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泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷
题 序 一 二 三 四 五 总分
成 绩 签 名
一、单项选择题:(20%,每空2分)
1.设A={a,{a}},下列命题错误的是( B )。
A .{a}∈P(A)
B .{a}?P(A)
C .{{a}}∈P(A)
D .{{a}}?P(A)
2、假定全集E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5},B ={2,3,4,7,8,9},则A ∪B 的位串是( D )。
A .01
B .0011100000
C .00
D .00 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。
A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A)
B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A)
C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A)
D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A)
4.设p :你主修计算机科学,q :你是新生, r :
你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生,你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A .r →p ∨q
B .r →p ∧q
C .r →p ∨q
D .r →p ∨q
5.下列是两个命题变元p ,q 的极小项是( A )
A .┐p ∧q
B .┐p ∨q
C .p ∧┐p ∧q
D .┐p ∨p ∨q
6、下列等值式不正确的是( C )
A .┐(?x)A ?(?x)┐A
B .(?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x)
C .(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)
D .(?x)(?y)(A(x)→B(y))?( ?x)A(x)→(?y)B(y) 7、若s={1,2,3,4},S 上关系R 的关系图为:
则R 具有( B )性质。
A 、自反性
B 、自反性、对称性
C 、反自反性、反对称性
D 、自反性、对称性、传递性
8.设A={a,b,c,d},A 上的等价关系R={,,
A .{{a},{b,c},{d}}
B .{{a,b},{c},{d}}
C .{{a},{b},{c},{d}}
D .{{a,b},{c,d}}
9、设A={1,2,3},则A 上的二元关系有( C )个。
A. 23
B. 32
C. 3
32
?
D. 2
23?
10.下列函数是双射的为( A ),其中:I —整数集,E —偶数集, N —自然数集,R —实数集。
A. f : I →E , f (x) = 2x
B. f : N →N ?N, f (n) =
C. f : R →I , f (x) = [x]
D. f :I →N, f (x) = | x |
二.填空题(20%,每题2分)
1.集合的表示法有 列举法、描述法 。
。则设、 } {0 A 1
==??????=∞
=I i i i A i i ,...,,,,,3211023.令p :今天下雪了,q :路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为 p →q 。
得 分 评卷人
得 分 评卷人
4.复合命题(p →q)∨(p →q)是___ 永真____式(永真式或永假式或可满足式)。 5.令谓词P(x,y)表示”x 爱y ”,个体域是全世界所有人的集合,用P(x,y)、量词和逻辑词符号化“所有人都爱某些人”: xyP(x,y) 。 6.xF(x)xG(x)的前束范式是 yx F(y) G(x) 。 7.设
A={a,b,c,d},下列左图所示关系矩阵所表示的关系
?
?
??
?
????
???=0100
011010010011R M
8、设某偏序集的哈斯图如下列右图,该偏序集的拓扑排序为 1,5,3,2,7,9,6,4,8 。
9、设f :N →N ,且???
??=为偶数当为奇数当x 2
x x ,,)(1x f ,则f({1,3,4,6}= {1,2,3} 。
10、给定函数f :S →S,S=[0,1],f(x)=x/2+1/4,f 是___单射______(满射或单射或双射或都不是)。
三、计算题(20%,每题5分)
1、问A ∪(BC)=(A ∪B)(A ∪C)吗为什么
解:上式不成立。
设A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5} 有:
A ∪(BC)= {1,2,3}∪{2,5}={1,2,3,5} (A ∪B)(A ∪C)= {1,2,3,4}{1,2,3,4,5}={5}
2、求公式(p ∧q)∨r 的标准析取范式,再根据标准析取范式求标准合取范式。
解:(p ∧q)∨r
(pqr)(pqr) (pqr) (pqr)(pqr)(pqr) m 1?m 3?m 5? m 6?m 7 M 0∧M 2∧M 4
3、设A={a,b,c,d},其上关系R={,,
求(1)R οS
(2)R 的对称闭包及传递闭包。 解:
(1) R οS={,}
(2) R 的对称闭包S(R)= {,,
得 分 评卷人
4、设
}
,
,
,
,
{
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
A=,偏序集>
A,的Hass图为: 求①A中最小元与最大元。 ②{x2,x3,x4}的极小元和极大元。 ③{x2,x3}的上界与下界。 ④{x3,x4}的上确界与下确界。 解: ①A中无最小元,最大元为x1。 ②{x2,x3,x4}的极小元为x4,极大元为x2,x3。 ③{x2,x3}的上界为x1,下界为x4。 ④{x3,x4}的上确界为x3,下确界为x4。 四、证明题(20%,每题5分) 1、设A、B是任意集合,证明:(A-B)∪(B-A)= (A∪B)-(A∩B) 证: =(A∪B)-(A∩B) =(A∪B)∩~ (A∩B) =(A∪B)∩(~A∪~B) =A∩(~A∪~B))∪B∩(~A∪~B) =A∩~B∪B∩~A =(A-B)∪(B-A)2、证明下列推理: 前提:(pq) r, rs, sp 结论:q 析取三段论 置换 拒取式 化简 化简 前提引入 假言三段论 前提引入 前提引入 (5)(8) q (9) (7) q p (8) (3)(6) q) (p (7) (2) s (6) (2) (5)p p s (4) (1)(2) s ) (p (3) s (2)r r ) (p )( ? ? ∨ ? ∧ ? ? ∧ ? → ∧ → → ∧ q q 1 3、设F,G是任意的关系,证明:(FG)-1= G-1?F-1 1 1 1 1 1 1 - - - - - - >∈ ?