中北大学数值分析小论文
中北大学
《数值分析》
常微分方程初值问题的数值解法
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日期: 2012.12.26
常微分方程初值问题的数值解法
摘 要
微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。
Abstract
The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula.
1.引言
科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题
000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如
果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。
2.主要算法
数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散
化，基本方法有差商代替导数法、积分插值方法、待定系数法；最后研究其稳定性、收敛性质。 2.1差商法
分别用一阶向前、向后、中心差商近似代替y(x)在n y(x)x =处的导数
n y'(x )，可以求出Euler 系列公式. 2.1.1显式Euler 公式
用一阶向前差商代替导数，即
n y'(x )≈
n 1n y(x )y(x )
h
+-
则
n 1n n n n n y(x )y(x )hy'(x )y(x )hf (x ,y(x ))+=+=+
因为i i y y(x )≈，公式可以简记为
n 1n n n y y hf (x ,y ),n 0,1...+=+=
即为显式Euler 公式。Euler 公式是最简单的一种数值解法，一阶的，精度较差，可直接求解，有明显的几何意义，也称为折线法，但其方法对于更复杂的情况有着较为普遍的意义。 2.1.2隐式Euler 公式
用一阶向后差商代替导数，即
n n 1n y(x )y(x )
y '(x )h
+-≈
则
n n 1n n 1n n y(x )y(x )hy'(x )y(x )hf (x ,y(x ))++=+=+
简记为
n n 1n n y y hf (x ,y ),n 0,1...-=+=
即为隐式Euler 公式或后退Euler 公式，计算比显式麻烦，但稳定性好。 2.1.3两步Euler 公式
二阶中心差商代替导数
n 1n 1n y(x )y(x )
y '(x )2h
+--≈
则
n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...,+-=+=
即为两步Euler 公式，稳定性较单步好。 2.2积分差值法 2.2.1梯形公式
dy /dx f (x,y)=在区间]n n 1x ,x +??上求积分，n 1n
x n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=?
，
对右端积分采用积分插值公式n 1
n
x n n n 1,n 1x h
f (x,y(x))dx f (x ,y(x ))f (x y )2+++??≈
+??
?
，即得n 1n n n n 1n 1h
y y [f (x ,y )f (x ,y )]2+++=++，为梯形公式，也可看成显式Euler 公
式与隐式Euler 公式的算术平均，可以证明梯形方法是二阶方法。
实际计算时，初始近似n 1y +，可由Euler 法求解，则梯形法每步完整的计
算公式为(0)
n n n n 1(m 1)(m)n n n 1n 1n 1y y hf (x ,y )h y y [f f (x ,y )],m 0,1 (2)
+++++=+=++=??? 又称为改进的Euler 公式。由Euler 公式给出预测值，再由梯形进行校正，收敛速度较快，一般只需求出两次迭代即可满足要求。 2.2.2中点法
同样，对dy /dx f (x,y)=在区间]n 1n 1x ,x -+??上求积分，
n 1
n
x n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=?
并对右端采用Gauss 公式，得
n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...+-=+=
也称为两步Euler 公式。
对上式右端积分采用Simpson 公式
n 1
n 1
x n 1,n 1n n n 1n 1x h
f (x,y(x))dx [f (x y )4f (x ,y )f (x ,y )]3
+---++≈++?
即
n 1n 1n 1,n 1n n n 1n 1h
y y [f (x y )4f (x ,y )f (x ,y )]3
+---++=+++
称为隐式两步法。 2.3待定系数法 2.3.1三阶龙格库塔公式
R-K 基本思想即用位于]n n 1x ,x +??上的若干个点处的线性组合来近似它，将三阶R-K 公式一般形式表示为:
10101Y y ,F f (x ,Y )==
202112022Y y ha F ,F f (x hc ,Y )=+=+
303113223033Y y h(a F a F ),F f (x hc ,Y )=++=+
213132123123a ,a ,a ,b ,b ,b ,c ,c ,c 是未知常数，我们的主要目的要目的是估算
12F ,F 和F 3，它们分别是00203y'(x ),y'(x hc ),y'(x hc )++的近似解.对导数进行
近似，可以从下列正交逼近中得出
0010202303y(x h)y(x )h(b y'(x )b y'(x hc )b y'(x hc ))+≈+++++
此正交公式可以使多项式的精度达到2阶，待定系数得出如下条件:
123b b b 1++=
22331
b c b c 2
+=
23
22331b c b c 3
+=
33221b a c 6
=
满足四个条件，令21
c 2
=，得
32131321231213
c 1,a ,a 0,a ,b ,b 0,b 3344
=======
即为三阶Kutta 公式。
R-K 公式的推导是基于Taylor 展开，对光滑度要求较高，如果解充分光滑，则结果精度较高。
3.数值实验
3.1实验内容
科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：
（1）402(0)1?'=
-?<≤??=?x
y xy y
x y
分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解=y
（2） 22
10(1)0
y x y x y '?=--≤≤?
-=?
取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
3.2实验前的预备知识
1、 熟悉各种初值问题的算法；
2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；
3、 通过计算更加了解各种算法的优越性。 3.3实验方法或步骤
1、 根据初值问题数值算法，编程计算；
2、 试分别取不同步长，考察某节点j x 处数值解的误差变化情况；
3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；
4、 分析各个算法的优缺点。 3.4实验过程
1、
4
02
(0)1
x
y xy
y x
y
?'
=-
?
<≤
?
?=
?
