七升八暑假衔接学习讲义
七升八暑假衔接学习讲
义
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
一、图形的全等
1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.
观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么
2. 由全等图形类比得出：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，
它们是对应边；A
∠重合，它们是对应角.
∠与D
△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：
（）
∠A= , ∠C= ，∠B= .
（）
练习：
1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。解：A
2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE
解： 3.判断：
○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ）
○2全等三角形的周长相等.（ ） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）
○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E,
△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度
数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）
例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗
例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）
(1)?????''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ??
?
??='∠=∠''=______A A B A AB
A B
C
(图
A
D
B G
A
C
D
B
O
A D C
B F
E
A
D ∴C B A ABC '''???( SAS ) ∴C B A ABC '''???( )
(3) ??
?
??''=∠=∠''=C B BC C A AC ____
∴C B A ABC '''???( ) 练习1：
1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等 （1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．
4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.
5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.
6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等并进行证明.
7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明 练习2
1.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，
求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA
3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF
求证：△AFD ≌△CEB
4.已知：EA=EC ，ED=EB ，
A D
C B F
E
A D
C
B
E
1
2
求证：△AED ≌△CEB
5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，
求证：△EAB ≌△FDC
6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2
求证：∠B=∠C
三、三角形的判定定理：角边角定理
定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"
例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去 例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .
例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .
例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线
m ，垂足分别为点D 、E .试说明：
(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：
1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件
_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件
_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OC
A
B
o
A
B C
D
E
F
2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。 求证： △ABE ≌△ACD
3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD
4. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与
CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是多少
四、三角形的判定定理：角角边定理
定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角角边"，符号表示："AAS"
例1.如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB =AC ，∠BDC =∠CEB ，求证：BE =CD ．
例2.如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D ，
AD ∥BC .试证明AD =CB .
例3.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥．
求证：AD CF =．
例4. 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分
线，∠1=∠C, 求证:△ABD ≌△AED. 练习1：
1.如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E 。求证：
Ａ D
F
C
B
E
AD=AE
2．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD
3．已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判断AD是△ABC的中线
还是角平分线请说明理由
4．如图，AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC
5．如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE。
6.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE
求证；AB=AC，AD=AE；
练习2：
1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（）
A．4 厘米 B．5厘米 C．6 厘米 D．无法确定
第1题第2题
2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）
A．120°°°°.
3．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为______________________，对应边分别为_____________________.
4.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是
__________.（填上你认为适当的一个条件即可）
5.如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：
AB=AC.A
D C
A B A
D
B
C
O
第3题
E
D
C
B
A
第4题
6.如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。
求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。
五、三角形的判定定理：边边边公理
定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“SSS”
例1. 如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OC
例2. 如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF 例3. 如图，AB=CD，BE=DF, AF=CE,求证：BE∥DF
练习1：
1.如图，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，根据(S、S、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。
第1题第2题
2. 已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。
3. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．
4.△ABC中， AB=AC，求证：∠B=∠C （自己画图）
练习2：
1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( )
A．BC=B’C’ B．∠A=∠A’ C．AC=A’C’ D．∠C=∠C’
2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
3．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）
A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；
C.∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4；
D.∠C ＝90°，AB ＝6
4．三角形ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大12°，则这个三角形是＿＿三角形．
5．以三条线段3、4、x －5为这组成三角形，则x 的取值为＿＿＿＿．
6．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．
7．△ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交BC 于点D ，若CD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为＿＿＿＿cm ．
8． 已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB, 求证：AD=CF ．
9. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。 9． 阅读下题及证明过程：已知：如图， D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一
点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE ． 证明：在△AEB 和△AEC 中， ∵EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，AE=AE ， ∴△AEB ≌△AEC ……第一步 ∴∠BAE=∠CAE ……第二步
问上面证明过程是否正确若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
六、勾股定理
一.观察:
【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的
图案是根据一个着名的数学定理设计的。观察这枚邮票上
的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现 二.体会:
1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积
E A B D
F
C C
A B D E
2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在，那么它们的关系是什么
3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢请写出你发现的规律. 三.思考:
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案,你能从中说出勾股定理的推导过程吗
1. 以a 、b 为直角边，c 为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形．
2. 用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形．
1、判断题
（1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （ ） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ） 2、求下列直角三角形中未知边的长．
3．下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少
(43米处，这棵树折
5∠练习1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长
（A ）4 cm
（B ）8 cm （C ）10 cm
（D ）12 cm
3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7
或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角
形，其中正确的是（）
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D）
（第7题）（第8题）（第10题）
二、填空题
8. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至
少需要____________米.
