北师版初二数学图形的平移与旋转全章同步讲义
第一节图形的平移与旋转考点1：图形的平移
【知识要点】
1、什么叫平移？
2、平移有哪些性质？
3、决定平移的两大要素是什么？
4、（1）生活中的图形是由什么构成的？
（2）怎样确定一个图形平移后的位置？
【典型例题】
【考题1－1】（深圳南山）平移方格纸中的图形，如图1－3－1，使A点平移到A′点处，画出平移后的图形，并写上一句贴切、诙谐的解说词．
【考题1－2】（宁安）图1－3－2，在10 ×5的正方形网格
中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移4
个单位，得到△A’B’C’，再把△A′B′C′绕点A′逆
时针旋转 90○得到△A″B″C″请你画出△A′B′C′，和
△A″B″C″（不要求写画法）
【考题1－3】（成都郸县）在图1－3－5的网格中按要求画出
图象，并回答问题．
（1）先画出面ABC向下平移5格后的△A；B1C1，再画出△
ABC以O点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90○后的△A2B2C2
（2）在与同学交流时，你打算如何描述（1）中所画的
△A2B2C2的位置？
【考题1－4】（海口）观察图1－3－8图案，在 A、B、C、D四幅图案中，能通过图案图1－3－7的平移得到的是（）
【大展身手】
1．将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
2．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行；③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（）
A．②③B、②④C．①②D．①④
3．如图1―3―12图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（）
4．下列说法正确的是（）
A．由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B．我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”
C．小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”
D．在图形平移过程中，图形上可能会有不动点
5．如果同一平面的两个图形通过平移，不论其起始位置如何，总能完全重合，则这两个图形是（）
A．两个点B．两个半径相等的圆
C．两个点或两个半径相等的圆D．两个等边三角形
6．关于平移的说法，下列正确的是（）
A．经过平移对应线段相等B．经过平移对应角可能会改变
C．经过平移对应点所连的线段不相等D．经过平移图形会改变
7．如图1―3―13，∠B是由∠A平移得到的，且∠A＝3 0○，∠B的度数是（）
A．60○B．30○
C．90○D．45○
8．平移不改变图形的________，只改变图形的位置．
9．将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________
10．如图1―3―14，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，填
空（1）CD=______，（2）∠F＝______
（3）HE= ，（4）∠D=_____，
（5）EF=_________
11．如图1―3―15，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是__________. 12．如图1―3―16，将字母M上的点A平移到点B，作出平移后的图形．
13．把图1―3―17所示的“小房子”图形向左平移，使得小房子之间相隔1cm，不写作法，不留画痕．
14．观察图1―3―18的图形，并在图的下面的格点中画出这个图：
15．如图1―3―21，△ABC和△A′B′C′都是等腰直
角三角形，其中一个等腰直角三角形，经过平移后成
为另一个等腰直角三角形，分别指出对应（顶）点，
对应线段，对应角．
考点2：图形的旋转
【知识要点】
1．什么是旋转？如何理解“旋转”？
2．旋转的基本性质是什么？
3．如何对简单图形进行旋转作图？可以分几种情况来看？
【典型例题】
【考题2－1】如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.
【考题2－2】（深圳南山）请利用图1－3－22的基本图案，通过平移、旋转、轴对称在方
格纸上设计一个美丽的图案．
【考题2－3】（开福）图1－3－24，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图1－3－25中的（）
【考题2－4】（南宁）如图 1－3－26是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面的图案绕点O顺时针旋转，
至少旋转多少度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形？
【大展身手】
1．下列说法正确的是（）
A．旋转后的图形的位置一定改变
B．旋转后的图形的位置一定不变
C．旋转后的图形的位置可能不变
D．旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2．△ABC是等腰直角三角形，如图1－3－30，A B=A C，∠BA C＝90°，
D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度
数为（）
A．90°B．120°C．60°D．45°
3．下列关于旋转和平移的说法错误的是（）
A．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离
B．旋转和平移都只能改变图形的位置
C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D．旋转和平移的定义是相同的
4．如图1－3－31，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．从10点到10点40分，分针转过的角度为（）
A．60°B．30°C．120°D．240°
6．观察图1－3－32的图形，图1－3－33中（）不是图案中的拼块．
7．下列说法不正确的是（ ） A ．旋转后的图形与原来图形面积相4 B ．旋转后的图形改变了图形的大小 C ．旋转不改变图形的大小 D ．旋转不改变图形的形状
8．如图1，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点经过逆时针旋转后能够与ΔADE 重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A 点经过逆时针连续旋转得到图2.两次旋转的角度分别为（ ）.
