算法大全第22章__模糊数学模型
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第二十二章 模糊数学模型
§1 模糊数学的基本概念
1.1 模糊数学简介
1965年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并在国际期刊《Information and Control 》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“Fuzzy Sets ”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。
模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模
型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。
1.2 基本概念
1.2.1 模糊集和隶属函数
定义1 论域X 到]1,0[闭区间上的任意映射
A μ：]1,0[→X
-258-
)(x x A μ→
都确定X 上的一个模糊集合A ，A μ叫做A 的隶属函数，)(x A μ叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：
}|))(,{(X x x x A A ∈=μ
使5.0)(=x A μ的点0x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。
显然，模糊集合A 完全由隶属函数A μ来刻画，当}1,0{)(=x A μ时，A 退化为一个普通集。
1.2.2 模糊集合的表示方法
当论域X 为有限集时，记},,,{21n x x x X L =，则X 上的模糊集A 有下列三种常见的表示形式。
i) zadeh 表示法
当论域X 为有限集时，记},,,{21n x x x X L =，则X 上的模糊集A 可以写成
n
n A A A n
i i
A x x x x x x x i A )
()
()
()
(2
21
11
μμμμ+
++
=
=∑
=L
注：“
∑
”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“
i
i A x x )
(μ”不是
分数，它表示点i x 对模糊集A 的隶属度是)(i A x μ。
ii) 序偶表示法
))}(,(,)),(,()),(,{(2211n A n A A x x x x x x A μμμL =
iii) 向量表示法
))(,),(),((21n A A A x x x A μμμL =
当论域X 为无限集时，X 上的模糊集A 可以写成
-259-
∫
∈=
X
x A x
x A )
(μ
注：“
∫
”也不是表示积分的意思，“
i
i A x x )
(μ”也不是分数。
例1 设论域)}190(),180(),170(),160(),150(),140({654321x x x x x x X =(单位: cm)表示人的身高，X 上的一个模糊集“高个子”(A )的隶属函数)(x A μ可定义为
140
190140
)(??=
x x A μ
用zadeh 表示法，
6
5432118.06.04.02.00x x x x x x A +++++=
用向量表示法，
)1,8.0,6.0,4.0,2.0,0(=A
例2 设论域]1,0[=X ，Fuzzy 集A 表示“年老”，B 表示“年轻”，Zadeh 给出A 、
B 的隶属度函数分别为
?????≤
2x x x x A
??
???≤≤?+≤≤=?100
25])525(1[2501)(1
2x x x x B 94.0)70(≈A ，即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。又易知8.0)60(≈A ，02.0)60(≈B ，可认为“60岁”是“较老的”。
A ＝“年老”＝∫
???+100
50
1
2])550(1[x
x
-260-
B ＝“年轻”＝∫∫
??++100
25
1
225
]525(1[ 1x
x x 1.2.3 模糊集的运算
常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。
定义2 对于论域X 上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为)(x A μ，)(x B μ。 i) 若对任意X x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记为A B ?； ii) 若B A ?且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =。 定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，
i) 称Fuzzy 集B A C U =，B A D I =为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），即
)()()}(),(max{))((x B x A x B x A x B A C ∨===U )()()}(),(min{)((x B x A x B x A x B A D ∧===I
他们相应的隶属度)(),(x x D C μμ被定义为
)}(),(max{)(x x x B A C μμμ=
)}(),(min{)(x x x B A D μμμ=
ii) Fuzzy 集C
A 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度
)(1)(x x A A C
μμ?=
例3 已知
},8,7,6,5,4,3,2,1{=X ， 51.044.038.025.013.0+
+++=
A ， 6
5
.059.043.032.0+
++=B ， 则有
-261-
B A U ＝
6
5
.059.044.038.025.013.0+
++++， B A I ＝5
1
.043.032.0+
+， =C A 81716159.046.032.025.017.0+++++++。
1.2.4 隶属函数的确定方法
模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
（1）模糊统计方法
模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素： i) 论域X ；
ii) X 中的一个固定元素0x ；
iii) X 中一个随机变动的几何*
A (普通集)；
iv) X 中一个以*
A 作为弹性边界的模糊集A ，对*
A 的变动起着制约作用。其中
*0A x ∈，或者*0A x ?，致使0x 对A 的关系是不确定的。
假设做n 次模糊统计试验，则可计算出
0x 对A 的隶属频率＝n
A x 的次数*0∈
实际上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x 对A 的隶属度，即
)(0x A μ＝n
A x n 的次数
*0lim ∈∞→
（2）指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。
如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中所包含地参数，常用的模糊分布如表1所示。
实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：
① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小的程度的模糊现象。
② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大的程度的模糊现象。
③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。
但是，表1给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。
（3）其它方法
在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。下面举例说明。
如果设论域X表示机器设备，在X上定义模糊集A＝“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品，在X上定义模糊集A＝“质量稳定”，则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭，在X上定义模糊集A ＝“家庭贫困”，则可以用“Engel系数＝食品消费/总消费”作为A的隶属度。
另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。
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表1 常用的模糊分布
1.3 模糊关系、模糊矩阵
-263-
-264-
1.3.1 基本概念
定义4 设论域U ，V ，乘积空间上},),{(V v U u v u V U ∈∈=×上的一个模糊子集R 为从从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系R 的隶属函数为
R μ ：V U ×]1,0[→， a ),(y x ),(y x R μ
则称隶属度),(y x R μ为),(y x 关于模糊关系R 的相关程度。
这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。
设{}m x x x U ,,,21L =，{}n y y y V ,,,21L =，R 为从从U 到V 的模糊关系，其隶属函数为
),(y x R μ，对任意的),(j i y x ∈V U ×有]1,0[),(∈=ij j i R r y x μ，
n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==，记n m ij r R ×=)(，则R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一
般的定义。
定义5 设矩阵n m ij r R ×=)(，且]1,0[∈ij r ，n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==，则R 称为模糊矩阵。
特别地，如果}1,0{∈ij r ，n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==，则称R 为布尔(Bool)矩阵。当模糊方阵n n ij r R ×=)(的对角线上的元素ij r 都为1时，称R 为模糊自反矩阵。 当1=m 或者1=n 时，相应地模糊矩阵为),,,(21n r r r R L =或者
T n r r r R ),,,(21L =，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。
例4 设评定科研成果等级的指标集为),,,(521x x x U L =，1x 表示为科研成果发明或创造、革新的程度，2x 表示安全性能，3x 表示经济效益，4x 表示推广前景，5x 表示成熟性；V 表示定性评价的评语论域),,,(4321y y y y V =，4321,,,y y y y 分别表示很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出V U ×上每个有序对),(i i y x 指定的隶属度。
-265-
表2 有序对),(i i y x 指定的隶属度
由此确定一个从U 到V 的模糊关系R ，这个模糊关系的隶属度函数是一个5×4阶的矩阵，记为
???????
