湖北省枣阳市育才中学2015-2016学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)

湖北省枣阳市育才中学2015-2016学年度下学期高一年级开学考试

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数x y cos =的图象上一点)2

3

,

6

(

π

处的切线的斜率为（ ）

A ．

B

C ．

D ．1

2

-

2．在边长为4的等边ABC ?中，AB BC

的值等于（ ）

A ．16

B ．16-

C ．8-

D ． 8

3．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．

A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点

B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点

C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点

D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点

4．下列判断正确的是（ ） A ．3.03

.08.05

.1> B ．35.25.15.1>

C ．4

38.08.0< D ．3.031

)4

5()54(<-

5．若集合{0}A x

x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ）

A ．{}1,2

B ．{1}x

x ≤ C ．{1,0,1}- D ．R

6．已知函数()3f x x =的图象为曲线C ，给出以下四个命题：

①若点M 在曲线C 上，过点M 作曲线C 的切线可作一条且只能作一条；

②对于曲线C 上任意一点()()111,0P x y x ≠，在曲线C 上总可以找到一点()22,Q x y ，使1x 和

2x 的等差中项是同一个常数；

③设函数()()2sin2g x f x x =-，则()g x 的最小值是0；

④若()()8f x a f x +≤在区间[]1,2上恒成立，则a 的最大值是1．其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是（ ） A ．()3

f x x = B ．()1

f x x -=-

C ．()2log f x x =

D ．()2x

f x =

8．函数y ＝sin 2

2x 是( )．

A ．周期为π的奇函数

B ．周期为π的偶函数

C ．周期为

2π的奇函数 D ．周期为2

π

的偶函数 9．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

10．已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a//b, 则实数m 等于

(A)(D)0

11．定义集合运算：{}

,,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =，{}0,2B =，

则集合A B *的所有元素之和为

A ．0

B ．2

C ．3

D ．6

12．已知)0(1)(3

≠++=ab bx ax x f ，若k f =)2013(，则=-)2013(f （ ）. A.k B ．k - C.k -1 D.k -2 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=1，A=0

120，E ，F 分别是边AB ，AC 上 的点，

且,AE mAB AF nAC ==

其中,(0,1)m n ∈若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且 41m n +=则MN

的最小值是 .

14．已知函数y=f （x ）对于任意x ∈R 有1(1)()

f x f x +=-

，且当x ∈[-1，1]时，2

()1f x x =+，

则以下命题正确的是：

①函数数y=f （x ）是周期为2的偶函数； ②函数y=f （x ）在[2，3]上单调递增； ③函数4

()()

y f x f x =+

的最大值是4； ④若关于x 的方程2

[()]()0f x f x m --=有实根，则实数m 的范围是[0，2];

⑤当[]12,1,3x x ∈时，1212()()

()22

x x f x f x f ++≥. 其中真命题的序号是__ __

15．函数y=2cos 2

x+sin2x 的最小值 16．函数[]1,1,1)2

1()(-∈+=x x f x

的值域是 ．

三、解答题（70分）

17．(10分）已知幂函数()y f x =的图象过点2? ??

，试求出此函数的解析式，

并作出图象，判断奇偶性、单调性． 18．（本题满分12分）判断函数x

x x f 1

)(+

=在)1,0(上的单调性，并给出证明． 19．(12分）已知32cos cos 2sin 2)(244-++=x x x x f ． （１）求函数)(x f 的最小正周期． （２）求函数)(x f 在闭区间]16

3,16[

π

π上的最小值并求当)(x f 取最小值时，x 的取值集合． 20．（满分14分）已知集合}{

{}121,01A x a x a B x x =-<<+=<<.

（Ⅰ）若1

2

a A B =

时，求； （Ⅱ）若A B φ= ，求实数a.

21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =. (l)求()f x 的单调区间和极值；

(2)若对任意23(0,),()2

x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值．

22．（本大题9分）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时2

2)(x x x f -=，

（1）求)(x f 的表达式；

（2）设0

b ，求a ，b 的值.

参考答案

1．D

【解析】解：因为x y cos =x 6

1

y'sin x y'|sin()62π

=π∴=-∴=-=-，故选D 2．C

【解析】解：因为边长为4的等边ABC ?中，1

44()82

=??-=- AB BC 选C

3．D

【解析】解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象

可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的， 函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：

所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点， 故选D ． 4．A 【解析】

试题分析：3

.0x

y = 在区间()+∞,0上单调递增，且8.05.1>，3.03

.08.05

.1>∴，；选项

B,C 利用指数函数的单调性可排除；选项D ：3

.03

1

3

1454554??

?