A ．45°，90°
B ．90°，45°
C ．60°，30°
D ．30°，60° 9．如图，当半径为30cm 的转动轮转过120 角时，传送带上的物体A 平移的距离为 cm 。
10．如图1－3－34，该图案的旋转中心为_______
11．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o
后不变的字是_________
12．在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____
13．如图1－3－35所示的五角星绕中，O 点最少旋转____________后才能与自身重合．
图1 图2
14．如图1－3－36，△BCD是由△ABD旋转而成的，其中AB=CD，AD=BC，找出旋转中心，写出旋转角（至少写两个）．
15．如图1－3－37，已知 Rt△ABC，作出其以 A为旋转中心，逆时针旋转90○，180○，270○的三个三角形，不写作法，也不必留画图痕迹．
16．如图1－3－38，将已知的△ABC以 A为旋转中心逆时针旋转100○得△A′B′C′，画出图形，并描出点B到B′，点C到C′在旋转过程中走过的痕迹．
17．如图1－3－39，训练场上，士兵小王在射击完毕后，发现子弹击中在靶子的阴影部分，你知道阴影部分的面积吗？（设靶子面积为S）．
18．如图1－3－40，△AOB绕点O旋转到△DOE的位置，请指出旋转角．小明的解答是：因为△DOE是由△AOB绕点O旋转得到的，所以∠AOB＝∠ DOE，∠A＝∠D，∠ B＝∠E，∠AOD＝∠BOE，没有和∠AOE相等的角，所以∠AOE就是旋转角．小明的解答对吗？
19．如图1－3－41，正方形ABCD中，F是BC上一点，E是AB
延长线上一点，且BF=BE，试猜想线段AF与CE的关系，并说
明你的猜想理由．
20．观察图1－3－42，试说明这个图案是怎样变化而来的．
【大展身手】
1、将长为5cm的线段，沿某一直线平移，所得线段长度与原线段（）
A．相等B．大于C．小于D．不确定
2、如图1―3―58的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（）
3、有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（）
A、①③
B、①②
C、②③
D、②④
4、下列说法正确的是（）
A．在平移过程中，对应线段，对应点所连的线段可能会在一条直线上
B．在平移过程中，对应线段，对应点所连的线段一定在一条直线上
C．在平移过程中，对应线段，对应点所连的线段一定不在一条直线上
D．平移后对应点所连的线段相等但不一定平行
5、下列说法正确的是（）
A．平移前后两个图形对应点连线平行且相等
B．平移前后对应线段不相等
C．平移前后对应角不一定相等D．平移前后大小可能改变
6、如图 l－3－59，ΔA′B′C′是ΔABC平移而得到的，下列说
法错误的是（）
A．AB= A′B′B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′D．A′C′=BC
7、平移过程中，所得到的图形与原图形（）
A．不等B．相同C．不完全相等D．无法判定
8、如图l－3－60，△ABC是直角三角形，BC是斜边·将△ABP绕点A
逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（）
A．3 B．3 2
C．5 2 D．4
9、如图l－3－61，图形围绕自己的旋转中心最少需旋转（）之后，
能够与它自身相重合．
A．60○B．20○ C．90○D．120○
10、下列说法不正确的是（）
A．旋转中心在旋转过程中是不动的
B．旋转形成的图形是由旋转中心和旋转角共同决定的
C．旋转不改变图形的形状和大小
D．旋转改变图形的形状但不改变大小
11、下列说法错误的是（）
A．经过旋转，图形上的各点绕旋转中心沿相同方向转动的角度不同
B．经过旋转、图形上的每一点都要旋转中心沿相同方向转动相同的角度
C．经过旋转任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角
D．经过旋转、对应点到旋转中心距离相等
12、图 1－3－63中的“笑脸”是图 1－3－62逆时针旋转90○形成的是（）
13、图1－3－64中的图形，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为（） A．30○B．60○C．90○D．150○
14、下列关于旋转和平移的说法正确的是（）
A．旋转使图形的形状发生改变
B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D．对应点到旋转中心距离相等
15、经过平移，对应点所连的线段_____且相等。
16、将△ABC平移10cm，得∠EFG，如果∠ABC＝52○，则∠EFG=_____．BF=_____.
