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微分学的基本定理

【费马（Fermat）定理】

若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有

)(x f )(0x f ≤，

或者)(x f )(0x f ≥；

（ii）函数)(x f 在0x 点可导，

则有

0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是

+'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ),

另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有

≤--0

0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有

0)()(0

0≥--x f x f .再由极限性质得

)(0x f '=+'f （0x ）=lim

0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0

-→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0.

对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明.

这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线

)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线.

【拉格朗日（Lagrange）中值定理】

这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理.

若函数)(x f 满足

（i）

在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导，

则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使

)(ξf '=a

b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是

?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明.

证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的.

由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明.

(1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M

和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有

))

()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得

0)(='ξf .

而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立.

对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】.

(2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[]

x a

b a f b f x f x ---=)()()()(?由连续函数性质及导数运算法则，可知)(x ?在[]b a ,连续，且在（b a ,）可导，并且

)()()()(a a

b b af a bf b ??=--==.这就是说)(x ?满足上面的特殊情形，因此在（b a ,）内至少有一点ξ使

0)()()()(=---

'='a b a f b f f ξξ?，即

b a f b f f --=')()()(ξ.这正是所证明的.定理结论的表达式也称中值公式或拉格朗日公式.它也经常用另一种形式表示，由于ξ是（b a ,）中的一个点，故可表示成)10)((<<++=θθξa b a ，于是定理的结论就可改成为在（0,1）中至少存在一个θ值，使

a b a f b f a b a f --=

-+')()())((θ，或

)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ.注意如果定理的条件不全满足，则其结论就不一定成立.例如函数x x f =)(在[]1,1-连续，但在(-1,1)不可导，容易知道在(-1,1)不存在这样的ξ，使0)(=ξf .

然而不能认为，如果定理的条件不全成立，那么一定没有适合定理结论的点ξ存在.事实上，可以很容易地举出例子在说明，即使定理的条件不全满足，但结论仍然可以成立.这就表明，定理的条件是充分的，但不是必要的.

作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理.

【柯西中值定理】

若)(x f 与)(x g 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内可导，并且0)(≠'x g ，则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使

)

()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--.证明首先可以肯定)()(b g a g ≠，否则若)()(b g a g =，那么由拉格朗日中值定理，)(x g '在（b a ,）内存在零点，此与假设矛盾.

作辅助函数F(x)=))()(()

()()()()(a g x g a g b g a f b f x f ----,有F(a)=F(b),再运用拉格朗日中值定理，定理立即得证.

若去x x g =)(，则从定理3的结论立即得到拉格朗日中值定理.故拉格朗日中值定理是定理3的一个特例.【积分中值定理】

证明：设f(x)在上连续，且最大值为，最小值为，于是M x f m ≤≤)(。由积分不

等式的性质可得，即

由连续函数的介值定理可知，必定存在一点ε，使得

，即：

16秋浙大《控制理论》在线作业

浙江大学17春16秋浙大《控制理论》在线作业一、多选题（共10 道试题，共20 分。） 1. 在数学模型的建立中，有哪几种基本的建模方法？（） A. 解析法 B. 实验法 C. 数值法 D. 随机法正确答案： 2. 对控制系统的基本要求是（）。 A. 稳 B. 快 C. 准 D. 慢正确答案： 3. 下列属于典型输入信号的是（） A. 阶跃函数 B. 速度函数 C. 加速度函数 D. 脉冲函数正确答案： 4. 以下关于根轨迹的绘制原则，正确的是（）。 A. 由于根是实数或者共轭复数，所以根轨迹对称与s平面的实轴 B. 当K由零到无穷变化时，系统的闭环特征根也一定连续变化，所以根轨迹也必然是连续的 C. 实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为奇数 D. 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个开环极点之间，至少存在一个分离点正确答案： 5. 控制系统按输入输出变量的多少分为哪两类（）。 A. 单变量系统 B. 多变量系统 C. 连续系统 D. 离散系统正确答案： 6. 下面有关状态空间分析法，正确的是（）。 A. 它是现代控制理论的基础 B. 可以描述系统的输入输出之间的关系 C. 可以描述系统的内部特性 D. 特别适用于多输入多输出系统

正确答案： 7. 下面有关拉普拉斯变换，正确的是（）。 A. 拉普拉斯变换又称为拉氏变换 B. 它是一种函数之间的积分变换 C. 它是研究控制系统的一个重要数学工具 D. 它把时域中的微分方程变换为复域中的代数方程正确答案： 8. 以下有关传递函数的说明，正确的是（）。 A. 传递函数的概念仅用于线性定常系统 B. 系统的传递函数是一种数学模型 C. 传递函数是系统本身的一种属性 D. 它表示联系输出变量与输入变量的常微分方程的一种运算方法正确答案： 9. 控制系统按信号传递的形式分为哪两类（） A. 单变量系统 B. 多变量系统 C. 连续系统 D. 离散系统正确答案： 10. 控制系统的基本分类有（）。 A. 线性系统 B. 非线性系统 C. 连续控制系统 D. 离散控制系统正确答案：浙大《控制理论》在线作业二、判断题（共40 道试题，共80 分。） 1. 超前校正网络(aTs+1)/(Ts+1)的零点在极点的右边 A. 错误 B. 正确正确答案： 2. 带宽宽的系统可有效过滤高频噪声 A. 错误 B. 正确正确答案： 3. 一阶系统的时间常数T越大，响应速度越慢