?
???
???
?
?=14.02.01.056.005.005.03.06.01.01
.03.05.026.01.034.03.005.015
.035.045.0R
则R 为一个模糊关系矩阵。
1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质 (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
定义6 设n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，
n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==都是模糊矩阵，定义
i) 相等：
B A =?ij ij b a =；
ii) 包含：
B A ≤?ij ij b a ≤；
iii) 并：
n m ij ij b a B A ×∨=)(U ；
-266-
iv) 交：
n m ij ij b a B A ×∧=)(I
v) 余：
n m ij C a A ×?=)1(
例5 设????????=5.03.01.01A ，???
?
????=9.04.007.0B ，则
????????=9.04.01.01B A U ，???
?????=5.03.007.0B A I ，=C
A ????????5.07.09.00 (2) 模糊矩阵的合成
定义7 设s m ik a A ×=)(，n s kj b B ×=)(，称模糊矩阵
n m ij c B A ×=)(o
为A 与B 的合成，其中
{}
s k b a c kj ik ij ≤≤∧=1)(max
例6 设?
???
????=5.08.0107.04.0A ，?
????
????
?=3.006.04.07.01B ，则 ????
????=7.016.04.0B A o ， ?
????
????
?=3.03.03.05.06.06.05.07.07.0A B o
两模糊矩阵合成的MATLAB 函数如下： function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2); for i=1:m for j=1:n
ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)'])); end end
-267-
模糊方阵m m ij a A ×=)(的幂定义为
A A A o =2， A A A k k o 1?=
(3) 模糊矩阵的转置
定义8 设n m ij a A ×=)(，n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==，称m n T
ji T
a A ×=)(为A 的转置矩阵，其中ij T
ji a a =。
(4) 模糊矩阵的?λ截矩阵
定义9 设n m ij a A ×=)(，对任意的]1,0[∈λ， i) 令
?????<≥=λ
λλij ij ij
a a a ,0,1)
( 则称n m ij a A ×=)()
(λλ为模糊矩阵A 的λ截矩阵。 ii) 令
??
???≤>=λλλij ij ij
a a a
,0,1)
(
则称n m ij a A ×=?
)()
(λλ为模糊矩阵A 的λ强截矩阵。
显然，对于任意的]1,0[∈λ,λ截矩阵是布尔矩阵。
例7 设????
??
?
???????=18.03.008
.011.02.03.01.015.002.05.01A ，则 ??????????
???
?=11
00110000110011
5.0A ，??????
???
????
?=11
101100101100
113.0A 下面给出模糊矩阵的一个性质。
-268-
性质 设n m ij a A ×=)(，n j m i ,,2,1,,,2,1L L ==是模糊自反矩阵(对角线上的元素ij r 都为1的模糊矩阵)，I 是n 阶单位矩阵，则
2R R I ≤≤
证：因为n m ij a A ×=)(是模糊自反矩阵，即有1=ii r ，所以R I ≤，又
{}
ij ij ii kj ik r r r n k a a =∧≥≤≤∧1)(max
即有2
R R ≤。
§2 模糊模式识别
本节我们假定论域为U ，U 上的模糊集的全体记为)(U F 。
2.1 模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。
定义10 设)(,,U F C B A ∈，若映射
]1,0[)()(:→×U F U F N
满足条件：
（1）),(),(A B N B A N =；
（2）1),(=A A N ，0),(=ΦU N ，这里Φ为空集； （3）若C B A ??，则),(),(),(C B N B A N C A N ∧≤；
则称),(B A N 为模糊集A 与B 的贴近度。N 称为)(U F 上的贴近度函数。 1．海明贴近度
若},,,{21n u u u U L =，则
∑=??Δn
i i i u B u A n B A N 1
|)()(|11),(
当U 为实数域上的闭区间],[b a 时，则有
-269-
du u B u A a b B A N b
a
∫???
