学而思小学奥数36个专题总汇(下)

第13讲植树问题

内容概述

几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题．

典型问题

1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，

画图时用点表示花，用直线表示行．

【分析与解】如下图所示：

2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一

种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．

【分析与解】如下图所示：

3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方

案，画图时用点表示花，用直线表示行·

【分析与解】如下图所示：

4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计

方案，画图时用点表示花，用直线表示行．

【分析与解】如下图所示：

5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．

【分析与解】如下图所示：

第14讲数字谜综合

内容概述

各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．

典型问题

1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?

【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．

A显然只能为1，则BCD+EFG=993，

当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；

当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；

它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．

2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1

3

,

1

7

,

1

9

,

1

11

,

1

33

另外4个数的分母个

位数字都是5．请写出这4个分数．

【分析与解】 l一(1

3

+

1

7

+

1

9

+

1

11

+

1

33

)=

2101

33711

?

???

=

1010

335711

?

????

需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．

经试验得693+231+77+9=1010．

所以，其余的4个分数是：1

5

,

1

15

,

1

45

,

1

385

.

3.

请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．

【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497，

1

12

+

1

4

＝

1

3

，在等式两边同时乘上

1

497

，就得

1 5964+

1

1988

＝

1

1491

．显然满足题意．

又

1

35

+

1

14

=

1

10

，两边同乘以

1

142

，就得

1

4970

+

1

1988

＝

1

1420

．显然也满足．1

3053+

1

1988

＝

1

1204

，

1

8094

+

1

1988

＝

1

1596

均满足.

4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1=

对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?

【分析与解】 甲组的前三个数0.625，23，914都是小于1的数，217

32

与这三个数运算后，得5.05，

45164，4516；不论减1还是加l 后，这三个数都比21732大，而这是217

32

与小于1的数运算的结果，因

此可以猜想方框内是除号．

现在验算一下：

2

1732÷0.625=8132×85=8120=4.05； 21732÷23=8132×32=31564

； 217

32÷914=8132

×149=6316=31516；

217

32

÷3=2732.

从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而45

16

是错的． 按照算式

乙组的数

÷

甲

组

的

数

+1…………………………* 2÷3+1=1

2

3，显然不为 1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为 1.5，才有1.5÷3+1=112，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷2

3

+1=3.25．

由此可见，确定的算式*是正确的．

表中有两个错误，4

516应改为415

16

，2应改为1.5， 41516+112=5+15816

=6716． 改正后的两个数的和是67

16

．

5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．

(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．

(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．

【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．

事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．

在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．

因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：

8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的． (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为 1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．

而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．

6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．

【分析与解】表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a；

在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a．

综合以上两式

466(1) 5664(2) S a

S a

=+

?

?

=+

?

，

①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．

考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.

表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，

首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：

(1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S．

再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S．

综合两个等式

664

6645

a S

a S

+=

?

?

+=

?

，可得a为6，每条直线上和S为18．

最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其中除了x 出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：

66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1—11间的数且e≠x可知x=7．

即每行相等的和S为18，*所填的数为7．

7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．

【分析与解】方法一：1

7

=

..

0.142857，

2

7

=

..

0.285714，

3

7

＝

..

0.428571，

4

7

＝

..

0.571428，

5

7

＝

.. 0.714285，6

7

＝

..

0.857142。

对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍．

且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意．

所以这个六位数为142857．

方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为1abcde，那么6个六位数中必定存在一个数为1

abcde.

而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是1

abcde只能对应为1abcde×(2—6)，所以只能是1abcde×3得到．即1

abcde=1abcde×3．

于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．

方法三：部分同方法二，1

abcde=1abcde×3．

那么有abcde×10+l=(100000+abcde)×3，解得abcde=42857．

所以这个六位数为142857．

15讲计数综合1

内容概述

将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案．与分数、几何等相关联的计数综合题．

典型问题

1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?

【分析与解】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．

同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．

2．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?

【分析与解】我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶．

即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和，……

如果将1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和．有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法．

3．一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?

