七升八数学暑假衔接讲义

三角形

第一讲与三角形有关的线段

1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

2.三角形三边的不等关系

三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点。

．．．．．．．．．．．．．

4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）

5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.

三角形三个角的平分线相交于一点

．．．．．．．．．．．．．．．

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角

形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

6.三角形的稳定性:

例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.

例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。

例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.

例4.已知等腰三角形的周长是16cm．

（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；

（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；

（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．

例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

例6.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。

※例7.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC 的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.

【课堂练习】

1.下列说法错误的是( ).

A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点；

B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；

D.三角形的三条高可能相交于外部一点

2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )

A.1、2、3

B.1、2、4

C.2、3、4

D.2、3、6

3.已知三角形的周长为15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（）

A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.4cm

4.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．9

5.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|AC－BC|=2 cm，则腰长AC为( )

A.10 cm或6 cm

B.10 cm

C.6 cm

D.8 cm或6 cm

6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

7.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ]

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角三角形

8.如图,在△ABF中，∠B的对边是（）

A.AD

B.AE

C.AF

D.AC

9.图中三角形的个数是（）

A．8 B．9 C．10 D．11

10.已知，如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为（）

A. S1>S2

B. S1=S2

C.S1

D. 不能确定

11.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4

4 的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是( ).

A.8

B.9

C.10

D.11

12.图中有个三角形，用符号表示为

13.图中共有个三角形。

14.如图，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =1

2

∠；E在AC上，且AE=CE,则BE是

△ABC的；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB.

15.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE=

16.如图,以AD为高的三角形共有

17.如图，AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,则△ADE的边DE上的高为，AE上的高为

18.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是

19.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．?

若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；?若x?是偶数，则x?的值是______；这样的三角形又有________个．

20.现有8根木棒，它们的长分别是1,2,3,4,5，6,7,8，若从8根木棒中抽取3根拼成三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2，那么可以拼成的不同的三角形的有种。

21.一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是

22.如上图，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。

23.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边分别是________cm.

24.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长________

25.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.

26.已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC 的周长，判断△ABC的形状．

27.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，?若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小

值为多少？

28.已知，△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.

29.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.

30.在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数.

31.如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC＝10厘米，∠CAB=900,试求：（1）AD的长；

（2）△ABE的面积；

（3）△ACE与△ABE的周长的差。

【课后练习】

1.如图，以BC为公共边的三角形的个数是（）

Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5

2.如图，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是（）

A.OE为△ABD中AB边上的高

B.OD为△BCE中BC边上的高

C.AE为△AOC中OC边上的高

D.OF为△AOC中AC边上的高

3.如图，在△ABC中EF∥AC，BD⊥AC于D，交EF于G，则下面说话中错误的是（）

A.BD是△ABC的高

B.CD是△BCD的高

C.EG是△ABD的高

D.BG是△BEF的高

4.在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）

A.4对

B.5对

C.6对

D.7对

5.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a,b,c为边组成的三角形共有（）

A．1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定

，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）

6.如果线段a b c

A.1:2:4

B.1:3:4

C.3:4:7

D.2:3:4

7.三角形的一条高是一条（）

A.直线

B.垂线

C.垂线段

D.射线

8.下列说法中，正确的是（）

A.三角形的角平分线是射线

B.三角形的高总在三角形的内部

C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段

D.三角形的中线在三角形的内部 9.下列说法正确的是〔 〕

A.直角三角形只有一条高

B.三角形的三条中线相交于一点

C.三角形的三条高相交于一点

D.三角形的角平分线是射线

10.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm 和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取〔 〕的木棒.

A.10cm

B.20cm

C.50cm

D.60cm

11.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm

C.5cm

D.4cm

12.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm

C.15cm 或18cm

D.不能确定

13.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ） A.3，4，5

B.3a ，4a ，5a

C.3+a ，4+a ，5+a

D.三条线段之比为3∶5∶8

14.在△ABC 中,AD 是BC 上的中线,且S △ACD =12,则S △ABC =

15.若a b c ，，为ABC △的三边，则a b c a b c

---+______0（填“＞，＝，＜”）．

16.如图，在△ABC 中，BC 边上的高是________；在△AFC 中，CF 边上的高是________；在△ABE 中，AB 边上的高是________

17.如图，△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则△ABH 的三条高是_______，这三条高交于________.BD 是△________、△________、△________的高.

18.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x （cm ）的范围是______

19.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a 的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b 的取值范围是_______.

20.用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是__________

21.小鹏同学有长分别为10cm，8cm，9cm，2cm的四根小木棒，用来钉成三角形.请你帮他设计，可钉成几种不同的三角形.

22.已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.

23.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.

24.在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

25.两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？

26.如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C=600，∠B=280，求∠DAE的度数。

27.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；

(3）若△ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

28.如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC 的周长吗？