《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义

《反比例函数》微专题

——比例系数k 的几何意义

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一、课前热身，提炼模型

1.如图，点P 是双曲线x

y 4

=上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为 。

第1题图 第2题图 第3题图

2.如图，点P 是双曲线x

y 4

-

=上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为 。

3.如图，点P 是双曲线x

k

y =

上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为 。

二、探索新知，深化模型

例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。

变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为 。

变式2.如图，点A 是双曲线x

y 4

-

=上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 。

三、巩固提高，运用模型

例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x

k

y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为 。

变式.如图，反比例函数x

k

y =

（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。

四、课堂小结，知识升华

通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？

五、中考链接，能力提升

如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x

k

y =

（k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________． （用含m 的代数式表示）

直线参数方程t的几何意义44095

1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x

云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)

昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学 一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合交集的运算求解即可. 【详解】由集合，，则 故选：B. 【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 根据表中数据，下列说法正确的是

A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系 B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系 C. 利润率与人均销售额成正相关关系 D. 利润率与人均销售额成负相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】 由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到. 【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选：C. 【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题. 4.已知，， ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由指数函数的单调性得，与常数‘1’比较得 即可得答案. 【详解】因为在R 上递减，且 ，所以 .又因为 在R 上递增，且 ，所以 . 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题. 5.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由任意角的三角函数的定义得 和 ，由正弦的两角和计算公式可得 .

反比例函数比例系数k的几何意义探究教学设计

通过师生互动的形式再次呈现本节课的主要知识。概括是课堂教学的核心，适时的总结利于学生对知识学习的升华。 反比例函数系数k 的几何意义探究 教学任务分析 流程、思路与理念 流程思路 通过简单题目复习回顾反比 例函数的图像和性质，为本 节课的学习做准备。并以最 后一题面积问题，有特殊到 一般引入新课。 分两点位于反比例函数图像 同一支和不同支，及函数在 一、三象限和二、四象限等 不同情况进行分类探究反比 例函数系数的几何意义。 通过两个不同类型的例题 让学生灵活运用反比例函 数的几何意义。 理念 从旧知识到新知识，充分运用已学过 的反比例函数的图像和性质，为本节 课的探究做好准备，并以最后一题面 积的求解引入新课。让学生感受从特 殊到一般的数学思考方法。 让学生通过讨论和探究过程体会反比 例函数系数的几何意义，进一步体 会分类讨论和数形结合的数学思 使学生正确理解反比例函数系数的几 何意义及函数交点的意义，规范学生 的解题步骤，让学生进一步体会数形 结合和转化的思想。 通过技能的训练，巩固反比 例 函数系数的几何意义。 通过分层递进练习，让每个学生都有可 以做的题目，使不同程度的学生通过练 习得到不同程度的发展和提高。体现人 人学不同数学的新课程理念。

教学过程设计

k 探究二.如图,若A,C 为y＝x k（k为常数，k≠ 0）上的 任两点 过A,C 分别作x轴（或y 轴） 的垂线, 垂足分别为B, D , 则AOB 和 COD 的面积相等吗?为什么? k 小结:从反比例函数y＝x（k 为常数，k≠ 0）的图象上任选 x 点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成 的 三角形的面积S＝1 2 xy 三、典型例 题 例一: 已知反比例函数y＝ m－7 m－7的图象的一支位于第一 x 象限．（1）判断该函数 图象的另一支所在的象限，并 求m 的取值范围； （2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求m 的值． 例二:如图，反比例函数k y 的图象与一次函数x y mx b 的图象交于两点A(1,3),B(a, 1)． 1）求反比例函数与一次函数的函数关系 式； 2）根据图象，直接回答：当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的 值； （3）连接AO、BO， 求△ ABO 的面积； 教师提问，学生独 立思考，教师引导学生 正确运用反比例函数系 数的几何意义解决问 题。 教师应关注： （1）学生是否直接应 用反比例函数系数的几 何意义解决解答题； （2）学生是否理解函 数交点要同时满足一次 函数和反比例函数的解 析式，并将几何问题转 化为代数问题，从而求 函数解析式；（2）学 生是否灵活运用数形结 合的思想解决问题。 使学生正 确理解反比 例函数系数 的几何意义 及函数交点 的意义，规范 学生的解题 步骤，让学生 进一步体会 数形结合和 转化的思想。