分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
（1）、步长为0.1时的运行结果：[x,y]=euler('doty',0,2,1,20)
[x,y]=euler('doty',0,2,1,20)
x =Columns 1 through 13
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000
Columns 14 through 21
1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000
2.0000
y =Columns 1 through 13
1.0000 1.0000 1.0300 1.0871 1.1648 1.2556 1.3521 1.4485 1.5404 1.6249 1.7002 1.7655 1.8205
Columns 14 through 21
1.8657 1.9019 1.9301 1.9514 1.9672 1.9784 1.9862 1.9915
（2）、步长为0.2时的结果：[x,y]=euler('doty',0,2,1,10)
[x,y]=euler('doty',0,2,1,10)
x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
y = 1.0000 1.0000 1.1200 1.3161 1.5229 1.6995 1.8303 1.9155 1.9639 1.9872 1.9964
（3）步长为0.4的结果：
[x,y]=euler('doty',0,2,1,5)
x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
y =1.0000 1.0000 1.4800 1.8713 1.9991 2.0003
改进的Euler法的求解：
（1）、步长为0.1时的运行结果：
[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,20)
x =Columns 1 through 13
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000
Columns 14 through 21
1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000
2.0000
y = Columns 1 through 13
1.0000 1.0150 1.0575 1.1220 1.2017 1.2898 1.3806 1.4697 1.5540 1.6312 1.7002 1.7603 1.8116
Columns 14 through 21
1.8544 1.8894 1.9174 1.9393 1.9562 1.9690 1.9784 1.9852
（2）、步长为0.2时，输入[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,10)
[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,10)
x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
1.2000 1.4000 1.6000 1.8000
2.0000
y =1.0000 1.0600 1.2045 1.3814 1.5519 1.6955
1.8050 1.8820 1.9322 1.9629 1.9804
（3）步长为0.4的结果：
[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,5)
x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
y =1.0000 1.2400 1.5605 1.7797 1.8892 1.9343
四阶RK方法：
（1）步长为0.1时的运行结果：
[x,y]=RK(0,0.1,2,1)
x =Columns 1 through 13
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000
1.2000
Columns 14 through 21
1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000
1.9000
2.0000
y =Columns 1 through 13
1.0000 0.9094 0.8358 0.7772 0.7327 0.7018
0.6842 0.6802 0.6897 0.7130 0.7500 0.8004
0.8637
Columns 14 through 21
0.9389 1.0249 1.1203 1.2233 1.3324 1.457
1.5619 1.6795
（2）步长为0.2的结果
[x,y]=RK(0,0.2,2,1)
x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
y =1.0000 0.8358 0.7327 0.6842 0.6898 0.7500 0.8637 1.0250 1.2234 1.4458 1.6795
（3）：步长为0.4的结果
[x,y]=RK(0,0.4,2,1)
x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
y =1.0000 0.7328 0.6900 0.8642 1.2248 1.6812
（2）
22
10
(1)0
y x y
x
y
'
?=-
-≤≤?
-=
?
取步长h=0.1，用四阶标准R-K方法求值。
解：取步长h=0.1，用四阶标准R-K方法求值
x = -1.0000 -0.9000 -0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000
-0.3000 -0.2000 -0.1000 0
y =0 0.0900 0.1607 0.2135 0.2504 0.2738 0.2862
0.2902 0.2882 0.2823 0.2749
4.结论与评价
Euler法方法的解连续的依赖于初值，即当初值误差充分小时，以后各步的误差也可充分小。
改进Euler法一步需要计算两个函数值，四阶Runge-Kutta方法一步需要计算四个函数值，总体计算量大致相当，但四阶Runge-Kutta方法精度更高。
从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就会增加，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。
