2015四川高考理科数学模拟试题

2015四川高考数学模拟试题（理科）

考试时间：120分钟；满分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）

1．若集合{}{}

22|228,|20x A x Z B x x x +=∈<≤=∈->R ,则R C B A （）所含的元素个数为（ ）

A ．5

B ．4

C ． 3

D ．2

2．若复数11a i

z i i

-=--

+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位），则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

3．设，则)]22(ln [+f f ＝（ ）

A ．15log 5

B ．2

C ．5

D ．)13(log 25+e 4．在ABC ?中，2AB =，3BC =，60ABC ?∠=，AD 为BC 边上的高，O 为

AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+的值为

A ．

23 B ．3

4

C ．56

D ．1

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

A ．

22 B ．52 C ．6

2

D ．3

6．设y x ,满足约束条件??

?

??≥≥≥-≤--0

,000

23y x y x y x ，若目标函数 )0(2>+=m y m x z 的最大值

为2，则)3

sin(π

+

=mx y 的图 象向右平移

6

π

后的表达式为

A.)6

2sin(π

+

=x y B.)6

sin(π

+

=x y C.x y 2sin = D.)3

22sin(π+

=x y 7．等差数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则

1

1

S a ，2

2S a ， ，1515

S a 中最大的项为（ ） A ．

66S a B ．77S a C ．99S a D ．88

S

a 8．现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有 A ．60种 B ．54种 C ．48种 D ．42种

9．已知点,,P A B 在双曲线122

22=-b

y a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB

的斜率之积为

3

1

，则双曲线的离心率为（ ） A ．

332 B ．315 C ．2 D ．2

10

10．若函数

a ax x y +-=23

在)1,0(内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3[0,]2

B ． 3(,0][,)2

-∞?+∞ C ．(,0)-∞ D ．3[,)2

+∞

第II 卷（非选择题 共100分）

二、填空题（共5小题，每题5分，满分25分，请将答案填写在答题卡中的横线上）

11．51(1)(2)x x x

++的展开式中的常数项为 ．

12．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为

1，2 ......420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是 ．

13．已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率

是________．

14．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则12

24x y x y

+

+-的最小值为 ．

15．对于定义域为[0,1]的函数)(x f ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f

③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数．下面有三个命题： （1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ；

（2）函数

])1,0[(12)(∈-=x x f x

是理想函数；

（3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]

1,0[)(0∈x f ，且

0)]([x x f f =，则

0)(x x f =；

其中正确的命题是_______．（请填写命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分75分，其中16至19题，每题12分，20题满分13分，21题满分14分，解答应写出必要的演算过程、文字说明和解题步骤）

16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足22243()S a b c =+-． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若tan 21tan A c

B b

+

=

，且8AB BC =-，求c 的值． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且

2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=．

（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得

n n T S >成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由．

18．（本小题满分12分）2015年3月15日，中央电视台揭露部分汽车4S 店维修黑幕，国家工商总局针对汽车制造行业中的垄断行为加大了调查力度，对汽车零部件加工的相关企业开出了巨额罚单．某品牌汽车制造商为了压缩成本，计划对A 、B 、C 三种汽车零部件进行招标采购，某著名汽车零部件加工厂参入了该次竞标，已知A 种零部件中标后即可签合同，而B 、C 两种汽车零部件具有很强的关联性，所以公司规定两者都中标才能签合同，否则都不签合同，而三种零部件是否中标互不影响．已知该汽车零部件加工厂中标A 种零部件的概率为

3

4

，只中标B 种零部件的概率为18，

B 、

C 两种零部件签订合同的概率为1

6

．

（Ⅰ）求该汽车零部件加工厂C 种汽车零部件中标的概率；

（Ⅱ）设该汽车零部件加工厂签订合同的汽车零部件种数为X ，求X 的分布列与期望．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，D 2PA =AB =A =，四边形CD AB 满足D AB ⊥A ，C//D B A 且C 4B =，点M 为C P 中点，点E 为C B 边上的动点，且

C

λBE

=E ．

（Ⅰ）求证：平面D A M ⊥平面C PB ；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角D P -E -B 的余弦值为

2

3

？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，

说明理由．

20．（本小题满分13分）设椭圆C:122

22=+b

y a x （0>>b a ）,1F ,2F 为左、右焦

点，B 为短轴端点，且421=?F BF S ，离心率为

2

2

，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点

M 、N ，且满足 ||||ON OM ON OM -=+?若存在，求出该圆的方程，若不存在，

说明理由．

21．（本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==--- （Ⅰ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （Ⅱ）若对任意()10,

,02x g x ??

