初中数学竞赛——圆3.与圆有关的比例线段

初二数学超前班八年级

第3讲与圆有关的比例线段

知识总结归纳

一．相交弦定理

圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O

⊙内一点P，则PA PB PC PD

?=?．

二．相交弦定理的推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

三．切割线定理

如图，在O

⊙中，AB是O

⊙的切线，AD是O

⊙的割线，则2

AB AC AD

=?

四．割线定理

如图，在O

⊙中，PB PD

、是O

⊙的割线，则PA PB PC PD

?=?

A

O ?

D C

B

A

P

初二数学超前班 八年级

2 思维的发掘 能力的飞跃

典型例题

一. 相交弦定理

【例1】 如图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =

_______cm ．

【例2】 如图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =， 1.54AM BM ==，，求OC

的长．

【例3】 如图，O ⊙中半径OC 与弦AB 相交于点P ，351AP BP CP ===，，，则O ⊙的半径为_______；

如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD =_______．

【例4】 如图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么（ ）．

A ．2OP PA P

B =? B ．2P

C PA PB =? C ．2PA PB PC =?

D ．2PB PA PC =?

O ? B P C

A

D

初二数学超前班八年级

二.切割线定理和割线定理

【例5】如图，过点P作O

⊙的两条割线分别交O

⊙于点A B

、和点C D

、，已知32

PA AB PC

===

，，则PD的长是（）．

A．3B．7.5C．5D．5.5

【例6】如图，O

⊙分别与ABC

△的AB AC

、边分别切于点M N

、，交BC边于点E F

、，且BE= EF FC

=．求证：B C

∠=∠．

【例7】如图，在O

⊙中，弦AB和直径CD相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是O

⊙切线，N是切点，若8646

AP PB PD MC

====

，，，，则MN=_______．

【例8】如图，AD为O

⊙直径，AB是O

⊙的切线，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM MN NC

==，若2

AB=厘米，求O

⊙的半径．

O

?

D

M

N

C B

A

O

?

F

E

N

C

B

A

M

O

?

N

C

M D

P

B

A

初二数学超前班 八年级

4 思维的发掘 能力的飞跃

三. 基础练习

【例9】 如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为

_______，:CD DP =_______．

【例10】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于

F ，如果7PF =，且::2:4:1PA AE EB =，求CD 的长．

【例11】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，

5BF

FC

=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_______．

【例12】 如图，在Rt ABC △中，90B ?∠=，AC 切O ⊙于点D ，割线CFG 过圆心，已知O ⊙的直径6

EB =厘米，4AD =厘米，则AE =_______，CO =_______．

G

O

?

E

D

C

B

A

初二数学超前班八年级【例13】如图，EA切O

⊙于点A，AD是直径，EF切O

⊙于点F，交AD延长线于点C，求证：CE CD CF CO

?=?．

【例14】如图，已知ABC

△内接于O

⊙，过A点作O

⊙的切线AE，并作BD AE

∥交AC于点D，且64

AC AD

==

，，则AB=_______．

【例15】如图，PAB为圆的割线，PC为圆的切线，C为切点，由A B

、向切线PC及其延长线作垂线，

E F

、为垂足，且CD BP

⊥．求证：CD是AE与BF的比例中项．

【例16】如图，P是ABCD

□中的边AB的延长线上一点，DP于AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点，求证：EG DE

=．

O

?

D

C

F

E

A

O ?

E D

C

B

A

O

?

F

E

A P

B D

C

E

F

C

D G

P

B

A

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6 思维的发掘 能力的飞跃

【例17】 如图，在ABC △

中，AB AC =，2BC =，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于

点D 、E ，求CDE △的面积．

四. 综合提高

【例18】 如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ?=?．

【例19】 如图，A B 、为圆上两点，经过B 点作O ⊙的切线BC ，经过A 点作弦AD ，延长AD 交切线BC

于C 点，DAB OAB ∠=∠，已知42BC CD ==，

，求AB 的长．

【例20】 如图，ABC △中，已知CM 是C ∠的平分线，AMC △的外接圆交BC 于N ，若1

2

AC AB =

， 求证：2BN AM =．

O ?

D

C

B

A

O ?

D E

B A

O ?

A

M

C B

N

初二数学超前班八年级【例21】如图所示，AB是O

⊙的直径，C是O

⊙上一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点E，AD EC

⊥，垂足为D，AD与O

⊙相交于点F，CG AB

⊥，垂足为G．

求证：BG GA DF DA

?=?．

【例22】如图，ABC

△内接于O

⊙，P为O

⊙外一点，作CPD A

∠=∠使PD交O

⊙于D、E两点，并与AB、AC分别交于M、N，求证：DN NE MN NP

?=?．

【例23】如图，O

⊙与正三角形三边交于6个点，2

AG=，13

GF=，1

FC=，7

HJ=，求DE．

O

?

