2020年辽宁省本溪市中考数学试卷

2020年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. ?2的倒数是（）

A.?1

2B.?2 C.1

2

D.2

2. 如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（）

A. B.

C. D.

3. 下列运算正确的是（）

A.m2+2m＝3m3

B.m4÷m2＝m2

C.m2?m3＝m6

D.(?m2)3＝m5

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A. B. C. D.5. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s

甲

2＝3.6，s

乙

2＝4.6，s

丙

2＝6.3，s

丁

2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）

A.15°

B.20°

C.25°

D.40°

7. 一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（）

A.4

B.5

C.6

D.8

8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）

A.3000

x

=4200

x?80

B.3000

x

+80=4200

x

C.4200

x

=3000

x

?80 D.3000

x

=4200

x+80

9. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）

A.2

B.5

2

C.3

D.4

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C 的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x

，四边形

CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )

A. B.

C. D.

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为________．

若一次函数y＝2x+2的图象经过点(3,?m)，则m＝________．

若关于x的一元二次方程x2+2x?k＝0无实数根，则k的取值范围是________．

如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是

________．

如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为________．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B

为圆心，以大于1

2

AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为________．

如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=k

x

(k>0,?x>0)的图象上，点B，C在x轴上，OC=

1

5

OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为________．

如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△

EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EF n B的面积为________2n+1

2n

．（用含正整数n的式子表示）

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

先化简，再求值：(x

x?3?1

3?x

)÷x+1

x2?9

，其中x=√2?3．

为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A(0≤x<2)，B(2≤x<4)，C?(4≤x<6)，D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：

（1）本次共调查了________名学生；

（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为________°；

（3）请补全条形统计图；

（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典

和3本乙种词典共需290元．

（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？

如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船

在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）

五、解答题（满分12分）

超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之

间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

六、解答题（满分12分）

如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．

（1）求证：DE与⊙A相切；

（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

七、解答题（满分12分）

如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α(0°<α<180°)，且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D 不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．

（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；

（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）当α＝120°，tan∠DAB=1

3时，请直接写出CE

BE

的值．

八、解答题（满分14分）

如图，抛物线y＝ax2?2√3x+c(a≠0)过点O(0,?0)和A(6,?0)．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B′，△EFB′与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

2020年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.

【答案】

A

【考点】

倒数

【解析】

根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．

【解答】

解：?2的倒数是?1

2

．

故选A．

2.

【答案】

C

【考点】

简单组合体的三视图

【解析】

根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．

【解答】

从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，

3.

【答案】

B

【考点】

幂的乘方与积的乘方

合并同类项

同底数幂的乘法

同底数幂的除法

【解析】

运用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算法则运算即可．

【解答】

A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；

B．m4÷m2＝m4?2＝m2，所以B正确；

C．m2?m3＝m2+3＝m5，所以C错误；

D．(?m2)3＝m6，所以D错误；

4. 【答案】

D

【考点】

中心对称图形

轴对称图形

【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．

5.

【答案】

A

【考点】

方差

【解析】

根据方差的意义求解可得．

【解答】

∵s

甲

2＝3.6，s

乙

2＝4.6，s

丙

2＝6.3，s

丁

2＝7.3，且平均数相等，

∴s

甲

2

乙

2

丙

2

丁

2，

∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，

6.

【答案】

C

【考点】

平行线的性质

等腰直角三角形

【解析】

根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】

∵AB?//?CD，

∴∠3＝∠1＝20°，

∵三角形是等腰直角三角形，

∴∠2＝45°?∠3＝25°，

7.

【答案】

B

【考点】

中位数

【解析】

先将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．

【解答】

一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是4+6

2

=5，

8.

【答案】

D

【考点】

由实际问题抽象为分式方程

【解析】

设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】

设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，

依题意，得：3000

x =4200

x+80

．

9.