【分析与解】我们采用递推的方法．

I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．

Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的

一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．

Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：

①A1所在三角形的一个边所对的弧上；

②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．

在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．

如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；

如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．

共有12种连法．

Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：

①9个点都在同一段弧上：

②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；

③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．

共有12×3+3×6+1＝55种．

所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.

4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速．“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?

【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：

这里有4对传动比是相同的：1，3

2

，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以

共有8挡不同的车速．

5．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?

【分析与解】分子的取值范围是从1到5．

当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数．

由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件：

①分母大于分子且小于60．

⑦分母不是分子的倍数．

易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个；

当分子为3时，适合条件的分母有38个：

当分子为5时，适合条件的分母有44个；

最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3．所以共有28(=29—1)个．

总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28＝197个．

6．一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?

【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．

不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．

方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．

2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用

剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．

本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．

7．如图15—3，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?

【分析与解】因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法．因为C点不能通过，所以C处所标的数字为0．如下图所示：

所以，从A到B满足条件的走法共有120种

8．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，…，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)

【分析与解】我们根据最后一封信来计数：

(1)第9封信在上午送给秘书；

于是，T={1，2，3，4，5，6，7，9}

则下午打印的每种可能都是T的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，而未打别的信．集T有8个元素，故有28=256个不同子集(包括空集)．

(2)第9封信在午后才送给秘书．令

S＝{1，2，3，4，5，6，7}，

则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，…，k．于是不同的顺序总数为：0×C07+1×C17+2×C27+…+7×C77=7×27÷2=7×26=448

即下午有448种可能的打印顺序．

所以，下午共有256+448=704种打印的方法．

第16讲 逻辑推理

内容概述

体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．

典型问题

1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?

【分析与解】 每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44(1711)16-+=分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分； 那么第二名只能为12分，此时第四名4分．

于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l 、4分，而17只能是 5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表：

由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．

2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?

【分析与解】 四个队共赛了2

443

62

C ?=

=场，6场总分m 在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 由于m 是4个连续自然数的和，所以m =2＋3＋4=5＝14或m =3+4+5=18．

如果m =18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾．

所以m =14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、

4、3、2．

则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名． 即输给第一名的队得4分．

如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条,A B →，表示A 胜,B 各队用它们的得分来表示．

评注：常见的体育比赛模式

N 个队进行淘汰赛，至少要打1N -场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N 个队进行循环赛，一共要打2(1)

2

N N N C -=

场比赛：每个队要打1N -场比赛． 循环赛中常见的积分方式：

①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次；

②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分； 核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．

3． 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?

【分析与解】 每轮赛3场，最多产生339?=分，四轮最多4936?=分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为364132-?=． 前三名得分的和至少为78924.++=

所以后三名的得分的和至多为32248.-=

第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为459,+=这不可能，所以第5名最多得3分，图(a )为取3分时的一种可能的赛况图．

显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．

评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况：

4．某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少?

【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765， 123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5．

因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同．若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)．

若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724．

如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的．

方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5．

如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾．

如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾．

所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724．

即这个三位数为724．

5．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩．

－＝岁，则4岁定是最小当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为1046

的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；

当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足．

于是，最大的男孩为8岁．．

6．某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．

A说：“我得了94分．”

B说：“我在5个人中得分最高．”

C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”

D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”

E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”

问这5个人各得了多少分?

【分析与解】 B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足．

于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E 无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分．

所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94．

7．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：

①每人4发子弹所命中的环数各不相同；

②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；

③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：

④甲与丙只有1发环数相同；

⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．

问：甲与丙命中的相同环数是几?

【分析与解】条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之．

第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况；

第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案．满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：

甲乙

.763117()

17 .754117()

A

B

+++=?

?

+++=?

杯

都有和；

杯

丙

.753217()

45 .654217()

C

D

+++=?

?

+++=?