9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则222
++=______.
AB AC BC
10. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面
积是______.
三、解答题
11. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
12. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端
C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米13.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风
中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点如果在距台风中心30km的圆形区域内
都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
七、勾股定理的逆定理 一．作图
1． 画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。（单位：厘米）
A ：3、4、3；
B ：3、4、5；
C ：3、4、6；
D ：5、12、13；
2． 测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如
下：
A ：________
B ：________
C ：________
D ：________ 3．判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。
A ：________
B ：________
C ：________
D ：________
4．找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A ：________________
B ：_____________
C ：________________
D ：_____________ 5．猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢
你的猜想是_____________。 二．探索 1、操作：
①、以6cm 、8cm 、10cm 三个数为边画一个三角形，再以6cm 、8cm 两个数为直角边长，画一个直角三角形。
②、把你所画的边长为6cm 、8cm 、10cm 的三角形和6cm 、8cm 为直角边的直角三角形分别剪下来。
③、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。 2、观察、猜想：
叠合后的两个三角形存在什么关系你还能得出什么结论呢 3、归纳总结：
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。
①符号语言：∵a 2+b 2=c 2
∴ΔABC 为Rt Δ
这个结论与勾股定理有什么关系
②像(3，4，5)、(6，8，10)、(5,12,13)等
A
B C
D
满足a 2+b 2
=c 2的一组正整数,通常称为勾股数。 三．实践:
例1．已知：如图，AD ＝4，CD ＝3，∠ADC ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.求图形的面积.
例2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，先将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长. 四．练习1
1．在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，能判断△ABC 为
直角三角形的是 ( )
A. a ＋b ＝c
B. a:b:c ＝3:4:5
C. a ＝b ＝2c
D. ∠A ＝∠B ＝∠C
2．三角形三边长分别为a 2+b 2、2ab 、a 2-b 2（a 、b 都是整数，a ＞b ），则这个三角形是（ ）.
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D. 不能确定
3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，试判断△ABC 的
形状.
3． 已知某校有一块四边形空地ABCD,如图现计划在该空地上种草皮,经测量
∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m, 若每平方米草皮需100元,问需投入多少元 练习2： 一、选择题
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）.
A ．2，3，4
B ．5，7，9
C ．8，15，17
D ．200，300，400 2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A
C
D
B E
C
A
B
D
A
C
B
3．三角形的三边长a、b、c，满足22
a b c ab
+=+,则这个三角形是( ) .
()2
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形4．下列结论错误的是（）
A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；
B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；
C.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形；
D.三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形．
5．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
6．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；⑤22
+（m、n为正整数，且m＞n）其中可以构成
m n
-、2mn、22
m n
直角三角形的有（）
A．5组 B．4组 C．3组 D．2组
二、填空题
1．在△ABC中，若222
+=，则∠A＋∠C＝______度.
