复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C

0)(=?

C

dz z f .

( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

1、 =-?=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

11

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n

n nz

∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ

=∞

→n n z lim ，则=

+++∞→n z z z n

n (i)

21______________.

=

)0,(Re n z

z e s ，其中n 为自然数.

9. z

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___

)(lim 0

=→z f z z .

三.计算题（40分）：

1. 设

)2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

2. .cos 1

1||?=z dz z

3. 设?-++=C d z z f λ

λλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

11

+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

为常数.

2. 试证

: ()f z =

0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

《复变函数》考试试题（一）参考答案

一． 判断题

1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 21

01i n n π=??

≠?

； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1

6. 整函数；

7. ξ；

8. 1

(1)!

n -； 9. 0； 10. ∞.

三．计算题.

1. 解 因为01,z << 所以01z <<

111()(1)(2)12(1)2

f z z z z z ==-

----0

01()22n

n n n z z ∞

∞===-∑∑.

2. 解 因为

2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z π

ππ

π

→

→=

+

===--, 2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z

π

ππ

π

→-

→-=-

-

===-. 所以

22

2

1

2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=

=+=?. 3. 解 令2

()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()

()2()c f z dz i z z ?λπ?λ=

=-?.

所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222

122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b

w z z a b a b a b -+-+=

=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(

)11(1)z a z a b -+=-+++, 22

12Im()1(1)z b

z a b -=+++. 四. 证明题.

1. 证明 设在D 内()f z C =.

令2

2

2

2

(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)

0(2)x x y

y uu vv uu vv +=??+=?

因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

00

x x x x uu vv vu uv +=??

-=?. 消去x u 得, 22

()0x u v v +=. 1) 若2

2

0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).

所以12()f z c ic =+为常数.

2. 证明()f z =

0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就

不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以

()f z =2

π

. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该

分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2

π, 故2

(1)i f e π-==.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.

( )

2. cos z 与sin z 在复平面内有界.

( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( )

6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析.

( )

7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f .

( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )

10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21

)21(==n n

n f . ( )

二. 填空题. (20分)

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i

z ________.

3. =-?=-1

||00)

(z z n z z dz

_________.（n 为自然数） 4. 幂级数0n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.

6. 函数e z 的周期为__________.

7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2

11

)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.

10. ____)1,1

(Res 4

=-z

z . 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

)2sin(3

z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z

在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z

=处的值.

3. 计算积分：?-=i

i

z z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）

的右半圆.

4. 求 .

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在

D 内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题

，2π

-

， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101

i n n π=??≠?； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题

1. 解 3212163

3

00

(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞

∞==--==++∑∑.

2. 解 令i z re θ

=.

则22

(),(0,1)k i

f z k θπ+=

==.

又因为在正实轴去正实值，所以0k =.

所以4

()i

f i e

π=.

3. 单位圆的右半圆周为i z e θ

=, 2

2

π

π

θ-

≤≤

.

所以222

2

2i

i i i

z dz de e

i ππ

θ

θππ

---

===?

?.

4. 解

=0.

四. 证明题.

1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.

比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.

2. 即要证“任一 n 次方程 1

01100

(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有 n

个根”.

证明 令1

011()0n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取10max ,1n a a R a ??+???+??

>?

?????

, 当

z

在

:C z R

=上时

,

有

111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<.

()f z =.

由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++???++= 与 00n

a z = 有相

同个数的根. 而 00n

a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <

内有n 个根.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. (20分).

1. cos z 与sin z 的周期均为πk

2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )

3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )

6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则

)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）

8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.

( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是

)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )

二. 填空题. (20分)

1. 设11

)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.

2. 函数e z

的周期为_________.

3. 若n n n i n n z )1

1(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.

4. =+z z 22cos sin ___________.

5. =-?=-1

||00)

(z z n z z dz

_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞

=0n n nx 的收敛半径为__________.

7. 设

1

1

)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.

8. 设1-=z

e ，则___=z .

9. 若0z 是

)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .

10. ____)0,(Res =n z

z

e .

三. 计算题. (40分)

1. 将函数12()z

f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.

2. 试求幂级数n

n n z n

n ∑+∞

=!的收敛半径.

3. 算下列积分：

?-C z z z z

e )9(d 22，其中C 是1||=z .

4. 求0282269

=--+-z z z z

在|z |<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它

在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||

时

n z M z f |||)(|≤，

证明

)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（三）参考答案

一. 判断题

1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填空题.