杯

都有和

杯

从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B既与式A 有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙．

式A与式D对应为甲和丙．

式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6．

第17讲 赛况分析

内容概述

赛况分析是一些学校近年考试的热点，我们再给出几例，希望大家在掌握了下面的知识点以后，多多练习．

常见的体育比赛模式：

N 个队进行淘汰赛，至少要打N-1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N 个队进行循环赛，一共要打2

N N N-1C 2

=

（）

场比赛：每个队要打N-1场比赛． 循环赛中常见的积分方式：

①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次；

②三分制：胜一场得3分，平一场得1分。负一场得0分；

核心关系：总计分=3×比赛场次一1×赛平场次．

典型问题

2．一次围棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2人，每个人都与其他的9人比赛，每盘胜者得2分，负者得0分，平居各得1分．结果乙队平均得分为5.2分，丙队平均分17分，试求甲队的平均分．

【分析与解】 因为每队的总分均为整数，所以乙队为5人，那么乙队的总为26分．考虑丙队的情况：选手所能得到的最高分为18分，而丙队中的最高不少于17分．

当最高分为18分，次高分至多为16分，第三名至多14分，……，前两名的平均分为17分． 当最高分为17分，次高分至多为17分，第三名至多14分，……，第一名/前两名的平均分为17分．

因为丙队不少于2人，所以丙队2人，则丙队的总分为34分．

所以甲队有10-5-2=3人，总分为2

10C 2263430?--=分，所以平均分为30÷3=10分． 4．五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?

【分析与解】 每个队各赛4场，共赛5×4÷2：10场．第三名得7分，与第一名打平，那么剩下的3场，得6分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+／+3+3．

那么，第一名为／+3+1+3+3，第二名为0+／+3+3+3，第三名为1+0+／+3+第四名为0+0+0+／+3，第五名为0+0+0+0+／．

所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0．

6. 有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3分，平者各得1分，负者得0分．现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?

【分析与解】 最高分为3×4=12，而赛完后5支队伍的最高分为2

5C ×3=30分，因为出现2分，所以5个连续的偶数，可能是0、2、4、6、8；2、4、6、8、10．

但是，2+4+6+8+10=30分，而还有些比赛没有进行，所以只能是0、2、4、6、8． 甲：1+0+1+1+～，乙：3+1+～，丙：1+～，丁：1+～，戊：～ 所以，只能是戊为0分．

①当乙为8分时，只能是3+／+1+1+3，因为丙、丁在我们看来完全等价，当丁为6分时1+1+～+1+3，此时丙只能是4分，只能是1+1+～+1+1，而这时戊一定有得分．所以不满足．

②当乙为6分时，只能是3+／+0+0+3，当丙为8分时1+3+／+1+3，此时丁只能是4分，但是只能是

1+3+1+／+～，超过4分．所以不满足．

③当乙为4分时，只能是3+／+l+0+～，当丁为8分时l+3+1+／+3，此时丙只能为6分，为1+1+／+l+3．满足．

所以，乙的得分为4．

8．五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．已知：(1)4队获得了冠军；(2)B队、C队和D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D队战胜了A队．请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况．

【分析与解】根据已知条件可以画出如下赛况图：

C×2=20分．

因为每场比赛2个队共得2分，所以5个队的总分为2

5

(1)当B、C、D均得2分，而A最多得到6分，E最少得到20-2×3-6=8分，超过A，而A是冠军，所以不满足；

(2)当B、C、D均得3分，此时E的得分最少为20-3×3-6=5分，所以此时只能是A得6分，B、C、D 均得3分，E得5分．于是，A的另外三场均是A胜

E于是只能一场平，另外的2场为胜．由条件3知，E不可能与C平，所以只能是与B或D打平．

①当E与D平，有，有如左下图的赛况表．

②当E与B平，有，有如右上图的赛况表．

(3)当B、C、D均得4分，因为C只能平一场得到1分，而其他情况，要么得到2分，要么不得分，所以不可能；

(4)当B、C、D均得5分，那么只能是A得5分，E得0分，不满足．

综上所述，有2种赛况表满足，

第18讲 方程与方程组1

内容概述

二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．

典型问题

1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数 约简后是

1

5

．那么原来的分数是多少? 【分析与解】 方法一：设这个分数为

122a

a

-，则分子、分母都减去19为

19191

==(122)191035

a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数

是

3389

方法二：设这个分数为变化后为

5a a ，那么原来这个分数为19519

a a ++，并且有(19)(519)a a +++=122, ，解得。=14．所以原来的分数是33

89

．

2．有两堆棋子，A 堆有黑子350和白子500个，B 堆有黑子400个和白子100个．为了使A 堆中黑子占50％，B 堆中黑子占75％，那么要从B 堆中拿到A 堆黑子多少个?白子多少个?