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

椭圆的参数方程中参数的几何意义

椭圆： 椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

直线的参数方程的几何意义

课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）， 其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量， 的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则 的方向向上;若t<0,则 的方向向下;若t=0,则点与点M 重合. 由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为 B A t t ,，则 性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为 2 B A t t +，若0M 是线段A B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。

精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是?3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。 分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程? ?? ? ?x = x 0 +at ，y = y 0 +bt (t 是参数)。 解：由题意知则直线PQ 的方程是? ????x = 1 ? 3 t ， y = 2 + 4 t ，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q （?8，12）。 例2．求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。 解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ? ?? ??x = ?1 ? 2 13 t ， y = ?2 + 313 t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d = 5 13 ， ∴ t = AA ' = 10 13 ， 代入直线的参数方程得A ' (? 3313，413 )。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点 (1,5),倾斜角为 , 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆 的两个交点到点 的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t 为参数)

知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义

一、选择题 1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是y=- ． 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 专题：待定系数法． 分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等． 解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=- ， 故答案为：y=- ， 点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。 分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上． 解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数， ∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6， 故本选项错误； 故选A． 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC 的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即S＝1 2 |k|． 解答：解：根据题意可知：S△AOB＝1 2 |k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数 k y x =中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角 形面积为1 2 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程

2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学下期中一模试卷(附答案)

2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学下期中一模试卷(附答案) 一、选择题 1．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为（ ） A ．（2，5） B ．（2.5，5） C ．（3，5） D ．（3，6） 3．在Rt ABC ?中，90,2,1C AC BC ∠=?==，则cos A 的值是( ) A ． 25 B ． 5 C ． 5 D ． 12 4．如图，用放大镜看△ABC ，若边BC 的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（ ）． A ．边A B 的长度也变为原来的2倍； B ．∠BA C 的度数也变为原来的2倍； C ．△ABC 的周长变为原来的2倍； D ．△ABC 的面积变为原来的4倍； 5．若3 5 x x y =+，则x y 等于 （ ） A ． 3 2 B ．38 C ． 23 D ． 85 6．若37a b =，则b a a -等于（ ） A ． 34 B ． 43 C ． 73 D ． 37

7．在△ABC 中，若=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105° 8．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．a ：d ＝c ：b B ．a ：b ＝c ：d C ．c ：a ＝d ：b D ．b ：c ＝a ：d 9．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．当3x =时，EC EM < B ．当9y =时，E C EM < C ．当x 增大时，EC CF ?的值增大 D ．当x 增大时，B E D F ?的值不变 10．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴 的正半轴上，反比例函数k y x = (x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( ) A ． 92 B ． 74 C ． 245 D ．12 11．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ） A ． 72 x y = B ． 27x y = C ． 27 x y = D ． 27 x y = 12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y= 3 x ；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③ 二、填空题 13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立

反比例函数图象的一些有趣几何性质

反比例函数图象的一些有趣几何性质 先给出结论，后给出解释。为简单起见下面反比例函数k值均＞0，所有图形仅出现在第一象限。 结论一：有任意两个反比例函数图象，过原点任意作两条指向第一象限的射线，与前两图象分别交于A，C点以及B，D点。则AB∥CD。 结论二：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为圆心AO为半径作圆交x轴于B点，构造等腰三角形AOB，则AB所在直线与反比例函数图象相切。 结论三：取任一反比例函数图象上任一点A，过A向x轴作垂线段AB，B为垂足。过B 作OA平行线交反比例函数图象于C点，则BC：OA=根5-1:2≈0.618，即黄金分割比例。 结论四：取任一反比例函数图象上任一点A，如结论二所示先构造等腰三角形OA1B1，再过B1 作OA平行线B1A1，构造下个相似的等腰三角形B1A2B2，依此类推，直到第n个等腰三角形Bn-1AnBn，则OBn=根n倍OB1，且如果A1坐标为（x1，y1），则An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1) 接下来三个结论都来源自同一个背景一个本质。 结论五：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D，当A点变化时，BCD位置跟随发生变化， 但AB：AO，AD：AC的值均不变（取决于A点双曲线参数k1和B点双曲线参数k2）