Δ|)()(|11),(
2．欧几里得贴近度 若},,,{21n u u u U L =，则
2
/112))()((11),(?
?
?
?????Δ∑=n i i i u B u A n B A N
当],[b a U =时，则有
2
/12
))()((1
1),(?
????????
Δ∫b
a du u B u A a
b B A N
3．黎曼贴近度
若U 为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则
∫
∫∞+∞
?+∞
∞?∨∧Δ
du
u B u A du u B u A B A N ))()(())()((),(1
∫
∫∫∞
+∞
?∞
+∞
?+∞
∞
?+∧Δ
du
u B du u A du
u B u A B A N )()())()((2),(2
例8 设]100,0[=U ，且
???????≤≤<≤?<≤=10060,16020,4020200,0)(x x x x x A ，????
???≤≤<≤?<≤=100
80,08040,4080400,1)(x x x x x B 见图1。求黎曼贴近度),(1B A N 。
图1 隶属函数图
-270-
解 不难求得)(x A 和)(x B 的交点坐标50*
=x ，于是
????
??
???<≤?<≤?=∧其它 ,08050,40
805020,4020
)()(x x
x x x B x A
????
????
?≤≤<≤?<≤?<≤=∨10060 ,16050,40
205040,40
80400 , ,1)()(x x x x x x x B x A
2308.0))()(())()((),(1000
10001
≈∨∧=∫
∫du
u B u A du u B u A B A N
计算的MATLAB 程序：
i ）编写定义函数)()(x B x A ∧的MATLAB 函数 function f1=jixiao(x);
f1=(x>=20 & x<50).*(x-20)/40+(x>=50 & x<80).*(80-x)/40;
ii ）编写定义函数)()(x B x A ∨的MATLAB 函数 function f2=jida(x);
f2=(x>=0 & x<40)+(x>=40 & x<50).*(80-x)/40+(x>=50 & x<60).*(x-20)/40+(x>=60 & x<=100);
iii ）利用MATLAB 的积分命令quadl 计算),(1B A N N1=quadl(@jixiao,0,100)/quadl(@jida,0,100)
例9 设R U =（实数域）
，正态型隶属函数 2
1)(???
?
??????=σa x e
x A ，2
2)(???
???????=σa x e
x B
-271-求当21σσ≤时，),(B A N （见图2）
图2 隶属函数图
解 当21σσ≤，R x ∈?，)()(x B x A ≤ 根据黎曼贴近度，有
2
1
1
)()(),(σσ=
=∫
∫∞+∞
?+∞
∞?dx
x B dx x A B A N
2
11
22)()()(2),(σσσ+=
+=
∫∫
∫∞
+∞
?∞
+∞
?+∞
∞
?dx
x B dx x A dx
x A B A N
2.2 格贴近度
定义10 设)(,U F B A ∈，称
A ⊙))()((u
B u A B U
u ∧∨=∈
为模糊集B A ,的内积。
内积的对偶运算为外积。 定义11 设)(,U F B A ∈，称
))()((u B u A B A U
u ∨∧=?∈
为模糊集B A ,的外积。
如果在闭区间]1,0[上定义“余”运算：]1,0[∈?α，αα?=1c
，那么有性质1 性质1 c
c
A B A =?)(⊙c
B ，A (⊙c
c
c
B A B ?=)。 对)(U F A ∈，令
-272-
)(u A a U
u ∈∨=，)(u A a U
u ∈∧=
a 和a 分别叫做模糊集A 的峰值和谷值。对模糊集C B A ,,，不难得到如下性质。
性质2 A ⊙b a B ∧≤，b a B A ∨≥?。 性质3 A ⊙a A =，a A A =? 性质4
A U F
B ()
(∈∨⊙a B =)，a B A U F B =?∧∈)()
(
性质5 A B A ??⊙a B =，b B A =?
性质6 A ⊙21≤
c
A ，2
1≥?B A 性质7 A B A ??⊙B B ≤⊙C ，并且C B C A ?≤?
由性质发现，给定模糊集A ，让模糊集B 靠近A ，会使内积A ⊙B 增大而外积B A ?减少。换句话说，当A ⊙B 较大且B A ?较少时，A 与B 比较贴近。所以，采
用内积与外积相结合的“格贴近度”来刻画两个模糊集的贴近程度。
引理1 设)(,U F B A ∈，令A B A (),(=⊙c
B A B )()?∧，则下列结论成立： （1）1),(0≤≤B A ； （2）),(),(A B B A =； （3）)1(),(a a A A ?∧=；
（4）C B A ???),(),(),(C B B A C A ∧≤ 特别当1=a ，0=a 时，1),(=A A 。
根据引理1和贴近度的定义，立即得到： 定理1 设)(,U F B A ∈，则
A B A (),(=⊙c B A B )()?∧
是模糊集B A ,的贴近度，叫做B A ,的格贴近度。记为
A B A N (),(=⊙c B A B )()?∧
-273-
例10 设论域R 为实数域，模糊集的隶属函数为
2
11)(???
???????=σa x e x A ，2
22)(???
???????=σa x e
x B
求),(B A N 。 解法I （格贴近度法）对上述函数，有
若)()(x B x A ≤，则A ⊙)()())()((*
x B x A x B x A B R
x R
x =∨=∧∨=∈∈
若)()(x A x B ≤，则A ⊙)()())()((*
x A x B x B x A B R
x R
x =∨=∧∨=∈∈
可见，内积A ⊙B 是)(x A 与)(x B 相等时的值，这时*
x x =。故可令)()(x B x A =，求*
x ，即从
2
222
11???