1.{}

,z z i z C ≠±∈且; 2. 2()k i

k z π∈; 3. 1ei -+; 4. 1; 5.

21

01i n n π=??

≠?

; 6. 1; 7. i ±; 8. (21)z k i π=+; 9. ∞; 10.

1

(1)!

n -.

三. 计算题.

1. 解 1

2

2

2

2

011(1)2!!

n z

n z z e z z z n -+∞

==+++???=∑. 2. 解 11

!(1)11

lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=?==+=+.

所以收敛半径为e .

3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001

Re ()99

z z z e s f z z ====--.

故原式022Re ()9z i i s f z ππ===-

.

4. 解 令 962

()22f z z z z =-+-, ()8z z ?=-.

则在:C 1z =上()()f z z ?与均解析, 且()6()8f z z ?≤<=, 故由儒歇定理有

(,)(,)1N f C N f C ??+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.

1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2

2

2

2

(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)

0(2)x x y

y uu vv uu vv +=??+=?

因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

00

x x x x uu vv vu uv +=??

-=?. 消去x u 得, 22

()0x u v v +=. 1) 2

2

0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.

2. 证明 取

r R >, 则对一切正整数 k n > 时,

()

1!()!(0)2n k k k z r k f z k Mr f dz z r

π+=≤≤?. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()

(0)0k f =.

故0

()n

n n

k f z c z

==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）

一、判断题（24分）

1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（ ）

2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ ）

3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0

lim ()z z f z →一定存在且等于零.（ ）

4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈.（ ）

5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于

常数.（ ）

7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点.（ ） 二、填空题（20分）

1. 若11

sin

(1)1n n z i n n =++-，则lim n z =___________. 2. 设2()1

z

f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________.

3. 函数z

e 的周期为______________. 4. 22

sin cos z z +=_______________.

5. 幂级数2

20n

n n z +∞

=∑的收敛半径为________________.

6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.

7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9. 方程8

3

3380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.

10. Re (,0)z

n e s z

=_________________.

三、计算题（30分）

1、 求2

2

+.

2、 设2371

()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()z

e f z z

=，求Re ((),0)s f z .

4、求函数

(1)(1)

z

z z -+在12z <<内的罗朗展式.

5、求复数1

1

z w z -=

+的实部与虚部. 6、利用留数定理计算积分：20

cos dx

a x

π

+?

，(1)a >.

四、证明题（20分）

1、方程763

3

249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.

3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{}

:1,Im 0z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{}

:1w w <

《复变函数》考试试题（四）参考答案

一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1. ei 2. 1z ≠± 3. 2i π 4. 1 5. 1 6. 1m -阶 7. 整函数 8. ￡ 9. 0 10. 1

(1)!

n -

三、计算题： 1. 解：22

0.

i i +=-=

2. 解：13,i +=

()2C f f z d i z

λλπλ∴=

-?

2371

.C d z

λλλλ++=-?

因此 2

()2(371)f i λπλλ=++ 故2

()2(371)f z i z z π=++

1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.

3. 解：0222111

!,2

n

z n z e n z z z z ∞

===+++∑L

因此Re ((),0) 1.s f z = 4. 解：

1211

1(1)(2)12(1)12

z z z z z z z z --=+=-

------ 由于12z <<，从而

1

1,12

z

z

<<. 因此在12z <<内

有

1000

111()()[()()].(1)(2)22n n n n n n n z z z

z z z z z ∞∞∞

+====--=-+--∑∑∑

5．解：设z x iy =+, 则222211(1)211(1)z x iy x y yi

w z z iy x y --++-+===+++++. 2222

22

12Re ,Im .(1)(1)x y y

w w x y

x y

+-∴==

++++ 6.解：设i z e θ

=，则11,cos ()2dz d z iz z

θθ=

=+， 220

11221cos 212z z d dz idz

a iz z az a z z

π

θθ===?=+++++

?

?? 1a >Q

，故奇点为0z a =

020

4()4cos Re z z d f z a s π

θππθ==?==

+?

.

四、证明题：

1. 证明：设7632()24,()961,f z z g z z z z ==+++ 则在1z =上，()24,

()961117,f z g z =≤+++= 即有()()f z g z >.

根据儒歇定理知在1z <内()f z 与()()f z g z +在单位圆内有相同个数的零点，而在1z <内()f z 的零点个数为7，故7

6

3

2

249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.

