LNODS YOUNG % 结构节点坐标数组, 单元定义数组, 弹性模量 % FPOIN FPRES FORCE FIXED % 结点力数组，非结点力数组，总体荷载向量, 约束信息数组 % HK DISP % 总体刚度矩阵，结点位移向量 %************************************************** format short e %设定输出类型 clear %清除内存变量 FP1=fopen('6-6.txt','rt') %打开初始数据文件 %读入控制数据 NELEM=fscanf(FP1,'%d',1); %单元数 NPOIN=fscanf(FP1,'%d',1); %结点数 NVFIX=fscanf(FP1,'%d',1); %约束数 NFPOIN=fscanf(FP1,'%d',1); %作用荷载的结点个数 NFPRES=fscanf(FP1,'%d',1); %非结点荷载数 YOUNG=fscanf(FP1,'%f',1); %弹性模量 % 读取结构信息 LNODS=fscanf(FP1,'%f',[6,NELEM])' % 单元定义：左、右结点号，面积，惯性矩，线膨胀系数，截面高度（共计NELEM组）COORD=fscanf(FP1,'%f',[2,NPOIN])' % 坐标：x,y坐标（共计NPOIN 组） FPOIN=fscanf(FP1,'%f',[4,NFPOIN])' % 节点力（共计NFPOIN 组）：受力结点号、X方向力（向右正）， % Y方向力（向上正），M力偶（逆时针正） FPRES=fscanf(FP1,'%f',[7,NFPRES])' % 均布力（共计 % NFPRES 组）：单元号、荷载类型、荷载大小、距离左端长度，温差=（下端-上端）梯形上边。下边(改) % 荷载类型1-均布荷载2-横向集中力3-纵向集中力4-三角形荷载5-温度荷载6-梯形荷载 FIXED=fscan f(FP1,'%f',NVFIX)' % 约束信息：约束对应的位移编码（共计NVFIX 组） %--------------------------------------------------------- HK=zeros(3*NPOIN,3*NPOIN); % 张成总刚矩阵并清零 FORCE=zeros(3*NPOIN,1); % 张成总荷载向量并清零 %形成总刚 for i=1:NELEM % 对单元个数循环

平面桁架结构matlab

桁架结构计算第四章P56 ******************************************************************************* function y=plane_truss_element_stiffness(E,A,L,theta) %平面桁架单元刚度 x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[ C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C*S -S*S; -C*C -C*S C*C C*S; -C*S -S*S C*S S*S];%平面桁架刚度矩阵 ******************************************************************************* function y=plane_truss_assemble(K,k,i,j) %平面桁架组装 K(2*i-1,2*i-1)=K(2*i-1,2*i-1)+k(1,1); K(2*i-1,2*i)=K(2*i-1,2*i)+k(1,2); K(2*i-1,2*j-1)=K(2*i-1,2*j-1)+k(1,3); K(2*i-1,2*j)=K(2*i-1,2*j)+k(1,4); K(2*i,2*i-1)=K(2*i,2*i-1)+k(2,1); K(2*i,2*i)=K(2*i,2*i)+k(2,2); K(2*i,2*j-1)=K(2*i,2*j-1)+k(2,3); K(2*i,2*j)=K(2*i,2*j)+k(2,4); K(2*j-1,2*i-1)=K(2*j-1,2*i-1)+k(3,1); K(2*j-1,2*i)=K(2*j-1,2*i)+k(3,2); K(2*j-1,2*j-1)=K(2*j-1,2*j-1)+k(3,3); K(2*j-1,2*j)=K(2*j-1,2*j)+k(3,4); K(2*j,2*i-1)=K(2*j,2*i-1)+k(4,1); K(2*j,2*i)=K(2*j,2*i)+k(4,2); K(2*j,2*j-1)=K(2*j,2*j-1)+k(4,3); K(2*j,2*j)=K(2*j,2*j)+k(4,4); y=K; ******************************************************************************* function y=plane_truss_element_force(E,A,L,theta,u)%力的表达式 x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[-C -S C S]*u; ******************************************************************************* function y=plane_truss_element_stress(E,L,theta,u) %应力表达式 x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E/L*[-C -S C S]*u; ***************************************************************************************************** *****************************************************************************************************