∈> ???

恒成立，求实数a 的最小值； （Ⅲ）设()()1112,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k ．证明：()0k f x '>．

参考答案

1．D【解析】由，得，解得，由于，，由，得或，因此，因此所含两个元素

2、C．【解析】()()()() 112

1

111

i i a i a i

a i

z i

i i i

-+---+

-

=--==

+++

是实数，

21,1

a a

∴-=∴=，故选C．

3．B【解析】由题可知，自变量3

2

2

ln<

+，故8

4

)2

2

(ln2ln=

=

+e

f，

2

5

log

25

log

)8(2

5

5

=

=

=

f，即有)]

2

2

(ln

[+

f

f＝2．

4．A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知||1

BD=，||3

AD=，||2

DC=，

∴

3

(0,)

2

AO=-，(1,3)

AB=--，(3,0)

BC=，

∵AO AB BC

λμ

=+，∴

3

(0,)(1,3)(3,0)

2

λμ

-=--+，即

30

3

3

2

λμ

λ

?

-+=

??

?

?-=-

??

，解得

1

2

1

6

λ

μ

?

=

??

?

?=

??

，∴

2

3

λμ

+=．故选A．

5．B【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则

1112

11,12,

2222

AED ABC ABE

S S S

=??===??=

15

15

22

ACD

S=??=，故选B．

6．C 【解析】作出可行域与目标函数基准线x m

y 2

-

=

，由线性规划知识，可得当直线y m x z 2+=过点)1,1(B 时，z 取得最大值，即12

1=+m

，解得2=m ；则

)32sin(π

+=x y 的图像向右平移6π个单位后得到的解析式为x x y 2sin ]3

)6(2sin[=+-=π

π.

7．D 【解析】由161516S S a =+，又150S >，160S <，所以160a <． 又1158158()20,022

a a n a n

S a +?=

=>∴>．所以数列的公差小于0，且10a >．所以1790,0S a <∴<．由195

99()92022

a a a S +?=

=>．所以99S a <0，因为前八项是递减且为

正，由

1

(1)2n n n

S a n a a =+所以前八项{}n n S a 递增，又有88S a >0．故选D ．

8．D 【解析】解：设能胜任两种工作的那个人为A ，

记为A 不选派A 的方法数C 43C 32

=12；

A 被选为英语翻译工作的方法数C 42C 32

=18；

A 被选为电脑软件设计工作的方法数 C 43C 31

=12， 故不同的选法种数为42，故选D ．

9．A 【解析】因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设

111122

,,,,,A x y B x y P x y ，所以21

21PA

y y k x x ，21

21

PB y y k x x ，由题意得

2221212122

2121

211

3PA PB

y y y y y y k k x x x x x x ，又由22

112

21x y a b ，222

22

2

1x y a

b ，相减得

222221212

2

x x y y a

b

，即

222212

22

211

3

y y b a x x ，

2

213

b a ，所以

22

2

2

2

423

33

a c a

b e

a

a a 故正确答案为A 10．B 【解析】2

32y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以，3

2y x ax a =-+在()0,1单调递增，在()0,1无极值，符合题意，所以0a ≤；②当0a >时，0y '=即2320x a -=解

得：1266,33a a x x =-=，当66,,33a a

x ????∈-∞-?+∞ ? ? ? ?????

时，0y '>，当66,33a a x ??∈- ? ???

时，0y '<，所以a ax x y +-=23的单调递增区间为：66,,,33a a ????-∞-+∞ ? ? ? ?????；单调递减区间为：66,33a a ??

- ? ???

，当63a x =-时原函数取得极大值，当63

a

x =

时，原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，需满足：

613a ≥解得：32a ≥，综合①②，a 的取值范围为(]3,0,2??

-∞?+∞????