??????????
???????=σσa x a x e
e
求得
2112211σσσσ++=
a a x ，1
22
1122σσσσ??=a a x
其中2x 不是最大值点，故选1*
x x =。于是
A ⊙2
1212)(1???
?
????+??==σσa a e
x A B
而
C A ⊙1)))(1())(1((=?∧?∨=∈x B x A B R
x C
由格贴近度公式，得
2
1212),(???
?????+??=σσa a e
B A N
解法II（黎曼贴近度法）
dx
e
dx e
dx
e
dx e B A N x
a x x a x x
a x x a x ∫∫
∫∫∞
+???
???????∞
????
???????∞
+???
???????∞????
???????++=
*2
2
2*
2
11*2
11*
2
22
),(1
σσσσ
-274-
dx
e
dx e
dx
e
dx e
B A N a x a x x
a x x a x ∫∫
∫∫∞
+∞
????
???????∞
+∞
????
???????∞
+??????????∞????
???????++=
2
2
22
11*2
11*
2
22),(2σσσσ
其中，2*1a x a <<，2
12
112*
σσσσ++=
a a x （见解法I）。
求解式中各积分非常麻烦，这里就不解下去了。不过已经发现，求解此题，以选择格贴近度法最好。
2.3 模糊模式识别原则
模糊模式识别大致有两种方法，一是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要应用于个体的识别；另一是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体模型的识别。
2.3.1 最大隶属原则
设)(U F A i ∈（n i ,,2,1L =），对U u ∈0，若存在0i ，使
)}(,),(),(max{)(0020100u A u A u A u A n i L =
则认为0u 相对地隶属于i A ，这是最大隶属原则。
例11 考虑人的年龄问题，分为年轻、中年、老年三类，分别对应三个模糊集
321,,A A A 。设论域]100,0(=U ，且对]100,0(∈x ，有
??????
?????≤<≤
?
????≤
20,20202120
0,1)(2
2
1x x x x x x x A ??
??
???????≤<≤
??≤<=100
70,17060,2070216050,20502500,0)(2
2
3x x x x x x x A
-275-
??????????
?????????≤<≤
?????≤
??????≤<≤
?????≤
?????≤<=??=100
70,07060,2070260
50,20502150
40,14030,2040213020,20202
200,0)()(1)(2
22
312x x x x x x x x x x x x A x A x A 某人40岁，根据上式，0)40(1=A ，1)40(2=A ，0)40(3=A ，则
1)}40(),40(),40(max{)40(3212==A A A A
按最大隶属原则，他应该是中年人。
又如当35=x 时，125.0)35(1=A ，875.0)35(2=A ，0)35(3=A 。可见35岁的人应该是中年人。
2.3.2 择近原则
设)(,U F B A i ∈（n i ,,2,1L =），若存在0i ，使
)},(,),,(),,(max{),(210B A N B A N B A N B A N n i L =
则认为B 与0i A 最贴近，即判定B 与0i A 为一类。该原则称为择近原则。
例12 现有五个等级的茶叶样品54321,,,,A A A A A ，待识别茶叶B 。反映茶叶质量的因素有六项指标，构成论域U ，其中
)}(),(),(),(),(),({654321滋味香气汤色净度色泽条索x x x x x x U =
设五个等级的样品对6项指标的数值为：
)4.0,5.0,6.0,3.0,4.0,5.0(1=A )2.0,2.0,1.0,2.0,2.0,3.0(2=A
-276-
)2.0,1.0,1.0,2.0,2.0,2.0(3=A
)1.0,1.0,1.0,2.0,1.0,0(4=A
)1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,0(5=A
待识别茶叶的各项指标值为 )6.0,5.0,4.0,1.0,2.0,4.0(=B 确定B 的属类。
解 利用格贴近度公式计算可得
,(B N I 5.0)=，,(B N II 3.0)=，,(B N III 2.0)=， ,(B N IV 2.0)=，,(B N V 1.0)=
按择近原则，可以将B 定为一级茶叶（与1A 同属一类）。 计算的MATLAB 程序如下： a=[0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1]; b=[0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6]; for i=1:5
x=[a(i,:);b];
t(i)=min([max(min(x)) 1-min(max(x))]); end t
§3 模糊聚类分析方法
在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一
数学建模算法动态规划
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随
模糊数学模型