17、如图1－3－65所示，∠AOB平移后得△ COD，且这两个角的两边均为线段，则在这两
个角中，相等的量是：
（1）_____________，（2）_____________，
（3）_____________，
相互平行的量是：（1）_____________，（2）_____________.
18、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫做_______________.
19、要想把图形在平面内旋转，除了有画好的图形外，还需要两个重要因素，它们是________和_____________.
20、图形的旋转有两个重要性质，它们分别是对应点到________的距离相等和________都相等．
21、如图l－3－66，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________.
22、如图l－3－67，Rt△AEF是由Rt△ABC旋转而成的，则旋转中心是_____，旋转角度用表示角的三个字母表示出来是________和_________.
23、如图l－3－68，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法
．
24、平移图l－3－69正方格中的阴影图案，使点A移动到点A′的位置，然后再向下平移两格．
25、将给出的图案沿水平直线等距离平移若干次，得一花边图案，试画出花边图案，给出的图案为图l－3－70．
26、观察图l－3－72，其中五个完全相同的四边形可不可以经过其中一个旋转得到，若能，则旋转几次，分别旋转多少度角？若不能，请说明理由。
27、在图l－3－73的方框中做出以O为旋转中心旋转后的图形．
28、如图l－3－74是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OC A＝90○，∠CAO= 25○，
（1）画出在空中划过的线；
（2）上下最多可以转动多少角度？
30、如图l－3－75，这是一块地板砖的图案，请用6个这样的图案拼成一个长方形图案．
31、如图l－3－76，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都是2cm，求两个正方形重叠部分的面积．
* 32、（新情境题）如图l－3－77，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．
* 33、(探究题）观察图l －3－78，说出这个图形中的五角星是
怎样由最下面的五角星平移而成的.
* 34、（动手操作题）图l －3－79，10根火柴可以拼成向下飞
的编幅形状，你能只平移3根火柴就使它向上飞吗？
* 35、（探究题）已知边长为 1个单位的等边三角形ABC ，（1）将这个三角形绕它的顶点C
按顺时针方向旋转30○
作出这个图形；（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○
、90○
、120○
，作出这些图形．
A
B
C
A
B
C
A
B
C
* 36、(新情境题) 如图
l －3－80，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指
出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC 重合到△DEF 上．
* 37、（创新题）如图l －3－81，在△ABC 中， AB =AC ，∠BAC=40°，AD 是∠BAC 的平分
线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，请你用对称和旋转的知识回答下列问题： （l ）△ADE 和△DF 关于直线AD 对称吗?为什么？
（2）把△BDE 绕点D 顺时针旋转160○
后能否与△CDF 重合？为什么？
A
B
C
A B
C
D F
E
（3）把△BDE 绕点D 旋转多少度后，此时的△BDE 和△CDF 关于直线BC 对称？
图形的平移与旋转快速练习
1．在图形平移中，下列说法中错误的是（ ） A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动点
D 、图形上任意两点的连线大小相同
2．下面的几幅图案中，由图案①平移后得到的是（ ）
3．如果在同一平面中的两个图形F 1
和F 2通过平移，总可以完全重合在一起（不论
F 1和
F 2的初始位置如何），则F 1和F 2是（ ） A 、两个点
B
、两个半径相等的圆
C 、两个点或两个半径相等的圆
D 、两个全等的多边形
4．在如图3—1—2中，可以视为图形平移的对数（一个红心对另一个红心）有（ ） A 、5对
B 、8对
C 、9对
D 、10对
5．在以下现象中，属于平移运动的是：（ ）
（1）用所气筒打气时，活塞的移动；（2）钟摆的摆动；（3）温度计中液柱的上升或下降；（4）一个铁球从空中落下；（5）传送带上货物的移动 A 、（1）（4）
B 、（1）（4）（5）
C 、（1）（3）（4）（5）
D 、（1）（2）（5）
6．若△A 1B 1C 1，沿射线OT 方向平移距离a 之后，与△A 2B 2C 2完全重合在一起，则必有（ ） A 、A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=a
B 、A 1A 2∥B 1B 2∥
C 1C 2 C 、A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=a 且A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2
D 、以上答案均不正确
7．在10×8的方格表中可以画出格子线为边的3×2的小长方形，这些小长方形通过平移，
①
A
B
C D 图3—1—1
图3—1—
可以彼此重合，在此方格表中，3×2的小矩形的个数是（ ） A 、30个
B 、42个
C 、56个
D 、60个
8．在图形旋转中，下列说法中错误的是（ ）
A 、图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B 、图形上的每一点移动的角度相同
C 、图形上可能存在不动点
D 、图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
9．观察图3—3—1，如下说法中正确的个数是（ ）
（1）可以看作一个小三角形按相同方向连续旋转60°、120°、180°、240°、300°，前后的图形共同组成；
（2）可以看作连续两个小三角形按相同方向连续旋转120°、240
组成；