D M

N

E

P

C

B

A

F

A

B

C D

E

O ?

G

O

?

D

J

B

G

H

A

C

F

E

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8 思维的发掘 能力的飞跃

【例24】 如图，已知AB 切O ⊙于点B ，M 为AB 的中点，过M 作圆的割线MD 交O ⊙于C 、D 两点，

连结AC 并延长交O ⊙于点E ，连结AD 交O ⊙于点F ，求证：EF AB ∥．

【例25】 如图，ABC △的内切圆把BC 边上的中线AD 三等分，AN MN MD ==，且与AB BC CA 、、分

别相切于点G E F 、、，若2AG =，求DE ，并求出:BC AC 的值．

【例26】 如图，锐角ABC △，以BC 边为直径作O ⊙交AB 于G ，过A 作⊙O 的切线AD ，D 为切点．在

AB 上截取AE AD =，过E 作AB 的垂线与AC 的延长线交于F ，求证：AB AC AE AF ?=?．

C B G

E

D A

O

? C

D

F

M B

A

E

N M

G

B

C A

F

E

初二数学超前班八年级【例27】如图，在ABCD

□中，过、、三点的圆交于点，且与相切，若，，求的长．

思维飞跃

【例28】如图，圆的三条弦

1

PP、

1

QQ、

1

RR两两相交，交点分别是A、B、C．已知AP BQ CR

==，111

AR BP CQ

==，求证：ABC

△是正三角形．

【例29】如图，从圆外一点P作⊙O的切线，切点为Q，割线PBC与圆交于B、C两点，QBC

∠的平分线分别交QC、QB于E、D，求证：1

DB EC

QB QC

+=．

A B C AD E CD4

AB=5

BE= DE

C

A

R

Q

P

B

1

R

1

Q

1

P

D

E

C

B

Q

P

初二数学超前班 八年级

10

思维的发掘 能力的飞跃

【例30】 如图，AB 是半圆的直径，AC AB ⊥，AC AB =．在半圆上任取一点D ，作DE CD ⊥，交直

线AB 于点E ．BF AB ⊥，交线段AD 的延长线于点F ．求证：BE BF =．

【例31】 如图，由钝角ABC △的钝角顶点A 引高AD ，以垂足D 为圆心，AD 为半径作圆，分别交AB 、

AC 于M 、N ．如果AB c =，AM m =，AN n =，求AC 的边长．

【例32】 如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．若QP QO =，

则

QC

QA

的值为___________．

D

?

C

B

A

O

?

E D

C

F

B

A

初二数学超前班八年级

作业

1.如图，O

⊙的两条弦AB CD

，交于点P，已知2cm3cm1cm

PA PB PC

===

，，，则PD的长为________．

2.如图，已知在O

⊙中，AP为O

⊙的切线，P为切点，ABC为割线，:1:3645

AB BC AP A?

==∠=

，，，求O

⊙的半径．

3.如图，AB为半圆O的直径，D为AB上任意一点，以AD为直径在已知半圆外部作小半圆

1

O，又CD AB

⊥，交大半圆于点C，BE切小半圆于点E，F是CE的中点．求证：BF CE

⊥．

4.如图，在O

⊙中，半径669

R OM CD CD BM

=⊥==

，，，，则AM=_________；AB=_________；

AC

BD

=_________；O到AB的距离OH=_________．

O

?

C

D

P

A

B

C

A

O

?

B

H

D

M

O

?

?

1

O

B

E

A

C

F

D

初二数学超前班 八年级

12

思维的发掘 能力的飞跃

5. 如图，已知O ⊙的两条直径AB 与CD 垂直，OE OF =，BE 的延长线交DF 于点G ．求证：

FO FB FG FD ?=?．

6. 如图，设AB CD 、是O ⊙的两条平行弦，过点B 作O ⊙的切线与CD 的延长线相交于点G ，在CD

上任取一点P ，连结PA PB 、，与弦CD 相交于点E F 、． 求证：EF FG CF FD ?=?．

7. 如图，过ABC △的外接圆圆心O 作直线OQ AB ⊥，交AB 、BC 、AC 于点F 、P 、Q ，求证：

2OA OP OQ =?．

8. 如图，O ⊙与直角ABC △的斜边AB 相切于D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE BC ∥

．已知

AE =

，AC =6BC =，求O ⊙的半径．

O ?