，所以答案为 11．40

【解析】51

(2)x x +的展开式的通项为55521551(2)()2r

r r r r r r T C x C x x

---+==，520r -=，

52

r =

不合题意，521r -=-，3r =，因此展开式中的常数项为353

5240C -=． 12．6

【解析】因为区间

[]241,360内的人数共有3602411120,-+=每20人抽取一人，因此共

抽120

=6

20人，即编号在区间

[]241,360内的人数是6人 13．

9

14

【解析】设实数x ∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x ，输出的值为8x+7，令8x+7≥103得x≥12，

由几何概型得到输出的x 不小于103的概率为30129

30214

P -=

=-．

14．

56

【解析】

12112

()24624x y x y x y x y +=++-+-[(24)()]x y x y ++-12(24)[3]624x y x y x y x y

-+=+

++- 因为0x y >>，所以240x y +>，0x y ->，由基本不等式得1215

(32)2466

x y x y +≥+=+-．

15．①②③

【解析】（1）取120x x ==，代入)()()(2121x f x f x x f +≥+，可得000f f f ≥+（）（）（）,即00f ≤（），由已知对任意的]1,0[∈x ，总有0f x ≥（）可得

00f ≥（），∴0)0(=f ;

（2）显然])1,0[(12)(∈-=x x f x

在[0]1，上满足00f ≥（）；②1)1(=f ．

若0,021≥≥x x ，且121≤+x x ， 则有

1

2

12211212[]212121221[]10x x x x x x f x x f x f x ++-+=---+-=--≥（）（）（）（）（）（）（）,

故21x

f x =-（

）满足条件①②③，所以21x

f x =-（）为理想函数． 由条件③知，任给[01]m n ∈、，，当m n ＜时，由m n ＜知[]01n m -∈，， ∴f n f n m m f n m f m f m =-+≥-+≥（）（）（）（）（）

． 若00f x x （

）＞，则000[]f x f f x x ≤=（）（），前后矛盾； 若00f x x （

）＜，则000[]f x f f x x ≥=（）（），前后矛盾． 故00f x x =（

）．∴三个命题都正确，答案为①②③． 16．【解析】（Ⅰ） 1sin 2

S ab C =，且2222cos a b c ab C +-=． 因为22243()S a b c =+-，所以1

4sin 23cos 2

ab C ab C ?=，

所以tan 3C =， 因为0C π<<，所以π

3

C =； （Ⅱ）由tan 21tan A c

B b

+

=

得：

cos sin sin cos 2cos sin A B A B c A B b +=， 即sin 2cos sin C c

A B b

=

又由正弦定理得1

cos 2

A =

， ∴60A =， ∴△ABC 是等边三角形， ∴cos1208AB BC c c ?=??=-， 所以4c =．

17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，依条件有2426(2)a a a =+，

即2

111(3)()(52)a d a d a d +=+++，解得1

2

d =-

（舍）或1d =， 所以1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=．

由21n n S b +=，得1

(1)2

n n S b =-， 当1n =时，1121S b +=，解得11

3b =，

当2n ≥时，1111111

(1)(1)2222

n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-+，

所以11

3

n n b b -=，

所以数列{}n b 是首项为13，公比为1

3

的等比数列，

故1

3

n n b =．

（2）由（1）知，3

n n n n n

c a b ==，

所以231111

1233333

n n T n =?+?+?++? ①

234111111

12333333

n n T n +=?+?+?++? ② 得3311323144323443n n n n n n T +=-?-?=-?．

又11(1)

1133122313

n n n S -==-?-． 所以1211

443

n n n n T S +-=-?，

当1n =时，11T S =，

当2n ≥时，

12110443

n n +-?>，所以n n T S >， 故所求的正整数n 存在，其最小值是2．

18．【解析】（Ⅰ）记A 种零部件为事件A ；B 种零部件为事件B ；C 种零部件为事件

C ．由题意，三个事件相互独立．

设B 种汽车零部件中标的概率为p ，C 种汽车零部件中标的概率为q ． 则只中标B 种零部件的概率为3()()()()(1)(1)4

P ABC P A P B P C p q ==--

B 、

C 两种零部件签订合同，即两种零件都中标，其概率为()()()P BC P B P C pq ==． 由题意，31(1)(1)4816p q pq ?--=????=??，即1(1)216p q pq ?-=????=??

，解得2314p q ?=????=??． （Ⅱ）由已知，X 的可能取值为0,1,2，3． 记B 、C 两种零部件签订合同为事件D ，则1()6p D =

，5

()6

p D =． 355(0)()()()(1)4624P X P AD P A P D ====-?=

； 355

(1)()()()468

P X P AD P A P D ====?=；

311

(2)()()()(1)4624P X P AD P A P D ====-?=

； 311

(3)()()()468

P X P AD P A P D ====?=．

所以X 的分布列为

X

0 1 2 3 P 524 58 1

24

18

X 的数学期望为551113

012324824812

EX =?