R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可能不如改进Euler方法，最好采用低阶算法而将步长h取小。
5.附录（程序及注释）
1.Euler法：
M文件：
function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n);
if nargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));
end
函数Ｍ文件：
Function f=doty(x,y);
2.改进的Euler法：
M文件：
function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n);
if nargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for i=1:n；
x(i+1)=x(i)+h;
y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));
y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);
y(i+1)=(y1+y2)/2;
end
3.Rung-Kutta方法
function [x,y]=RK(a,h,b,y1)
x=[a:h:b];
y(1)=y1;
n=(b-a)/h+1;
for i=2:n
k1=f1(x(i-1),y(i-1));
k2=f1(x(i-1)+h/2,y(i-1)+k1*h/2);
k3=f1(x(i-1)+h/2,y(i-1)+k2*h/2);
k4=f1(x(i-1)+h,y(i-1)+k3*h);
y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end
return
function k=f(x,y)
return
数值稳定性验证实验报告
实验课程：数值计算方法专业：数学与应用数学班级：08070141 学号：37 姓名：汪鹏飞 中北大学理学院
实验1 赛德尔迭代法 【实验目的】 熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组 【实验内容】 1.了解MATLAB 语言的用法 2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组 1234123412341234 54 1012581034 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-??-+--=?? --+-=??---+=? 【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0 【实验方法与步骤】 1.先找出系数矩阵A ，将前面没有算过的x j 分别和矩阵的(,)A i j 相乘,然后将累加的和赋值给sum ，即(),j s u m s u m A i j x =+?.算 出()/(,) i i x b sum A i i =-,依次循环,算出所有的i x 。 2.若i x 前后两次之差的绝对值小于所给的误差限ε，则输出i x .否则重复以上过程，直到满足误差条件为止. 【实验结果】 (A 是系数矩阵，b 是右边向量，x 是迭代初值，ep 是误差限) function y=seidel(A,b,x,ep) n=length(b); er=1; k=0; while er>=ep
k=k+1; for i=[1:1:n] q=x(i); sum=0; for j=[1:1:n] if j~=i sum=sum+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); er=abs(q-x(i)); end end fprintf('迭代次数k=%d\n',k) disp(x') 【结果分析与讨论】 >> A=[5 -1 -1 -1;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]; seidel(A,b,[0 0 0 0],1e-3) 迭代次数k=6 0.99897849430002 1.99958456867649 2.99953139743435 3.99980944604109
中北大学毕业设计
中北大学 毕业设计开题报告 学生姓名：学号： 系别：机械工程与自动化学院、机械工程系专业：机械设计制造及其自动化 论文题目： 指导教师:教授 2012年03月13日
毕业设计开题报告
换方法所用数据较少，所建模型的阶数低，但对数据个数要求严格；最大熵谱法属时间序列分析建模方法，只需传感器动态标定中的，但它建模的准确性不高。神经元方法虽然具有所建模型阶次低准确度高的优点，但离现实应用还有一定的距离。此文章在研究各种建模的方法上，提出了先对所测数据进行积分，再用辨识方法进行建模，减少转换误差，所建模型准确度较高，阶次较低，且较易实现递推算法，为改善传感器动态特性，实现动态补偿奠定基础[3]。 在研究传感器的动态补偿中，黄杭美在FLANN传感器动态方法中指出，为满足快速 称重求的要求，结合遗传算法寻优速度快和函数联接型神经网络有较强的函数逼近能力的优点，设计了一种基于遗传算法优化的FLANN补偿器，实现对称重传感器的动态特性补偿，采用遗传算法优化FLANN的连接权值。此种方法的仿真表明:阶跃响应时间快，且超调量小，有效地提高了称重传感器的动态响应过程，且方法简单，易于工程实现，易于实用价值[4]。 在称重传感器动态补偿器的一种新的设计方法中，俞阿龙和李正为了拓展称重传感器的工作频带，把电荷转移器件用于其动态补偿器的设计中，设计出具有频率特性可调节的动态补偿器。由于称重传感器的动态特性不理想，输出响应不能精确反应输入量，在称重传感器后串联一个补偿器即构建一个动态补偿模型，和传感器一起构成一个理想的动态测试系统，就可对传感器的动态特性补偿。此文章对称重传感器的动态补偿器的设计方法进行了深入的研究，把电荷转移器件用于设计中，由于CTD器件具有模拟性和数字性相结合的突出特点，由此而设计的补偿器具有稳定性好，不存在阻抗匹配等优点[5]。 国外研究人员Pasquale Arpaia等人员在研究称重传感器的过程当中，提出了称重传感器的一些动态模型的自适应的补偿方法，有系统辨识法，根轨迹法和神经网络的方法等，在各种各样的算法实现中，即可用软件实现，也可用硬件实现。用设计要基于传感器的软件方法补偿时，参数设计灵活，使用方便，主要问题是数据处理的实时性问题；而用硬件补偿时实时性好，但有时电路参数调整比较麻烦。因为动态补偿器的设计要基于传感器的动态模型，在测量中所测重量将成为传感器参数的一部分，传感器的动态模型会随着被测重量而变化。这就要求设计出一些相应的动态补偿器去实现称重过程中响应的快速性和准确性。而国外仅仅抓住研究课题，在相应的生产领域也设计出了准确度、稳定性和可靠性都达到一定要求的称重传感器，在产品结构设计与制造工艺中，