第六部分模糊数学 第十五章模糊数学模型 模糊数学的起源 15.1.1数学是精确的 数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。在二十世纪三十年代，数学的发展被划分成三个阶段： 第一阶段：数学是数，量，几何图形的科学； 第二阶段：数学是研究量的变化和几何图形变换的科学； 第三阶段：数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。 近代科学技术的发展同精确数学方法的发展和应用是密切相关的，牛顿力学为其经典。到了19世纪，天文，力学，屋里，化学等理论自然科学先后在不同程度上走向定量化，数学化，形成一个被称为“精密科学”的学科群。大量使用数学方法，反过来又推动了数学的巨大进步。19世纪是精确科学方法飞速发展的时期。 20世纪以来，精确数学及其应用以更大的规模和速度发展着。相对论，量子力学，分子生物学，原子能，电子计算机和空间技术等邻域的创建和开发为精确方法奏响了一曲又一曲的凯歌，但也进一步助长了对精确方法的盲目崇拜。人们愈加相信，一切都应当精确化，只有现在还没有实现精确化的问题，没有不需要或不可能精确化的问题。 客观而言，精益求精是科学工作者的美德，是评价研究工作科学性的一条准则，但是，这种对精确方法的崇拜，似乎被当作一种不言而喻的真理，在很长的历史时期中未受到人们的怀疑。科学方法论中的这种绝对化的观点，也反映到哲学中。例如，一些分析哲学家提倡把一切概念，包括日常用语都加以精确化，这种现象的发生是值得深思的。但是，实践是检验真理的唯一标准，任何理论上的片面性和绝对化，迟早会在实践中暴露其错误而得到纠正。 15.1.2精确数学的局限性 人脑的思维活动一般说来具有两方面的特征： （1）直觉性跟严格性的有机结合，可以进行整体性和平行性的思考，例如联想过程，这些是具有模糊性的； （2）逻辑推理过程，它具有逻辑和顺序的特点，因而又是形式化的。 关于形式化思维，可以用数理逻辑的方法把它数学化，这样就能把它变成一系列的数学符号，可以用计算机去解。最突出的成果就是1976年美国人阿贝尔和哈肯利用电子计算机解决有名的数学难题——四色问题，这一难题的解决使不少人惊叹：这简直是电脑对人脑的嘲弄！ 真是这样吗？ 从另一个角度来看，譬如，看电视的时候，要把图像调得“更清楚一些”，或者，说一个人比另一个人更好看一些或更丑一些，这对于人来说是件容易的事，但是对于电脑来说，却是个大难题。从这个角度来说，电脑的“智力”还不如一个小孩子。 为什么会出现这样的情况呢？ 因为用传统数学的方法处理模糊食物，首先要求将对象简化，舍弃对象固有的模糊性，在本来没有明确界限的对象之间认为地挂定界限，变模糊数量关系为清晰数量关系。例：西
数学建模算法分类
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
模糊数学方法在财务报表分析中的应用
财务分析是企图了解一个企业经营业绩和财务状况的真实面目，从晦涩的会计程序中将会计数据背后的经济涵义挖掘出来，为投资者和债权人提供决策基础。由于会计系统只是有选择地反映经济活动，而且它对一项经济活动的确认会有一段时间的滞后，再加上会计准则自身的不完善性，以及管理者有选择会计方法的自由，使得财务报告不可避免地会有许多不恰当的地方。虽然审计可以在一定程度上改善这一状况，但审计师并不能绝对保证财务报表的真实性和恰当性，他们的工作只是为报表的使用者作出正确的决策提供一个合理的基础，所以即使是经过审计，并获得无保留意见审计报告的财务报表，也不能完全避免这种不恰当性。这使得财务分析变得尤为重要。 一、财务分析的主要方法 一般来说，财务分析的方法主要有以下四种： 1.比较分析：是为了说明财务信息之间的数量关系与数量差异，为进一步的分析指明方向。这种比较可以是将实际与计划相比，可以是本期与上期相比，也可以是与同行业的其他企业相比； 2.趋势分析：是为了揭示财务状况和经营成果的变化及其原因、性质，帮助预测未来。用于进行趋势分析的数据既可以是绝对值，也可以是比率或百分比数据； 3.因素分析：是为了分析几个相关因素对某一财务指标的影响程度，一般要借助于差异分析的方法；
4.比率分析：是通过对财务比率的分析，了解企业的财务状况和经营成果，往往要借助于比较分析和趋势分析方法。 上述各方法有一定程度的重合。在实际工作当中，比率分析方法应用最广。二、财务比率分析 财务比率最主要的好处就是可以消除规模的影响，用来比较不同企业的收益与风险，从而帮助投资者和债权人作出理智的决策。它可以评价某项投资在各年之间收益的变化，也可以在某一时点比较某一行业的不同企业。由于不同的决策者信息需求不同，所以使用的分析技术也不同。 1.财务比率的分类 一般来说，用三个方面的比率来衡量风险和收益的关系： 1)偿债能力：反映企业偿还到期债务的能力； 2)营运能力：反映企业利用资金的效率； 3)盈利能力：反映企业获取利润的能力。 上述这三个方面是相互关联的。例如，盈利能力会影响短期和长期的流动性，而资产运营的效率又会影响盈利能力。因此，财务分析需要综合应用上述比率。 2.主要财务比率的计算与理解：
插值拟合数学建模算法
1 20/"geometry.cfg" 20/"natbib.cfg" 20/"bblopts.cfg" 20/"english.cfg"20/"____________.aux"
插值算法February3,2020
需要根据已知的函数点进行数据，模型的处理和分析，有时候现有的数据是极少的，不足以分析支撑的比较，这时候需要数学的方法，模拟产生一些洗呢但又比较靠谱的值来满足需求。 一维插值问题多项式插值分段插值 拉格朗日插值多项式公式 L n(x)= n ∑ k=0 y k ωn+1(x) (x?x k)ω′ n+! (x k) 其中ωn+1(x)=(x?x0)(x?x1)....(x?x n) 龙格现象(runge phenomenon)高次插值会产生龙格现象,在两端处的波动计大,产生明显的震荡.在不熟悉曲线的运动趋势下,不要轻易使用高次插值. 采用分段低次插值的思路:在随便两个点之间,采用分段二次或者三次插值的方法/又叫分段抛物插值. 牛顿插值法:f(x)=f(x0)+f|x0,x1|(x?x0)+f|x0,x1,x2|(x?x0)(x?x1)+.....差商的定义:称f|x0,x k|=f(x k)?f(x0) x k?x0 两种插值的区别在于没有体现在导数的一致上 埃尔米特插值法:要求节点处的函数值相同,同时要求对应的导数值也相同分段三次埃尔米特插值法: matlab里有内存的函数pchip(x,y,new_w)x是已知样本点的横坐标,y是已知样本点的纵坐标,new_x是要插入的对应的横坐标 n维数据的插值了解:p=interpn(x1,x2,...xn,y,new_x1,newx_2,....newx_n,method) x1,x2,x3...是样本点的横坐标 y是样本点的纵坐标 输入的new是要输入点的横坐标 method是要插值的方法拟合算法 拟合和插值的区别:找到一个确定的曲线保证误差足够小,不要求曲线经过每一个样本点,只要足够接近就可以.