（3）可以看作连续三个小三角形旋转180°，前后的图形共同组成； （4
）可以看作一个大的正三角形旋转60°，前后的图形共同组成。 A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
10．有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少度，所得的图形都与原来的图形完全重合在一起，这种几何图形是（ ）
A 、正三角形
B 、正方形
C 、圆
D 、正六边形
11．在以下运动中，是旋转的有（ ）
（1）荡秋千；（2）跳绳；（3）转呼啦圈；（4）转陀螺 A 、（1）（2） B 、（1）（4）
C 、（2）（3）
D 、（3）（4）
12．如图3—3—2180°”得到的有（ ）
A B 、2个 C 、3个
D 、4个
13．正六边形ABCDEF 的对角线AD 、BE 和CF 交于一点O ，如果以点O 为旋转中心把此正六边形旋转角a ，得到的图形与原图形重合，则a 等于（ ） A 、60°
B 、120°
C 、180°
D 、k ·60°(k 是正整数)
14．图形T 1是等腰直角三角形，以它的直角顶点为旋转中心，把T 1沿同一方向依次旋转90°、180°、270°，分别得到图形T 2、T 3、T 4，那么，T 1、T 2、T 3、T 4组合成的几何图形是（ ） A 、正方形
B 、菱形
C 、长方形
D 、等腰梯形
图3—3—1
图3—3—2 （2） （3）
（4）
15．观察如图3—5—1所摆放的五朵梅花，下列说法错误的是（ ） A 、左上角梅花只需沿对角线平移即可
B 、右上角梅花沿对角线平移后，顺时针旋转45°
C 、右下角梅花先沿对角线平移后，以下底边为对称轴对称得到
D 、左下角梅花先沿对角线平移后，顺时针旋转90°
16．如图3—5—2，正方形ABCD 与正方形EFGH 边长相等，对于这个图案有下面说法：
（1）这个图案可以看作正方形ABCD 绕点O 旋转45°，前后的图形共同组成的
（2）这个图案可以看作△ABC 绕 点O 分别旋转45°、90°、 135°、180°、225°，前后所有的图形共同组成的
（3）这个图案可以看作△BOC 绕点O 分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、 270°、315°，前后所有的图形共同组成的。 其中正确的有（ ） A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
17．在图中，与图形变换
相同的是（ ）
18．如图3—
6—1中的四个图案是某种衣物的洗涤说明，请指出不是利用图形的平移、旋转和轴对称设计的是（ ）
19．在图3—6—2的四个图案中既包含图形的旋转，还包含图形的对称的是（
）
A →
B
C →
D →
图3—5—2
G
图3—6—
A
B
C
D
图3—6—2
A B
C D
20．下列现象不属于平移的是（ ） A 、小华乘电梯从一楼到三楼 B 、足球在操场上沿直线滚动 C 、一个铁球从高处自由落下
D 、小朋友滑滑梯
21．将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（ ）
22．如图3—中—2，将正方形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转120°后，得到正方形'''A CD B ，则∠'BCD 等于（ ） A 、120°
B 、130°
C 、140°
D 、150°
23．如图3—中—3，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在'B 位置，若AC ⊥''B A ，则∠BAC 的度数是（ ） A 、50° B 、60°
C 、70°
D 、80°
24．在平面中给定的图形T 和任意一点A ，图形绕点A 旋转360°必能 ；如果图形T 按顺时针方向旋转角度β得到的图形，与它按逆时针方向旋转角度β得到的图形完全一样，则最小的β等于 ；如果图形T 按顺时针方向旋转50°得到图形T ，则图形'T ，再按顺时针方向旋转 ，就可以得到图形T ，或者图形'T 按逆时针方向旋转 ，也可以得到图形T 。
25．将边长为1的正方形ABCD 绕A 点，按逆时针方向旋转60°至''''D C B A 的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是多少？
图3—中—2
'
A 图3—中—3
C
A
'
A '
B B
图形的平移与旋转复习卷
一、仔细选一选（每小题4分，共20分）
１．下列数中仅由一个数字平移所得的数是（）
A、2002
B、1999
C、8888
D、1414
２．下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（）
3．下列每组大写字母中，旋转180°和原来形状一样的是（）
A、H I O E
B、H I O N
C、H I O U
D、H I O B
4．利用一幅三角板，画平行线时，形成的同位角只可能是（）
A、30° 60°
B、30° 45° 60°
C、30° 45° 60° 90°
D、可以是任意的角°
5．下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是（）
二、细心填一填（每小题4分，共20分）
三、
四、如图1所示，若△A`B`C`是由△ABC平移形成，若∠BCA=55°，∠BAC=70°，则∠
C`B`A`= ，∠B`A`C`= 。
八年级下册图形的平移与旋转教案
个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师：黄老师授课时间：2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点：平移的概念、性质、平移作图；旋转的概念、性质，简单的旋转作图。 难点重点重点：1、平移的概念、性质、平移作图；旋转的概念、性质，简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点：图案设计的方法；轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行，且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 旋转的概念和性质： 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。 知识点一、平移的概念： 1．在平面内将一个图形沿______移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的_______和__________． 知识点二、平移的性质 2、经过平移，_________，__________分别相等， 对应点所连的线段_____________． 【基础训练】