【分析与解】 要使A 堆中黑、白子一样多，从B 堆中拿到A 堆的黑子应比白子多150个，设从B 堆中拿白子x 个，则拿黑子(x +150)个． 依题意有

400(15).

400100(2150)

x x -++-+=75％, 解得x =25. 所以要拿黑子25+150=175个．白子25个

．

3．A 种酒精中纯酒精的含量为40％，B 种酒精中纯酒精的含量为36％，C 种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B 种酒精比C 种酒精多3升．那么其中的A 种酒精有多少升?

【分析与解】 设c 种酒精x 升，则B 种酒精戈x+3升，A 种酒精ll-x-(x+3) 升.有：[11-x-(x+3)] +4％+( x +3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5． 其中A 种酒精为11-2x-3=7(升)．

4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的

13加上现在到关校门时间的1

4

，就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点?

【分析与解】 设现在为下午x 点．那么上午6：00距下午x 点为6+x 小时；下午x 点距下午6：40

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 ⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ： 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若， 则 c>b>a. 。形如： 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ，则 。 一、 计 算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运 算技巧 1． ⑴

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n 5． 一般地，如果a 是整数，b 是整数(b 工0),那么一定有另外两个整数 q 和r , Ow r < b,使得a=bx q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当r 工0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为 a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 x p2 x ... x pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n 的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk 那么： n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1) n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8. 同余定理 ① 同余定义：若两个整数 a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a ，b 对于模m 同余，用式子表 示为 a = b(mod m) ② 若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 c 整除。 ③ 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 奇x 偶=偶 偶 偶=偶 偶x 偶=偶 2． 位值原则 形如： =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是 0、 2、4 、6、8 3 各数位上数字的和是 3的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 2 5 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 8(或 125)的倍数 7、 11、13 末三位数与前几位数的差是 4． 整除性质 ① 如果 c|a 、 c|b ， 那么 c|(a b) 。 ② 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 ③ 如果 b|a ， c|a 且( b,c ) =1, 那么 11 的倍数 a 整除。 如果 a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余 除法 两者之差是 7(或 11 或 13)的倍数 bc|a 。 c|b,b|a, 那么 c|a.

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学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算

6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

数学】学而思网校内部奥数习题集.低年级(第5-8套)

内部习题集——第五套 一. 填空题 1.求下面各数列的和 （1）9，13，17，21，25，29 和是（） （2）1，3，5，7，…，95，97，99 和是（） 2.数一数，图中一共有（）个三角形 3.红旗小学三年级一共有162个人，分成甲、乙、丙三个班.如果从甲班转出2个人到乙 班，则甲、乙两班人数相同.如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同.那么原来甲班有（）人. 4.甲、乙两人同时写字，8小时共写了7600个字，已知甲每小时比乙多写50个，问甲、 乙两人每小时各写( )字和（）字 5.12个小朋友排一队，从前面数小卓排第二个，小文排在小卓后面第5个。那么从后面 数，小文排第( )个 6.下图中任何一行，任何一列以及任何一条对角线上的3个数字之和相等，那么ⅹ处应该 填的数是（）. 7.由9个边长为2分米的正方形拼成一个大正方形．大正方形的周长是( )分米 8.1、2、3、4号运动员取得了学校运动会800米的前四名．校记者采访他们的名次，他 们没有直接回答．1号说：“3号在我前面冲向终点．”另一个得第三名的说：“1号不是第4名．”裁判说：“他们的号码与名次都不相同．”那么（）是第一名 9.姐姐比妹妹大6岁，10年之后，姐妹年龄之和为52岁，问现在姐姐（）岁，妹妹 （）岁 10.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果是6，这个数是（） 二. 解答题 11.姐妹年龄之和是37岁，5年之后，姐姐比妹妹大3岁，问现在姐姐、妹妹各多大

