梁的应力

第六章 梁的应力

§6-1 梁的正应力 回顾与比较： 内力 应力
FN σ = A
T
Tρ τ = IP
M FS
FAy

§6-1 梁的正应力
M
dA
σ dA
FAy
FS
τ dA
σ?M
τ ? FS
在横截面上，只有法向内力元素dFN=σdA才能合成M, 只有切向内力元素dFS=τdA才能合成剪力FS。

§6-1 梁的正应力 纯弯曲：
Fs图 M图 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲

§6-1 梁的正应力 思路： 实验观察得应变ε的变化规律(变形几何关系)
??? → (物理关系)
静力平衡条件
(静力学关系)
σ = Eε
应力σ的变化规律
????? → 横截面上任一点的正应力公式

§6-1 梁的正应力 变形几何关系:
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
Me Me

§6-1 梁的正应力 实验观察： (1)变形前互相平行的纵向直线，变形后均变 为圆弧，且凸边伸长，凹边缩短； (2)变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍 为直线，且仍与纵向曲线正交。 Me Me

§6-1 梁的正应力 实验分析: Me Me (1) 平面假设
梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。

§6-1 梁的正应力 (2) 单向受力假设 梁的各纵向层互不挤压或牵拉，各纵向 “纤维”均只受到拉伸或压缩的作用。

§6-1 梁的正应力 (3) 梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即 同层各条纤维的伸长（或缩短）相同。

§6-1 梁的正应力 凹入一侧纤维缩短 中间一层纤维长度不变 中性层与横截面的交线 凸出一侧纤维伸长 ——中性层 ——中性轴
重要结论：中性轴z轴必定通过截面的形心

§6-1 梁的正应力 计算梁的弯曲正应力的一般公式：
My σ= Iz
I Z = ∫ y dA
2 A

§6-1 梁的正应力 正应力分布： σ = I z
My
z
y y
z
z
y y
z

§6-1 梁的正应力 最大正应力：
My σ= IZ
σ max
Mymax = IZ
当中性轴是横截面的对称轴时： 令
σ max
IZ WZ = ymax
σ max
M = WZ
σ max
Wz——抗弯截面模量，是一个仅与 截面的形状和尺寸有关的几何量。

§6-1 梁的正应力 当中性轴不是横截面的对称轴时：
y2
C
? σ max
z
y1 y
+ Mymax My1 = = (拉 ) IZ IZ
σ max
σ
+ max
M = WZ
不能用！
σ
+ max
σ
? max
? Mymax My2 (压) = = IZ IZ

§6-1 梁的正应力 常见截面的 IZ 和 WZ： 矩形截面：
bh 3 IZ = 12
bh 2 WZ = 6
I Z = ∫ y dA WZ = I Z
2 A
y max
圆截面：
IZ =
πd 4
64
WZ =
πd 3
32

§6-1 梁的正应力 常见截面的 IZ 和 WZ： 空心圆截面：
I Z = ∫ y dA WZ = I Z
2 A
y max
d α= D
IZ =
π (D4 ? d 4 )
64
=
π D4
64
(1 ? α 4 )
WZ =
πD 3
32
(1 ? α 4 )

§6-1 梁的正应力 基本公式：
My σ= Iz
注意:
σ max
M = WZ
(1) 计算正应力时, M、y等代数量均以绝对值代入。 M > 0 时,中性轴以下为拉应力,中性轴以上为压应力; M< 0 时,则相反。 (M>0)

§6-1 梁的正应力 基本公式：
My σ= Iz
注意:
σ max
M = WZ
(2) 上述基本公式由矩形截面梁导出,但它们也适用 于其它截面梁的平面弯曲。 (3) 上述基本公式是在纯弯曲(剪力= 0)情况下导出 的,但在一定条件下同样适用于非纯弯曲(剪力≠0) 的情况。

§6-1 梁的正应力 横力弯曲正应力公式:
My 弯曲正应力分布 σ = IZ
弹性力学精确分析表 明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁） 时，纯弯曲正应力公式对于 横力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力: M max ymax M max = σ max = WZ IZ