A ′ 1．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行； ③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（ ） A ．②③ B 、②④ C ．①② D ．①④ 2、如下左图，△ABC 经过平移到△DEF 的位置，则下列说法： ①AB ∥DE ，AD=CF=BE ； ②∠ACB=∠DEF ； ③平移的方向是点C 到点E 的方向； ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有（ ） A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，则△AFE 经过平移可以得到（ ） A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4．下列图形属于平移位置变换的是( ) ． 5．下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6．如图，△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′，线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 ． 7．在1题中，与线段AA ′平行且相等的线段有 ． A ． B ． C ． D ．
初二图形的平移与旋转提高同步讲义
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、平移 1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2、平移的性质：①一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等； ②对应线段平行且相等，对应角相等。 3、平移作图的步骤与方法： 一般步骤：（1）分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离； （2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点； （3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点； （4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母； （5）写出结论。 平移作图的方法：“对应点连接法”和“全等图形法” 4、图形的坐标变化与平移： （1）纵坐标保持不变，横坐标分别加k ①当k为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移k个单位长度； ②当k为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移k个单位长度；
三、中心对称 1、两个图形形成中心对称的概念及性质 （1）概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180?，他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。 （2）两个图形形成中心对称的性质 ①成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 ②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。 2、作成中心对称图形的一般步骤 （1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键点的对称点。 （2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 3、中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180?，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 考点一：图形平移类的问题 例1、如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
最新北师大版初二下册数学知识点
最新北师大版初二下册数学知识点 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时， 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：(a≠0)； （5）商的乘方：；(b≠0) 7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：
新北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转讲义及中考题
第三章图形的平移与旋转 知识点一、平移的概念： 移动一定的距离，这样1. ____________________________________ 在平面内将一个图形沿 的图形运动称为平移。 移不改变图形的 __________ 和 _______________ . 注意：1、前提在同一平面内，物体在曲面上运动不称之为平移 2、必须是沿同一个不变的方向移动 3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、经过平移，_____________ , _______________ 分别相等， 对应点所连的线段____________________ . 【基础训练】新课标第-网 1?以下现彖：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行； ③风车的转动，④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是（ A .②③B、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图，△ ABC经过平移到△ DEF的位置，则下列说法: ① AB // DE , AD=CF=BE ; ②/ ACB= / DEF ; ③平移的方向是点C到点E的方向； ④平移距离为线段BE的长.