AB BC AC
2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 . 3．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
4．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
5．正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是
图1 图2 图3
三、解答题
1．一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗
2．已知：如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3 cm，AC=4cm，CD⊥AB于D，
求CD的长及△ABC的面积；
2．已知△ABC 的三边为22m n +,22m n -,2mn
对于m 、n 为任何正整数时（m ＞n ），你能说明△ABC 为直角三角形吗
4． 已知：正方形ABCD 中，F 是DC 的中点，E 为BC 的上一点，且EC ＝
1
4
BC ． 求证：EF ⊥AF ．
八、平方根（1）
一．回顾 1．口答
( )2=9 ( )2=25 ( )2=4
1
( )2=16 ( )2=81 ( )2=0 ( )2=121 2．想一想
（1）如果一个数的平方等于2，这个数是几 （2）一个数的平方等于5呢想知道这个数的结果吗
二．理解:
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为a 的二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
例如: ∵ ,4)2(,4)2(22=-=+ ∴ 2±是4的平方根
∵ 91)31(,9
1)31(22=-=+， ∴ 是91的平方根
∵ （+ ）25.02=，（－ ）25.02
=，∴ 是的平方根
1．问题一:
观察下面的式子:
① 12=1, (-1)2=1 ② =, 2=
(1)请你写出一个与上面式子类似的式子; (2)你发现了什么结论
2．小结：一个正数的平方根有__ _个，它们互为___ ___.
一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”，这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正、负根号a ”。
例如：2的平方根记作2±，4的平方根记作4±
∵ ,4)2(,4)2(22=-=+ ∴ 2±是4的平方根，即：2242±=±=±
一般地，a a ±=±2 ，如55252±=±=±等 3．问题二：
（1）9的平方根是什么5的平方根是什么 （2）0的平方根是什么0的平方根有几个 （3）－4，－8，－36有平方根吗为什么 （4）由此，你得到了什么结论 4．平方根的性质：
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
求一数a 的平方根的运算，叫做开平方 说明：⑴“开平方”就是求一个数的平方根
⑵开平方与平方互为逆运算
三．实践:
例1．求下列各数的平方根：
（1）25； （2）
81
16
（3）15； （4）()22- 例2．求下列各式中的x 的值
(1)1962
=x (2) 01052=-x (3) ()23-x =36
练习: 一、选择题
1．3的平方根是（ ）
A ．3
B ．－3
C ．± 3
D ． 3
2．下列各式正确的是（ ）
A ．±1691
=14
3 B ．±1691
=4
5
C ．±1691
=±14
3 D ．±1691
=±4
5
3．下列各式无意义的是（ ）
A ．－ 5
B ．25-
C ．5
1-
D ．2)5(-
4．3－2正的平方根是（ ）
A ．1
6
B ．13
C ．3
D ．6
5．（－23）2的平方根是( )
A ．±8
B ．8
C ．－8
D ．不存在
6．使-x 有意义的x 的值是( )
A ．正数
B ．负数
C ．0
D ．非正数 二、填空题
7．125的平方根是____________，（2
1-）2正的平方根是____________． 8．（－1）2的平方根是____________，16正的平方根的平方根是____________． 9．252－242的平方根是__________，的负的平方根是____________． 10．若a-2 +b-3 =0，则a +b －5=____________． 11．若4x 2=9，则x =____________．
12．如果一个数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是 。若45-x 的平方根是±1，则x= 。 三、计算：
13．－错误! 14．2)5(- 15．610- 16．±错误! 17．2)7(± 18．64
171971? 四．字母x 取何值时，下列关于x 的代数式有平方根
19．x －3 20．－x 2
21．|－x |+1 22．－x 2
－3
五．求下列各式中x 的值．
23．（12
x ）2=16 24．（x +5）2=144 25．3x 2
－27=0 26．（2x +3）
2
=16
六．计算题
27．2x-1 +（y +2）2
=0，求x －3
+y 3
的值．
28．请你在数轴上画出表示 5 的点，并简要说出你的画法．
九、平方根（2）
一． 回顾
1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．
2m+1和m －3，则m= ______ ，n= _______. 3．16的平方根是______.