+?+?+?=． 19．【解析】（Ⅰ） 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，

M 是PC 中点，1

//,22

MN BC MN BC ∴==，

又

//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形

,AP AD AB AD ⊥⊥，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥

AP AB =，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ， AN ?平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC ．

（Ⅱ）存在符合条件的λ．以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为

z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B

从而(0,2,2)PD =-，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-， 又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =， 则121221222

cos ,3

||||(2)44n n n n n n t ?<>=

==?-++，

解得3t =或1t =，进而3λ=或1

3

λ=

． 20．【解析】（Ⅰ）因为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>,由题意得

422121=??=

?b c S F BF , 2

2==a c e ，2

22c b a +=， 解得228,4,

a b ?=?=?所以椭圆C 的方程为22

: 1.84x y C +=

（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆2

22r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两

个交点N M ,，因为ON OM ON OM -=+，所以有0=?ON OM , 设),(),,(2211y x N y x M ，

当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+,解方程组2218

4x y y kx m

+==+??

???

得22

2()8x kx m ++=,即

222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=

222222

164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>, )

21(2)

82)(21(41642

22222,1k m k m k km x +-+-±-=

,

所以2

221221218

2,214k m x x k km x x +-=+-=+ ，

2222222

2

2

1212121222

2

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++，

要使0=?ON OM ,需12120x x y y +=,即222

22

28801212m m k k k --+=++,

所以2

2

3880m k --=,所以22

3808m k -=≥又22

840k m -+>,所以22

238

m m ?>?≥?, 所以28

3

m ≥

,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y kx m =+为圆的一条切线,

所以圆的半径为21m

r k =+,222

228381318

m m r m k ===-++

,26

3r =, 所求的圆为22

83

x y +=

, 此时圆的切线y kx m =+都满足263

m ≥或26

3

m ≤-,

而当切线的斜率不存在时，切线为263x =±，与椭圆22184

x y +=的两个交点为

2626(

,)33

±或2626

(,)33-±满足0=?ON OM , 综上, 存在圆心在原点的圆22

8

3

x y +=

满足条件． 21．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()()2

12ln ,'1.g x x x g x x

=--=- 当)2(0x ∈，时，()()'0g x g x <，单调递减； 当2()x ∈+∞，时，()(),'0g x g x >单调递增，

综上，()g x 的单调递增区间为(2)+∞，，单调递减区间为(0)2，． （Ⅱ）由题意知：()()212ln 0a x x --->，在102x ?

?∈ ???

，时恒成立，

即()()212ln a x x -->在区间102?? ???

，上恒成立，

又10x ->，2ln 21x a x >∴+

- 在区间102??

???

，上恒成立． 设2ln ()21x h x x =+-，102x ??∈ ???，，()()()

22

22

12ln 22ln '()11x x x x x h x x x -+-+==--

又令()21-22ln 0,2m x x x x ??

=

+∈ ???

，，则()222222'x m x x x x -+=-+= 当102x ??∈ ???

，时，()()'0,m x m x <单调递减，

()1422ln 222ln 202m x m ??∴>=--=-> ??? ，即()'0h x >在区间102??

???

，恒成立，

所以()h x 在区间102?

? ???，单调递增，()1

2ln 12224ln 2122

h x h ??

<=+=- ???

，

故24ln 2a ≥-． （Ⅲ）证明：21212121ln ln y y x x k x x x x --=

=--又21

02

x x x +=

所以()()0

001212'ln '

x x f x x x x x ===

=+ ，即证212112

ln ln 2

x x x x x x ->-+ 不妨设120x x <<，即证：()

212112

2ln ln x x x x x x -->

+，

即证：21221

121ln 1x x x x x x ??- ???>

+，设211x t x =>，即证：()21ln 1t t t ->+，

也就是要证：4

ln 201

t t +

->+，其中1()t ∈+∞，

事实上：设4

()ln 21

k t t t =+-+，1()t ∈+∞，

则()()()()()

22

222

14114'()0111t t t k t t t t t +--=-==>+++ 所以()k t 在(1)+∞，单调递增，因此()()10k t k >=，即结论成立．