其中说法正确的有（）A?个B 2个C. 3个D. 4个
5?下列图形中，是由（1）仅通过平移得到的是（ A B , C,线段AB 与线段力B'的位置关系是 7. 3、如下右图，在等边厶ABC 中，D 、E 、 AFE 经过平移可以得到（ ） A. △ DEF B. △ FBD C. △ EDC F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，则厶 6.如图，△ ABC 平 移后得到厶 在1题 5 D
八年级数学上册知识点总结(北师大版)
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
图形的平移与旋转教案
第三章图形的平移与旋转教案 3.1生活中的平移 教学目标： 知识目标：认识平移、理解平移的基本内涵；理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质。 能力目标：①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展，培养学生的分析问题与解决问题的能力；②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程；经历探索图形平移性质的过程，以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。 情感目标：①在探究式的教学活动中，培养学生主动探索，勇于发现的科学精神；通过多种途径，培养学生细致、严谨、求实的学习习惯；渗透由特殊到一般，化未知为已知的辩证唯物主义思想；②引导学生观察生活中的图形运动变化现象，自己加以数学上的分析，进而形成正确的数学观，进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展；③通过自己动手设计图案，把所学知识加以实践应用，体会数学的实用价值。通过同学间的合作交流，培养学生的协作能力与学习的自主性。 教学重点：探究平移变换的基本要素，画简单图形的平移图。 教学难点：决定平移的两个主要因素。 教学过程设计： 一、引入并确定目标 展示与平移有关的图片，借助实物演示平移，用几何画板演示两个图形的平移。 学生分组讨论，如何将所看到的现象用简洁的语言叙述。 二、探究新知 分析平移定义，探讨“沿某一方向”的意义，其实质是沿直线运动。 学生讨论“沿某一方向”的意义。 展示图片，让学生讨论图中的运动各在那种情况下是平移，图中还有哪些图形可以通过平移得到。 学生分组讨论： （1）能否通过平移得到。 （2）能平移得到的其基本图形是什么？有哪些方法？ 让学生列举生活中的平移实例，对理解有偏差的加以纠正。 展示静态图片，让学生观察图中具有特殊位置关系的线段，归纳猜想所能得到的结论；利用几何画板实验验证猜想。 小组同学讨论自己所能得到的结论。
八年级数学图形的平移与旋转同步讲义
图形的平移与旋转考点1：图形的平移 【知识要点】 1、什么叫平移？ 2、平移有哪些性质？ 3、决定平移的两大要素是什么？ 4、（1）生活中的图形是由什么构成的？ （2）怎样确定一个图形平移后的位置？
【典型例题】 【考题1－1】（深圳南山）平移方格纸中的图形，如图1－3－1，使A点平移到A′点处，画出平移后的图形，并写上一句贴切、诙谐的解说词． 【考题1－2】（宁安）图1－3－2，在10 ×5的正方形网格 中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移4 个单位，得到△A’B’C’，再把△A′B′C′绕点A′逆 时针旋转 90○得到△A″B″C″请你画出△A′B′C′，和 △A″B″C″（不要求写画法）
【考题1－3】（成都郸县）在图1－3－5的网格中按要求画出 图象，并回答问题． （1）先画出面ABC向下平移5格后的△A；B1C1，再画出△ ABC以O点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90○后的△A2B2C2 （2）在与同学交流时，你打算如何描述（1）中所画的 △A2B2C2的位置？ 【考题1－4】（海口）观察图1－3－8图案，在 A、B、C、D四幅图案中，能通过图案图1－3－7的平移得到的是（）
【大展身手】 1．将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（） A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm 2．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行；③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（） A．②③B、②④C．①②D．①④ 3．如图1―3―12图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（） 4．下列说法正确的是（） A．由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等 B．我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移” C．小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！” D．在图形平移过程中，图形上可能会有不动点 5．如果同一平面的两个图形通过平移，不论其起始位置如何，总能完全重合，则这两个图形是（） A．两个点B．两个半径相等的圆 C．两个点或两个半径相等的圆D．两个等边三角形 6．关于平移的说法，下列正确的是（） A．经过平移对应线段相等B．经过平移对应角可能会改变 C．经过平移对应点所连的线段不相等D．经过平移图形会改变 7．如图1―3―13，∠B是由∠A平移得到的，且∠A＝3 0○，∠B的度数是（） A．60○B．30○ ○○
北师大版数学初二上册知识点总结教学内容