江苏大学毕业设计(论文)内容要求2016
毕业设计(论文) （Graduation Project (Thesis)） 课程编号：03360070 学分：12 学时：12周 先修课程：所有课程 适用专业：机械设计制造及其自动化专业 教材：各课题、指导老师指导的参考文献、英文文献（翻译） 开课学院：机械工程学院 一、毕业设计（论文）目的 毕业设计(论文)是机械设计制造及其自动化专业培养计划的重要组成部分，是本专业学生在校期间的最后一个综合性实践教学环节。毕业设计(论文)规定为12学分，安排在最后一个学期。 毕业设计(论文)的目的是培养学生综合运用所学的基础理论、基本知识和基本技能来对实际问题进行分析、设计计算、研究、解决的能力，是提高专业素质和培养创造能力的重要环节，旨在培养学生独立承担工作和协同工作的能力。具体要求如下：1．培养学生能够运用数学、自然科学和工程基础和机械专业知识，识别与提炼、定义与表达、通过功能需求和系统分析研究机械工程领域相关的复杂工程问题，获得符合功能和性能要求的总体设计方案； 2．培养学生了解机械专业和学科前沿发展现状和趋势，能够运用数学、创新与优化方法等手段针对机械产品工艺装备中复杂工程问题的解决方案，设计满足特定功能、性能、成本等需求的机构和结构，实现多种约束条件下的多目标优化和方案改进，同时在设计环节中能够体现创新意识； 3．培养学生能够有效地运用各种资源，针对机械产品工艺装备中复杂工程问题的设计方案进行可行性分析、理论计算、综合比较与论证，确定优化的详细设计方案，针对具体的系统、装备、零部件和工艺流程能够进行建模、结构优化设计、工艺设计分析、制定制造规程、绘图与标准应用和性能评价等实践； 4．培养学生能够基于工程相关背景知识合理分析、评价机械专业工程实践和复杂工程问题解决方案对经济、环境、法律、安全、健康、伦理的影响，并理解应承担的责任； 5．培养学生能够运用文献检索、资料查询及现代信息技术等多形式、多渠道地获取相关机械工程领域的信息，具有调查研究、资料检索、文献查阅及分析比较的能力； 6．培养学生严肃认真的科学态度和严谨求实的工作作风，强化工程实践意识，在
中北大学学报(社科版)论文格式要求
《中北大学学报（社会科学版）》论文格式要求 来稿应具有较高的理论和应用价值。立题新颖，论点正确，论据充分，条理分明，重点突出，文字精炼，数据可靠，理论联系实际，对于社会实践有正确的指导意义；不违反国家宪法、法律以及基本路线、方针政策；不含有损害国家利益、民族团结、社会稳定的内容；不披露属于保密范围的文件、成果和数据资料等。 论文内容顺序包括：①中文题名、作者姓名、作者单位、邮政编码、摘要(100-200字之间)、关键词(3~5个)、中国图书资料分类号；②与中文一一对应的英文题名、作者姓名、作者单位、邮政编码、摘要及关键词；③正文以及参考文献。 来稿最后请附第一作者简介，内容包括：姓名、出生年月、性别、籍贯、技术职称、最高学历、主要研究方向、通迅地址、联系电话、E-mail以及身份证号码。 论文具体格式规范要求如下，请对照相关条目，补充修改论文中不符合要求的部分： 1）论文题名中尽量不用英文表述（除公知公认的名称、符号等），要求限制在20个汉字以内。 2）英文作者单位名称（包括二级单位）一定要用单位的标准英文名称，不要自己翻译。 3）摘要是以提供文献主要内容梗概为目的，其中的内容应在正文中出现，不加评论和补充解释(尤其是自我评价)。其基本要素包括：本文的目的或要解决的问题、解决问题的方法、主要结果及结论、本文的创新、独到之处。 摘要请按如下格式书写： 目的：……；方法：……；结论：……（包括与他人最新成果进行比较体现本文的创新与独到之处。） 具体要求如下： 目的：主要说明作者写作此文的目的，或本文主要解决的问题。一般来说，一篇好的摘要，一开头就应该把作者本文的目的或要解决的主要问题非常明确地交待清楚。必要时，可利用论文中所列的最新文献，简要介绍前人的工作，但这种介绍一定要极其简练。有两点
中北大学数值分析小论文
中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业： 班级： 学号： 姓名: 日期: 2012.12.26
常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散
中北大学论文格式
中北大学 论文撰写格式和内容的有关要求 一、装订顺序 论文（设计说明书）内容一般应由9个部分组成，严格按以下顺序装订,但学院可根据专业特点制订装订项目。 (1) 封面 (6) 正文 (2) 中文摘要 (7) 附录（根据具体情况可省略） (3) 英文摘要 (8) 参考文献 (4) 目录 (9) 致谢 (5) 主要符号表(根据具体情况可省略) 二、内容及书写格式要求 1、毕业设计说明书（毕业论文）应用中文撰写（外语专业除外）。 2、毕业设计（论文）成果分毕业设计说明书和毕业论文两种，所有出现相关字样之处请根据具体情况选择“毕业设计说明书” 或“毕业论文”字样。 3、毕业设计说明书（毕业论文）Word软件编辑，一律打印在A4幅面白纸上，单面打印。 4、毕业设计说明书（毕业论文）的上边距:30mm；下边距:25mm；左边距:3Omm；右边距:2Omm；行间距1.5倍行距。 5、页眉的文字为“中北大学XXXX届毕业设计说明书” 或“中北大学 ××××届毕业论文”，用小四号黑体字，页眉线的上边距为25mm；页脚的下边距为18mm。 6、论文页码从引言部分开始，至致谢止，在页脚中标出。封面、摘要、目录不编入页码，目录单独编页码。 7、正文用小四号宋体字；每章的大标题用小三号黑体，加粗，留出上下间距为：段前0.5行，段后0.5行；二级标题用小四号黑体，加粗；其余小标题用小四号黑体，不加粗。 8、文中的图、表、附注、公式一律采用阿拉伯数字分章编号。如图1.2，表2.3，附注3.2或式4.3。
图表应认真设计和绘制,不得徒手勾画。表格与插图中的文字一律用5号宋体。 每一插图和表格应有明确简短的图表名，图名置于图之下，表名置于表之上，图表号与图表名之间空一格。插图和表格应安排在正文中第一次提及该图表的文字的下方。当插图或表格不能安排在该页时，应安排在该页的下一页。 图表居中放置，表尽量采用三线表。每个表应尽量放在一页内，如有困难，要加“续表X.X”字样，并有标题栏。 图、表中若有附注时，附注各项的序号一律用阿拉伯数字加圆括号顺序排，如:注①。附注写在图、表的下方。 文中公式的编号用圆括号括起写在右边行末顶格，其间不加虚线。 9、文中所用的物理量和单位及符号一律采用国家标准，可参见国家标准《量和单位》(GB3100~3102-93)。 10、文中章节编号可参照《中华人民共和国国家标准文献著录总则》，见（附件二）。 每一部分的具体要求如下: (1)封面 封面排版规范见（附件一），一律要求计算机打印。 (2)中文摘要 摘要内容及排序: 设计（论文）题目(小三号黑体居中) “摘要”字样（小四号黑体） 摘要正文（小四号宋体） 关键词 摘要是设计说明书（论文）内容的简短陈述，体现工作的核心思想。摘要应涉及本项研究工作的目的和意义、研究方法、研究成果。一般不少于200字。 关键词应为反映论文主题内容的通用技术词汇，不得随意自造关键词。摘要内容后下空一行打印“关键词”三字 (小四号黑体)，关键词一般为3～5个，每一关键词之间用逗号分开，最后一个关键词后不打标点符号。 (3)英文摘要