E G

D

C B

A

F O

?P D

G

A B

F E

C O

?F P

Q

C

B A

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．

初中数学竞赛圆历届考题

初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB 的值. 解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠， 所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5 分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =?=， ∴AD AP 3=， …………………………（10 分） 所以 3==AD AP PD PB . …………………………（15分） 2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C 解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1 ＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则 QA QC 的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 答：D ． 解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ． 即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m m r 2 2-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2 B 1 C 1 （第3题图）

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

九年级数学教案数学教案-和圆有关的比例线段_0172文档

2020 九年级数学教案数学教案－和圆有关的比例线段_0172文档 EDUCATION WORD

九年级数学教案数学教案－和圆有关的比例线段 _0172文档 前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、 系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰 富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。 本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】 教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明． 难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆． 2、教学建议 本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，

做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3． （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习学习 （2）在教学中，引导学生“观察――猜想――证明――应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动． 第1课时：相交弦定理 ： 1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2．学会作两条已知线段的比例中项； 3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神； 4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．： 正确理解相交弦定理及其推论． ： 在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 教学活动设计 （一）设置学习情境（一）设置情境

全国初中数学竞赛《圆》历届真题

点，使得 ∠ADP = ∠ACB ，求 的值. 所以 PB = = 3 . …………………………（15 分） 点 I 关于边 BC ，CA ，AB 的对称点。若点 B 在△A1B1C1 的外C 接 （ 初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04） ．D 是△ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 PB PD 解：连结 AP ，则 ∠APB = ∠ACB = ∠ADP ， 所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5 分） ∴ AB AP = AP AD ， 所以 AP 2 = AB ? AD = 3 A D 2 ， ∴ AP = 3 A D ， …………………………（10 分） AP PD AD 2、 （05）已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1，B1，C1 分别是 B A 1 圆上，则∠ABC 等于（ ） 1 I D A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° A C 答：C 解：因为 IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 B 1 点 I 同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA1 与 BC 的交点为 D ，则 IB ＝IA1 ＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 3． 06） 正方形 ABCD 内接于⊙O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 AC 于点 Q ．若 QP=QO ， 则 QC QA 的值为（ ） D C （A ） 2 3 - 1 （B ） 2 3 （C ） 3 + 2 （D ） 3 + 2 O 答：D ． Q 解：如图，设⊙O 的半径为 r ，QO=m ，则 QP=m ，QC=r ＋m ， A B QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得 QA ·QC=QP ·QD ． P （第 3 题图）

初中数学竞赛——圆3.与圆有关的比例线段

初二数学超前班八年级 第3讲与圆有关的比例线段 知识总结归纳 一．相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O ⊙内一点P，则PA PB PC PD ?=?． 二．相交弦定理的推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 三．切割线定理 如图，在O ⊙中，AB是O ⊙的切线，AD是O ⊙的割线，则2 AB AC AD =? 四．割线定理 如图，在O ⊙中，PB PD 、是O ⊙的割线，则PA PB PC PD ?=? A O ? D C B A P

初二数学超前班 八年级 2 思维的发掘 能力的飞跃 典型例题 一. 相交弦定理 【例1】 如图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = _______cm ． 【例2】 如图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =， 1.54AM BM ==，，求OC 的长． 【例3】 如图，O ⊙中半径OC 与弦AB 相交于点P ，351AP BP CP ===，，，则O ⊙的半径为_______； 如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD =_______． 【例4】 如图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么（ ）． A ．2OP PA P B =? B ．2P C PA PB =? C ．2PA PB PC =? D ．2PB PA PC =? O ? B P C A D

小班数学教案数学教案-和圆有关的比例线段

小班数学教案|数学教案－和圆有关的比例线段教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的 重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主 要应用与圆有关的计算和证明． 难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆． 2、教学建议 本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课 时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3． （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生 研究性学习意识，激发学生的学习热情； （2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动． 第1课时：相交弦定理 教学目标： 1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2．学会作两条已知线段的比例中项； 3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和 探索精神； 4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法． 教学重点： 正确理解相交弦定理及其推论． 教学难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明 中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从 而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 教学活动设计 （一）设置学习情境 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动） ①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B． ②进一步得出：△APC∽△DPB． ． ③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发 生变化吗?为什么? 组织学生观察，并回答． 2、证明： 已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P． 求证：PA·PB＝PC·PD． （A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成） （证明略） （二）定理及推论 1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD． 2、从一般到特殊，发现结论． 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P． 提问：根据相交弦定理，能得到什么结论? 指出：PC2＝PA·PB．

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第19讲转9讲转化灵活的圆中角60

第十九讲 转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化． 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来． 熟悉以下基本图形、基本结论． 注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨． 【例题求解】 【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线AB 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个． 思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系? 分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数． 注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法． 【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB ；③BC BA EF ED ；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