学生素质评价模糊数学模型的构建与应用
学生素质评价模糊数学模型的构建与应用 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分，下 面是搜集的一篇探究构建学生素质评价模型基本原则的论文范文，欢迎阅读查看。 对高职高专学生进行素质评价，目的在于使学生的评价内容走 向多元化，实现过程发展性和终结性评价的有机结合。因此，需要一种行之有效的评价工具，促使学生发挥个性、潜能以及创造性，从而使其具备持续发展的自信和能力。 一、模糊数学与数学模型 模糊数学是处理和研究模糊性现象的方法和理论。由于模糊性 概念发展了模糊集的具体描述方式，人们可运用概念进行评价、推理、控制、判断和决策，也可通过模糊数学进行描述。比如，模糊综合评判、模糊控制、模糊聚类分析、模糊决策等，这一系列方法最终构成一种模糊性理论，在气象、石油、环境、农业、化工、控制、教育、医学、地质、经济管理、语言等诸多领域已取得研究成果。 数学模型是实际问题与数学理论相结合发展起来的一门新学科。它将实际问题归为数学问题，并利用数学方法、概念和理论，进行深入研究，从定量或定性角度对实际问题进行分析，同时为解决实际问题提供可靠指导和精确数据。可见，数学模型是利用数学方法和语言解决现实问题的过程，是培养学生创造力的有效途径。 二、综合素质评价
“综合素质评价”指在每个学期期末或每个学年期末，全国各地的学校组织的一次对全体在校学生综合素质和能力评价的测评任务。综合素质评价一般分为六个维度(不同的地区或学校结构略有差异)，分别是“道德品质”“公民素养”“学习能力”“交流合作与实践创新”“运动与健康”“审美”“表现能力”.六个维度又分别被分为若干个项目。等级分别为A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(较差)。或者是百分制，100-80(优秀)、79-60(良好)、59-30(一般)、29-0(较差)。 对学生进行综合素质评价是新时期高职高专教学评价的主要内容，因而需要制定一种有效的素质评价模型。基于模糊数学的高职高专学生素质评价模型具有标准的数据支撑，说服力较强，适宜运用于学生综合素质评价。 三、构建学生素质评价模型的基本原则 (一)一个目标 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分。实现现代化建设与高职高专学生的能力和素质有直接关系。从我国的发展要求以及发达国家的发展经验看，无论是发展和解放生产力、建设小康社会，还是创建和谐社会、加快城市化建设，高等职业所培养的应用型人才不可或缺。因此，职业技术教育应坚持以就业为导向，以服务为宗旨，以培养学生综合素质、职业道德以及动手能力为重点，突出实用性。 (二)三个维度
数学建模算法大全模糊数学模型
第二十二章 模糊数学模型 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。这门学科经过多年的发展。它在现实世界中的应用越来越广泛。 §1 模糊数学基本知识 1.1 集合与特征函数 集合是现代数学的重要概念。一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。 由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。若集合Ω?A ，则将集合},|{Ω∈?x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。集合及其性质可用所谓特征函数来描述。 定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μ V A →Ω:μ )(x x A μ→ 其中对应规则A μ满足 ????∈=A x A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质： )}(),(m ax {)(x x x B A B A μμμ=Y ，记作)()(x x B A μμ∨ )}(),(m in{)(x x x B A B A μμμ=I ，记作)()(x x B A μμ∧ )(1)(x x A A c μμ-= 1.2 模糊集合 1.2.1 模糊集合的概念 对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或c A x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。为了研究和处理这类模
模糊综合评价法的数学建模方法简介_任丽华
８ 《商场现代化》２００６年７月（中旬刊）总第４７３期 ２０世纪８０年代初，汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图，如图所示： 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点，采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法，具有一定的主观性，但是由于本文在使用该方法的过程中，对多位专家的调查进行了数学处理，并对处理后的结果进行了一致性检验，笔者认为，运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响，使权重的确定更加具有客观性，也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示，且第一级指标各指标的权重为Ｗｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ为一级指标个数。一级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗ１，…，Ｗｉ，…Ｗｎ） 各一级指标所包含的二级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗｉ１，…，Ｗｉｓ，…Ｗｉｍ），ｍ为各一级指标所包含的二级指标个数，ｓ＝１，２，…，ｍ。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为： Ｗｉｓ＝（Ｗｉｓ１，…Ｗｉｓ２，…Ｗｉｍｑ），ｑ为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集Ｘ作一种划分，即把Ｘ分为ｎ个因素子集Ｘ１，Ｘ２，…Ｘｎ，并且必须满足： 同时，对于任意的ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，均有 即对因素Ｘ的划分既要把因素集的诸评价指标分完，而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Ｘｉ中。 再以Ｘｉ表示的第ｉ个子因素指标集又有ｋｉ个评价指标即：Ｘｉ＝｛Ｘｉ１，Ｘｉ２，…，ＸｉＫｉ｝，ｉ＝１，２，…，ｎ 这样，由于每个Ｘｉ含有Ｋｉ个评价指标，于是总因素指标集Ｘ其有 个评价指标。 四、 进行单因素评价，建立模糊关系矩阵Ｒ 在上一步构造了模糊子集后，需要对评价目标从每个因素集Ｘｉ上进行量化，即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵： 其中ｓｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）表示第ｉ个方案，而矩阵Ｒ中第ｈ行第ｊ列元素ｒｈｊ表示指标Ｘｉｈ在方案ｓｊ下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况：定量指标和定性指标。 （１）定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算： 对于效益型评价因素可以用下式计算：对于区间型评价因素可以用下式计算：上面三个式子中：ｆ（ｘ）为特征值，ｓｕｐ（ｆ），ｉｎｆ（ｆ）分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界，即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华 东营职业学院 ［摘 要］ 本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法，主要从构造评价指标体系，确定评价指标体系的权重，确定评价指标体系的权重，建立模糊综合评价因素集，进行单因素评价、建立模糊关系矩阵Ｒ，计算模糊评价结果向量Ｂ等五个方面介绍这种评价方法。 ［关键词］ 绿色供应链绩效评价 模糊综合评价法 数学模型方法 流通论坛