江苏大学毕业设计(论文)写作规范
江苏大学毕业设计（论文）写作规范 一、编写要求 毕业设计（论文）文稿必须用A4（210mm*297mm）白纸打印。打印时，要求纸的四周留足空白边缘，以便装订、复印。每一页上方（天头）和左侧（订口）分别留25mm，下方（地脚）和右侧（切口）分别留20mm。毕业设计（论文）一律左侧装订。 二、毕业设计（论文）的内容构成： 封面 序或前言（必要时） 摘要 前置部分关键词 目次页 插图和附表清单（必要时） 符号、标志、缩略词、首字母缩写、单位、 术语、名词等注释表（必要时） 引言 1章 2章 2.1(条) 2.1.1(款) 2.1.1.1(项) 2.1.2 正文 2.2 主体部分 2.2.1 2.3 2.3.1 2.3.2 3章 结论 致谢 参考文献 附录A 附录部分附录B (必要时) 附录C （一）前置部分
1.封面：封面包括设计（论文）题目、学院名称、专业班级、学生姓名、指导教师姓名及职称等几项内容。 (1)题目:设计（论文）题目应该用简短、明确的文字写成，通过标题把毕业设计（论文）的内容、专业特点概括出来。题目字数要适当，一般不超过30个字。如果有些细节必须放进标题，为避免冗长，可以设副标题，把细节放在副标题里。 (2)学院名称、专业班级、学生姓名、指导教师姓名及职称等几项内容如实填写。 2.目录:目录是毕业设计（论文）的篇章名目，要按顺序写清楚设计（论文）构成部分和章、节的名称。要求列至二级目录。 3.摘要：摘要是论文的内容不加注释和评论的简短陈述。摘要应具有独立性和自含性，即不阅读论文的全文，就能获得必要的信息。摘要中有数据、有结论，是一篇完整的短文，可以独立使用。摘要应说明研究工作目的、实验方法、结果和最终结论等，重点是结果和结论。中文摘要一般不少于400字；外文摘要不少于350个实词。如遇特殊需要，字数可略多。摘要中一般不用图、表、化学结构式，非公知公用的符号和术语。 4.关键词：关键词是为了文献标引工作从论文中选取出来的以表示全文主题内容信息款目的单词或术语。每篇论文选取3-8个词作为关键词，以显著的字符另起一行，排在摘要的左下方。尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词。关键词之间空二格。 （二）主体部分 1．引言：简要说明研究工作的目的、范围、相关领域的前人工作和知识空白、理论基础和分析、研究设想、研究方法和实验设计、预期结果和意义等。 2．正文：正文是作者对研究工作的详细表述。其内容包括：问题的提出，基本观点，解决问题的基本方法，必要的数据和图表，以及通过研究得出的结果与对结果的讨论等。正文字数一般为1万—1.5万左右，但对具有独特见解的论文不限字数。 （1）文中所用的符号、缩略词、制图规范和计量单位，必须遵照国家规定的标准或本学科通用标准。作者自己拟订的符号、记号缩略词，均应在第一次出现时加以说明。 （2）图：毕业设计（论文）中的图包括曲线图、构造图、示意图、图解、框图、流程图、记录图、布置图、地图、照片、图版等。所有的图应编排序号，序号一律用阿拉伯数字分别依序连续编排。如图1、图2……,每一图应有简短确切的题名，连同图号置于图下。 （3）表：所有的表应编排序号，序号一律用阿拉伯数字分别依序连续编排。如表1、表2……。每一表应有简短确切的题名，连同表号置于表上。必要时，应将表中的符号、标记、代码以及需要说明事项，以最简练的文字，横排于表题下，作为表注，也可以附注于表
中北大学学位论文撰写格式要求
中北大学 关于撰写研究生学位论文的统一要求 学位论文是研究生申请学位的重要依据，是评定研究生是否具有坚实的基础理论和系统的专门知识以及从事科学研究工作或独立担负专门技术工作能力 的主要依据，也是科研领域中的重要文献资料和社会的宝贵财富。 为提高研究生学位论文的质量，做到学位论文在容和格式上的统一和规，特规定如下: 一．论文的基本要求 1．论文主要容应包括:选题的依据及意义；文献综述、设计方案、试验方法、装置和试验结果；理论的证明、分析和结论；重要的计算、数据、图表和曲线；必要的附录、参考文献目录等。可视具体情况选择确定。 2．论文应立论正确，推理严谨，说明透彻，层次分明，数据可靠，文字简练。 3．对于合作完成的项目，论文容应侧重本人的研究工作。论文中有关与指导教师或他人共同研究、试验的容部分及引用他人研究成果的部分要明确说明。 4．论文要求文理通顺、叙述简练、文图规。文中引用的文献资料必须注明来源、使用的计量单位、绘图规应符合标准。 5．论文需经指导教师同意，并需经研究生院组织有关人员审核。 二．论文的装订顺序 论文容一般应由13个部分组成，装订顺序依次为: (1)封面 (2)扉页、英文扉页
(3)原创性声明 (4) 关于学位论文使用权的说明 (5)中文摘要 (6)英文摘要 (7)目录 (8)主要符号表(根据具体情况可省略) (9)正文 (10)附录（根据具体情况可省略） (11)参考文献 (12)攻读博士(硕士)学位期间发表的论文及所取得的研究成果 (13)致谢 三．论文的容及书写格式要求 1．研究生学位论文应用中文撰写。 2．学位论文应用Word软件编辑，一律打印在A4幅面白纸上，单面或双面印刷。 3．学位论文的上边距:30mm；下边距:3Omm；左边距:3Omm；右边距:2Omm；行间距1.5倍行距。 4．页眉的文字为中北大学学位论文，用小四号宋体字，页眉线的上边距为25mm；页脚的下边距为18mm。 5．论文页码从引言部分开始，至攻读博士(硕士)学位期间所取得的研究成果止，用四号阿拉伯数字连续编排，页码位于下端居中。封面、扉页、本人声明、摘要、目录及致谢不编入页码，目录单独编页码。
数值分析实验报告中北大学
实验类别：数值分析 专业：信息与计算科学班级： 学号： 姓名： 中北大学理学院
