1[1].2余弦定理

学校：临清二中 学科：数学 编写人：史继忠 一审：李其智 二审：马英济

课题:

1．1．2余弦定理

授课类型：新授课

【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【教学过程】

[创设情景] C

如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b 和∠C ，求边c b a

A c B

(图1．1-4)

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c

()()

=?=--=?+?-?=+-? 2

22

2 2c c c a b a b

a a

b b a b a b a b

C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)

同理可证 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若?ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】

例1．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B

=222+-?cos 045

=2121)+- =8

∴=b

求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos 2221

,22+-=b c a A bc

∴060.=A

解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b

2.4 1.4

3.8,+=

21.8 3.6,?=

∴a ＜c ，即00＜A ＜090,

∴060.=A

评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

【变式训练1】

．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠= 解： 2

2

2

2

2

2

01

,,cos ,1202

a c

b b

c b c a bc A A -=++-=-=-

= 例2．在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

例3. 例2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322

=+-x x 的两根，

()1cos 2=+B A 。

（1） 求角C 的度数； （2） 求AB 的长；

（3）求△ABC 的面积。 解：(1) ()cos cos[]C A B π=-+

()cos A B =-+011202

C =-?=

（2）因为a ，b 是方程02322

=+-x x 的两根，所以?

?

?==+2

32ab b a

22202cos120AB b a ab ∴=+- ()2

10a b ab AB =+-=?= （3）2

3

sin 21=

=

?C ab S ABC 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必

直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 【变式训练2】

在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S => c b ,。

解：1

sin 4,2

ABC S bc A bc ?=

== 2

2

2

2c o s ,5a b c b A b c =+-+

=，而c b >

所以4,1==c b 【课堂演练】

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0

90 B ．0

120 C ．0

135 D ．0

150

解： 设中间角为θ，则22200005871

cos ,60,180601202582

θθ+-=

==-=??为所求 答案：B

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形

解：长为6的边所对角最大，设它为α， 则cos α=+-??=>1625362451

8

∴?<

答案：A

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

18

5 B.

4

3 C.

2

3

D. 87

解：设顶角为C ，因为5,2l c a b c ===∴，

由余弦定理得：222222447

cos 22228

a b c c c c C ab c c +-+-=

==?? 答案：D

4.在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则

角B 的值为（ ）

A.

6

π

B.

3π C.6

π或56π

D.

3

π或

23π

解：由ac B b c a 3tan )(2

2

2

=-+得222(+c b )2a ac -即cos cos = 2sin B

B B

sin =

2

B ∴,又B 为△AB

C 的内角，所以B 为3π或23π

答案：D

5．在△ABC 中，若14

13

cos ,8,7=

==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7

1- D ．81-

解： 222

2cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7

B =-

答案：C

6. 在?ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 b b c a bc a a c b ac

?+-=?+-222222

22

即，2222b a a b =∴= 答案：C

[课堂小结]

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 作业：第11页[习题1.1]A 组第3（1），4（1）题。

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§1．1．2余弦定理 【课前学案】

【预习达标】

在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，

1.在ΔABC 中过A 做AD 垂直BC 于D ，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理

得c 2

= = = ；同理得a 2

= ；b 2

= 。

2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。 【典例解析】

例1 在三角形ABC 中，已知求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精

确到0.1）

例2 三角形ABC 的顶点为A （6，5），B （-2，8）和C （4，1），求∠A （精确到0.1）

例3已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

【双基达标】

1. 已知a,b,c 是ABC ?三边之长，若满足等式(a ＋b －c) (a ＋b+c)=ab,则角C 大小为（ ）

A. 60o

B. 90o

C. 120o

D.150o

2．已知ABC ?的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3．已知ABC ?，求证：

（1）如果22a b +=2c ，则∠C 为直角； （2）如果22a b +>2c ，则∠C 为锐角； （3）如果22a b +<2c ，则∠C 为钝角.