< >∈ < ∧ >∈ < ? ? >∈ < ∧ >∈ < ? ? >∈ < ∧ >∈ < ? ? >∈ ?< >∈ < > < F G y x F y t G t x t G t x F y t t G x t F t y t ο ο ο , ) , , ( ) , , ( ) , , ( G F x y, G) (F y x, y x, 任取 证: 得分评卷人 4. 任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车,对于每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车,有的人不爱骑自行车,因而有的人不爱步行。逻辑推证此结论的有效性。 (设个体域是人类) Q(x):x 喜欢步行; S(x):x 喜欢乘汽车 ; R(x):x 喜欢骑自行车。 前提:x(Q(x) S(x)), x(S(x) R(x)), xR(x) 结论:xQ(x) 规则 拒取式规则前提引入析取三段论规则前提引入规则前提引入证: (8)EG Q(x)x (9)(5)(7) Q(a) (8)(6)US S(a)(7)Q(a) S(x))x(Q(x)(6)(2)(4) (5)S(a)(3)US R(a)S(a) (4) ) R(x)x(S(x)(3)ES (1) R(a)(2) R(x)x (1)????→?→?∨∨???? 五、判断题(20%,每题2分) (在括号中写“对”或“错”) 1、 gcd(21,7)的值为7,的值为-2。( 对 ) 2、 设A,B,C 均为E 的子集,则ABA ∪(B-A)=A 。( 错 ) 3、间接证明法可形式化地表示为:A →BB →A 。( 对 ) 4、对每个最大项而言,只有与下标编码相同的赋值是成假赋值,其余都是成真赋值。( 对 ) 5、设个体域是整数集Z ,则xyz((x+y=z)的真值为1。( 错 ) 6、逻辑公式 (xF(x) yG(y)) yG(y)不是永真式。( 对 ) 7、因为若R 是A 上的关系,且m,nN ,则R m R n =R m+n ,所以RR -1=R 0=I A. ( 错 ) 8、一个关系若是自反的,则必定不是反自反的,若是对称的,则必定不是反对称的。( 错 ) 9、设A={a,b,c,d,e},R={,, 10、设A={1,2,3,4},A →A 的函数f={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<4,1>},则f 的反函数不存在。( 对 ) 离散数学试题(A卷及答案) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分) 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D (7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍 证明设 1 a,2a,…,1+m a为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数 只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知, 1 a,2a,…,1+m a这m+1个整 数中至少存在两个数 s a和t a,它们被m除所得余数相同,因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分)证明∵x∈ A-(B∪C)? x∈ A∧x?(B∪C)? x∈ A∧(x?B∧x?C)?(x∈ A∧x?B)∧(x∈ A∧x?C)? x∈(A-B)∧x∈(A-C)? x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={ 离散数学考试试题(A 卷及答案) 一、(10分)求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解:(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解 设设P :王教授是苏州人;Q :王教授是上海人;R :王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P ∧Q 乙:?Q ∧P 丙:?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P ,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 系 专业 年级 班级 学号 姓名 ……………………装……………………订……………………线…………………… 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 题 序 一 二 三 四 五 总分 成 绩 签 名 一、单项选择题:(20%,每空2分) 1.设A={a,{a}},下列命题错误的是( B )。 A .{a}P(A) B .{a}P(A) C .{{a}}P(A) D .{{a}}P(A) 2、假定全集E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5},B ={2,3,4,7,8,9},则A ∪B 的位串是( D )。 A .01 B .0011100000 C .00 D .00 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4.设p :你主修计算机科学,q :你是新生, r :你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生,你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A .r →p ∨q B .r →p ∧q C .r →p ∨q D .r →p ∨q 5.下列是两个命题变元p ,q 的极小项是( A ) A .┐p ∧q B .┐p ∨q C .p ∧┐p ∧q D .┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是( C ) A .┐(x)A(x)┐A B .(x)(B →A(x))B →(x)A(x) C .(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) D .(x)(y)(A(x)→B(y))( x)A(x)→(y)B(y) 7、若s={1,2,3,4},S 上关系R 的关系图为: 则R 具有( B )性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8.