实验二 函数逼近与曲线拟合 【实验内容】 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳 量y 与时间t 的拟合曲线。 【实验方法或步骤】 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为；33221)(t a t a t a t ++=? 3、打印出拟合函数)(t ?，并打印出)(j t ?与)(j t y 的误差， 12 ,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 #include "stdio.h" #include "conio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" #define N 12//N 个节点 #define M 2//M 次拟合 #define K 2*M void zhuyuan (int k,int n,float a[M+1][M+2]) {int t,i,j; float x,y;
x=fabs(a[k][k]);t=k; for (i=k+1;i<=n;i++) if (fabs(a[i][k])>x) {x=fabs(a[i][k]);t=i;} for (j=k;j<=n+1;j++) {y=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=y;} } void xiaoyuan(int n,float a[M+1][M+2]) {int k,i,j; for(i=0;i 钛合金粉末激光熔敷 WEN Jialing NIU Quanfeng XU Yanmin 摘要：这篇文章旨在如何通过利用B，Si和Cr等元素提高硬度和耐磨性，利用稀土元素提高合金性能。基于铁基合金（Fe-Cr-Ni-B-Si-Re）的实验，通过一系列的实验和综合分析，包括表面质量、频谱复合、显微硬度、显微扫描和综合评价，得到最优方案。结果，Fe-Cr-Ni-B-Si-Re涂覆材料具有很好的性能。 关键字：激光熔敷；微观结构；合金；硬度 1 前言 激光熔敷是目前最具发展前景的表面改性技术之一，它能花费很小的代价在一种普通材料表面形成很好的性能。从而节约稀有材料和贵重材料。其应用前景极其广阔。作为一种表面硬化材料，Fe-Cr-Ni-B-Si-Re是自溶性合金，在正常温度范围之内和400℃以下，它的耐磨性比WC-Ni基合金、钴基合金以及其他铁基合金都要好。考虑到下列因素，同钴基合金、镍基合金、陶瓷相比铁合金在激光熔覆方面的优越性能，稀有元素的节约，与基体熔覆的可比性，与其他合金相比更低的成本，利用铁基进行激光熔敷具有战略性意义和重要的经济价值。 2 实验 2.1 设计目的 本文目的在于找到每种合金的最佳比例，以优化经济方案，提高激光熔敷技术，活的光滑的非氧化熔覆表面，更好的湿度效果和适当的稀释率。用做实验的熔融包层不能有宏观和微观缺陷且耐磨硬度应大于58HRC. 2.2 样品和尺寸 实验所用样品是Q235B钢，这种钢在工业上广泛应用。考虑到激光熔敷的特点，更大的功率密度和简便的操作，样品的尺寸定为40mm×30mm×10mm. 2.3 激光技术参数 用于实验的技术参数如下： 的最大输出功率：2KW)；焦点直径：3mm；扫描速率：14.3mm/s；熔覆功率：1800W(CO 2 层厚度：0.5mm；保护气体：氩气. 1引言 1．1 课题的研究背景及意义 振动测试近十多年来发展非常迅速，受到了国内外专家和工业、农业、国防各部门科技工作者的重视。近代工程技术的飞跃发展，特别是航空航天、海洋工程、电力、化工等技术的发展，必须对振动进行预测、采集、并实时处理在运行过程中的载荷数据的响应数据，对大型结构系统进行振动和噪声分析，对可能产生的过大振动事先加以避免或进行控制以确保安全、经济合理。因此，振动测试包括振动、冲击、波动、噪声和各种动态技术（包括试验技术、测试分析技术、计算技术、信号和信息处理技术、自动控制技术、检测和故障诊断技术以及试验设备和材料动力性能等方面）的研究，已越来越在国民经济中发挥重要作用[1]。 振动测量的意义主要有以下两个方面： （1）预防事故、保证人身和设备的安全。预防事故，保证人身和设备的安全是开展设备诊断工作的直接目的和基本任务之一。我们知道，一些设备，特别是流程大型设备一旦发生故障将会引起链锁反应，造成巨大的经济损失，甚至灾难性的后果。因此，为了避免设备事故，保障人身和设备的安全，应当积极发展设备振动诊断。 （2）提高经济效益：开展设备诊断所带来的经济效益包括减少可能发生的事故损失和延长检修周期所节约的维修费用，国外一些调查资料显示，开展设备诊断可带来可观的经济效益。英国曾对2000个工厂作过调查，结果表明，采用设备诊断技术后维修费用每年节约3亿英镑，除去诊断技术的费用0.5亿英镑，净获利2.5亿英镑。在我国的大型电厂，若出现故障其停机一天造成的损失就达一百多万元。因此对设备故障进行有效的诊断有着明显的经济效益。 随着电子技术和计算机技术的快速发展,微型计算机技术,尤其是微控制器(单片机)的发展极为迅速,其应用越来越广。单片机主要应用于控制领域,用以实现各种测试和控制功能。目前,单片机还广泛应用于工业测控、计算机外围设备、工业智能化仪表、生产过程的自动控制、军事和航空航天等领域。 AT89C51是美国ATMEL公司生产的低电压，高性能CMOS8位单片机，片 本科毕业设计要求： 1、英文文献翻译，文献的原文由老师提供，要求对英文文献中的题目、摘要、正文、图表 名称进行原意翻译，文献中的作者、公式、图表以及参考文献不需要翻译。翻译时不可通过翻译工具进行全文翻译，仅能使用翻译工具进行初步翻译再针对原文意思进行修改，必须保证译文具有一定的可读性和准确性。建议：通读全文，了解一定意思之后再进行翻译，专业词汇无法准确翻译，推荐使用CNKI翻译助手，网址为https://www.sodocs.net/doc/1f13960816.html,/。 2、综述或读书笔记：即经过广泛阅读毕业设计相关资料、书籍和文献之后，针对毕业设计 内容的背景、发展现状、主要技术及应用、理论基础等做相应总结，撰写出一份综述或读书笔记。必须在最后给出阅读的参考文献，同样，内容的编排需要具备一定的可读性和准确性。要求篇幅8-10页。 3、任务书：由老师下达，学生提交正确的专业、班级和姓名。 4、针对毕业设计题目，进行一定的仿真、硬件设计或实验验证，每一个毕业设计必须要有 相应的结果，或是仿真模型和仿真波形结果，或者硬件系统设计原理图PCB，或者最终的实验平台搭建和实验结果，或者完成相应的软件代码编写，根据各自的题目，在毕业完成最后必须具有一定的结果呈出。 5、所有的英文文献翻译、综述以及毕业论文的撰写必须规范严谨，请参考下页给出的示意 图，所有的图表名称应比正文小一个字体，如正文为小四字体，则图表的名称为五号字体，并且要求图中和表中的文字尽量不要超过图表名称的字体大小。另：所有论文编写请统一采用office word，不要采用WPS，排版会有很大问题，所有的公式请采用公式编辑器MathType6.0及以上的安装版，画图和制图均使用office visio07或以上版本，软件请大家到网上下载，或者问老师拷贝安装。 