桁架单元例子MATLAB 1

no axial forces acting on the beam. Use two elements to solve the problem. (a) Determine the deflection and slope at x = 0.5, 1 and 1.5 m; (b) Draw the bending moment and shear force diagrams for the entire beam; (c) What are the support reactions? (d) Use the beam element shape functions to plot the deflected shape of the beam. Use EI = 1,000 Nm, L = 1 m, and F = 1,000 N. Solution: Solution: (a) Given, ?(?)=?(?)=?=1?; ??=1000??; ?=1000? For any element of length L, the structural stiffness matrix is defined as, ???=????? 126? ?126? 6?4?? ?6?2?? ?12?6? 12?6?6?2?? ?6?4?? ? The element stiffness matrix for element 1 is: ?(?) =????(?)???126?12664?62?12?612?6 62?64?=1000?126?126 64?62?12?612?662?64 ? The element stiffness matrix for element 2 is: Element 1 Element 2

基于MATLAB的桁架结构优化设计

基于MAT LAB 的桁架结构优化设计 林　琳　张云波 (华侨大学土木系福建泉州　362011) 【摘　要】　介绍了基于BP 神经网络的全局性结构近似分析方法,解决了结构优化设计问题中变量的非线性映射问题。在此基础上,利用改进的遗传算法,对桁架结构在满足应力约束条件下进行结构最轻优化设计。利用 Matlab 的神经网络工具箱,编程求解了三杆桁架优化问题。 【关键词】　改进遗传算法;BP 神经网络;结构优化设计;满应力准则 【中图分类号】　T U20114 【文献标识码】　A 【文章编号】　100126864(2003)01-0034-03 TRUSS STRUCTURA L OPTIMIZATON BASE D ON MAT LAB LI N Lin ZH ANG Y unbo (Dept.of Civil Engineering ,Huaqiao University ,Quanzhou ,362011) Abstract :Optimal structural design method based on BP neural netw ork and m odified genetic alg orithm were proposed in this paper.The high parallelism and non -linear mapping of BP neural netw ork ,an approach to the global structural approximation analysis was introduced.It can s olve the mapping of design variables in structural optimization problems.C ombining with an im proved genetic alg orithm ,the truss structure is optimized to satis fy the full stress criteria.Under the condition of MAT LAB 5.3,an exam ple of truss structure has been s olved by this method. K ey w ords :G enetic alg orithm ;BP neural netw ork ;Structural optimization design ;Full stress principle 结构优化设计,就是在满足结构的使用和安全要求的基础上,降低工程造价,更好地发挥投资效益。传统的优化方法有工程法和数学规划法,其难以解决离散变量问题,对多峰问题容易陷入局部最优,且对目标函数要求有较好的连续性或可微性。而近年来提出的基于生物自然选择与遗传机理的随机搜索遗传算法对所解的优化问题没有太多的数学要求,可以处理任意形式的目标函数和约束,对离散设计变量的优化问题尤为有效。进化算子的各态历经性使得遗传算法能够非常有效地进行概率意义下的全局搜索,能高效地寻找到全局最优点。但采用遗传算法时,进化的每一代种群成员必须要进行结构分析,因此所需的结构分析次数较多。 1　桁架结构优化设计问题的表述 在满足应力约束条件下的桁架重量最轻优化问题为: min w (A )=Σn i =1ρA i L i s.t 1 σi ≤[σi ] (i =1,2……n ) A min ≤A i ≤A max w (A )为结构总重量,ρ为材料密度,L i 为第i 杆的长度,A i 为第i 杆件面积,σi 为第i 杆的应力,[σi ]为第i 杆的许用 应力,A min 、A max 分别为杆件面积的下界与上界;n 为杆件总数。 2　神经网络结构近似分析方法 人工神经网络是由大量模拟生物神经元功能的简单处理单元相互连接而成的巨型复杂网络,它是一个具有高度非线 性的超大规模连续时间自适应信息处理系统,易处理复杂的非线性建模问题。文献[1]在K olm og orov 多层神经网络映射存在定理的基础上,针对近似结构分析问题提出的多层神经网络映射存在定理,确定了近似结构分析的神经网络的基本模型。从理论上证明一个三层神经网络可用来描述任一弹性结构的应力、位移等变量和结构设计变量之间的映射关系,为利用人工神经网络来进行结构近似分析提供理论基础。 211　BP 神经网络及其算法改进 BP 神经网络,即误差反向传播神经网络。其最主要的 特性就是具有非线性映射功能。1989年R obert Hecht -Niel 2 s on 证明了对于任何闭区间内的一个连续函数,都可用一个 隐含层的BP 网络来逼近。因而一个三层BP 网络可完成任意的n 维到m 维的映照,它由输入层、隐层和输出层构成。 传统的BP 网络存在着局部极小问题和收敛速度较慢的问题,因此本文采用了动量法和学习率自适应调整的策略,提高了学习速度并增加了算法的可靠性。 动量法考虑了以前时刻的梯度方向,降低了网络对误差曲面局部细节的敏感性,有效地抑制了网络陷于局部极小。 w (k +1)=w (k )+α[(1-η)D (k )+ηD (k -1)] α(k )=2λα(k -1)λ=stg n[D (k )D (k -1)] w (A )为权值向量,D (k )=- 5E 5w (k ) 为k 时刻的负梯度,D (k -1)为k -1时刻的负梯度,η为动量因子,α为学习率。 4 3 低　温　建　筑　技　术 2003年第1期(总第91期)

Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。 偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。 偏微分方程基本形式 而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。 PDE工具箱 PDE工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路，包括如下基本步骤： 1) 建立几何模型 2) 定义边界条件 3) 定义PDE类型和PDE系数 4) 三角形网格划分

5) 有限元求解 6) 解的图形表达 以上步骤充分体现在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上，如下 具体实现如下。 打开工具箱 输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱，如下 首先需要选择应用模式，工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式，用户可以基于适

当的模式进行建模和分析。 在Options菜单的Application菜单项下可以做选择，如下 或者直接在工具栏上选择，如下 列表框中各应用模式的意义为： ① Generic Scalar：一般标量模式（为默认选项）。 ② Generic System：一般系统模式。 ③ Structural Mech.，Plane Stress：结构力学平面应力。 ④ Structural Mech.，Plane Strain：结构力学平面应变。

⑤ Electrostatics：静电学。 ⑥ Magnetostatics：电磁学。 ⑦ Ac Power Electromagnetics：交流电电磁学。 ⑧ Conductive Media DC：直流导电介质。 ⑨ Heat Tranfer：热传导。 ⑩ Diffusion：扩散。 可以根据自己的具体问题做相应的选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其他具体的工程应用模式，此工具箱已经发展到了Comsol Multiphysics软件，它提供了更强大的建模、求解功能。 另外，可以在菜单Options下做一些全局的设置，如下 l Grid：显示网格 l Grid Spacing…：控制网格的显示位置 l Snap：建模时捕捉网格节点，建模时可以打开 l Axes Limits…：设置坐标系围 l Axes Equal：同Matlab的命令axes equal命令 建立几何模型 使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立，如下 各项代表的意义分别为