4．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 5．想一想：
下面两个问题都与平方根有关，每题都有两个解吗
问题1：小明家装修新居，计划用100块正方形地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算，每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费） 问题2：求4个直角边长为10厘米的等腰直角三角形纸片拼合成的正方形的边长 二． 理解:
正数a 有2个平方根（a ±），其中正数a 的正的平方根（a ），叫做a 的算术平方根。
如4的算术平方根，记作4=2；2的算术平方根，记作2. 0只有1个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即00=。 思考：什么样的数才有算术平方根 三． 实践:
例1．求下列各数的算术平方根 ⑴625，⑵，⑶6，⑷2)5(-，⑸16
13 例2．求81的算术平方根
例3．若162=x ，的算术平方根求x -5
例4．若y=211+-+-x x ，则2x ＋y 的算术平方根 四． 练习1:
1、下列说法正确的是（ ）
A 、-8是64的平方根，即864-=，
B 、8是()28-的算术平方根，即
()882
=-
C 、±5是25的平方根，即±525=，
D 、±5是25的平方根，即525±= 2、下列说法错误的是（ ）
A 、3是3的平方根之一
B 、3是3的算术平方根
C 、3的平方根就是3的算术平方根
D 、3-的平方是3 3、36的倒数的算术平方根的相反数是________．
4、若==a a 则,2.1 ；若
==m m 则,22
； 若12+x 的算术平方根是2，则x ＝_____； （-4）2的算术平方根是 。 5、解答题
（1）若的平方根求a
b
b a ,094=-+-
（2）已知直角三角形的2条直角边的长分别是3和5，则斜边的长； 练习2: 一、选择题
1、下列叙述正确的是（ ）
A ．如果a 存在平方根，则a>0
B ．=±4
C ．是5的一个平方根
D ．5的平方根是
2、“
的平方根是
”用数学式表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4、下列说法正确的是（ ）
A ．一个数的平方根一定是两个
B ．一个正数的平方根一定是它的算术平方根
C ．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
D ．一个数的正的平方根是算术平方根
5、一个正数的算术平方根为m ，则比这个数大2的数的算术平方根是（ ） A ． B ． C ．m2＋2 D ．m ＋2
6、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是（ ） A ．a B ．－a C ．±a D ．|a|
7、的算术平方根是（ ）
A ．－4
B ．4
C ．2
D ．－2 二、解答题
8、求下列各式的值.
9、求下列各式中x 的值. 10、计算已知，求x 的值.
14、
十、立方根
一．观察:
1．棱长这1时，正方体的体积是31＝1，设体积为2的正方体的棱长为x.依题意列方程得： . 2．做一个正方体的纸盒：
(1)使它的容积为64 cm 3
,正方体的棱长是多少
(2)如果要使正方体纸盒的容积为25cm 3
,它的棱长应是多少 二．理解:
1．一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为a 的三次方根，也就是说，如果3x ＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记为x ＝3a ，读作“a 的立方根”或a 的三次方根.
例如，4的立方是64，所以4是64的立方根，记为364＝4，又如，x 3=2，x 是 的立方根，表示为 ；x 3=5， 是的 的立方根，表示为 2．求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算。 三．实践:
例1．求下列各数的立方根
(1)-64 (2)－
125
8
(3)９ 例2．下列各数有立方根吗如果有,请写出来;如果没有,请说明理由.
，278 , 9, －3, －64, ，125
216- 0. 归纳：立方根的性质：任何数都有一个立方根,正数的立方根是_____数, 负数的立方根是_____数,0的立方根是______. 例3．讨论：
（1） (38-)3等于多少(32)3等于多少 （2）33)8(-等于多少332等于多少 归纳：(3a )3=_____, 33a =______ . 例4．求下列各式中的x
⑴ 125
8
3-
=x ⑵ ()06433=+-x ⑶ ()0216153=-+x 五． 练习1:
1.填空题
（1 ）27的立方根是 ，25的立方根是的立方是 。 （2）-5的立方是 ，-5是 的立方根，记为 ＝ 。 （3）1的立方根是 ，-1的立方根是 ，0的立方根是 。