12.张小明有一个储钱罐，这一天他把储钱罐里钱的一半拿出来捐给了希望工程，然后又用 剩下的钱的一半给自己买了一本童话书，这时罐里还有20元，你知道原来张小明的储钱罐里一共有多少钱 13.小芳进小学一年级后，每年都和同学参加植树节劳动．她6岁那年，种了第1棵树．以 后每年都比前一年多种1棵树．现在她已经11岁，快小学毕业了．想一想，这六年中她一共种了多少棵树 14.一本书，共80页，小兵已经看了24页，再看多少页就能看到一半 15.妈妈买来14米布，做裙子用去3米，做裤子用的米数和做裙子用的同样多．还剩多少 米布 答案部分 1.分析与解答： （1）这是首项为9、公差为4的等差数列，所以这个等差数列的和为 （9+29）×6÷2=114。 （2）这是首项是1、末项是99、公差是2的等差数列。如果项数是多少知道了，那么就很容易求出和来，下面我们设法求项数。第2项比第1项多2，第3项比第1项多2×2=4，第4项比第1项多3×2=6，…，从而我们可以得到：末项=首项+（项数-1）×公差，反过来，可以得到：

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测试1·计算篇 1． 计算=?+++++++ 128)288122411681120180148124181( 2． =++?++++-+++?+++)11 19171()131111917151()1311119171()111917151 ( 3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数：……第2008个数是________ . 5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143

第1讲 小升初专项训练·计算 四五年级经典难题回顾 例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：2576666666 200562006??321Λ321Λ个个 例2 求数19 11211111011++++Λ的整数部分是几？ 小升初重点题型精讲 例1 =÷+÷+÷5 95491474371353251 . 例2 =+??÷+--+)1995 6.15.019954.01993(22.550 276951922.510939519 例3 =++÷++)251 18100412200811()25138100432200831 ( . 巩固 计算：=+?+?+ ?+?41602434014321 4016940146 .

例4 计算：=?++?+?+?101 99507535323112 222Λ . 拓展 计算：=??++??+??10 981943273215Λ . 例5 1?2+2?3+3?4+4?5+5?6+6?7+7?8+8?9+9?10= . 巩固：2?3+3?4+4?5+…+100?101= . 拓展 计算：1?2?3+2?3?4+3?4?5+…+9?10?11= . 例6 ［2007 –（8.5?8.5-1.5?1.5）÷10］÷160-0.3= . 巩固 计算：53×57 – 47×43 = . 例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .

奥数专题完全平方数

学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数) 1、 五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 2、五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答 3、 五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方 求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数

4、 六年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 5、 六年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。 甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(

学而思奥数网奥数专题（数论问题完全平方数） 1、五年级完全平方数习题答案： 解答：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为自然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m 又因为89为质数， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。 2、五年级完全平方数习题答案： 解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数 而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。 3、五年级完全平方数习题答案： 解答： 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。 证明若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

【数学】学而思网校内部奥数习题集.低年级(第1-4套)

内部习题集——第一套 一. 填空题 1.计算：8+9+10+11+12+13=（） 2.右图中有（）个正方形 3.请在括号里填上适当的数 （）÷3=7......1 （）÷5=3 (4) 51÷（）=8......3 43÷（）=8 (3) 4.两人共有钱300元．如果甲借给乙60元，那么甲、乙两人的钱数相等。那 么甲有（）元，乙有（）元。 5.育民小学三年级的部分学生排成一个实心方阵，最外面一层有学生48人 .那 么除了最外面一层的学生，这个方阵一共有（）名学生 . 6.把一根木料截成4段用12分钟。照这样的速度，要是把同样的木料截成8段， 要用（）分钟 7.将2到7这六个数，填入下图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等.相等 的和是（） 8.用l6个边长为2分米的小正方形拼成一个大正方形．大正方形的周长是 （）分米 9.有A、B、C三个人，这三个人中，一位是经理，一位是会计，一位是司机。 已经知道C的年龄比会计大，A和司机的年龄不相同，司机的年龄比B小. 那么A是（）职位. 10.今年哥哥26岁，弟弟18岁，问（）年前，哥哥的年龄是弟弟的3倍 二. 解答题 11.有一批水果，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时还剩4箱水果 . 问：这批水果一共有几箱

