初等数论练习题
初等数论练习题
信阳职业技术学院
2010年12月
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。
2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。
3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。
5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。
7、18100被172除的余数是___________。
8、??
?
??10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1
1(mod p )的解数为 。
二、计算题 1、解同余方程：3x 2
11x
200 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解
3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题
1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a
≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。
2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n
2a ≡1(mod 2n+2)。
3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k
(mod p )。
4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
初等数论练习题二
一、填空题
1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。
2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n
22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。
7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、??
?
??10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。
二、计算题 1、试求2004
2003
2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10
6x 180 (mod 5)。
3、已知a=5,m=21,求使a x
1 (mod m)成立的最小自然数x 。
三、证明题
1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。
2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。
3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。
4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 (
1)p 0 (mod 2p 1)。
5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。
初等数论练习题三
一、单项选择题 1、若n ＞1，
(n )=n-1是n 为质数的（ ）条件。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2、设n 是正整数，以下各组a ，b 使a
b
为既约分数的一组数是（ ）。 =n+1,b=2n-1 =2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1 =3n+1,b=5n+2 3、使方程6x+5y=C 无非负整数解的最大整数C 是（ ）。
.24 C
4、不是同余方程28x ≡21(mod 35)的解为（ ）。 ≡2(mod 35)
B. x ≡7(mod 35)
C. x ≡17(mod 35)
D. x ≡29(mod 35)
5、设a 是整数，(1)a ≡0(mod9) (2)a ≡2010(mod9) (3)a 的十进位表示的各位数码字之和可被9整除
(4)划去a 的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除 以上各条件中，成为9|a 的充要条件的共有（ ）。 个
个 个 个
二、填空题
1、σ(2010)=__________；?(2010)=__________。
2、数20100C 的标准分解式中，质因数7的指数是__________。
3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。
4、同余方程24x ≡6(mod34)的解是__________。
5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为_______（填：素数或合数）。
6、3103被11除所得余数是__________。
7、??
?
??9760=__________。 三、计算题 1、判定(ⅰ) 2x 3
x 2
3x 1
0 (mod 5)是否有三个解；
(ⅱ) x 6 2x 5 4x 2 3 0 (mod 5)是否有六个解
2、设n 是正整数，求1
223212C ,,C ,C n n
n n 的最大公约数。
3、已知a=18,m=77,求使a x
1 (mod m)成立的最小自然数x 。
四、证明题
1、若质数p ≥5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。
2、设p 、q 是两个大于3的质数，证明：p 2≡q 2(mod 24)。
3、若x,y ∈R +
,（1）证明：[xy]≥[x][y]； （2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。 注：我们知道，[x y]≥[x]+[y]，{x+y}≤{x}+{y}。此题把加法换成乘法又如何呢
4、证明：存在一个有理数d
c
，其中d < 100,能使 ][d c
k
=][100
73k 。 （提示：由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式来证明）
初等数论练习题四
一、单项选择题 1、若F n =12
n
2+是合数，则最小的n 是( )。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2、记号b a ‖a 表示b a ｜a,但b a+1 |/
a. 以下各式中错误的一个是( )。
A. 218‖20!
B. 105‖50!
C. 119‖100!
D. 1316‖200! 3、对于任意整数n ，最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是( )。 A. 1 B. 4 C. 1或2 D. 1，2或4 4、设a 是整数，下面同余式有可能成立的是( )。
A. a 2≡2 (mod 4)
B. a 2≡5 (mod 7)
C. a 2≡5 (mod 11)
D. a 2≡6 (mod 13)
5、如果a ≡b(mod m)，c 是任意整数，则下列错误的是（ ） A ．ac ≡bc(mod mc) B ．m|a-b C ．(a,m)=(b,m) D ．a=b+mt,t ∈Z 二、填空题
1、d(10010)=_________；φ(10010)=_________。
2、对于任意一个自然数n ，为使自N 起的n 个相继自然数都是合数，可取N=_________。
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件________。
4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是______。
5、同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是_________。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。
7、??
?