2.证明：设22()f z u v c =+≡，则

220,220.

x x y y u u v v u u v v ?+?=?+?=

已知()f z 在区域D 内解析，从而有,x y y x u v u v ==-

将此代入上上述两式得

0,0.

x y y x uu vu uu vu -=+=

因此有 0,0,x y u u == 于是有0,0x y v v ==. 即有 1212,,()u c v c f z c ic ≡≡=+

故()f z 在区域D 恒为常数.

3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设

0()()()m

f z z z

g z =-，

其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠，

于是

0111

()()()

m

f z z z

g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此

1

()

g z 在内1D 解析，故0z 为

1

()

f z 的m 阶极点. 五、计算题

解：根据线性变换的保对称点性知i 关于实轴的对称点i -应该变到0w =关于圆周的对称点w =∞，故可设z i

w k

z i

-=+

《复变函数》考试试题（五）

一、判断题（20分）

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续.（ ）

2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ）

3、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（ ）

4、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D '≠?∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（ ）

5、若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

6、若函数()f z 是单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

7、若函数()f z 在区域D 内解析且()0f z '=，则()f z 在D 内恒为常数.（ ） 1. 存在一个在零点解析的函数()f z 使1(

)01f n =+且11(),1,2,22f n n n

==L .（ ） 2. 如果函数()f z 在{}

:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ）

3. sin z 是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若21

(1)1n n n z i n n

+=

++-，则lim n z =___________. 2、设()ln f z z =，则()f z 的定义域为____________________________. 3、函数sin z 的周期为______________. 4、若lim n n z ξ→∞

=，则12lim

n

n z z z n

→∞+++=L _______________.

5、幂级数

5

n n nz +∞

=∑的收敛半径为________________.

6、函数2

1

()1f z z

=

+的幂级数展开式为______________________________. 7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则

01

()n C dz z z =-?______________.

8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9、方程5

3

2

15480z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.

10、若2

1

()1f z z =

+，则()f z 的孤立奇点有_________________. 三、计算题（30分） 1、求

11

31sin 2(1)(4)

z z z dz

e zdz i z z π+==+

--?

?

2、设2371

()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1

z

e f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.

4、求函数

2

10

(1)(2)

z z z +--

z <<+∞内的罗朗展式. 5、求复数1

1

z w z -=

+的实部与虚部. 四、证明题（20分）

1、方程7

6

3

155610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内连续，则二元函数(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.

1、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点. 一、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4:0arg 5z z π??

<<

????

保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. 1ei -+ 2. 0z ≠∞， 3. 2π 4. ξ 5. 1

6. 2k=0()k

iz ∞

∑ 7. 0,1

2,1

n i n π?≠??=?? 8. ￡ 9. 5 10. 1z ≠±

三、计算题： 1. 解：由于1

sin z e z +在1z ≤解析，

所以

11

sin 0z z e zdz +==?

而331

111(4)

2(1)(4)2(1)3

z z dz

dz z i z z i z ππ==-==----?? 因此

11

311

sin 2(1)(4)3

z z z dz e zdz i z z π+==+

=---?

?.

2.

解：13,i +=

()2C f f z d i z

λλπλ∴=

-? 2371.C d z

λλλλ++=-? 因此 2

()2(371)f i λπλλ=++ 故2

()2(371)f z i z z π=++

1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.

3. 解：2

11

()()1211z z e e f z z z z ==---+ 1

Re ((),1),

Re ((),1),2

2

e

e s

f z s f z -=-=-

因此 11Re ((),)().222

e e e e

s f z ---∞=--= 4.解：

222

21011111211111121

12(1)(2)1211z z z z z z z z z z z

+++=-+=-?+?------

z <<+∞，从而

2

1

2

1,1z

z <<

z <+∞内有

2(1)122

200010111111221()()()[2(1112)11](1)(2)n n n n

n n n n z z z z z z z z z z z ∞∞∞++===++=-?+?=?+---∑∑∑ 5．解：设z x iy =+, 则2222

11(1)211(1)z x iy x y yi

w z z iy x y

--++-+===+++++.

2222

22

1

2Re ,Im .(1)(1)x y y

w w x y x y +-∴=

=

++++

6．解：设ix

z e =, 则ix

dz ie dx izdx ==

11sin ()2x z i z =

- 2220012sin 22sin dx dx

x x ππ=++?? 221111224141

z z iz dz

dz iz z iz z iz ===?=+-+-??

在1z <内21

41

z iz +-只有2)z i =一个一级极点

Re [(2)]

s f z i =因此

20

22sin dx i x π

π==+?