12.1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重，1 匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克 13.一个数加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100 .这个 数是多少 14.1只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只 苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和 .那么1只菠萝等于几只苹果的重量 15.生活中的数学问题 理发店同时近来三位顾客，甲理发、刮胡子不吹风，乙只刮胡子不理发，丙理发、吹风还刮胡子，店里只有一个理发师，请安排一个合理的先后顺序 . 答案部分 1.分析与解答：原式=(8+13)+(9+12)+(10+11)=21×3=63. 2.分析与解答：设法将正方形分类，将每一类的总数相加就得到所有的正方形 的个数，由两块小三角形构成的正方形有4个，由四块小三角形构成的正方形有4个，由八块小三角形构成的正方形有1个，由十六块小三角形构成的正方形为1个。由一、

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完整小学学而思合集高清无密 (2013-06-02 01:18:14) 转载▼ 分类：小学 标签： 教育 毛继东作文三步法： 二年级奥数和阅读写作： 【2801】2011一升二年级数学竞赛班-8讲 【3211】2011秋季二年级数学竞赛班-12讲 【4716】2012春季二年级数学竞赛班-14讲 【3746】2012寒假二年级数学竞赛班-8讲 【2802】2011暑期二升三数学竞赛班-12讲 【6031】糖果星球探秘：二升三年级“畅享语文”成长计划暑期班12讲【3747】精灵旅行团：2012年寒假二年级说话写话训练营10讲 6531：小柿子星球探秘：二年级“畅享语文”成长计划秋季班（6级）共11讲三年级奥数和阅读写作： 【3212】2011秋季三年级奥数竞赛班-16讲 【3779】2012寒假三年级奥数竞赛班-10讲 【4860】2012春季三年级奥数竞赛班-16讲 【4861】2012春季三年级奥数零基础班-10讲

【6039】三升四奥数暑期班14讲 4863人教春季三年级数学同步8讲 6055人教版三年级上册数学满分班16讲 7429北师版三年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲4209+2012年寒假五年制小学三年级数学超常班12讲 【6032】杮子星球探秘，三升四年级畅想语文成长计划暑期班12讲【3230】精灵旅行团：2011秋季三年级阅读写作训练营12讲【3783】精灵旅行团：2012寒假三年级阅读写作训练营8讲【4865】精灵旅行团：2012春季三年级阅读写作训练营12讲 四年级奥数及阅读写作： 【2799】2011暑期三升四数学强化班共14讲 [6040]2012四升五年级奥数暑期班18讲 【3297】2011秋季四年级上册人教数学课内同步班8讲 【4772】人教四年级下册数学同步8讲 【3208】2011秋季四年级数学强化班，18讲 【3947】2012寒假奥数强化班10讲 【6057】人教版四年级上册数学满分班14讲 【4770/4771】2011春季四年级数学竞赛班18讲 7088第13届中环杯四年级初赛冲刺VIP班12讲

小学四年级奥数题练习及答案解析-学而思入学必备

四年级奥数题：统筹规划（一） 【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。 【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油 10×27+5×1=275(公升) 【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？ 我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。 四年级奥数题：统筹规划问题（二） 【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。

学而思三年级奥数第9讲.数阵图进阶

把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46． 把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20． 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版

第4级下·提高班·学生版 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．

第4级下·提高班·学生版 将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40． 把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．

第4级下·提高班·学生版 1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的 内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数． 把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．

第4级下·提高班·学生版 2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于 27． 3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数 的和都等于24．