6、请大家学会搜索和下载参考文献，进入学校图书馆网址https://www.sodocs.net/doc/1f13960816.html,，在“常用资 源里面”的“CNKI知识网络数字平台”和“万方知识服务平台”两个数据库里面，可按照各自毕业设计题目中的关键词搜索相关期刊论文和硕士博士论文，进行阅读参考。如有疑问和不懂的地方，及时与老师沟通。 7、毕业设计期间纪律：（1）每周进行一次汇报，汇报各自研究进展和取得的阶段性成果； （2）请大家养成自觉和好问的习惯，有不会的地方及时沟通联系老师；（3）若要出去短暂实习或找工作，必须明确告知老师并请假，汇报可采用邮件或者电话或者QQ的形式；（4）原则情况下不接受全学期在外实习，如果需要毕业设计期间去工厂实习，必须办理相关手续，并且毕业设计由工厂提供，老师只负责监督和把关，由此造成的不良后果，请自行负责；（5）若出现不遵守纪律者，毕业设计出现不及格一概与老师无关！8、毕业设计具体和时间节点： （1）英文文献翻译，第4周周三前； （2）中期检查审核，第9-10周； （3）论文初稿，第13-14周； （4）论文定稿，第14-15周； （5）答辩时间，6月5日~6月10日。 2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案(B 卷) 数值分析 使用班级： 06研 一、填空题(每空4分，共40分) 1. 由求解数学模型所采用的数值近似计算所产生的误差称为 截断 误差； 2. 设0.001369x =有4 位有效数字，则u = 的的计算结果中有 3位有效数字； 解：0.037000u = = ，6541 ()100.675100.5102 u ε---= ?=? 中北大学 毕业论文开题报告 学生姓名：张三学号：11091S101 学院：经济与管理学院 专业：工商管理 论文题目： 指导教师: 2015年11月 15日 开题报告填写要求 1．开题报告作为毕业论文答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业论文工作前期内完成，经指导教师审查后生效； 2．开题报告内容必须用按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见； 3．学生写文献综述的参考文献一般应不少于10篇（不包括辞典、手册）。文中应用参考文献处应标出文献序号，文后“参考文献”的书写，应按照国标GB 7714—87《文后参考文献著录规则》的要求书写，不能有随意性； 4．学生的“学号”要写全号（如020*******,为10位数），不能只写最后2位或1位数字； 5. 有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年3月15日”或“2004-03-15”； 6. 指导教师意见用黑墨水笔工整书写，不得随便涂改或潦草书写。 毕业论文开题报告 1．选题依据： ××××××××（小4号宋体，1.5倍行距）×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ××××××××××××××…………。 紧紧围绕毕业论文选题，按照导师的要求完成，主要阐明该项研究的目的和范围，，本研究课题范围内国内外己有文献的综述，以及该项研究工作的实用价值或理论意义，论文内容安排等。 毕业设计说明书 英文文献及中文翻译 学生姓名：学号南社区0906064109 学院：电子与计算机科学技术学院 专业：网络工程 指导教师： 刘爽英 2018年6月 An Overview of Servlet and JSP Technology Gildas Avoi ne and Philippe Oechsli n EPFL, Lausa nne, Switzerla nd 1.1A Servlet's Job Servlets are Java programs that run on Web or application servers, acting as a middle layer betwee n requests coming from Web browsers or other HTTP clie nts and databases or applicatio ns on the HTTP server. Their job is to perform the followi ng tasks, as illustrated in Figure 1-1b5E2RGbCAP Web Server (Servlets JSP) Figure 1-1 1.Read the explicit data sent by the client. Database Legacy Application Java Application Web Service Client (End User) The end user normally enters this data in an HTML form on a Web page. However, the data could also come from an applet or a custom HTTP clie nt program EanqFDPw 2.Read the implicit HTTP request data sent by the browser X DiTa9E3d Figure 1-1 shows a single arrow going from the client to the Web server (the layer where servlets and JSP execute〉, but there are really two varieties of data: the explicit data that the end user en ters in a form and the behi nd-the-sce nes HTTP in formati on. Both varieties are critical. The HTTP information includes cookies, information about media types and compressi on schemes the browser un dersta nds, and sc RTCTpUDGiT 3.Gen erate the results. This process may require talking to a database,executing an RMI or EJB call, invoking a Web service, or computing the response directly. Your real data may be in a relati onal database. Fine. But your database probably