数学建模算法大全排队论
第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
数学建模常用算法模型
数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用
第八章 模糊数学方法建模 1965年,美国自动控制学家L.A.Zadch 首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 模糊综合评判及其应用 一、模糊综合评判 在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。 综合评判最简单的方法有两种方式： 一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和 ∑== m i i s S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。 另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个 因素的权重，并规定∑==m i i a 1 1，于是用 ∑== m i i i s a S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。 以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。 由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。 应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤： （1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，
MATLAB在模糊数学教学中应用示例
摘要：作者探讨了在模糊数学教学中运用matlab软件来辅助课程教学的方法，并以示例积极推进可视化教学，提高了教学质量，其结果表明教学效果明显. 关键词： matlab 模糊数学教学效果 自1965年扎德（l.a.zadeh）提出“模糊集合”的概念，模糊数学便作为一门新的数学学科诞生了.近五十年来，它的发展非常迅速，应用十分广泛.其理论和应用涉及社会科学、自然科学和思维科学诸多领域.在上世纪九十年代，国外应用模糊数学原理研制和推出了首批模糊家用电器，而现在，模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电饭煲、模糊空调机等已进入了国外千家万户，部分产品进入我国国内，由此可见，其应用前景是举世瞩目的.所以，学生学好模糊数学十分重要.另外，模糊数学在培养学生辩证唯物主义的认识论、方法论，教学素养和应用能力等方面也有着良好的教育功能.由于模糊数学本身是系统化的，涉及的知识深广，使不少学生感到理论太复杂，太抽象，对所学内容难把握，易产生畏难情绪，仅仅通过板书讲授方式难以达到理想的教学效果.因而，加强实践教学是必不可少的一个重要环节.随着高校教学手段的改革，多媒体辅助教学法越来越受师生的欢迎，据统计，60%以上的高校都愿接受，其中数学软件matlab是评价最高的有效的数值和工程计算的软件.针对本科生课程的特点，结合matlab语言所独具的优势，本文着重介绍matlab在模糊数学中的实际应用示例，从而积极推进和改善可视化教学，强化教学效果.下面给出详细示例. 一、利用matlab建立隶属度函数的辅助教学 隶属度是模糊集的基本概念，也是模糊控制的应用基础，由此，正确构造隶属度函数是用好模糊控制的关键之一，而此概念对学生而言是一个抽象的概念，在授课过程中，将基本概念及原理给学生讲透的同时，充分利用计算机的表现能力会将抽象的东西具体化、形象化. 例1.设某污染河水中酚的含量t=0.0012mg/l，给定酚的水质分级标准为： 试建立各级水的隶属度函数. 二、利用matlab来计算λ―截矩阵的辅助教学 在模糊数学中模糊聚类分析法是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的一种方法，在分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间的深浅程度，λ―截矩阵在该分析法中是一个很重要的概念.其定义和计算如下： 三、利用matlab求解模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理.模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.求解模糊线性规划需要分别求出三个普通的线性规则，从而加上伸缩率后的普通线性规划进而添加新变量入和新的约束条件，求解模糊线性规划的具体方法如下： 结果：最优解为z=33.2，此时z=14.93. 以上示例仅是模糊数学中常见的一些问题求解，从中可以观察出，matlab在解决这些问题时简洁、灵活的特点，增强了学生对复杂问题了解时的直观性，缓解了教学课时偏少及当前实验室跟不上教学需求的困境；也让学生在课程学习的同时，轻松地学会一些编程问题，加深、加强了编程能力，使学生更能产生学习matlab及模糊数学的欲望，积极推进模糊数学的教学，使之更高效、更具利用价值. 参考文献： ［1］张驰.试论模糊数学的教育功能［j］.数学教育学报，1997，6，（4）:90-93. ［2］周维.高校“模糊数学”选修课教法初探［j］.淮南工业学院学报（社会科学版），
数学建模方法详解--三十四种常用算法
数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析（略） (22) 六、概率分布方法（略） (22) 七、插值与拟合（略） (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画（略） (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法（DEA） (51) 十九、多因素方差分析法（）基于SPSS） (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析（略） (75) 二十二、概率分布方法（略） (75) 二十三、插值与拟合（略） (75) 二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》） (75) 二十五、0-1整数规划模型（参看书籍） (75) 二十六、Board评价法（略） (75) 二十七、纳什均衡（参看书籍） (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍） (75) 二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据） (75) 三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用） (75) 三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用） (75) 三十二、成本-效用分析（略） (75) 三十三、逐步回归法（主要是软件的使用） (75) 三十四、双因子方差分析（略） (75)