【答案】

B

【考点】

菱形的性质

勾股定理

【解析】

根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．

【解答】

∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴OB=1

2BD=1

2

×6＝3，OA＝OC=1

2

AC=1

2

×8＝4，AC⊥BD，

由勾股定理得，BC=√OB2+OC2=√32+42=5，∴AD＝5，

∵OE＝CE，

∴∠DCA＝∠EOC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠EOC，

∴OE?//?AD，

∵AO＝OC，

∴OE是△ADC的中位线，

∴OE=1

2

AD＝2.5，

10.

【答案】

A 【考点】

动点问题

函数的图象

解直角三角形

等腰直角三角形

【解析】

根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD

平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能

反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．

【解答】

解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，

∴ AB=4，∠A=45°，

∵ CD⊥AB于点D，

∴ AD=BD=2，

∴ CD=2，

∵ PE⊥AC，PF⊥BC，

∴ 四边形CEPF是矩形，

∴ CE=PF，PE=CF，

∵ 点P运动的路程为x，

∴ AP=x，

则AE=PE=x?sin45°=√2

2

x，

∴ CE=AC?AE=2√2?√2

2

x，

∵ 四边形CEPF的面积为y，

当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，

即0

y=PE?CE

=

√2

2

x(2√2?

√2

2

x)

=?

1

2

x2+2x

=?1

2

(x?2)2+2，

∴ 当0

当点P沿D→C路径运动时，

即2≤x<4时，

∵ CD是∠ACB的平分线，

∴ PE=PF，

∴ 四边形CEPF是正方形，

∵ AD=2，PD=x?2，

∴ CP=4?x，

y=1

2

(4?x)2=1

2

(x?4)2．

∴ 当2≤x<4时，抛物线开口向上，

综上所述，A图象能反映y与x之间的函数关系．

故选A.

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

【答案】

1.98×105

【考点】

科学记数法--表示较大的数

【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】

198000＝1.98×105，

【答案】

8

【考点】

一次函数图象上点的坐标特点

【解析】

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．

【解答】

∵一次函数y＝2x+2的图象经过点(3,?m)，

∴m＝2×3+2＝8．

【答案】

k

【考点】

根的判别式

【解析】

根据根的判别式即可求出答案．

【解答】

由题意可知：△＝4+4k<0，

∴k

【答案】

5

9

【考点】

几何概率

全等图形

【解析】

先设阴影部分的面积是5x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即可得出答案．

【解答】

设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，

则这个点取在阴影部分的概率是5x

9x =5

9

．

【答案】2

【考点】

三角形中位线定理

全等三角形的性质与判定

【解析】

依据三角形中位线定理，即可得到MN=1

2

BC＝2，MN?//?BC，依据△MNE?△DCE(AAS)，即可得到CD＝MN＝2．

【解答】

∵M，N分别是AB和AC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MN=1

2

BC＝2，MN?//?BC，

∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，

∵点E是CN的中点，

∴NE＝CE，

∴△MNE?△DCE(AAS)，

∴CD＝MN＝2．

【答案】

5

【考点】

作图—基本作图

线段垂直平分线的性质

【解析】

设BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【解答】

由作图可知，MN垂直平分线段AB，

∴AE＝EB，

设AE＝EB＝x，

∵EC＝3，AC＝2BC，

∴BC=1

2

(x+3)，

在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，

∴x2＝32+[1

2

(x+3)]2，

解得，x＝5或?3（舍弃），

∴BE＝5，

【答案】

3

【考点】

反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数系数k的几何意义

等腰三角形的性质

【解析】

作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=1

2

CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进

而根据题意求得S△AOE=3

2

，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．

【解答】

作AE⊥BC于E，连接OA，

∵AB＝AC，

∴CE＝BE，

∵OC=1

5

OB，

∴OC=1

2

CE，

∵AE?//?OD，

∴△COD∽△CEA，

∴S△CEA

S△COD =(CE

OC

)2＝4，

∵△BCD的面积等于1，OC=1

5

OB，

∴S△COD=1

4S△BCD=1

4

，

∴S△CEA＝4×1

4

=1，

∵OC=1

2

CE，

∴S△AOC=1

2S△CEA=1

2

，

∴S△AOE=1

2+1=3

2

，

∵S△AOE=1

2

k(k>0)，

∴k＝3，

【答案】

2n+1

2n

【考点】

规律型：点的坐标

规律型：图形的变化类

矩形的性质

三角形的面积

规律型：数字的变化类

【解析】

先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EF n?1F n的面积，以及△BCF n的面积，再根据面积的和差关系即可求解．

