北师大数学选修2-1练习：第2章 空间向量与立体几何 3 第1课时
第二章 §3 第1课时
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量a 、b 不共线，p ＝m a ＋n b ，则p ＝0的充要条件是( B ) A ．mn ＝0 B ．m ＝0且n ＝0 C ．m ＋n ＝0
D ．m ＝n
[解析] ∵a 、b 不共线，p ＝m a ＋n b ＝0，∴m ＝0且n ＝0.故选B ． 2．已知m ＝a ＋b ，n ＝2a ＋2b (a 、b 不共线)，则m 与n ( A ) A ．共线 B ．不共线 C ．不共面
D ．以上都不对
[解析] ∵n ＝2m ，∴m 与n 共线．故选A ．
3．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( D )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．0
[解析] ∵m 与n 共线，∴x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )． ∴????
?
x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .
∴???
?
?
x ＝1，y ＝－1.
∴x ＋y ＝0.
4．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( A )
A ．(12,14,10)
B ．(10,12,14)
C ．(14,12,10)
D ．(4,3,2)
[解析] OA →
＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k .
5．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OG →
等于( A )
A ．13a ＋13b ＋13c
B ．12a ＋12b ＋12c
C ．a ＋b ＋c
D ．3a ＋3b ＋3c
[解析] 如图，取AB 的中点M ，连接CM ，则必过G 点，则CM →＝12(CA →＋CB →)＝12[(OA →－OC →
)
＋(OB →－OC →
)]＝12a ＋12
b －
c .
CG →＝23CM →＝13a ＋1
3b －23
c ，
所以OG →＝OC →＋CG →＝13a ＋13b ＋1
3c .故选A ．
6．下列各命题中，正确的是( B ) A ．单位向量都相等
B ．若OP →＝12OA →＋13
OB →
，则O 、P 、A 、B 共面
C ．若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，当x ＋y ＋z ＝1时，四点P 、A 、B 、C 共线
D ．如果向量a 、b 、c 不是共面向量，那么对于空间任意一个向量p 均可用a 、b 、c 表示，但表示方法是不唯一的
二、填空题
7．设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的__必要不充分__条件．
8．{a ，b ，c }构成空间中的一个基底，x 1x 2＝y 1y 2＝z 1
z 2
是p ＝x 1a ＋y 1b ＋z 1c 与q ＝x 2a ＋y 2b ＋z 2c
共线的__充分不必要__条件．
三、解答题
9．如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →
＝b ，OC →＝c .试用向量a 、b 、c 表示向量OG →.
[解析] 设BC 的中点为D ．
∵OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，
AD →＝OD →－OA →，OD →＝12(OB →＋OC →)，
∴OG →＝OA →＋23AD →
＝OA →＋23
(OD →－OA →)
＝OA →＋23×12(OB →＋OC →
)－23OA →
＝13OA →＋13OB →＋13OC →＝13a ＋13b ＋1
3
c . 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，试求向量OA 1→，AM →
的坐标．
[解析] 设正方体的棱长为1，如图，可设DA →＝e 1，DC →＝e 2，DD 1→
＝e 3，以e 1，e 2，e 3为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz .
∵OA 1→＝DA 1→－DO → ＝DA →＋AA 1→－12(DA →＋DC →)
＝DA →＋DD 1→－12DA →－12DC →
＝12e 1－1
2e 2＋e 3， ∴OA 1→
＝(12，－12
，1)．
又AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DD 1→
＝－e 1＋12e 3，
∴AM →
＝(－1,0，12
)．
综上：OA 1→＝(12，－12，1)，AM →
＝(－1,0，12
)．
B 级 素养提升
一、选择题
1．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 、N 分别BB 1，AC 的中点，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→
＝c ，
则NM →
等于( D )
A ．1
2(a ＋b ＋c )
B ．1
2(a ＋b －c )
C ．1
2
(a ＋c )
D ．a ＋1
2
(c －b )
[解析] 因为NM →＝NA →＋AB →＋BM →
＝－12b ＋a ＋12
c ，所以选D ．
2．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( C )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．无法确定
[解析] ∵a ＝12p ＋1
2q ，∴a 与p 、q 共面，
∵b ＝12p －1
2q ，∴b 与p 、q 共面，
∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，
∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．
3．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，又d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α、β、γ分别为( A )
A ．52，－1，－12
B ．52，1，1
2
C ．－52，1，－12
D ．52，1，－12
[解析] d ＝αa ＋βb ＋γc ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又因为d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，
所以有：????
?
α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，
α－β＋γ＝3.
解得?????
α＝5
2，β＝－1，
γ＝－12.
4．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →
所成的角为( D ) A ．60° B ．150° C ．90°
D ．120°
[解析] 由条件知，|BA 1→|＝2a ，|AC →
|＝2a ， BA 1→·AC →＝(AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →) ＝AA 1→·AB →－|AB →|2＋AA 1→·AD →－AB →·AD →
＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，
∴cos 〈BA 1→，AC →
〉＝BA 1→·AC →
|BA →|·|AC →|＝－a 22a ·2a ＝－12.
∴向量BA 1→与AC →
所成的角为120°，故选D ． 二、填空题
5．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中
点，则在如图所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是__(－2，－1，－4)__，A 1B →
的坐标是__(－4,2，－4)__.
[解析] DO →＝－OD →＝－12OA →－12OB →－OO 1→＝－2i －j －4k ；A 1B →＝A 1A →＋AO →＋OB →
＝－4k －4i
＋2j .
∴DO →＝(－2，－1，－4)，A 1B →
＝(－4,2，－4)．
6．三棱锥P －ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →
的坐标为__(12，0，－12
)__.
[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →，即MN →
＝????12，0，－12. 三、解答题
7．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．
(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ∶EC ′＝1∶2， ∴AE →＝13AC ′→
＝13(AB →＋BC →＋CC ′→) ＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.
(2)∵F 为B ′D ′的中点，
∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)
＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→
＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12
.
(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→
，∴x ＝12
，y ＝0，z ＝0.
8．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→
}为基底，求下列向量的坐标．
(1)AE →，AG →，AF →；(2)EF →，EG →，DG →. [解析] (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→
＝AD →＋12AA ′→
＝(0,2，32
)，
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →
＝(1,1,0)，
AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F → ＝AA ′→＋AD →＋12AB →
＝(1
2，2,3)． (2)EF →＝AF →－AE →
＝(AA ′→＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA ′→)
＝12AA ′→＋12AB →＝(12，0，3
2)， EG →＝AG →－AE →
＝(AB →＋12AD →)－(AD →＋12
AA ′→)
＝AB →－12AD →－12AA ′→
＝(1，－1，－32)，
DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →
＝AB →－12AD →
＝(1，－1,0)．
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