一、主成分分析法 一）、主成分分析法介绍： 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 二）、主成分分析法的基本思想： 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 三）、主成分分析法的数学模型： 其中：
模糊数学模型Matlab实验
模糊数学模型Matlab 实验 1、画出下面这些模糊隶属函数的图形(要求：从下面三种分布类型的隶属函数中各选一个用Matlab 画出它们的图形) 偏小型梯形分布隶属函数： 令a=1,b=2 偏小型Г分布隶属函数： 令a=1,k=0.5,得： x a b x A x a x b b a x b 1,(),0,?? k x a x a A x e x a k ()1,(),(0)--?
偏小型正态分布隶属函数： 令a=1, σ=2 00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82 0.65 0.75 0.85 0.95 x a x a A x e x a 2 ()1,(),--σ≤??=??>?
2、用Matlab 编程计算下面两个矩阵A 和B 的模糊合成，得到矩阵C ，其中}1)max{(s k b a c kj ik ij ≤≤∧= ???? ? ??=???? ??=6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0B A 1运行matlab ，先将模糊合成的函数synt 编写成M 文件 function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2); for i=1:m for j=1:n ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)'])); end end 之后再在matlab 中输入如下： A=[0.4,0.5,0.6;0.1,0.2,0.3]; %输入A 矩阵 B=[0.1,0.2;0.3,0.4;0.5,0.6]; %输入B 矩阵 C=synt(A,B) %A 、B 矩阵进行模糊合成C 矩阵 运行后得到如下结果： C = 00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82
参加2019数学建模算法良心总结
第一讲国赛历年赛题总览 一、历年国赛赛题（时间） 1992年，国赛第一年，30+高校 （A）作物生长的施肥效果问题（北理工：叶其孝） 统计、非线性回归的方法 （B）化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基） 无明确方法，解应用题 1993年，国赛第二年 （A）通讯中非线性交互的频率设计问题（北大：谢衷洁）非线性回归 （B）足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用） 评价与决策。如：评价老师，评价学校，评价食堂，评价篮球教练 1994年，国赛第三年 （A）山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可） 价格问题，优化问题 （B）锁具的制造、销售和装箱问题（复旦：谭永基等） 优化问题，同时带一部分统计问题
1995年，国赛第四年 （A）飞机的安全飞行调度问题（复旦：谭永基等） 优化问题 （B）天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大：刘祥官等）优化问题 1996年，国赛第五年 （A）最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福） 微分方程的问题 （B）节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂） 偏微分方程，也可以用优化 1997年，国赛第六年 （A）零件参数优化设计问题（清华：姜启源） 优化问题 （B）金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等） 优化问题 1998年，国赛第七年 （A）投资的收益和风险问题（浙大：陈述平） 多目标优化问题 （B）灾情的巡视路线问题（上海海运学院：丁松康）
网络优化问题、图论 1999年，国赛第八年（开始出现专科组） （A）自动化车床控制管理问题（北大：孙山泽） 优化问题 （B）地质勘探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）优化问题 （C）煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） 排列的问题 2000年，国赛第九年 （A）DNA序列的分类问题（北京工业大学：孟大志）分类问题 （B）钢管的订购和运输问题（武汉大学：费甫生）优化问题 （C）飞越北极问题（复旦大学：谭永基） 椭球面计算问题，几何问题 （D）空洞探测问题（东北电力学院：关信） 偏统计问题 2001年，国赛第十年 （A）三维血管重建问题（浙江大学：汪国昭）
数学建模方法详解模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学 在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。 模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。 1.1 模糊数学的基本概念 1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数 一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。 对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ?，有A x ∈或A x ?，二者有且仅有一个成立。于是，对于子集A 定义映射 }1,0{:→U A μ 即 ?? ??∈=,0, ,1)(A x A x x A ，μ 则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。 所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ?描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。 定义1.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射 ]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμα 则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，A μ称为x 对模糊集A 的隶属度。 定义1.1表明，论域U 上的模糊集A 由隶属函数A μ来表征，A μ的取值范围为闭区间]1,0[，A μ的大小反映了x 对模糊集A 的从属程度，A μ值接近于1，表示x 从属A 的程度很高，A μ值接近于0，表示x 从属A 的程度很低，使5 .0=A μ