【解答】∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，

∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，

∵点F2是CF1的中点，

∴△EF1F2的面积等于1

2

，

同理可得△EF n?1F n的面积为1

2n?1

，

∵△BCF n的面积为2×1

2n

÷2=1

2n

，

∴△EF n B的面积为2+1?1?1

2

???1

2n?1

?1

2n

=2?(1?1

2n

)=2n+1

2n

．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

【答案】

原式＝(x

x?3

+1

x?3

)?(x+3)(x?3)

x+1

=

x+1

x?3

?

(x+3)(x?3)

x+1

＝x+3，

当x=√2?3时，原式=√2?3+3=√2．

【考点】

分式的化简求值

【解析】

原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】

原式＝(x

x?3

+1

x?3

)?(x+3)(x?3)

x+1

=

x+1

x?3

?

(x+3)(x?3)

x+1

＝x+3，

当x=√2?3时，原式=√2?3+3=√2．

【答案】

50

108

C等级人数为50?(4+13+15)＝18（名），

补全图形如下：

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，

所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率

2

12

=1

6

．

【考点】

列表法与树状图法 条形统计图 扇形统计图

【解析】

（1）由B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用360°乘以D 等级人数所占比例即可得；

（3）根据四个等级人数之和等于总人数求出C 等级人数，从而补全图形；

（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】 本次共调查学生

1326%

=50（名），

故答案为：50；

扇形统计图中，等级D 所对应的扇形的圆心角为360°×15

50=108°， 故答案为：108；

C 等级人数为50?(4+13+15)＝18（名），

补全图形如下：

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率

212

=1

6

．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分） 【答案】

每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元 学校最多可购买甲种词典5本 【考点】

一元一次不等式的实际应用

二元一次方程组的应用——行程问题 二元一次方程的应用

二元一次方程组的应用——其他问题

【解析】

（1）设每本甲种词典的价格为x 元，每本乙种词典的价格为y 元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设学校购买甲种词典m 本，则购买乙种词典(30?m)本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】

设每本甲种词典的价格为x 元，每本乙种词典的价格为y 元， 依题意，得：{x +2y =170

2x +3y =290

，

解得：{x =70

y =50

．

答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元． 设学校购买甲种词典m 本，则购买乙种词典(30?m)本， 依题意，得：70m +50(30?m)≤1600， 解得：m ≤5．

答：学校最多可购买甲种词典5本． 【答案】

由题意得：∠ABC ＝180°?75°?45°＝60°， ∵ AD ⊥BC ，

∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°，

在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°?60°＝30°，AD ＝AB ?sin ∠ABD ＝80×sin 60°＝80×√32

=40√3，

∵ ∠CAB ＝30°+45°＝75°，

∴ ∠DAC ＝∠CAB ?∠DAB ＝75°?30°＝45°， ∴ △ADC 是等腰直角三角形，

∴ AC =√2AD =√2×40√3=40√6（海里）． 答：货船与港口A 之间的距离是40√6海里．

【考点】

解直角三角形的应用-方向角问题 【解析】

过点A 作AD ⊥BC 于D ，求出∠ABC ＝60°，在Rt △ABD 中，∠DAB ＝30°，由三角函数定义求出AD ＝AB ?sin ∠ABD ＝40√3，求出∠DAC ＝∠CAB ?∠DAB ＝45°，则△ADC 是等腰直角三角形，得出AC =√2AD ＝40√6海里即可． 【解答】

