概率论与数理统计 知识点总复习
随机事件和概率 第一节 基本概念
1、排列组合初步 （1）排列组合公式
)!
(!
n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!
(!!
n m n m C n m -=
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 (4)一些常见排列
① 特殊排列 相邻 彼此隔开
顺序一定和不可分辨
② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题
2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系：
如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ?
如果同时有
B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A 、
B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为
A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
A 、
B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事
件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事
件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
∞
=∞==1
1
i i
i i A
A
B A B A =，B A B A =
3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设Ω为样本空间，
A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数
P(A)，若满足下
列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件1A ，
2A ，…有
∑∞=∞==???? ??11)(i i i i A P A P
常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° {}n ωωω 21,=
Ω，
2° n
P P P n 1)()()(21=
==ωωω 。 设任一事件
A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有
P(A)=
{})()()(21m ωωω =)()()(21m P P P ωωω+++
n m =
基本事件总数
所包含的基本事件数A = 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式
定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称
)()
(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B
发生的条件概率，记为=)/(A B P )
()
(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()
(A B P A P AB P =
更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有
21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。
（4）全概公式 设事件
n B B B ,,,21 满足
1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，
2°
n
i i
B A 1
=?，
则有
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。
此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式
设事件1B ，2B ，…，n B 及
A 满足
1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，
)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，
2° n
i i
B A 1
=?，
0)(>A P ，
则
∑==
n
j j
j
i i i B A P B P B A P B P A B P 1
)
/()()
/()()/(，i=1，2，…n 。
此公式即为贝叶斯公式。
)(i B P ，
（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 设事件A 、B 满足
)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的
（这个性质不是想当然成立的）。
若事件
A 、
B 相互独立，且0)(>A P ，则有
)()()
()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===
所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件
A 、
B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。
（证明）
由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明） 同时，?与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性
设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验
定义 我们作了n 次试验，且满足 ◆ 每次试验只有两种可能结果，
A 发生或A 不发生；
◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
◆
每次试验是独立的，即每次试验
A 发生与否与其他次试验A 发生与否是
互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。 用
p 表示每次试验A 发生的概率，
则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n
重伯努利试验中
A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k
n k k
n n q p k P C -=)(，
n k ,,2,1,0 =。
随机变量及其分布 第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是
==)(ωX X ??
?，当反面出现
，当正面出现01
称
X
为随机变量。又由于
X
是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X
实际上是基本事件ω的函数，即X=X(ω)。同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。
定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X 。
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的
情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为
P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给
出：
,,,,,,,,|
)(2121k k k p p p x x x x X P X =。
显然分布律应满足下列条件： （1）0≥k p ， ,2,1=k ，
（2）
∑∞
==1
1
k k p 。
（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有0)(==x X P ，不可能用分布率表达。例如
日光灯管的寿命X ，0)(0==x X P 。所以我们考虑用X
落在某个区间],(b a 内
的概率表示。
定义 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数
)()(x X P x F ≤=
称为随机变量X 的分布函数。
)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。也就
是说，分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性。
分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
)(x F 的图形是阶梯图形， ,,21x x 是第一类间断点，随机变量X
在k x 处
的概率就是)(x F 在k x 处的跃度。
分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0≤≤
x F +∞<<∞-x ；
2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ；
3° 0)(lim )
(==-∞-∞
→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞
→x F F x ；
4° )()
0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的；
5° )0()()(--==x F x F x X P 。
（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设)(x F 是随机变量
X
的分布函数，若存在非负函数
)(x f ，对任意实数x ，
有
?∞
-=x
dx
x f x F )()(，
则称
X
为连续型随机变量。
)(x f 称为X
的概率密度函数或密度函数，简称概率
密度。
)(x f 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。
由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数。 所以，
)
()()()()()(1221212121x F x F x X x P x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤<=≤≤
密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。
2°
?
+∞
∞
-=1
)(dx x f 。
1
)()(==+∞?
+∞∞
-dx x f F 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积
等于1。
如果一个函数)(x f 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。
3°
)(21x X x P ≤<＝)()(12x F x F -＝?2
1
)(x x dx x f 。
4° 若
)(x f 在x 处连续，则有)()(x f x F ='。
dx x f dx x X x P )()(≈+≤<
它在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理
论中所起的作用相类似。
)
(),(,独立性古典概型，五大公式，A P A E →→
Ω→ω
)()()()(x X P x F x X X ≤=→≤→ωω
对于连续型随机变量X
，虽然有0)(==x X P ，但事件)(x X =并非是不可能
事件?。
?+=+≤<≤=h
x x
dx x f h x X x P x X P )()()(
令0→h ，则右端为零，而概率0)(≥=x X P ，故得0)(==x X P 。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 ①0－1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布
在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，
设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。
k
n k k
n n q p k P k X P C -===)()(， 其中
n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，
则称随机变量X 服从参数为n ，
p 的二项分布。记为),(~p n B X 。
n
k n k k n
n n n n
p q p q p npq q k X P X
C C ,,,,,,|)(2221 ---=
容易验证，满足离散型分布率的条件。 当1=n
时，k k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）
分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量
X
的分布律为
λλ-=
=e k k X P k
!
)(，0>λ， 2,1,0=k ，
则称随机变量
X 服从参数为λ的泊松分布，记为
)(~λπX 或者P(λ)。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。
如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。 ④超几何分布
),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n
N
k
n M
N k M ==?==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布。 ⑤几何分布
,3,2,1,)(1===-k p q k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。
随机变量X 服从参数为p 的几何分布。 ⑥均匀分布 设随机变量X
的值只落在[a ，b]内，其密度函数
)(x f 在[a ，b]上为常数k ，即
??
?=,0,
)(k x f 其他，
其中k=
a
b -1
， 则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。 分布函数为
?∞
-=
=x
dx x f x F )()(