??>??? ??=?

?

?

??-

；故选A. 考点：指数函数、幂函数的单调性. 5．A 【解析】

试题分析：由A B B = 知B A ?，故选A 考点：集合的交集． 6．C 【解析】

试题分析：对于①，取()1,1M ，设过点M 的切线切点为()00,N x y ，则()0001

'1

y k f x x -==

-即32

0001

31

x x x -=-……（*），显然（*）式有三解，即过点M 的切线有三条，故①错；对于

②，因为函数()3f x x =的定义域为R ，所以易得②正确；对于③，()3

2sin 2g x x x =-，又()00g =，即()0g x ≥，故③正确；对于④，()()8f x a f x +≤即()3

3

8x a x +≤，化

简可得()222370749a a x a x ????-++

≥?? ???????，当[]1,2x ∈时，2

2230749a a x ?

?++≥ ???恒成立，所以要使()2

22370749a a x a x ??

??-++

≥?? ???????

即0x a -≥恒成立，所以a x ≤又[]1,2x ∈，所以1a ≤，故④正确；所以②③④正确，故选C ．

考点：1．导数的几何意义；2．不等式恒成立；3．转化与化归思想．

7．A 【解析】

试题分析：选项A 中()()3

f xy xy =，()()()3

33

f x f y x y xy ==，则()()()

f x y

f x f y =且为增函数，故A 正确；选项B 中()()1

f xy xy -=-，()()(

)()()

1

1

1

f x f y x

y xy ---=--=，

()f xy 与()()f x f y 不相等，故B 错误；同理选项C 、D 错误．故正确答案选A ．

考点：函数的解析式与单调性． 8．D

【解析】y ＝sin 2

2x ＝142

cos x －＝12－12cos 4x ，则周期为：24π＝2π

，且为偶函数． 9．C

【解析】0

(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=，更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=

10．C

【解析】.221,//),2,(),,1(±=??=?∴==m m m b m m 且 ,所以选C 11．D

【解析】因*{0,2,4}A B =。 12．D 【解析】

试题分析：由33(2013)201320131201320131f k a b k a b k =∴++=∴+=-

()()3

(2013)201320131112f a b k k ∴-=-+-+=-+=-

考点：函数求值

13

．7

【解析】

试题分析：由M ，N 为EF ，BC 的中点得：11=()[(1)(1)]

22MN EB FC m AB n AC +=-+- ，

所

以

2

2

1[(4

M

N =-

，因为,(0,1)m n ∈，41m n +=，所以1(0,)4n ∈，因此当1=7n 时，MN

取最小值7.

考点：向量表示

14．①②④ 【解析】

试题分析：11(1)(2)()()(1)

f x f x f x f x f x +=-

∴+=-=+ ，所f （x ）是周期为2的函数，故①正确；又因为当x ∈[-1，1]时，2

()1f x x =+，可知f （x ）的图

象

由图像可知②正确；由图象可知f （x ）=t ∈[1，2]，函数4

y t t

=+

在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；因为x 的方程2

[()]()0f x f x m --=有实根，所以2

[()]()f x f x m -=，因为f （x ）∈[1，2]，所以2

[()]()f x f x -∈[0，2]，故m 的范围是[0，2]；⑤有图像可知当[]12,1,3x x ∈时，1212()()

()22

x x f x f x f ++<，故⑤错误. 考点：函数的性质. 15．1﹣ 【解析】

试题分析：y=2cos 2

x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+=1+

当

=2k

，有最小值1﹣

,故答案为1﹣

考点：二倍角公式, 三角函数的有界性,辅助角公式，三角函数的最值． 16．]3,2

3

??? 【解析】

试题分析：因为[]1,1x ∈-函数1()(

)2x f x =单调递减，所以11(),222x ??

∈????

，故3(),32f x ??

∈????

.

考点：利用函数的单调性求函数的值域. 17．()1

2

f x x

-=；()f x 为非奇非偶函数，由图可知，函数()f x 在(0)+∞，

递减

【解析】依题意设()f x x α

=，则22

α

=，解得1

2α=-．所以，()1

2f x x -=．

其图象大致为：

因为(0)x ∈+∞，

，所以()f x 为非奇非偶函数，由图可知，函数()f x 在(0)+∞，递减． 18．减函数

【解析】

试题分析：证明函数单调性一般采用定义法，从定义域上任取12x x <，通过作差的方法比较()()12,f x f x 的大小，若()()12f x f x <则函数是增函数，若()()12f x f x >则函数是减函数

试题解析：是减函数． 证明：设1021<<

11()()()(

)f x f x x x x x -=-+- 2

12121)