??8954=_________。 三、计算题
1、设n 的十进制表示是z xy 4513，若792n ，求x ，y ，z 。
2、求3406的末二位数。
3、求(214928+40)35被73除所得余数。
四、证明题 1、设a 1, a 2,
, a m 是模m 的完全剩余系，证明：
（1）当m 为奇数时，a 1+ a 2+ + a m ≡0（mod m ）； （2）当m 为偶数时，a 1+ a 2+ + a m ≡
2
m
（mod m ）。
2、证明：若m ＞2，a 1, a 2, , a (m)
是模m 的任一简化剩余系，则
).(mod 01
m a
m i i
∑=≡）
（?
3、设m > 0是偶数，{a 1, a 2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }都是模m 的完全剩余系，
证明：
{a 1
b 1, a 2 b 2, , a m b m }不是模m 的完全剩余系。
4、证明：（1）2730∣x 13-x ； （2）24∣x(x+2)(25x 2
-1)； （3）504∣x 9-x 3；
（4）设质数p ＞3，证明：6p ∣x p -x 。
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x 、y 分别通过模m 、n 的完全剩余系，若（ ）通过模mn 的完全剩余系。 、n 都是质数，则my nx B. m ≠n ，则my
nx
C. （m ，n ）=1，则my
nx D. （m ，n ）=1，则mx
ny
2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是( )。 .101 C
3、n 为正整数，若2n -1为质数，则n 是( )。 A.质数 B.合数 (k 为正整数)
4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是( )。 .34 C
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是( )。 .10 C 二、填空题
1、同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是______。
2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指____________。
3、被3除所得的余数为______。
4、设n 是大于2的整数，则(-1)?(n)=______。
5、单位圆上的有理点的坐标是____________。
6、若3258×a 恰好是一个正整数的平方，则a 的最小值为______。
7、??
?
??9758=_________
三、计算题
1、求32008×72009×132010的个位数字。
2、求满足(mn)=(m )+(n )的互质的正整数m 和n 的值。
3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤
四、证明题
1、已知2011是质数，则有2011|
个
2010999???。
2、设p 是4n+1型的质数，证明若a 是p 的平方剩余，则p-a 也是p 的平方剩余.
3、已知p,q 是两个不同的质数，且a p-1≡1 (mod q), a q-1≡1 (mod p), 证明：a pq ≡a (mod pq)。
4、证明：若m,n 都是正整数，则
(mn)=（m,n ）
([m,n ])。
初等数论练习题六
一、填空题
1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，…p 都不能整除2011，此时，质数p 至少是__________。
2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是__________。
3、设3α∣40!，而3α+1|/40!，即3α
‖40!，则α=__________。
4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。
5、不定方程x 2+y 2=z 2,2|x, (x,y)=1, x,y,z>0的整数解是且仅是_________ 。
6、21x ≡9 (mod 43)的解是__________。
7、??
?
??19973 =__________。 二、计算题 1、将
105
17
写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 2、若3是质数p 的平方剩余，问p 是什么形式的质数
3、判断不定方程x 2+23y =17是否有解 三、证明题
1、试证对任何实数x,恒有〔x 〕+〔x+2
1
〕=〔2x 〕。
2、证明：（1）当n 为奇数时，3∣（2n
+1）；
（2）当n 为偶数时，3|/（2n
+1）。
3、证明：（1）当3∣n （n 为正整数）时，7∣（2n
-1）；
（2）无论n 为任何正整数，7|/（2n
+1）。
4、设m ＞0，n ＞0，且m 为奇数，证明：（2m
-1，2n
+1）=1。
初等数论练习题七
一、单项选择题
1、设a 和b 是正整数，则)]
,[,],[(
b
b a a b a =（ ）
。 A ．1 B ．a C ．b D ．(a,b)
2、176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ）。 A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
3、200!中末尾相继的0的个数是（ ）。 A ．49 B ．50 C ．51
D ．52
4、从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ）。 A ．2的倍数
B ．3的倍数
C ．4的倍数
D ．5的倍数
5、设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ）。 A ．
314421++n n B ．121-+n n C ．2512+-n n D ．1
31
++n n
二、填空题
1、314162
被163除的余数是___________。 2、同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 3、。________)1847
365(=
4、［-π］＝___________。
5、为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。
6、如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。
7、同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题 1、求不定方程x 2y 3z = 41的所有正整数解。
2、有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人
3、判断同余方程)(mod 4432862
≡x 是否有解
四、证明题
1、设(a, m) = 1，d0是使a d 1 (mod m)成立的最小正整数，则
(ⅰ) d0(m)；
(ⅱ)对于任意的i，j，0 i, j d0 1，i j，有a i≡/a j (mod m)。
2、证明：设a，b，c，m是正整数，m > 1，(b, m) = 1，并且
b a 1 (mod m)，b
c 1 (mo
d m)，
记d = (a, c)，则b d 1 (mod m)。
3、设p是素数，p b n 1，n N，则下面的两个结论中至少有一个成立：(ⅰ) p b d 1对于n的某个因数d < n成立；
(ⅱ) p 1 ( mod n )。
若2|/n，p > 2，则(ⅱ)中的mod n可以改为mod 2n。
初等数论练习题八
一、单项选择题 1、若n > 1，则(n
1)!