设A={a,b,c,d},A 上的等价关系R={,, 离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例 1 The Foundations: Logic and Proofs(逻辑与证明) 1.1 Propositional Logic(命题逻辑) Propositions(命题)——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句,正确性唯一。 Truth Table(真值表) Conjunction(合取,“与”,and),Disjunction(析取,or,“相容或”),Exclusive(异或),Negation(非,not),Biconditional(双条件,双向,if and only if) Translating English Sentences 1.2 Propositional Equivalences(命题等价) Tautology(永真式、重言式),Contradiction(永假式、矛盾式),Contingency(偶然式) Logical Equivalences(逻辑等价)——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.(真值表相同的式子,p<->q是重言式) Logical Equivalences——Page24 Disjunctive normal form(DNF,析取范式) Conjunctive normal form(CNF,合取范式) 见Page27~29 1.3 Predicates and Quantifiers(谓词和量词) Predicates——谓词,说明关系、特征的修饰词 Quantifiers——量词 ? Universal Quantifier(全称量词) " 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ). 习题1.1 2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 (3)大雁北回,春天来了。 (4)不是东风压倒西风,就是西风压倒东风。 (5)张三和李四在吵架。 解:(3)和(4)是复合命题,(5)是原子命题。 习题1.2 1. 指出下列命题的真值: (1)若224+>,则太阳从西方升起。 解:该命题真值为T (因为命题的前件为假)。 (3)胎生动物当且仅当是哺乳动物。 解:该命题真值为F (如鸭嘴兽虽是哺乳动物,但不是胎生动物)。 2. 令P :天气好。Q :我去公园。请将下列命题符号化。 (2)只要天气好,我就去公园。 (3)只有天气好,我才去公园。 (6)天气好,我去公园。 解:(2)P Q →。 (3)Q P →。 (6)P Q ?。 习题1.3 2. 将下列命题符号化(句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示): (1)我去新华书店(P ),仅当我有时间(Q )。 (3)只要努力学习(P ),成绩就会好的(Q )。 (6)我今天进城(P ),除非下雨(Q )。 (10)人不犯我(P ),我不犯人(Q );人若犯我,我必犯人。 解:(1)P Q →。 (3)P Q →。 (6)Q P ?→。 (10)()()P Q P Q ?→?∧→。 习题1.4 1. 写出下列公式的真值表: (2)()P Q R ∨→。 解:该公式的真值表如下表: 2. 证明下列等价公式: (2)()()()P Q P Q P Q ∨∧?∧???。 证明: ()(()()) ()()) ()() ()() P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ????∧∨?∧???∧∧??∧???∧∧∨?∨∧?∧ (4)()()()P Q P R P Q R →∧→?→∧。 证明: ()()()() () () P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→??∨∧?∨??∨∧?→∧ 3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后,有人问他们谁的成绩最好,甲说,不是我。乙说:是丁。丙说:是乙。丁说:不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际,问成绩最好的是谁? 解:设A :甲成绩最好。B :乙成绩最好。C :丙成绩最好。D :丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示,则 P A ??;Q A B C D ??∧?∧?∧;R A B C D ??∧∧?∧?;S D ??。 则只有一人符合实际的命题K 符号化为 ()()()() K P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ?∧?∧?∧?∨?∧∧?∧?∨?∧?∧∧?∨?∧?∧?∧ 《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少? 一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 一、单项选择题:(20%,每空2分) 1.设A={a,{a}},下列命题错误的是( B )。 A .{a}∈P(A) B .{a}?P(A) C .{{a}}∈P(A) D .{{a}}?P(A) 2、假定全集E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5},B ={2,3,4,7,8,9},则A ∪B 的位串是( D )。 A .1000000001 B .0011100000 C .0111001110 D .0111101110 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4.设p :你主修计算机科学,q :你是新生, r : 你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生,你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A .r →p ∨q B .r →p ∧q C .r →p ∨?q D .r →p ∨?q 5.下列是两个命题变元p ,q 的极小项是( A ) A .┐p ∧q B .┐p ∨q C .p ∧┐p ∧q D .┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是( C ) A .┐(?x)A ?(?x)┐A B .(?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x) C .