matlab 桁架结构

% NPOIN NELEM NVFIX NFPOIN NFPRES % 总结点数,单元数, 约束个数, 受力结点数, 非结点力数 % COORD LNODS YOUNG % 结构节点坐标数组, 单元定义数组, 弹性模量 % FPOIN FPRES FORCE FIXED % 结点力数组，非结点力数组，总体荷载向量, 约束信息数组 % HK DISP % 总体刚度矩阵,结点位移向量 %************************************************** format short e %设定输出类型 clear %清除内存变量 FP1=fopen('6-6.txt','rt') %打开初始数据文件 %读入控制数据 NELEM=fscanf(FP1,'%d',1); %单元数 NPOIN=fscanf(FP1,'%d',1); %结点数 NVFIX=fscanf(FP1,'%d',1); %约束数 NFPOIN=fscanf(FP1,'%d',1); %荷载结点数 YOUNG=fscanf(FP1,'%f',1); %弹性模量 % 读取结构信息 LNODS=fscanf(FP1,'%f',[3,NELEM])' % 单元定义：左、右结点号，面积（共计NELEM组）COORD=fscanf(FP1,'%f',[2,NPOIN])' % 坐标：x,y坐标（共计NPOIN 组） FPOIN=fscanf(FP1,'%f',[3,NFPOIN])' % 节点力（共计NFPOIN 组）：结点号、X方向力（向右正）， Y方向力（向上正）， FIXED=fscanf(FP1,'%f',NVFIX)' % 约束信息：约束对应的位移编码（共计NVFIX 组） %--------------------------------------------------------- HK=zeros(2*NPOIN,2*NPOIN); % 张成总刚矩阵并清零FORCE=zeros(2*NPOIN,1); % 张成总荷载向量并清零 %形成总刚 for i=1:NELEM % 对单元个数循环 % 生成局部单刚(局部坐标) 右手坐标系 EK=ele_EK(i,LNODS,COORD,YOUNG); T=zbzh(i,LNODS,COORD); % 坐标转换矩阵 EKT=T'*EK*T; % 生成整体单刚(整体坐标系) % 组成总刚按2*2子块加入总刚中（共计4块) for j=1:2 %对行进行循环---按结点号循环 N1=LNODS(i,j)*2; % j结点第2个位移的整体编码 for k=1:2 %对列进行循环---按结点号循环 N2=LNODS(i,k)*2; % k结点第2个位移的整体编码 HK((N1-1):N1,(N2-1):N2)=HK((N1-1):N1,(N2-1):N2)... +EKT(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2); end end end % 由结点力生成总荷载向量列阵 for i=1:NFPOIN % 对结点荷载个数进行循环 N1=FPOIN(i,1); % 作用荷载的结点号 N1=N1*2-2; % 该结点号对应第一个位移编码- 1 for j=1:2 FORCE(N1+j)=FORCE(N1+j)+FPOIN(i,j+1);%取结点荷载end end % 总刚、总荷载进行边界条件处理 for j=1:NVFIX % 对约束个数进行循环 N1=FIXED(j); HK(1:2*NPOIN,N1)=0; HK(N1,1:2*NPOIN)=0; HK(N1,N1)=1; % 将零位移约束对应的行、列变成零，主元变成1 FORCE(N1)=0; end %--------------------------------------------------------- DISP=HK\FORCE % 方程求解，HK先求逆再与力向量左乘 %--------------------------------------------------------- % 求结构各个单元内力 EDISP=zeros(4,1); % 单元位移列向量清零 for i=1:NELEM % 对单元个数进行循环 for j=1:2 %对杆端循环 % i单元左右端结点号*2 = 该结点的最后一个位移编码 N1=LNODS(i,j)*2; % 取一端的单元位移列向量 EDISP(2*j-1:2*j)=DISP(N1-1:N1); end % 生成局部单刚(局部坐标) 右手坐标系 EK=ele_EK(i,LNODS,COORD,YOUNG); T=zbzh(i,LNODS,COORD); % 坐标转换矩阵 FE=EK*T*EDISP; %计算局部坐标杆端力（由结点位移产生） FE % 打印杆端力 end%------------------------------------------------------------------------------- ele_EK.m % 计算单元刚度矩阵函数EK % 入口参数：单元号、单元信息数组、结点坐标、弹性模量 % 出口参数：局部单元刚度矩阵EK function EK=ele_EK(i,LNODS,COORD,E)

有限元钢架结构分析手算matlabansys模拟

有限元大作业——钢架结构分析 选题人： 日期：2016年6月2日

目录： 第一章：问题重述 (2) 一、题目内容： (3) 二、题目要求： (3) 第二章：有限元法手工求解 (3) 一、平面两单元离散化 (4) 二、单元分析 (4) 三、单元组装 (6) 四、边界条件引入及组装总体方程 (7) 五、求解整体刚度方程，计算节点2的位移和转角 (7) 六、求节点1、3支撑反力 (8) 七、设定数据，求解结果 (8) 八、绘制轴力图、弯矩图、剪力图 (9) 第三章、matlab编程求解： (11) 一、总体流程图绘制： (11) 二、输入数据： (12) 三、计算单元刚度矩阵： (12) 四、建立总体刚度矩阵： (13) 五、计算未约束点位移： (13) 六、计算支反力： (13) 七、输出数据： (13) 八、编程： (13) 第四章有限元求解 (13) 一、预处理 (13) 二、模型建立： (15) 二、分析计算 (17) 三、求解结果 (18) 四、绘制图像 (19) 第五章结果比较 (22) 第六章心得体会 (22) 第七章附录 (23) 一、matlab程序 (24) 第一章：问题重述