does n't speak HTTP or retur n results in HTML, so the Web browser can't talk directly to the database.Even if it could, for security reasons, you probably would not want it to. The same argument applies to most other applications. You need the Web middle layer to extract the incoming data from the HTTP stream, talk to the application, and embed the results in side a docume nt5PCzVD7HxA 4.Send the explicit data (i.e., the document> to the client-BHrnAiLg This document can be sent in a variety of formats, including text (HTML or XML>, bi nary (GIF images>, or eve n a compressed format like gzip that is layered on top of some other un derly ing format. But, HTML is by far the most com mon format, so an importa nt servlet/JSP task is to wrap the results in side of HTML H AQX74J0X 5.Send the implicit HTTP response data. Figure 1-1 shows a single arrow going from the Web middle layer (the servlet or JSP page> to the clie nt. But, there are really two varieties of data sent: the docume nt itself and the behind-the-scenes HTTP information. Again, both varieties are critical to effective developme nt. Sending HTTP resp onse data invo Ives telli ng the browser or other clie nt what type of docume nt is being retur ned (e.g., HTML>, sett ing cookies and cach ing parameters, and other such task LD AYtR y KfE 江苏大学研究生学位论文撰写格式要求 为规范我校研究生学位论文的格式，根据国家标准局批准颁发的《科学技术报告、学位论文和学术论文的编写格式（）》，现对研究生学位论文的撰写提出以下要求： 一、学位论文的基本要求 学位论文必须是一篇（或由一组论文组成的一篇）系统的、完整的学术论文，是学位申请者本人在导师的指导下独立完成的研究成果，论文不得抄袭和剽窃他人成果。学位论文的学术观点必须明确，且立论正确，推理严谨，数据可靠，层次分明，文字简练，说明透彻。 学位论文原则上应使用国家正式公布实施的简化汉字撰写（外语专业除外），硕士学位论文字数一般为～万，博士学位论文字数一般为～万。 学位论文中使用的术语、符号、代号必须全文统一并符合规范化要求。计量单位采用国务院发布的《中华人民共和国法定计量单位》，并遵照《中华人民共和国法定计量单位使用方法》执行。 二、学位论文的组成及撰写要求 学位论文由三部分组成：学位论文前置部分、学位论文主体部分、学位论文附录部分（论文格式见图）。 学位论文 格式简图 附录部分 （必要时） 图 学位论文格式简图 ．学位论文的前置部分 包括封面、题名页、论文独创性声明和使用授权声明、摘要、目录、 图表清单、注释表。 封面 封面 题名页 论文独创性声明和版权使用授权书 摘要 目录 图表清单（必要时） 注释表（必要时） 引言（或绪论） 正文 结论 参考文献 致谢 在学期间发表的学术论文及其他科研成果 附录 附录 前置部分 主体部分 封面使用学校统一印制的博士、硕士学位论文封面。 题名页 包括中文题名页和英文题名页。题名页的内容主要有：论文题目、学科（专业）名称、申请学位级别、作者姓名、指导教师姓名和职称、论文提交日期、论文答辩日期，学位授予单位和日期、分类号、密级、、编号（学号）等。其中，学位论文中文题目可分为～行居中打印；英文题目用大写字母，可分成～行居中打印，每行左右两边至少留五个字符空格。 论文独创性声明和版权使用授权书 论文独创性声明和版权使用授权书的格式范本见附件，研究生本人和指导教师需按规定亲笔签名。 摘要 摘要是学位论文内容的不加注释和评论的简短陈述，简要说明研究工作的目的、方法、创新性的成果和结论等。为了便于文献检索，摘要下方另起一行注明学位论文的关键词～个，每个关键词之间用逗号分开。 关键词写法举例： 关键词：专家系统，模糊数学，机械设计，知识学 摘要包括中文摘要和英文摘要，中文摘要力求语言精炼准确，除个别英文缩写外，一律用汉字写成，不得出现公式。硕士学位论文摘要中文字数为～字，博士学位论文摘要中文字数为～字。英文摘要内容应与中文摘要内容一致。 目录 目录是论文的提纲，是论文各组成部分的小标题，应分别依次列出并注明页码。各级标题分别以、、1.1.1等数字依次标出。 图表清单 如遇图表较多，可以分别列出清单置于目录页之后。图的清单应有序号、图题和页码。表的清单应有序号、表题和页码，本条为非必要部分。 注释表 注释表为符号、标志、缩略词、首字母缩写、计量单位、名词和术语等的注释说明汇集表，本条为非必要部分。 ．学位论文的主体部分 引言（或绪论） 引言简要说明研究工作的目的、范围、相关领域的前人工作和知识空白、理论基础和分析、研究设想、研究方法、实验设计、预期结果和意义等。引言不可与摘要雷同，一般教科书有的知识，在引言中不必赘述。 正文 正文是学位论文的核心部分，必须客观真实，准确完备，合乎逻辑，层次分明，简练可读。正文按章、节、小节的次序编排，一般由标题、文字叙述、图、表和公式等五个部分构成。写作形式可因科研项目的性质不同而变化，一般可包括理论分析、计算方法、试验装置和测试方法，经过整理加工的试验结果分析和讨论，与理论计算结果的比较以及本研究方法与已有研究方法的比较等。中北大学本科生毕业设计论文外文翻译
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