初二上册知识点总结 勾股定理 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和 直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高， 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三 角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1． （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中 的每一条直角边． （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就 是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合 其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两 条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它 们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；5，12，13；8，15，16；7，24， 25 ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
北师大版八年级下册数学各章知识点总结
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现： 你对以上图片熟悉吗？请你回答以下几个问题： （1）汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？ （2）传送带上的物品，比如带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？ （3）以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？ 1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A ′B ′C ′D ′是梯形ABCD 经过平移得到的且 ∠ABC =90°.那么梯形ABCD 的面积为________，∠A ′B ′C =________. 图1 2.在下面的六幅图中，（2）（3）（4）（5）（6）中的图案_________可以通过平移图案（1） § 图形的平移与旋转
得到的 . 图2 3.请将图3中的“小鱼”向左平移5格. 图3 4.请欣赏下面的图形4，它是由若干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？ 一、填空： 1、如下左图，△ABC 经过平移到△A ′B ′C ′的位置，则平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______. 2、如下中图，线段AB 是线段CD 经过平移得到的，则线段AC 与BC 的关系为（ ） A.相交 B.平行 C.相等 D.平行且相等 § 图形的平移与旋转
3、如下右图，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.（在两个三角形的内角中找） 4、如下左图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，则：①画出平移方向，平移距离是_______；（精确到0.1cm） ②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______. ③DH=_________=_______A=_______. 5、如下右图，△ABC平移后得到了△DEF，（1）若∠A=28o，∠E=72o，BC=2，则∠1=____o，∠F=____o，EF=____o；（2）在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行. 6、如图，请画出△ABC向左平移4格后的△A 1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，若把△A2B2C2看成是△ABC 经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度. 二、选择题： 7、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，则下列说法： ①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④平移距离为线段BE的长. 其中说法正确的有（） A.个个个个 8、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，则△AFE经过平移可以得到（） A.△DEF B.△FBD C.△EDC D.△FBD和△EDC 三、探究升级： 1、如图，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1. 3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.
三年级平移与旋转
辅导讲义 教学内容 一、专题精讲 平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。 把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。旋转也不改变图形的形状和大小。 在实际生活中，随处可见平移和旋转，蒋嘉怡同学你能举出一些例子吗？ 平移： 旋转： 我们来看下面的问题，连一连。 升旗时国旗的运动钟摆的运动 在算盘上拨珠平移电梯的运动 风扇叶片的运动火车在铁轨上飞驰 光盘在电脑里的运动旋转汽车方向盘 轮船在水里航行飞机螺旋桨 例1：观察并操作
1、向（）平移了（）格。 2、把小船向上平移5格。 3、把三角形先向右平移4格，再向下平移3格。例2：填空 1、长方形向（）平移了（）格。 2、六边形向（）平移了（）格。 3、五角星向（）平移了（）格。 例3：操作
1、把图中长方形向上平移2格； 2、把图中三角形向右平移3格； 3、把图中平行四边形向左平移5格。 二、专题过关 检测题1：填空（每空4分） 1、水龙头的运动方式是（），汽车轮子的运动方式是（），微波炉内托盘的运动是（）。 2、连线 钟摆的运动自行车轮的运动 在算盘上拨珠平移电梯的运动 风扇叶片的运动火车在铁轨上飞驰 光盘在电脑里的运动旋转汽车方向盘 地球自转地球公转 检测题2：判断（每空4分） 1、平移不改变图形的形状，但会改变图形的大小。（） 2、图形经过旋转后，大小不会改变。（）