一、题目内容： 图示平面钢架结构 图题目内容 二、题目要求： （1）采用平面梁单元进行有限元法手工求解，要求写出完整的求解步骤，包括： a）离散化：单元编号、节点编号； b）单元分析：单元刚度矩阵，单元节点等效载荷向量； c）单元组长：总体刚度矩阵，总体位移向量，总体节点等效载荷； d）边界条件的引入及总体刚度方程的求解； e）B点的位移，A、C处支撑反力，并绘制该结构的弯矩图、剪力图和轴力图。 （2）编制通用平面钢架分析有限元Matlab程序，并计算盖提，与手工结果进行比较； （3）利用Ansys求解，表格列出B点的位移，A、C处支反力，绘制弯矩图、剪力图和轴力图，并与手算和Matlab程序计算结果比较。 （4）攥写报告，利用A4纸打印； （5）心得体会，并简要说明各成员主要负责完成的工作。 第二章：有限元法手工求解

桁架结构的有限元分析MATLAB

力09创新实践 桁架结构有限元分析 学号 20092715 班级力0901-2 姓名魏强 指导教师房学谦 完成日期 2012/6/26 桁架结构有限元分析 摘要

从系统物理概念和力学原理推导有限元计算格式的方法叫做直接刚度法。本文利用推导出得有限元计算格式，通过MATLAB软件进行矩阵运算，对5杆桁架结构进行了内力分析。利用对比的方法，对照多组荷载，分析其受力的情况，为实际问题提供参考。 关键词:有限元法、MATLAB、桁架结构、内力分析 一、引言 1.工程背景及重要性 桁架结构（Truss structure）中的桁架指的是桁架梁，是格构化的一种梁式结构。桁架结构常用于大跨度的厂房、展览馆、体育馆和桥梁等公共建筑中。由于大多用于建筑的屋盖结构，桁架通常也被称作屋架。 各杆件受力均以单向拉、压为主，通过对上下弦杆和腹杆的合理布置，可适应结构内部的弯矩和剪力分布。由于水平方向的拉、压内力实现了自身平衡，整个结构不对支座产生水平推力。结构布置灵活，应用范围非常广。桁架梁和实腹梁（即我们一般所见的梁）相比，在抗弯方面，由于将受拉与受压的截面集中布置在上下两端，增大了内力臂，使得以同样的材料用量，实现了更大的抗弯强度。在抗剪方面，通过合理布置腹杆，能够将剪力逐步传递给支座。这样无论是抗弯还是抗剪，桁架结构都能够使材料强度得到充分发挥，从而适用于各种跨度的建筑屋盖结构。更重要的意义还在于，它将横弯作用下的实腹梁内部复杂的应力状态转化为桁架杆件内简单的拉压应力状态，使我们能够直观地了解力的分布和传递，便于结构的变化和组合。 在建筑结构中，桁架结构是一种应用比较普遍的结构形式，在桥梁工程、大型建筑、船舶工程、港口机械等工程领域均有广泛应用。在我国桁架结构发展迅速且应用最为广泛，如屋架、网架结构等。为了增加建筑的表现力，近些年来管桁架结构得到了许多业主的青睐，在大量的屋面结构中采用。 2.目前问题的研究现状 目前在普遍刚桁架的结构设计中，工程中普遍采用的发放时按理想铰接模型进行计算，并很据计算出的杆件界面应力选择合适的杆件型号。计算桁架结构内力时，一般采用如下基本假定：（1）接单均为铰接；（2）杆件轴线平直相交于节点中心；（3）荷载作用线通过桁架的节点。对于平面桁架还要求所有杆件轴线及荷载作用线在同一平面内。 对于桁架结构的应力分析，在方法上，结构力学中有结点法和截面法，另外