四、证明：

1. 证明：设7653()15,()561,f z z g z z z z ==++- 则在1z =上，()15,

()13,f z g z =≤ 即有()()f z g z >.

根据儒歇定理知在1z <内()f z 与()()f z g z +在单位圆内有相同个数的零点，而在1z <内()f z 的零点个数为7，故7

6

5

3

155610z z z z +++-=在单位圆内的根的个数为7 2. 证明：因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，在D 内连续, 所以00(,)x y D ?∈,

0,0.εδ?>?>

当00,x x y y δδ-<-<时有

000000(,)(,)(,)(,)[(,)(,)]f x y f x y u x y u x y i v x y v x y -=-+-

1

2

22

0000{[(,)(,)][(,)(,)]},u x y u x y v x y v x y ε=-+-< 从而有00(,)(,),u x y u x y ε-< 00(,)(,).v x y v x y ε-<

即与在连续，由00(,)x y D ∈的任意性知(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续

3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设

0()()()m

f z z z

g z =-，

其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠，

于是

0111

()()()

m

f z z z

g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此

1

()

g z 在内1D 解析，故0z 为

1

()

f z 的m 阶极点. 五、解：1.设54

z ξ=，则ξ将区域4

{:0arg }5

z z π<<

保形映射为区域{:0arg }z ξπ<< 2.设i i

w e

i

θ

ξξ-=+, 则w 将上半平面保形变换为单位圆1w <. 因此所求的单叶函数为

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（40分）：

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（ ）

2、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（ ）

3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内连续，则(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.（ ）

4、cos z 与sin z 在复平面内有界.（ ）

5、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点.（ ）

6、若()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件，则()f z 在0z 解析.（ ）

7、若0

lim ()z z f z →存在且有限，则0z 是函数的可去奇点.（ ）

8、若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有

()0C

f x dz =?

.（ ）

9、若函数()f z 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 10、若函数()f z 在区域D 内解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常

数.（ ）

二、填空题（20分）：

1、函数z

e 的周期为_________________. 2、幂级数

n

n nz

+∞

=∑的和函数为_________________.

3、设21

()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为_________________. 4、

n

n nz

+∞

=∑的收敛半径为_________________.

5、Re (,0)z

n e s z

=_________________.

三、计算题（40分）： 1、

2.(9)()

z

z

dz z z i -+?

2、求2

Re (,).1iz

e s i z

-+ 3

、.n n

+

4、设2

2

(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足

(1)ln 2f i +=。其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.

5、求4

510z z -+=，在1z <内根的个数.

《复变函数》考试试题（六）参考答案

一、判断题（40分）：

1.√

2. √

3.√

4. ×

5. √

6. ×

7. √

8. √

9. √ 10. √ 二、填空题（20分）： 1. 2i π 2.

2

(1)z z - 3. z i ≠± 4. 1

5. 1

(1)!n - 三、计算题（40分） 1. 解：2

()9z

f z z =

-在2z ≤上解析，由cauchy 积分公式，有

222229(9)()z z z z dz dz z z i z i ==-==-++??2

295

z i

z i z π

π=-?=

-

2. 解：设2

()1iz

e f z z =+，有

2

Re (,)22i e i s f i e i --==- 3.

解：(cos sin )(cos sin )4444n n

n n i i ππππ+=++- cos sin cos sin 2cos

44444

n n n n n i i πππππ

=++-= 4. 解：

222u x x x y ?=?+，222u y

y x y

?=?+ (,)

(0,0)

(,)x y y x v x y u dx u dy c =-++?

(,)

2222

(0,0)

22x y y x

dx dy c x y x y -=++++?

220

2y

x dy c x y =

++?

2arctan y

c x

=+

(1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2f i u iv i c +=+=++=

故2

c π=-

，(,)2arctan

2

y v x y x π

=- 5. 解：令()5f x z =-，4

()1g z z =+ 则()f x ，()g z 在1z <内均解析，且当1z =时

44()511()f z z z g z =>+≥+=

由Rouche 定理知4

510z z -+=根的个数与50z -=根的个数相同. 故4

510z z -+=在1z <内仅有一个根.

《复变函数》考试试题（七）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。（ ）

2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。 （ ） 3．2

2

sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。 （ ）

复变函数试题2

第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<<

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

10-11-1复变函数考试题A 2

2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:

二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数测试试题库

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《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1<

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数期末考试题大全(东北师大)

____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β

《复变函数》考试试题

伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：一 命题教师： 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）：

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

复变函数试题及答案

成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数测试题及答案

第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件