检测题3：操作（每小题10分） 1、 （1）把小船向上平移三格。 （2）把小屋向左平移两格，再向下平移五格。 2、 （1）三角形向（）平移了（）格。 （2）画出小鱼向右平移7格后的图形。 三、学法提炼 1、平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。 2、把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。旋转也不改变图形的形状和大小。
(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
北师大版八年级数学下册各章知识点汇总
第一章三角形的证明 一、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法
八年级下册图形的平移与旋转
八年级下册图形的平移与旋转
A B D E F 例1 如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到如图所示位置： （1）若平移距离为3，求 △ABC 与△/ //C B A 的重叠 部分的面积； （2）若平移位置为x （0≤ x ≤4），求△ABC 与△ ///C B A 的重叠部分的面积 解：（1）由题意得CC ′=3，BC=4，所以BC ′=1； 重叠部分是一个等腰直角三角形，所以其面积为：2 11121=?? （2）2 )4(21x y -= 【方法技巧】 平移要注意起点和终点，平移的方向和距离。 【变式演练】 1、如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ,则四边形ABFD 的周长为 2、由图中左侧三角形仅经过一次平移、旋转或
轴对称变换，不能得到的图形是（ ） 考点二 平移和旋转的应用 例2 如图8，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（-4,1），点B 的坐标为（-1,1）. （1）先将Rt △ABC 向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt △A 1B 1C 1.试在图中画出图形Rt △A 1B 1C 1.，并写出A 1的坐标； （2）将Rt △A 1B 1C 1.，绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形Rt △A 2B 2C 2，并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程中C 1.所经过的路程. 分析：（1）根据平移的性质画 出经过两次平移后的图形 Rt △A 1B 1C 1.即可写出A 1的坐 标； （2）根据以点A 1为中（A （C （D ） （B ） 第2题图
初二下册第三章图形的平移与旋转讲义及中考题
初二下册第三章图形的平移与旋转讲义及中考 题 知识点一、平移的概念： 1．在平面内将一个图形沿______移动一定的距离，如此的图形运动称为平移。平移不改变图形的_______和__________． 注意：1、前提在同一平面内，物体在曲面上运动不称之为平移 2、必须是沿同一个不变的方向移动 3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、通过平移，_________，__________分别相等， 对应点所连的线段_____________． 【基础训练】 1．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行； ③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（） A．②③B、②④C．①②D．①④ 2、如下左图，△ABC通过平移到△DEF的位置，则下列说法： ①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④平移距离为线段BE的长. 其中说法正确的有（） A.个 B.2个 C.3个 D.4个3、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，则△AFE通过平移能够得到（） A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD和△EDC 4．下列图形属于平移位置变换的是( ) ． 5．下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6．如图，△ABC平 移后得到△A′B′C′，线段AB与线段A′B′的位置关系是． 7．在1题中，与线段AA′平行且相等的线段有．A．B．C． D． A′
A C ′ B′ 8、将长度为5cm 的线段向上平移10cm所得线段长度是（） A、10cm B、5cm C、0cm D、无法确定 9．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到 的是（? ） A．△COD B．△OAB C．△OAF D．△OEF 10．将面积为12cm2的等腰直角△ABC向右上方平移20cm，得到△MNP， 则△MNP是三角形，它的面积是cm2． 11．如图7，四边形EF GH是由四边形ABCD平移得到的， 已知AD=5，∠B=70°，则（） A．FG=5，∠G=70°B．EH=5，∠F=70° C．EF=5，∠F=70°D．EF=5，∠E=70° 13、（2020湖南郴州）在图示的方格纸中 （1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由 △A1B1C1通过如何样的平移得到的？ 二、图形的旋转： 知识点一、旋转的定义． 在平面内将一个图形__________________________________，如此的图 形运动称为旋转，那个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转 不改变图形的_______和__________． 知识点二、旋转的性质 1、通过旋转后的图形与原图形的对应线段______，对应角_______ 2、对应点到旋转中心的距离______ ′’
初二数学上册北师大版知识点总结
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B D （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分
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