和圆有关的比例线段

和圆有关的比例线段 【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、填空题(8分×5=40分) (1)⊙O 内弦CD 垂直于直径AB ，E 为垂足，且AE=4cm ，BE=9cm ，CD=_4 _. (2)圆内两相交弦，一弦长3cm 被交点平分，另一弦被交点分成1：4，则此弦长为______. (3)已知圆的切线PT 的长是6cm ，割线PAB 的长是9cm ，则弦AB 的长是______. (4)在直径为2的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为3，则过这点的切线长是______. (5)⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，已知：PA=6cm,AB=731 cm,PO=12cm,则⊙O 的半径 为______. 二、选择题(8分×5=40分) (1)圆的两弦相交，一弦被分为12cm 和8cm 两段，另一弦被分为3：8，则另一弦长是( ) A ．11cm B.9 cm C.22cm D.33cm (2)圆内接正方形ABCD 的边长为2,弦AK 平分边BC,则AK 的长为( ) A.556 B.554 C.5 D.221 (3)从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,则从这一点到圆的最短距离是 ( ) A.93 B.93-9 C.95-9 D.9 (4)已知⊙O 外一定点P,P 与O 的距离为4cm,从P 点向圆作切线,切线长与圆的半径之差 为2cm,则圆的半径为( ) A.(1+7)cm B.(7-1)cm 或(1+7)cm C.(7-1)cm 或(1+7)cm D.(7-1)cm (5)已知PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,与圆相交于B 、C 两点,若PB=3,BC=6, 则PA 的长为( )

初中数学竞赛圆

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则 QA QC 的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ， AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等， 则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）． （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心， DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。 9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1， 以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （第3题图） C 1 （第8题） C E I A D B

（ ）。 A 、2a B 、1 C 、2 D 、a 1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点， 使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB 的值. 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作 PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求 证：PE ·AC=CE ·KB ． 6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点 （第4题） C

37-初中数学竞赛中常用重要定理

初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°

初中数学竞赛圆历届考题

初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB 的值. 解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠， 所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =?=， ∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以 3==AD AP PD PB . …………………………（15分） 2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C 解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1 ＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则 QA QC 的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 答：D ． 解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ． 即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m m r 2 2-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2 ＋QO 2 ，即222 2 2m r m m r +=??? ? ??-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC B 1 C 1 （第3题图）

2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、 填空题（每题10分，共80分） 1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02 =++m x x ②，其中 0≠m 。 若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。 2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ， 则梯形ABCD 的面积为_______________。 3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号 都大于等于2的概率为______________。 4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ， h ，使得()()2 2 h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ， 2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ， 7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。 7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1 分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的 5 4 ，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。 二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边 DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 一. 本周教学内容： 切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段 1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。 3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。 4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。 6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 二. 重点、难点： 重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。 易错点分析： 1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。 2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。另外弦切角的三个条件缺一不可。弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。 3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。等积式中的各线段要记牢，不要记混。 【例题分析】 例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。 A F B G E D H C 已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、 ∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CG AF FB DH CH AE BG DE CG AB CD AD BC ，同理，，即 例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EG

2012中考数学复习(45)：圆中成比例的线段

中考数学复习（45）：圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求： （1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ?=2 即)(22x x x +=解得：2= x ， ∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC 由割线定理可得：CM CN AC CD ?=? ∴7 14 2= ?= AC CM CN CD ∴14 145)714214(21)(21=-=-= CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5， ∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ?的值。 分析：由切割线定理有PC PB PA ?=2 ，可得直径BC 的长，要求AE AD ?，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ?=?，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ?=2 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴ 2 1 2010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴2252 2 2 ==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 ? 例1图 O N M D C B A ?例2图 P O E D C B A

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）251±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是

（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1； 答（ ）

试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =

=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。

第二节 直线和园的位置关系、和圆有关的比例线段

第二节 直线和圆的位置关系、 和圆有关的比例线段 知识网络 一、直线和圆的位置关系 1.()()()d r d r d r d r ? ???? ?>?

2.【05连云港】如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为?30，切线CD 与AB 的延长线交于 点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为 （A ）6 （B ）36 （C ）3 （D ）33 3.【05南通海门】 如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD =13 cm ，5 cos 13 B = ，则AC 的长等于 A ．5 cm B ．6 cm C ．10 cm D ．12 cm 4.【05北京】如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。如果OP ＝4，PA =23，那么∠AOB 等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 5.【05河北】已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d 。若直线l 与⊙O 有交点， 则下列结论正确的是 A ．d ＝r B ．d ≤r C ．d ≥r D ．d ＜r 6.【05武汉】已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和 这个圆的位置关系是（ ）. （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相离 7.【05梅山】如图， 点C 是O 上一点，M 、N 分别是CA 、CB 上的点，满足 CM CN CA CB =若点C 在⊙O 上运动，当C 运动到优弧上(不含点A 、点B)时，MN 的长 A.变大 B.变小 C.不变 D.有可能变大，也有可能变小 8.【05重庆课改】如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6㎝ ，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为 A ．45㎝ B ．25㎝ C ．213㎝ D ．13㎝ 二、填空题 （第 9题） D