4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21． 5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22． 第4级下·提高班·学生版

小学奥数(学而思讲义)

(第六届2试试题) (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++?++-+++?+=______． 【分析】 换元的思想即“打包”，令0.120.23a =+，0.120.230.34b =++， 原式(1)(1)a b b a =+?-+? b a =- =0.34 (第六届五年级2试试题)计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) ［分析］ 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+， 则 原 式 a =?(10 b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -) 10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= (第五届2试试题) 1 1111 2005200620072008 +++ 的整数部分是 【分析】 设 1111 2005200620072008a +++=，则 11 4420082004 a ?<>= 所以整数部分是501 (第三届华杯赛复赛试题)求数 1 1111101112 19 +++的整数部分是几？ ［分析］ 1 1 1 11111111110101112 19101010 1010>= =++++++ 1 1 1 1.91111111110101112 19 191919 1919 <= =++++++ 即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1. (第四届2试试题)

学而思小学奥数36个专题总汇(下)

第13讲植树问题 内容概述 几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题． 典型问题 1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案， 画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一 种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方 案，画图时用点表示花，用直线表示行· 【分析与解】如下图所示： 4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计 方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示：

第14讲数字谜综合 内容概述 各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000． 2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1 3 , 1 7 , 1 9 , 1 11 , 1 33 另外4个数的分母个 位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 33 )= 2101 33711 ? ??? = 1010 335711 ? ???? 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010． 所以，其余的4个分数是：1 5 , 1 15 , 1 45 , 1 385 . 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497， 1 12 + 1 4 ＝ 1 3 ，在等式两边同时乘上 1 497 ，就得 1 5964+ 1 1988 ＝ 1 1491 ．显然满足题意． 又 1 35 + 1 14 = 1 10 ，两边同乘以 1 142 ，就得 1 4970 + 1 1988 ＝ 1 1420 ．显然也满足．1 3053+ 1 1988 ＝ 1 1204 ， 1 8094 + 1 1988 ＝ 1 1596 均满足. 4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳 理 The final edition was revised on December 14th, 2020.

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算 6．特殊数列求和

运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如： =100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r ＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ） 8. 同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m 同余，用式子表示为a≡b(mod m)

最新六年级学而思奥数

六年级学而思奥数 11111 ＋＋＋＋＋ 123420 261220420

36579111357612203042 ++++++ 1111 112123123100 ++++ ++++++ + 2 2 2 2 2 22222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226L L L +++++++++-+-+-+++++++++ 测试题 【例1】(★★)11111 1357911_____.612203042 +++++=计算 A ．53614 B ．7512 C ． 41 21 D ． 1712 【例2】(★★★)计算：2337911 345122030+++++=( )

A ．3227 B ． 4112 C ． 4121 D ． 2312 【例3】(★★★★)11111_____121231234123 10 +++++=+++++++++ A ．1113 B ．111 C ． 712 D ． 20 11 【例4】(★★★★)计算：22222222 22221324351820213141191 ++++++++=----（ ） A ．72019 B ．15138190 C ．1 402 D ．736 20 本讲学习重点： 1六年级学而思奥数 2．整体约分与连锁约分技巧 (2010第8届·走进美妙的数学花园·六年级初赛) 2 11354117 997????+÷+ ? ????? 【附加练习】 2 1294761223237 91113791113????+++÷+++ ? ????? (2009·数学解题能力展示·读者评选活动小学六年级组初赛试题) 891091011101112111213 78910111178910 ++++++++-+--+- 1242483612100200400 13926183927100300900??+??+??+????+??+??+??