(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D .(?x)(?y)(A(x)→B(y))?( ?x)A(x)→(?y)B(y) 7、若s={1,2,3,4},S 上关系R 的关系图为: 则R 具有( B )性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8.设A={a,b,c,d},A 上的等价关系R={,, 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) x A(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D,(C∨D)E, E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S证明:(1) (C∨D) E ?P (2) E(A∧B) ??P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I (4) (A∧B)(R∨S)??P (5) (C∨D)(R∨S) ? T(3)(4),I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 ∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。 证明:∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) xA∧(xB∧x C) (x A∧x B)∧(x A∧xC) x(A-B)∧x(A-C) x(A-B)∩(A-C) ∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={ 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题(每空2分,合计20分) 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤,():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生,:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =,{2,4,6}B =,则A B -=________,A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =,在集合A 上定义两种关系: {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>, 则_______________S R =ο,_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元,若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7. 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系,则偏序集,A <>p 的最大元是________,极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树,有_____个内点;而若一棵树有2个结点度数为2,一 个结点度数为3,3个结点度数为4,其余是叶结点,则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =,若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ,则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题(每题2分,合计20分) 1.下列各式中哪个不成立( )。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ; B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?; C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?; D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 离散数学及应用课后习题答案 【篇一:离散数学及其应用图论部分课后习题答案】 p165:习题九 1、给定下面4个图(前两个为无向图,后两个为有向图)的集合 表示,画出它们的图形表 示。 (1)g1??v1,e1?,v1?{v1,v2,v3,v4,v5}, e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v3),(v4,v5)} (2)g2??v2,e2?, v2?v1,e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5),(v5,v1)} (3) d1??v3,e3?,v3?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v3?,?v3,v2?,?v4,v5?,?v5,v 1?} (4) d2??v4,e4?,v4?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v5?,?v5,v2?,?v3,v4?,?v4,v 3?} 解答:(1) (2) 10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图?若有,则画出一个这样 的图。 (1)5,5,3,2,2;(2)3,3,3,3,2;(3)1,2,3,4,5;(4)4,4,4,4,4 解答:(1)(3)不存在,因为有奇数个 奇度顶点 。 14、设g是n(n?2)阶无向简单图,g是它的补图,已 知?(g)?k1,?(g)?k2,求?(g), ?(g)。 解答:?(g)?n?1?k2;?(g)?n?1?k1。 15、图9.19中各对图是否同构?若同构,则给出它们顶点之间的双 射函数。 解答: (c)不是同构,从点度既可以看出,一个点度序列为4,3,3,3,3而另外一个为4,4,3,3,1 (d)同构,同构函数为 ?1?2??f(x)??3 ?4???5 解答: (1)三条边一共提供6度;所以点度序列可能是 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E,?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2),I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 《离散数学》复习题 一、单项选择题(每小题2分,共20分) 1、下列命题中是命题的是( ) A 、 7>+y x B 、雪是黑色的 C 、严禁吸烟 D 、我正在说谎 2下列命题联结词集合中,哪个不是极小全功能集( )。 