1 (mod n )是n 为素数的（ ）。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2、小于545的正整数中，15的倍数的个数是（ ）。
.35 C 3、500!的标准分解式中7的幂指数是（ ）。 .80 C 4、以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（ ）。
,9,－3,－1 ,－1,7,9 C.5,7,11,13 D.－1,1,－3,3 5、设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ）。 A.
2n 51n 3++ B.1n 21n -+ C.2n 51n 2+- D.1
n 31
n ++ 二、填空题
1、σ（120）=______________。
2、7355的个位数字是______________。
3、同余方程3x ≡5(mod14)的解是______________。
4、（
23
17
）=______________。 5、［-2］＝______________。
6、如果一个正整数具有6个正因数，问这个正整数最小是______________。
7、同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 5)的解是______________。 三、计算题
1、已知563是素数，判定方程x 2 429 (mod 563)是否有解。
2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。
3、试求出所有正整数n ，使得1n ＋2n ＋3n ＋4n 能被5整除。
四、证明题
1、证明：若质数p >2，则2P -1的质因数一定是2pk +1形。
2、设（m,n ）=1,证明：m (n)
+n
(m)
≡1 (mod mn)。
3、设（a,b ）=1,a+b ≠0,p 为一个奇质数，证明：p b
a b a b a p
p 或1),
(=+++。
初等数论练习题九
一、单项选择题
1、以下Legendre 符号等于-1的30被-1是( )。
A. ??
? ??113
B. ??? ??114
C. ??? ??115
D. ??
? ??116
2、100至500的正整数中，能被17整除的个数是( )。 A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
3、设 α3|500!，但13+α|/500！，则α=( )。 A. 245
.246
D. 248
4、以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( )。
A. －14，－4，0，5，15，18，19
B. 7，10，14，19，25，32，40
C. －4，－2，8，13，32，35，135
D. －3，3，－4，4，－5，5，
5、设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( )。
A.(n +1,3n ＋1)=1
B.（2n －1,2n ＋1）=1
C.（2n ,n ＋1）=1
D.（2n ＋1,n －1）=1
二、填空题
1、25736被50除的余数是________________。
2、同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。
3、不定方程9x －12y =15的通解是________________。
4、??
?
??41323 =________________。 5、实数的小数部分记为{x } ，则 {－4
5
}＝________________。
6、为使3n 与4n ＋1 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件________。
7、如果一个正整数具有35个正因数，问这个正整数最小是________________。 三、计算题
1、解不定方程9x ＋24y －5z =1000。
2、设A = {x 1, x 2, , x m }是模m 的一个完全系，以{x }表示x 的小数部分，若(a ,
m ) = 1，求∑=+m
i i m
b
ax 1
}{
。 3、设整数n 2，求：
∑=≤≤1
),(1n i n i i 。即在数列1, 2,
, n 中，与n 互素的整数之和。
4、设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, , x
(m )
是模m 的简化剩余系，求：∑=)
(1
}{m i i m
ax ?。
其中{x }表示x 的小数部分。
四、证明题
1、证明：设a 是有理数，b 是使ba 为整数的最小正整数，若c 和ca 都是整数，则
b ∣
c 。(提示：利用带余数除法解决。)
2、设p 是素数，证明： (ⅰ) 对于一切整数x ，x p
1
1 (x 1) (x 2)(x p 1) (mod p )；
(ⅱ) (p
1)!
