2016年高考数学全国二卷理科完美
2016年高考数学全国二卷(理科)完美版
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）()31-，
（B ）()13-，
（C ）()1,∞+
（D ）()3∞--，
（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U
（A ）{}1
（B ）{12}，
（C ）{}0123，
，，
（D ）{10123}-，
，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ，
=，且()a b b +⊥r r r
，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8
（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=
（A ）43- （B ）3
4
- （C ）3 （D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =
-∈ （D ）()ππ212
Z k x k =+∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的
2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3
cos 45
α??-= ???，则sin 2α=
（A ）
725
（B ）15
（C ）1
5
-
（D ）725
-
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，
…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为
（A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n
（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,
则E 的离心率为 （A ）2 （B ）
3
2
（C ）3 （D ）2 （12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1
m
i i i x y =+=∑（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m
（D ）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．
（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5
A =，5
cos 13C =，1a =，
则b = ．
（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：
①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α?，那么m β∥．
④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大
整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0 1 2 3 4 5≥
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0 1 2 3 4 5≥
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，5
4
AE CF ==
，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆E :22
13
x y t +
=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2
x
x f x -=
+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++>
(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2
e =(0)x ax a
g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的
值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .
(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2
2625x y ++=．
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=??=?
（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数()11
22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；
（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．