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浙大管理学试题

名词解释（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1、计划 2、管理者 3、管理职能 4、管理环境 5、权利 6、保健因素二、填空题（本大题共9小题，每空2分，共15空，共30分） 1、根据管理者在一个组织中所处地位的不同，管理者可分为_____管理者、_____管理者、_____管理者。 2、有效的管理，要求既讲究_____,又讲究________。 3、计划有多种类型，按计划对执行者的约束力的不同，计划可分为______计划和______计划。 4、 ______的存在是组织存在的前提。 5、在组织设计过程中，将各项工作按工作的相同或类似性进行分类的部门化方法，属于_______部门化。 6、以直线为基础，在各级行政领导之下设置相应的职能部门从事专业管理的组织结构形式为______组织模式。 7、在一个组织中有三种不同性质的权力，它们分别是直线权力、______权利、_______权利。 8、在一个组织中，沟通可分为两大类：______沟通和______沟通。 9、动机是由人的______所引起的。三、简答题（本大题共6小题，每题8分，共48分） 1、列举管理思想发展史上的主要管理理论学派，简述其基本观点。 2、简述理性决策的基本过程。 3、描述领导者的职责。 4、简述公平理论的基本内容 5、简述控制的基本过程 6、描述组织工作主要内容四、论述题（本题共2小题，每题18分，共36分） 1、请举例说明组织目标及其在组织管理中的重要性 2、根据需求层次理论，归纳总结激励他人的基本方法五、情景分析题（本题满分18分）究竟是谁的责任某天深夜，总经理偶尔发现加油站员工在值班期间违规睡觉。第二天他便把企管部经理叫到办公室批评了一顿，责怪企管部监督不力，制度执行不严。企管部经理感觉很委屈：相关公司制度企管部已经认真制定完成，向公司各个部门交代沟通也很清楚，并且企管部也在认真的监督检查各部门的执行情况，但是不可能面面俱到，深夜里发生这种事，企管部也没有办法避免；况且加油站作为企管部的平级部门，企管

浙大《管理学概论》在线作业一(带答案)

单选题（共30 道试题，共60 分。）V 1. 全球战略管理，是指管理主体利用现代科技手段，制定面向全球的经营决策的发展战略方案，并加以实施的过程。_A___ A. 是 B. 不是满分：2 分 2. 组织行为学是研究一定组织中（C ）的科学 A. 人与物的关系 B. 物与物的关系 C. 人的行为规律 D. 隶属关系满分：2 分 3. 战略联盟是合作的主要形式。_B___ A. 不是 B. 是满分：2 分 4. 人员招聘中，费用高，质量好的招聘方式是（C ）A. 广告招聘 B. 劳动力市场招聘 C. 猎头招聘 D. 员工推荐满分：2 分 5. 是不是有超阶级的管理学（B ）A. 是 B. 不是满分：2 分 6. 目标管理使“作业”和“人性”两个方面得到较好的统一和综合。A____ A. 正确 B. 错误满分：2 分 7. 为了避免产生错误和尽量减少以后的纠正活动，防止资金、时间和其他资源的浪费，这种控制活动称为（D） A. 事前控制 B. 事中控制 C. 事后控制 D. 预防性控制满分：2 分 8. 管理层次的多少与__C__的大小密切相关。 A. 管理目标 B. 管理内容 C. 管理幅度 D. 管理方式满分：2 分 9. _C___也可称之为“数字化”的计划。

A. 计划 B. 规划 C. 预算 D. 目标满分：2 分 10. （C ）是把组织各方面工作纳入到统一计划中 A. 计划 B. 控制 C. 预算 D. 预测满分：2 分 11. 培训工作必须与组织性质相结合。__B_ _A. 正确 B. 错误满分：2 分 12. 企业所面临的社会环境包括地区人口、（C）风俗习惯、道德观念等因素。 A. 物质资源状况 B. 生产技术 C. 家庭文化教育水平 D. 国民消费水平满分：2 分 13. 马斯洛提出了（B） A. 人群关系理论 B. 需要层次理论 C. 双因素理论 D. 期望理论满分：2 分 14. 控制的目的就是使可能性空间尽可能（B） A. 扩大 B. 缩小满分：2 分 15. _C___是社会化大生产的客观要求。 A. 统一指挥原则 B. 经济原则 C. 分工协作原则 D. 弹性结构原则满分：2 分 16. 领导授予的权力不仅要求明确还要履行一定的手续，按照一定的程序办事，并必须进行档案式管理。__B__ A. 错误 B. 正确满分：2 分 17. 百分之百地依赖一种业务量编制预算的方法叫（A） A. 固定预算

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c