结论六：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D。过A和B作x轴垂线垂足分别为E和F，过D作DG⊥AF于G，则S梯形ABEF=S△ADG 结论七：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，过A作x轴垂线垂足为B，在OA上取OD=OB，过D点的反比例函数图象交AC于E点，则有AE=AB。 以上结论的一些解释与推导： 结论（1）：设A，B所在反比例函数参数为k1，C，D所在反比例函数参数为k2，AO：CO=BO：DO=根k1：根k2，所以AB∥CD。 结论（2）：首先一个前提，任一直线不可能和双曲线产生三个交点。然后延长BA交y轴于C，显然A为BC中点。再结合之前文章中的结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。则如果直线与双曲线无论在AC段还是AB段还有一交点，必存在另一关于A对称的交点。这将产生了3交点和前提矛盾。故仅存在A点唯一一个交点，即AB与双曲线相切。（当然也可以代数法推，只是个人嫌麻烦不喜欢用）

《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义

《反比例函数》微专题 ——比例系数k 的几何意义 姓名： 一、课前热身，提炼模型 1.如图，点P 是双曲线x y 4 =上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为 。 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点P 是双曲线x y 4 - =上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为 。 3.如图，点P 是双曲线x k y = 上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为 。 二、探索新知，深化模型 例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。

变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为 。 变式2.如图，点A 是双曲线x y 4 - =上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 。 三、巩固提高，运用模型 例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x k y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为 。

变式.如图，反比例函数x k y = （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。 四、课堂小结，知识升华 通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？

五、中考链接，能力提升 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x k y = （k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________． （用含m 的代数式表示）

椭圆的参数方程中参数的几何意义

椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点

相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。

直线的参数方程(t的几何意义)复习教案

二轮复习：选修4-4 直线的标准参数方程t 的几何意义应用 一.考纲要求： 参数方程 1. 了解参数方程，了解参数的意义； 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 二. 一轮知识课前回顾（请同学们独立默写完成） 1. 过点，倾斜角为的直线标准参数方程为____________________ 其中t 的意义如下： 设,则是直线方向上的单位向量， 若M 为直线上任一点，则， ,即直线上动点M 到定点的距离，等于直线标准参数方程中参数t 的__________ 即 ?? ?+=+=)(为参数t Bt n y At m x 为直线标准参数方程的条件为:①=+22B A __________ ②______>0 2.直线的非标准参数处理方案 ①转为________方程解决问题. ②转为标准参数方程： 如： 将直线：（为参数）的方程化为标准参数方程____________________ 3.已知过点M 0(x 0，y 0)的直线的参数方程为：（为参数），点M 、N 为直线l 上相异两点，点M 、N 所对应的参数分别为、， 请根据下列图象判断、的符号以及用、表示下列线段长度： （2） (3） 请用、表示线段长度: 4.若点Q 是线段MN 的中点，则点Q 对应的参数t=_________ ()000,y x M αl ()ααsin ,cos =e l ______=l e t M M =0_________=()000,y x M l ???? ?= 方向向下 ，若方向向上 若M M M M 000______,||l 222x t y t =+??=-? t l ???+=+=α α sin cos 00t y y t x x t 1t 2t 1t 2t 1t 2t ()11t 2t

初三中考第一轮复习反比例函数(一对一 教案)

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T 反比例函数 C 反比例函数的应用 T 反比例函数综合应用 授课日期及时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1：反比例函数的概念 一般的，形如y=x k （k 不等于零的常数）的函数叫反比例函数。 反比例函数的解析式又可以写成：1,k xy k y kx x -== =（ k 是不等于零的常数）, 知识点2：反比例函数的图象及性质 （1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。它与x 轴和y 轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴. (2)反比例函数y= x k 图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关， ① 当k>0时，函数的图象分布在第 一、三象限； (如下图) 函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 减小； ②当k<0时，函数的图象分布在第 二、四 象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增大而增大。 (3)双曲线既是中心对称图形. 也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线