4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。

5．在△ABC 中，已知63,3

1

cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积

6．在45,ABC B AC C ?∠=?==中，求 （1）?BC =

（2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。

【典例解析】 例1（见教材） 例2（见教材）

例3解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，

BC AC +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积

11sin sin 26BC AC C C = ，得1

3

BC AC = 由余弦定理，得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=

22()21

22

AC BC AC BC AB AC BC +--=

= ，所以60C = ． 【课堂演练】

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0

90 B ．0

120 C ．0

135 D ．0

150

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

18

5 B.

4

3 C.

2

3

D. 87

4.在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则

角B 的值为（ ）

A.

6

π

B.

3π C.6π或56π D. 3

π或

23π

5．在△ABC 中，若14

13

cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ）

A ．51-

B ．61-

C ．7

1- D ．81-

6. 在?ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 等腰三角形

D. 等边三角形

学校：临清二中 学科：数学 编写人：史继忠 一审：李其智 二审：马英济

【课后训练题】 1．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．

2

21

C ．28

D ．36 2. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ． 3．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=

4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰 5.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2(a 2+b 2)c 2 则∠C 的度数（ ） A 、600 B 、450或1350 C 、1200 D 、300 6.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 ( ) A.03a << B.13a << C.34a << D.4

7. △ABC 中，a,b,c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若ab

c b a 22

22++<0,则△ABC

（ ）

8.在△ABC 中，a=1,B=450,2ABC S ?=,则△ABC 的外接圆的直径是 . 9.在△ABC 中,2

2

2

sin A sin B+sinBsinC+sin C =,则角A= .

三．解答题

10. 在四边形ABCD 中，BC a DC a ==，，2四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长。

11.在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状.

12.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25

A =， 3A

B A

C ?= ．

（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

学校：临清二中 学科：数学 编写人：史继忠 一审：李其智 二审：马英济 课题:

§1．1．2余弦定理应用

授课类型：习题课

【教学目标】

1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。

2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。 【教学重、难点】 重点：熟练应用余弦定理。

难点：解三角形，判断三角形的形状。 【教学过程】

【知识梳理】

1．余弦定理：

(1)形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+=

形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab

2c b a C cos 2

22-+=，（角到边的转换）

2.解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

3.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形

是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形

?

4.解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 【典例应用】

题型一 根据三角形的三边关系求角

例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.

解：∵a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝k

∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10

设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0)

则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab ＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1) ＝－12

∴C ＝120°.

评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。

[变式训练1]

在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0

90 B ．0

60 C ．0

135 D ．0

150 解： 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=

2222

2

2

13,c o s ,60

22

b c a b c a bc A

A bc +-+-==== 答案：B

题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形

例 2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322

=+-x x 的两根，

()1cos 2=+B A 。

（3） 求角C 的度数； （4） 求AB 的长；

（3）求△ABC 的面积。

评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 [变式训练]

1在△ABC 中，60,16,A AC S BC === 面积求的长

2. 钝角△ABC 的三边长为连续的自然数，求三边的长。

题型三：判断三角形的形状

例3.在ABC ?中，若2

2

2

2

sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ?的形状. 解：方法一：

由正弦定理和已知条件得：2

2

2

2

sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=， ∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=， ∵B 、C 为ABC ?的内角，∴90B C +=

，90A =

故ABC ?为直角三角形. 方法二：

原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=， 即：2

2

2

2

2

2

cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=， 由余弦定理得：

222222222222

2

2

2

222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=??

?2222222222

[()()]4a b c a c b b c a

+-++-+=?222

b c a += 故ABC ?为直角三角形.

评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。 [变式训练2]

1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

解：由2cos B sin A =sin C 得ac

b c a 2

22-+×a =c ，∴a =b .

答案：C

2. 在?ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 b b c a bc a a c b ac

?+-=?+-222222

22

即，2222b a a b =∴=

答案：C [典例训练]

1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-

2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

A ．A sin

B ．A cos

C ．A tan

D ．A

tan 1

3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．

2

3

C ．3

D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）

A ．006030或

B ．006045或

C ．0060120或

D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150

7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？

8．在△ABC 中，求证：)cos cos (a

A b

B c a b b a -=-

9．在△ABC 中，设,3

,2π

=

-=+C A b c a 求B sin 的值。

10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。

[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。

[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10

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§1．1．2余弦定理应用 [课前学案]

[课前回顾]

1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C=

2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= .