1 (mod p )。
3、证明：若2|/n ，p 是奇质数，p ∣a n
-1,则1=???
? ??p a 。
4、证明：若p=4m+1是一质数，则1=）（p
m 。
5、设p 是奇质数，p
1 (mod 4)，则：2
))(
(!2
1-±p 1 (mod p )。
初等数论练习题十
一、单项选择题
1、设p 是大于1的整数，如果所有不大于p 的质数都不能整除p ，则p 一定是（ ）。
A.素数
B.合数
C.奇数
D. 偶数 2、两个质数p ，q ，满足p+q=99，则p
q
q p +的值是（ ）
。 B.
194
9413
C.
999413 D.111
9413
3、2010！的标准分解式中，7的最高幂指数为（ ）。 A ．331 B ．332 C ．333 D ．334
4、n 为正整数，若2n +1为质数，则n 是（ ）。
A ．质数
B ．合数
C ．1
D ．2k
(k 为非负整数) 5、当n ＞2时，欧拉函数
(n )一定是（ ）。
A ．奇数
B ．偶数
C ．1
D ．2 二、填空题
1、如果p 是质数，a 是整数，则有（a ，p ）=1或者_______。
2、设p 是奇质数,(a,p)=1,则a 是模p 的平方非剩余的充要条件是_______。
3、1000开始到2010结束的所有整数中13的倍数有_______个。
4、2756839-1的末位数是_______。
5、不定方程ax+by=c 有解的充要条件是______。
6、写出模12的一个最小非负简化系，要求每项都是7的倍数，此简化系为_______。
7、已知563是质数，则??
?
??5632=_______。 三、计算题
1、若3是质数p 的平方剩余，问p 是什么形式的质数
2、求使12347!被35k 整除的最大的k 值。 四、证明题
1、证明：设7p ≥是一个质数，则存在唯一的一个正整数x ，使得：
{}()()1,2,,1!0mod x p x p ∈-+≡且120p-6。
2、已知9901是素数，试证：49509901(171)+。
3、证明：若p=10n -1是个质数，则1515--n p 。（提示：利用勒让德符号解决。）
4、设p=4n+3是质数，证明当q=2p+1也是质数时，梅森数M p =2p -1不是质数。由此证明：23|（211
-1），47|（223
-1），503|（2251
-1）。
5、证明：设p 是大于5的质数，则
Z p p p p ∈+++-)
1(1
)!1(。
（利用Wilson 定理解决，只需证明：p(p+1) | (p-1)!+p+1。）
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初等数论试卷
初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
初等数论试题
2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103
A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.
8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.
最新初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )
初等数论试卷
一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论试卷
一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 初等数论试卷和答案 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768? 初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab 初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分） 2010年4月高等教育自学考试 一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.??? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?????≡≡≡9).5(mod x 20), 7(mod x 15), 2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2+y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a 初等数论试卷(B) 一，选择题（满分15分，每题3分） 1，下列不正确的是（ ） A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。 B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡. C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则 )(m od 2121m b b a a ≡。 D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 2 2 m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。 2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。 3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A 203，B 607，C 51，D 100 19。 4，同余方程)5(m od 022 ≡+x 的解为（ ） A )5(mod 0≡x ， B )5(mod 4≡x ， C )5(mod 2≡x ， D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ） A ?????≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ， B ?????≡≡)6(mod 1)9(mod 4x x C ?????≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ， D ?? ???≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。 二，填空题（满分10分，每题2分） 1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。 2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。 3，=)16(? 。 4，写出模8的一个简化剩余系： 。 5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。 三，判断题（满分10分，每题2分 ） 02013自学考试初等数论模拟试题（含答案） 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. 附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2 不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。 《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立初等数论试卷和答案
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