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数学建模思想在解高考数学题中的应用探究

数学建模思想在解高考数学题中的应用

探究

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《普通高中数学课程标准（修订）》提出我国中学生在数学学习中，应培养好六大核心素养，数学建模就是其中的六大数学核心素养之一，它是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，把现实世界的原型问题进行数学抽象与提炼，用数字、符号或图形表格等建立数学模型，继而应用数学工具、方法求出数学模型的解，进而还原为实际问题的解，并与原型问题进行对照修改、深化、扩展，再寻求更优化的解答.近几年高考相当重视数学建模思想的考查，下面以高考数学题为载体进行探究.

一、函数模型

挖掘数学应用问题的隐含条件，建立目标函数，把问题转化为函数模型求解.

例1（2016年四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开

始超过200万元的年份是（）.

（参考数据：≈，≈，lg2≈）

年

解析设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金为y，由题意有y=130（1+12%）n，又y>200，得>2013，两边取对数，得n>≈195，所以n≥4，选B.

点评：本题是指数函数模型在实际生活中的应用，考查了在实际问题中提取数量关系、建立数学模型，在不等式的求解过程中，考查了数据处理和运算求解能力.

二、线性规划模型

线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中有着广泛的应用.在高考数学试题中，有关线性规划的应用与求解是热点与难点，主要有迁移线性规划思想求函数的最值问题、通过二元一次不等式组表示的平面区域来确定实际问题的最优解等数学模型.

例2（2016年全国Ⅰ卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A

需要甲材料kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料kg，乙材料kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生產一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元？

解析设生产产品A，产品B分别为x，y件，利润之和为z元，那么，

+≤150，x+≤90，5x+3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+.

目标函数为z=2 100x+900y.作出二元一次不等式组的平面区域（如图所示），即可行域为图中的阴影部分，包括边界内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），当直线z=2 100x+900y经过点（60，100）时，z取得最大值216 000元.

点评：试题以工业生产中的现实问题为载体，考查线性规划最优解的模型，侧重数学建模、分析解决问题和运算求解能力的考查，对数形结合思想和方法要求较高.

三、排列组合模型

排列组合应用问题蕴含着许多丰富的数学思想和

方法.其因内容的抽象、思维的独特、解题方法的特殊性而成为高考数学科命题的一个热点和考点，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，构建“排位置”“投球入盒”“抓球”“填格子”等几种数学模型来求解，则可简捷、巧妙地解决.

例3（2013年全国卷）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）解析本题属有条件的“排位置”模型，可用直接法或间接法求解.

思路1：先排甲、乙共有10A22=20（种）排法，再排其余的4个人，有A44=24（种）排法，据分步法原理，可知所求共有20×24=480（种）.

思路2：用间接法.6个人排成一行的排法总数为A66=720（种），其中甲、乙两人相邻的排法数为2A55=240（种），所以6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有720-240=480（种）.

点评：试题以生活中的真实情境为素材，考查考生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决实际问题的能力，在运算过程中应合理应用排列组合公式优化运算，引导考生关心身边的数学问题、发展数学应用意识.

四、立体几何模型

新课程标准明确指出教师可借助几何模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.在高考中常考的模型有柱体、锥体和台体，因此，教师应灵活运用模型化，处理立体几何知识及生活中与几何图形有关的应用问题，帮助学生找到解题突破口，把问题化难为易.

例4（2015年全国Ⅱ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）.

斛斛斛斛

解析因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的四分之一圆周长为8尺，从而可得米堆的底面半径R=16π尺.又圆锥的高为5尺，可算得米堆的体积为V=3203π立方尺，所以可估算出米堆约有22斛，选择B.

点评：试题以《九章算术》中的问题为背景，传

承了中国文化，考查了考生的应用意识和数学建模思想.根据米堆形状和所给条件，建立立体几何模型，计算出堆放米的体积，着重考查考生空间想象、逻辑推理、运算、应用和估算能力，体现了新一轮高中课程改革的要求.

五、概率统计模型

在近几年的全国和各省市高考试题中，“概率与统计”应用问题是考查的重点内容，试题非常注重理论联系生活实际，常考的数学模型有古典概率、互斥事件、条件概率、分布列、二项分布、正态分布、直方图、茎叶图、线性回归模型等等.

例5（2014年全国新课标Ⅰ卷）4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）.

解析由题意知4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4名同学都选周六有1种情况，4名都选周日有1种情况，故周六、日都有同学参加公益活动的概率为p=24-1-124=78，故选D.

点评：试题选取考生熟悉的情境，属于简单的古典概率模型问题，考查了概率的基本知识和方法，引

导考生关注生活中的数学问题，增强数学应用意识.

例6（2016全国新课标Ⅰ卷）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234≥5

保费

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数01234≥5

概率

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值

解析（1）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P（A）=+++=

（2）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内

出险次数大于3，故P（B）=+=

又P（AB）=P（B），

故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）==311，因此，所求概率为311.

（3）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为：

EX=×+a×+×+×+×+2a×=，

所以續保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

点评：试题考查互斥事件、条件概率、分布列等模型，通过概率、数学期望的计算考查运算求解能力，通过随机变量的分布列考查数据处理能力，利用贴近生活的实际问题考查分析问题、解决问题的能力、应用意识和数学建模思想方法.

纵观多年的高考数学应用题，取材贴近生产、生活熟悉的情境和当前社会的热点问题，数学建模灵活多样，试题注重数学文化的承传和数学应用意识的培养，有利于考生进一步理解数学的价值和数学知识在生活实际中的应用，侧重数学建模这一数学核心素养的考查，在常规教学中，要重视多用案例融入数学建

模思想的新的教学方法，探索新的教学模式，加强学生的实践性教学环节，培养学生的应用意识和探索创新能力.

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值（注：该题可用基本不等式求最小值。）

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

高考数学中选择题的解法

高考数学中选择题的解法一、选择题的解法 1.直接法 (1)直接计算法; (2)直接推理法; (3)直接判断法; (4)数形结合法。 2。间接法 (1)验证排除法; (2)特例排除法; (3)逻辑排除法。二、举例与练习 1.直接法 (1)直接计算法例题1：如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( ) A 18倍 B 12倍 C 9倍 D 4倍例题2：某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒状磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有( ) A 5种B 6种C 7种D 8种练习题1：用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的共有( ) A 120个 B 96个 C 60个 D 36个练习题2：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积的比是( )

A B C D 练习题3：在各项均为正数的等比数列{ }中，若=9，则……+ 等于( ) A 12 B 10 C 8 D 2+ (2)直接推理法例题3：如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限练习题4：的最小正周期是( ) A π B 2π C D 4π 练习题5：在等比数列{ }中，1，且前n项和满足，那么的取值范围是( ) A (1，+∞) B (1，4) C (1，2) D (1，) (3)直接判断法例题4：“ 0”是方程“ 表示双曲线”的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 即不是充分条件也不是必要条件练习题6：函数(a0且a≠1)是( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 (4)数形结合法例题5：曲线(-2≤x≤2)与直线有两个交点时，实数k的取值范围是( )

数学建模常用方法

数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理）一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法

【典型题】高考数学试卷(含答案)

【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

6．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（） A ．1,04?? - ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 2 B ． 3 C ． 5 D ． 72 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（） A ． 14 B ． 12 C ． 22 D ．2 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（） A ．108cm 3 B ．100cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题 13．若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线，则m 的值为． 14．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________． 15．若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点

2015届高考数学(理)二轮练习：选择题的解法(含答案)

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1 3，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若 S n