A 、{,}刭 B 、{,}刳 C 、{}- D 、{,}佼 3、下列公式中哪个不是简单析取式( )。 A 、p B 、p q ∨ C 、()p q ?∨ D 、p q ?∨? 4、设个体域{,}A c d =,公式()()x P x x S x ?∧?在A 中消去量词后应为( ) A ()()P x S x ∧ B (()())(()( P c P d S c S d ∧∧∨ C ()()P c S d ∧ D ()() () (P c P d S c S d ∧ ∧∨ 5、下列是命题公式p ∧(q ∨┓r)的成真指派的是( ) A.110,111,100 B.110,101,011 C.所有指派 D.无 6、下列命题中( )是正确的。 A. 若图G 有n 个顶点,则G 的各顶点的度和为2n; B. 无向树中任意两点之间均相互可达; C. 若有向图G 是弱连通的,则它必定也是单向连通; D. 若无向带权图G 是连通的,则其最小生成树存在且唯一。 7、正整数集合Z +的以下四个划分中,划分块最多的是( ) A .1π={{x }︱x ∈Z + } B .2π= {Z + } C. 3π={12,S S },1S 为素数集,21S Z S + =- D .3π={12,S S ,3S },i S 为Z +中元素除以3的余数 8、给定下列各图: ⑴G 1= 北京工业大学经管学院期末试卷 《离散数学》(A) 学号姓名:成绩 一、单项选择题(每题2分,共18分) 1.令P:今天下雪了,Q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不.滑”可符号化为(D)A.P→Q B.P∨Q C.P∧Q D.P∧Q p→q,蕴涵式,表示假设、条件、“如果,就”。 “→”与此题无关 2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。书P15-P20,此题换作p、q更容易理解 A.┐P∧Q B.┐P∨Q p∨┐q ---- 01---- 1 ----- M1 C.P∨┐Q D.P∧┐Q 3.设R(x):x是实数;S(x,y):x小于y。用谓词表达下述命题:不存在最小的实数。其中错误的表达式是:(D) 4.在论域D={a,b}中与公式(x?)A(x)等价的不含存在量词的公式是(B) A.)b( )a( A∨ A A )a( A∧ B. )b( C. )b( )b( A→ A A )a( A→ D. )a( 5.下列命题公式为重言式的是(C) A.Q→(P∧Q)B.P→(P∧Q) C.(P∧Q)→P D.(P∨Q)→Q 牢记→真假条件,作为选择题可直接代入0、1,使选项出现1→0,排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况 6. 设A={1,2,3},B={a,b},下列二元关系R为A到B的函数的是( A ) A. R={<1,a>,<2,a>,<3,a>} B. R={<1,a>,<2,b>} C. R={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>} D. R={<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>} 7.偏序关系具有性质(D)背 A.自反、对称、传递 B.自反、反对称 C.反自反、对称、传递 D.自反、反对称、传递 8.设R 为实数集合,映射:,R R σ→2 ()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ). (A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f :A→B (1)若ranf=B ,则f 是满射的【即值域为B 的全集,在本题中为R ,该二次函数有最高点,不满足】 (2)若对于任何的x 1,x 2∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),则称f 是单射的【即x,y 真正一一对应,甚至不存在一个y 对应多个x 。显然,本题为二次函数,不满足】 (3)若f 既是满射的,又是单射的,则称f 是双射的【本题中两个都不满足,既不是单射也不是满射】 二、填空题(每空2分,共22分) 1.设Q 为有理数集,笛卡尔集S=Q×Q ,*是S 上的二元运算,?, 广东技术师范学院 模拟试题 科 目:离散数学 考试形式:闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级: 姓名: 学号: 一.填空题(每小题2分,共10分) 1. 谓词公式)()(x xQ x xP ?→?的前束范式是__ ?x ?y?P(x)∨Q(y) __________。 2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__,=A _{4,5}____, =B A __ {1,3,4,5} _____ 3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==,则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________, =-)()(A B ρρ_____Φ_______。 4. 在代数系统(N ,+)中,其单位元是0,仅有 _1___ 有逆元。 5.如果连通平面图G 有n 个顶点,e 条边,则G 有___e+2-n ____个面。 二.选择题(每小题2分,共10分) 1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是( ) (A )R Q P →∨)( (B )R Q P →∧)( (C ))(R Q P ∧→ (D ))(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 (A ) (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>=离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学期末试题
计算机《离散数学》期中试卷答案
离散数学及其应用 重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学期末试题及答案完整版
(完整版)离散数学及其应用(课后习题)
离散数学期末试卷A卷及答案
离散数学期末试卷及答案
08计算机《离散数学》期中试卷答案
离散数学期末考试试题及答案
《离散数学》期末考试试题
离散数学及应用课后习题答案
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试题
离散数学期末试卷
离散数学期末考试试题(配答案)