过点A 作AD ⊥BC 于D ，如图所示：

由题意得：∠ABC ＝180°?75°?45°＝60°， ∵ AD ⊥BC ，

∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°，

在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°?60°＝30°，AD ＝AB ?sin ∠ABD ＝80×sin 60°＝80×√32

=40√3，

∵ ∠CAB ＝30°+45°＝75°，

∴ ∠DAC ＝∠CAB ?∠DAB ＝75°?30°＝45°，

∴ △ADC 是等腰直角三角形，

∴ AC =√2AD =√2×40√3=40√6（海里）． 答：货船与港口A 之间的距离是40√6海里．

五、解答题（满分12分）

【答案】

设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b(k ≠0)，根据题意得： {12k +b =9014k +b =80 ， 解得：{k =?5

b =150

，

∴ y 与x 之间的函数关系为y ＝?5x +150；

根据题意得：w ＝(x ?10)(?5x +150)＝?5(x ?20)2+500， ∵ a ＝?5<0，

∴ 抛物线开口向下，w 有最大值，

∴ 当x <20时，w 随着x 的增大而增大， ∵ 10≤x ≤15且x 为整数， ∴ 当x ＝15时，w 有最大值，

即：w ＝?5×(15?20)+500＝375，

答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元． 【考点】

二次函数的应用 【解析】

（1）利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；

（2）根据总利润＝单件利润×销量列出有关w 关于x 的函数关系后求得最值即可． 【解答】

设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b(k ≠0)，根据题意得： {12k +b =9014k +b =80 ， 解得：{k =?5

b =150

，

∴ y 与x 之间的函数关系为y ＝?5x +150；

根据题意得：w ＝(x ?10)(?5x +150)＝?5(x ?20)2+500， ∵ a ＝?5<0，

∴抛物线开口向下，w有最大值，

∴当x<20时，w随着x的增大而增大，

∵10≤x≤15且x为整数，

∴当x＝15时，w有最大值，

即：w＝?5×(15?20)+500＝375，

答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．

六、解答题（满分12分）

【答案】

证明：连接AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD?//?BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE＝AB，

∴∠AEB＝∠ABC，

∴∠DAE＝∠ABC，

∴△AED?△BAC(AAS)，

∴∠DEA＝∠CAB，

∵∠CAB＝90°，

∴∠DEA＝90°，

∴DE⊥AE，

∵AE是⊙A的半径，

∴DE与⊙A相切；

∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝BE，∠EAB＝60°，

∵∠CAB＝90°，

∴∠CAE＝90°?∠EAB＝90°?60°＝30°，∠ACB＝90°?∠B＝90°?60°＝30°，

∴∠CAE＝∠ACB，

∴AE＝CE，

∴CE＝BE，

∴S△ABC=1

2AB?AC=1

2

×4×4√3=8√3，

∴S△ACE=1

2S△ABC=1

2

×8√3=4√3，

∵∠CAE＝30°，AE＝4，

∴S

扇形AEF =30π×AE2

360

=30π×42

360

=4π

3

，

∴S

阴影＝S△ACE?S扇形AEF＝4√3?4π

3

．

【考点】

平行四边形的性质

扇形面积的计算

含30度角的直角三角形

圆周角定理

切线的判定与性质

【解析】

（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD?//?BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角

形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；

（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝

BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】

证明：连接AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD?//?BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE＝AB，