1)((x x x x x x --=

，

1021<<．∴)(x f 在)1,0(上是减函数．

考点：函数单调性 19．(1) 2

T π

=

;(2) 1-,3{}4π

【解析】 试

题

分

析

：

(1)

x x x x x x f 4222422cos 8cos 83)1cos 2(cos 2)cos 1(2)(+-=--++-=

14cos 2sin 2sin cos 8)cos 1(cos 822222-=-=-=--=x x x x x x ,故周期2

T π

=

;(2)

当π<

0π

<

16[

π

π上减 , 所以当

163π=

x 时,()f x 取得最小值1-，此时x 的集合是3{}4π. 试题解析：（1）x x x x x x f 4222422cos 8cos 83)1cos 2(cos 2)cos 1(2)(+-=--++-=

14cos 2sin 2sin cos 8)cos 1(cos 822222-=-=-=--=x x x x x x ，

所以2

T π

=

（2）当π<

0π

<

所以()f x 在]163,

16[

π

π上减 ,

所以当163π=

x 时,()f x 取得最小值1，此时x 的集合是3{}4π 考点：1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式;3.三角函数的性质 20．（Ⅰ）{}

01x x << （Ⅱ）[)1,2,2?

?

-∞-

+∞ ???

【解析】

试题分析：集合的交并补运算常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，求交集需找两集合重合的部分，两集合交集为空集则需满足两集合无重合部分，求解时集合A 需分是否为空集两种情况

试题解析：（Ⅰ）当12a =

时{}12,012A x x B x x ??

=-<<=<

2分 {}01A B x x ∴=<< 5分

（Ⅱ）当2121a a a ≤--≥+时，从而A φ=故A B φ= 符合题意 2a ∴≤- 8分 当2a >-时，由于A B φ= ，故有11210a a -≥+≤或 10分 解得1

222

a a ≥-<≤-

或

13分 综上所述实数a 的取值范围是[)1,2,2??

-∞-+∞ ???

14分 考点：集合的交集运算

21．(1)单增区间1,e ??+∞ ???，单减区间10,e ?? ???，极小值11

f e e

??=- ???

；(2)4. 【解析】

试题分析：(1)先对函数()f x 求导得到()ln 1f x x '=+，然后分别求出()0f x '>以及

()0f x '<时的x 的取值集合，这两个取值集合分别对应函数的单调增区间和单调减区间，

根据函数的单调性可知函数()f x 在1

x e

=

处取得极小值，求出11f e e ??

=- ???

即可；(2)根据

()0,x ∈+∞，先将式子()232x mx f x -+-≥

化简得，22ln 3

x x x m x ?++≤，构造函数()22ln 3

x x x h x x

?++=，利用函数的单调性以及导数的关系，先求出函数()h x '的零点，

再讨论函数在零点所分区间上的单调性，据此判断函数()h x 在点1x =取得最小值，这个最小值即是m 的最大值.

试题解析：（1) ∵()ln f x x x =， ∴()ln 1f x x '=+，

当()0f x '>时，有 1x e >，∴函数()f x 在1,e ??

+∞ ???

上递增， 3分

当()'0f x <时，有 10x e <<

，∴函数()f x 在10,e ??

???

上递减， 5分 ∴()f x 在1x e =处取得极小值，极小值为11f e e ??

=- ???

. 6分 (2) ()2

23f x x mx ≥-+-

即2

2ln 3mx x x x ≤?++ ，

又0x >， 22ln 3

x x x m x ?++∴≤ ， 8分

令()22ln 3

x x x h x x

?++= ，

()

()()2

222

2

2ln 3'2ln 3'

23

'x x x x x x x x x x h x x x ?++?-?++?+-=

=

， 10分 令()'0h x =，解得1x =或3x =- （舍），

当()0,1x ∈时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1上递减，

当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上递增， 12分

()()min 14h x h ==， 13分

即m 的最大值为4. 14分

考点：1.函数求导；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式恒成立问题；4.利用导数研究函数的极值；5.解不等式

22．(1)f(x)=?????<+≥-0

,20

,22

2

x x x x x x （2）a=1,b=

2

5

1+ 【解析】（1）因为f(x)为奇函数，所以用-x 代替x,用-f(x)代替f(x)代入

22)(x x x f -=,即可得到x<0的解析式，从而得到f(x)在R 上的解析式.

（2）由于0

2)(x x x f -=,由于开口向下，所以先根据f(a)=11

()()f a f a b a

=

=或确定a 可能的取值，然后再进一步研究比较简单.否则要按照轴定区间动的讨论方法分三种情况进行讨论.