3.在?ABC 中，sin 2A +sin 2B=sin 2C ,则?ABC 是 。 4．在?ABC 中，acosA=bcosB ,则?ABC 是 。

5.在?ABC 中，cos cos cos a b c

A B C

==s ,则?ABC 是 。 6. 在?ABC 中，a 2+b 2=c 2,则?ABC 是 三角形。

7.在?ABC 中，a 2+b 2>c 2, a 2+c 2>b 2 c 2+b 2>a 2则?ABC 是 三角形。 8. 在?ABC 中，a 2+b 2

9. 在?ABC 中，a ∶b ∶c=5∶12∶13则?ABC 是 三角形。

10. 在?ABC 中，

22

()1a b c bc

--=,则∠A = 。 11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= . 12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。

13．在?ABC 中，b=4,c=3,BC , 则∠A= ，a= , S ＝ 。

[达标演练]

1．在ABC ?中，5=a ， 105=B ，

15=C ，则此三角形的最大边的长为__________．

2．在ABC ?中，12=+b a ， 60=A ，

45=B ，则=a _________，=b ________．

3．在ABC ?中，已知3=b ，33=c ，

30=B ，则=a ___________． 4．在ABC ?中，6=a ， 30=B ，

120=C ，则ABC ?的面积是（ ）

A ．9

B ．18

C ．39

D ．318 5．在ABC ?中，若

b

B

a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ．

30 B ．

45 C ．

60 D ．

90 6．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ）

A ．

30或

60 B ．

45或

60 C ．

60或

120 D ．

30或

150

7．在ABC ?中，“B A >”是“B A sin sin >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．在A B C ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则A c C a c o s c o s +的值为（ ）

A ．b

B ．2

c

b + C ．B cos 2 D ．B sin 2 9已知两线段1=a ，2=

b ，若以a 、b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围（）

A ．]6,

0(π

B ．)2

,0(π C ．]4,0(π D ．)3,6(π

π

10．在ABC ?中，

60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大内角（）

A ．

45 B ．

60 C ．

75 D ．

90

11．在ABC ?中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，且B A 2=，则

b

a

的取值范围是（ ） A ．)3,0(

B ．)2,1(

C ．)1,2

1( D ．)2,0(

12．（1）在ABC ?中，已知 30=A ，

120=B ，5=b ，求C 及a 、c 的值；

（2）在ABC ?中，已知

45=A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形．

13.(文科做) （07山东文17）在ABC △中，角A B

C ，，的对边分别为

tan a b c C =，，，

（1）求cos C ；

（2）若5

2

CB CA =

，且9a b +=，求c ．

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§1．1．2余弦定理应用

[课后训练题]

1. 在ABC ?中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA, 则这个三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰或直角三角形

2.设a ，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a 的取值范围是（ ） A. 4

3. 在ΔABC 中，已知 2

2

2

c bc b a ++=，则角A 为（ ） A

3π B 6π C 32π D 3

π或32π

4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范

围是（ ）

A ．（1，2）

B ．（2，+∞）

C ．[3，+∞)

D ．（3，+∞）

5.ABC ?中，3

π

=

A ，BC=3，则ABC ?的周长为 （ ）

A ．33sin 34+???

?

?

+

πB B ．36sin 34+??? ?

?

+πB C ．33sin 6+???

?

?

+

πB D ．36sin 6+??? ?

?

+πB 6．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=

3

π

,a=3,b=1，则c= (A)1 (B)2 () 3－1 (D) 3

7.已知ABC ?的三边分别为a ，b ，c ，且ABC S ?＝222

4

a b c +-，那么角C ＝ .

8.在ABC ?中，若?=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________

9。已知ΔABC 的顶点为A （2，3），B （3，-2）和C （0，0）。求（1）∠ACB ；（2）AB ；（3）∠CAB ；（4）∠ABC 。

10． 在ABC ?中，已知

a b a

+＝sin sin sin B

B A -,且cos(A －B)＋cos

C ＝1－cos2C. 试确定ABC ?的形状.

11．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且A=2C ，a+c=2b ，求此三角形的三边之比。

12． 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件

222a bc c b =-+和

32

1

+=b c ，求A ∠和B tan 的值