∴∠AEB＝∠ABC，

∴∠DAE＝∠ABC，

∴△AED?△BAC(AAS)，

∴∠DEA＝∠CAB，

∵∠CAB＝90°，

∴∠DEA＝90°，

∴DE⊥AE，

∵AE是⊙A的半径，

∴DE与⊙A相切；

∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝BE，∠EAB＝60°，

∵∠CAB＝90°，

∴∠CAE＝90°?∠EAB＝90°?60°＝30°，∠ACB＝90°?∠B＝90°?60°＝30°，

∴∠CAE＝∠ACB，

∴AE＝CE，

∴CE＝BE，

∴S△ABC=1

2AB?AC=1

2

×4

×4√3=8√3，

∴S△ACE=1

2

S△ABC=1

2

×8√3=4√3，

∵∠CAE＝30°，AE＝4，

∴S

扇形AEF

=30π×AE2

360

=30π×42

360

=4π

3

，

∴S

阴影

＝S△ACE?S扇形AEF＝4√3?4π

3

．

七、解答题（满分12分）

【答案】

连接AC，如图①所示：

∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，

∴∠ABC＝∠AEC＝90°，

∴A、B、E、C四点共圆，

∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，

∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，

∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，

∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∴∠BCE+∠CBE＝45°，

∴∠BEC＝180°?(∠BCE+∠CBE)＝180°?45°＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC?∠AEC＝135°?90°＝45°；

AE=√3BE+CE，理由如下：

在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：

∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，

∴180°?∠ABC?∠ADB＝180°?∠AEC?∠CDE，

∴∠A＝∠C，

在△ABF和△CBE中，{

AF=CE

∠A=∠C

AB=CB

，

∴△ABF?△CBE(SAS)，

∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，

∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，

∴∠ABD＝∠FBE，

∵∠ABC＝120°，

∴∠FBE＝120°，

∵BF＝BE，

∴∠BFE＝∠BEF=1

2

×(180°?∠FBE)=1

2

×(180°?120°)＝30°，

∵BH⊥EF，

∴∠BHE＝90°，FH＝EH，

在Rt△BHE中，BH=1

2

BE，FH＝EH=√3BH=√3

2

BE，

∴EF＝2EH＝2×√3

2

BE=√3BE，

∵AE＝EF+AF，AF＝CE，

∴AE=√3BE+CE；

分两种情况：

①当点D在线段CB上时，

在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：

由（2）得：FH＝EH=√3

2

BE，

∵tan∠DAB=BH

AH

=1

3

，

∴AH＝3BH=3

2

BE，

∴CE＝AF＝AH?FH=3

2

BE?√3

2

BE=3?√3

2

BE，

∴CE

BE

=3?√3

2

；

②当点D在线段CB的延长线上时，

在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：

同①得：FH＝EH=√3

2

BE，AH＝3BH=3

2

BE，

∴CE＝AF＝AH+FH=3

2

BE+√3

2

BE=3+√3

2

BE，

∴CE

BE

=3+√3

2

；

综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=1

3

时，CE

BE

的值为3?√3

2

或3+√3

2

．

【考点】

三角形综合题

【解析】

（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，证出△ABC是

等腰直角三角形，则∠CAB＝45°，进而得出结论；

（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF?△CBE(SAS)，得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH=√3

2

BE，进而得出结论；

（3）由（2）得FH＝EH=√3

2BE，由三角函数定义得出AH＝3BH=3

2

BE，分别表示出CE，进而得出答案．

【解答】

连接AC，如图①所示：

∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，

∴A、B、E、C四点共圆，

∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，

∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∴∠BCE+∠CBE＝45°，

∴∠BEC＝180°?(∠BCE+∠CBE)＝180°?45°＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC?∠AEC＝135°?90°＝45°；