知识点3：反比例函数中的比例系数k 的几何意义 (1)反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 (2)过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22 xy k S = =。 知识点4： 反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程 知识点5：反比例函数在实际问题中的应用 在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y= x k 中的k 不等于零这一条件，结合图像说出性质，根据性质画 出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点 二、同步题型分析 题型1：反比例函数的概念、图像与性质 例1：下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？ （1）x y 4= ；（2）x y 21-=；（3）2 x y =；（4） x y -=1（5）1=xy 解：（1）是反比例函数，比例系数是4 （2）是反比例函数，比例系数是2 1- （3）不是 （4）不是 （5）是反比例函数，比例系数是1 例2：已知函数x k k y ) 3(+= 是反比例函数，则k 应满足的条件是（ ） A ．3≠k B ．3-≠k C ．0≠k 或3≠k D ．0≠k 且3-≠k 解析：反比例函数x k y =（0≠k ）,所以(3)0k k +≠，即D ．0≠k 且3-≠k 答案：D

反比例函数比例系数k的几何意义

反比例函数比例系数k的几何意义 反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线, 所得矩形面积为│k│ 1、如图，反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的 平行线相交于点C，则ABC △的面积为（） A．8 B．6 C 2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝ 2 x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐 标逐渐减小时，△OAB的面积将（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小 3、如图12，A、B是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为 S，则（） A．2 S=B．4 S=C．24 S < 4、如图，已知双曲线)0 k( x k y＞ =经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC 的面积为3，则k＝____________． 5、如图5所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n）在函数y= x 9 （x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2， △P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+… y n= 。 6、如图，已知点A、B在双曲线 x k y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P 是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝． 7、如图，在第一象限内,点P（2，3）,M()2,a是双曲线)0 (≠ =k x k y上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴 于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为 8、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 1 y x =（0 x>）的图象上，则点E的坐 标是（，）. 9、如图，点A、B是双曲线3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影 ，则 12 S S +=． 10、如图，已知双曲线(0) k y k x =<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若 点A的坐标为（6 -，4），则△AOC的面积为（） A．12 B．9 C．6 D．4 11、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个 反比例函数的解析式为 12、如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点 D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点．以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、 E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（A） A．点G B．点E C．点D D．点F 13、已知点A在双曲线y= 6 x 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC 的面积=，（2）△ABC的周长为 14、如图，一次函数y ax b =+的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 k y x =的图象相交于C，D 两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF；④AC BD =． 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上） （第11题） 第3题 第5题图第6题图 第8题图9题图

专题：直线参数方程中t的意义理解(高中数学精华)

专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析 一． 知识点概述： ★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 为参数，t t y y t x x ?? ?+=+=α α sin cos 00 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则 |MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+； |MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ?=?； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ?-+= -=-=，即. ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为： ??? ??? ?+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或??? ??? ?++=+++=+=++=+++=+=) (22)()(2)(22) ()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而22 1t t t +=，所以中点坐标也为：? ??+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点， 则中点M 的相应参数：2 2 1t t t += =0 （因为???+=+=t p y y t p x x 200 100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。 实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任 意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。 体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。 实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的

反比例函数几何性质

反比例函数的几何性质

【考点训练】反比例函数系数k的几何意义-1 一、选择题（共5小题） 1．（2013?牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（） A．B．C．D． 2．（2013?淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（） A．B．C．D．3．（2013?六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（） A．B．C．D． 4．（2013?宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（） A．1B．2C．3D．4

5．（2013?内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（） A．1B．2C．3D．4 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2013?永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_________． 7．（2013?自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点 P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=_________，S n=_________．（用含n的代数式表示） 8．（2013?张家界）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△P AB的面积是_________．

2014抚顺中考数学试题(解析版)

辽宁省抚顺市2014年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 解：﹣ 2．（3分）（2014?抚顺）若一粒米的质量约是0.000012kg，将数据0.000012用科学记数法 3．（3分）（2014?抚顺）如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD 的度数是（）

4．（3分）（2014?抚顺）如图放置的几何体的左视图是（） B C 6．（3分）（2014?抚顺）函数y=x﹣1的图象是（）

B C 8．（3分）（2014?抚顺）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来 +=2 B ﹣=2 C += ﹣= 由题意得，﹣=2

9．（3分）（2014?抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y=（ x ＞0）上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（ ） ?=+=+?10．（3分）（2014?抚顺）如图，将足够大的等腰直角三角板PCD 的锐角顶点P 放在另一个等腰直角三角板PAB 的直角顶点处，三角板PCD 绕点P 在平面内转动，且∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N ，设AB=2，AN=x ，BM=y ，则能反映y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） B C

AH=， ，利用相似比得= PA=PB=AH= =，即=， 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2014?抚顺）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．