【新版】六年级学而思奥数

11111123420261220420 L ＋＋＋＋＋ 第一讲 小升初计算重点考查内容(一) 抵消思想——裂项

36579111357612203042++++++ 1111112123123100+++++++++++L L 2222222222222 33333333333 331121231234122611212312341226L L L +++++++++-+-+-+++++++++

测试题 【例1】(★★) 11111 1357911_____. 612203042 + ++++= 计算 A． 5 36 14 B． 7 5 12 C． 41 21 D． 17 12【例2】(★★★)计算： 2337911 345122030 +++++=( ) A． 32 27 B． 41 12 C． 41 21 D． 23 12【例3】(★★★★) 1111 1_____ 12123123412310 +++++= +++++++++ L L A． 11 13 B． 1 11 C． 7 12 D． 20 11【例4】(★★★★)计算： 22222222 2222 1324351820 213141191 ++++ ++++= ---- L（）A． 7 20 19 B． 151 38 190 C． 1 40 2 D． 7 36 20 本讲学习重点： 1．海哥、海马学奥数时的那点笑话～ 2．整体约分与连锁约分技巧 (2010第8届·走进美妙的数学花园·六年级初赛) 2113 5411 7997 ???? +÷+ ? ? ???? 【附加练习】 212947612 2323 791113791113 ???? +++÷+++ ? ? ???? 第二讲小升初计算重点考查内容（二） 抵消思想——约分

学而思 小学六年级奥数教师讲义版 工程问题

六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是及工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析及解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析及解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？ 分析及解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15

学而思小学数学专题大全36讲座第5讲 比和比例

第5讲比和比例 两个数相除又叫做两个数的比． 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、比和比例在行程问题中的体现 在行程问题中，因为有速度=路程 时间 ，所以： 当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比； 当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比； 当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比． 1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数． 【分析与解】 方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85． 方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85． 2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的 5 11 再向前 56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米? 【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？ ( 5 11 x+56)：x=60：120，即( 5 11 x+56)：x=1：2，即x= 10 11 x+112，解得x=1232． 即北京西站、安庆西站两地相距1232千米， 3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A 内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?

{小学数学}数学学而思网校内部奥数习题集.中级2-[仅供参考]

2021年{某某}小学 小 学 数 学 学 习 资 料 教师： 年级： 日期：

内部习题集——第一套 一、填空题： 1.9998+998+99+9+6=( ). 2.1991+199.1+19.91+1.991=（). 3.把1至9这9个不同的数字分别填在下图的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成 立。现在有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字。 4.下面是按规律排列的一串数，其中的第1995项是（）. 2、5、8、11、14、…… 5.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，且减数是差的3倍，那么差是（）. 6.小明和小亮玩“石头、剪刀、布”的游戏，两人用同样多的石子做记录，输一次，就给 对方一颗石子。他们做了许多次游戏，每次都决出胜负，其中小明胜了3次，小亮增加了9颗石子。那么他们共做了（）次游戏。 7.有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。 如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用（）天。 8.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多订101份。那么一 共有（）种不同的订法。 9.全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第21位，小 红与小刚中间间隔着（）名同学。 10.三年级一班的40名同学参加植树，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，已知男生 比女生多种30棵树，男生有（）名，女生有（）名。 二、解答题： 11.少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4 个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？ 共挖了多少个树坑？

学而思小学奥数个精彩讲座总汇全

第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母． 2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数． 3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲循环小数与分数]． 1．计算： 711 47 18262 1358 133 3416 ?+ ? -÷ 【分析与解】原式= 7123 72317 4612 24 14 88128 1312 33 + ?=?= - 2．计算： 【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5 19 9 ．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5 19 9 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为

1995×0.5． 具体过程如下： 原式=59 19(3 5.22) 19930.41.6 910()527 19950.5199519(6 5.22)950+-?÷+?-+ =5 191.32 19930.440.40.5 9()5 19950.419950.5191.329 -???÷+??- =199320.41()19950.5+÷?=0.410.5÷ =114 3．计算：1 111111987 -+ - 【分析与解】原式=1 1198711986-+ =198613973-=19873973 4．计算：已知=18 1111+ 12+ 1x+4 =，则x 等于多少 【分析与解】方法一：1118x 68 114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4 +====++++ +++ 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1113 1118821x 4 + ==++ + ，所以18222133x 4 + ==++；所以13x 42+=，那么x =1.25． 5．求94 4,43,443,...,44...43123个这10个数的和． 【分析与解】方法一： ={104 4(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个