AE=√3BE+CE，理由如下：

在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，

∴180°?∠ABC?∠ADB＝180°?∠AEC?∠CDE，

∴∠A＝∠C，

在△ABF和△CBE中，{

AF=CE

∠A=∠C

AB=CB

，

∴△ABF?△CBE(SAS)，

∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，

∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，

∴∠ABD＝∠FBE，

∵∠ABC＝120°，

∴∠FBE＝120°，

∵BF＝BE，

∴∠BFE＝∠BEF=1

2

×(180°?∠FBE)=1

2

×(180°?120°)＝30°，∵BH⊥EF，

∴∠BHE＝90°，FH＝EH，

在Rt△BHE中，BH=1

2

BE，FH＝EH=√3BH=√3

2

BE，

∴EF＝2EH＝2×√3

2

BE=√3BE，

∵AE＝EF+AF，AF＝CE，

∴AE=√3BE+CE；

分两种情况：

①当点D在线段CB上时，

在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：

由（2）得：FH＝EH=√3

2

BE，

∵tan∠DAB=BH

AH

=1

3

，

∴AH＝3BH=3

2

BE，

∴CE＝AF＝AH?FH=3

2

BE?√3

2

BE=3?√3

2

BE，

∴CE

BE

=3?√3

2

；

②当点D在线段CB的延长线上时，

在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：

同①得：FH＝EH=√3

2BE，AH＝3BH=3

2

BE

，

∴CE＝AF＝AH+FH=3

2BE+√3

2

BE=3+

√3

2

BE，

∴CE

BE =3+√3

2

；

综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=1

3时，CE

BE

的值为3?√3

2

或3+√3

2

．

八、解答题（满分14分）

【答案】

把点O(0,?0)和A(6,?0)代入y＝ax2?2√3x+c中，

得到{c=0

36a?12√3+c=0

，

解得{a=√3

3

c=0

，

∴抛物线的解析式为y=√3

3x2?2√3x．

如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．

∵y=√3

3

x2?2√3x=√3

3

(x?3)2?3√3，

∴顶点B(3,??3√3)，M(3,?0)，

∴OM＝3．BM＝3√3，

∴tan∠MOB=BM

OM

=√3，

∴∠MOB＝60°，

∵∠BOD＝30°，

∴∠MON＝∠MOB?∠BOD＝30°，

∴MN＝OM?tam30°=√3，

∴N(3,??√3)，

∴直线ON的解析式为y=?√3

3

x，

由{

y=?√3

3

x

y=√3

3

x2?2√3x

，解得{

x=0

y=0或{

x=5

y=?5√3

3

，

∴D(5,??5√3

3

)．

如图②?1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，F(?3

2

,??3√3

2

)，E(3,??√3)，可得

H(3

2

,?√3

2

)．

如图②?2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，可得H(7

2,??3√3

2

)．

如图

②?3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，可得H(5

2,??3√3

2

)．

综上所述，满足条件的点H的坐标为(3

2,?√3

2

)或(5

2

,??3√3

3

)或(7

2

,??3√3

2

)．

【考点】二次函数综合题

【解析】

（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出等N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定等D坐标即可．

（3）分三种情形：如图②?1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．如图②?2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧．如图②?3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．

【解答】

把点O(0,?0)和A(6,?0)代入y＝ax2?2√3x+c中，

得到{

c=0

36a?12√3+c=0

，

解得{

a=√3

3

c=0

，

∴抛物线的解析式为y=√3

3

x2?2√3x．

如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．

∵y=√3

3

x2?2√3x=√3

3

(x?3)2?3√3，

∴顶点B(3,??3√3)，M(3,?0)，

∴OM＝3．BM＝3√3，

∴tan∠MOB=BM

OM

=√3，

∴∠MOB＝60°，

∵∠BOD＝30°，

∴∠MON＝∠MOB?∠BOD＝30°，

∴MN＝OM?tam30°=√3，

∴N(3,??√3)，

∴直线ON的解析式为y=?√3

3

x，

由{

y=?√3

3

x

y=√3

3

x2?2√3x

，解得{

x=0

y=0或{

x=5

y=?5√3

3

，

∴D(5,??5√3

3

)．

如图②?1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，F(?3

2,??3√3

2

)，

E(3,??

√3)，可得

H(3

2,?√

3

2

)．

如图②?2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，可得H(7

2,??3√3

2

)．

如图②?3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，可得H(5

2,??3√3

2

)．

综上所述，满足条件的点H的坐标为(3

2

,?√3

2

)或(5

2

,??3√3

3

)或(7

2

,??3√3

2

)．