全国高中物理竞赛力 物体的平衡
力 物体的平衡
【基本内容】：
1、力学中常见的几种力
重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。
弹力 物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。
F kx =-，k 为劲度系数，x 为形变量。
摩擦力 摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。滑动摩擦力的大小由公式f N μ=计算，动摩擦因数
μ是由接触面的情况和材料决定。
2、共点力作用下物体的平衡
如果几个力作用在物体上，且交于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。如果物体只受三个力作用，一般根据两个力的合力同第三个力等值反向做出平行四边形，解决问题，处理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有时也根据根据相似三角形的关系列方程。如果物体受到三个以上的共点力作用，一般可用正交分解法。
物体的平衡包括静平衡和动平衡，即有静止、匀速直线运动、匀速转动三种平衡状态。 3、有固定转动轴物体的平衡
力矩 力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为M Fd =，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m ?。
力偶与力偶矩 作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。 4、一般物体的平衡
力对物体的作用效果可以改变物体的运动状态，物体所受的合力对物体的平动有影响，而合力矩对物体的转动有影响，当这两种影响都不存在时，物体处于平衡状态。
所以受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为
00
0()
x y i F F M ?=??
=??=??∑∑∑对任一转轴 这三个方程组成平面内任意力系的平衡方程式。值得注意的是，所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和都等于零，因此，上述方程组中只能有一条力矩平衡方程。当然，平衡方程组也可用两个力矩平衡方程来表示，即
A 000
x i Bi F M M ?=??
=??=??∑∑∑
其中直线AB 不能与x 轴垂直。
若用三个力矩平衡方程表示物体的平衡条件，需注意：选作转轴的三点A 、B 、C 不能再同一直线上。
对于空间力系，一般可列出六个独立平衡方程，即所有力在任意x 轴上投影的代数和为零（三个方程），所有力对任意x 轴力矩的代数和为零（三个方程）。 5、平衡的稳定性
物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
平动平衡的稳定性 处在平衡状态的质点，当受到扰动时，会稍稍偏离平衡位置。这时会产生合外力。当平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，如果这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡；如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡；如果这物体所受合外力仍为零，且能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡就叫随遇平衡。例如，位于光滑碗底的质点处于稳定平衡状态；位于光滑圆球顶端的质点处于不稳定平衡状态，位于光滑水平面上的质点处于随遇平衡状态。
一个质点可以在一个方向处于某种平衡状态，而在另一个方向处于另一种平衡状态。例如，一个质点位于内壁光滑的水平直管底部，对于平行于管轴方向的扰动，处于随遇平衡，对于垂直于管轴方向的扰动，则处于稳定平衡状态。
显然，对于受共点力作用但不能看成质点的物体的平衡可同样讨论。这一类属平动平衡。
转动平衡的稳定性 相对固定轴可以转动的物体处于平衡时，若受到外界扰动而偏离
平衡位置，产生合外力矩。如果合外力矩是一个回复力矩，即此合外力矩有把物体拉回原平衡位置的倾向，那么称原物体的平衡处于稳定的转动平衡状态。同样，可给出不稳定转动平衡状态和随遇转动平衡状态的定义。
无固定转轴物体平衡的稳定性 对于无固定转轴物体，当它受到外界扰动而偏离平衡位置时，会产生合外力和合外力矩。如果合外力是平动回复力，合外力矩是转动回复力矩，那么会有被拉回到平衡位置的倾向，则原物体的平衡位置处的平衡是稳定的。同样，可给出不稳定平衡和随遇平衡的定义。而且，物体可以在平动方面处于一种平衡状态，而在转动方面处于另一种平衡状态；对于同一种平动平衡状态，可以在一个方向上处于一种平衡状态，在另一个方向上处于另一种平衡状态。 6、液体静平衡
静止流体内的压强 液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式p gh ρ=计算，式中的h 是指从该点到液面的距离。
浮力 浮力是物体在流体中所受压力的合力，浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它排开流体的重量，即F gV ρ=，浮力的方向竖直向上。
浮力的作用点称为浮心。浮心就在与浸没在流体中的物体同形状、同体积的那部分流体的重心处，但它不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，浮心才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。
物体平衡的稳定性 物体处于漂浮状态时，所受的浮力与重力是一对平衡力。处于漂浮状态的物体，其平衡的稳定性，就其所受扰动方式的不同而不同。对于竖直方向的扰动，其平衡是稳定的；对于水平方向的扰动，其平衡是随遇的；对于过质心的水平轴的旋转扰动，其平衡的稳定性又视其具体情况而定，若偏离平衡位置后，重力和浮力的合力矩促使物体恢复到原来位置，其平衡是稳定的，若重力和浮力的合力矩促使物体倾倒，这时物体的平衡是不稳定的。
【例题】：
例1 如图所示，质量为m 的物体静置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的静摩擦因数为μ。试问，至少要用多大
的力作用在物体上才能使物体运动？
解 如图所示，设F 的方向与斜面的夹角为α，由图示的物体受力情况以及使物体产
m
θ
生运动的条件，得
cos sin 0F mg f αθ+-= sin cos N F mg αθ+= 将f N μ=代入上面两式得
cos sin cos sin F mg μθθ
αμα
-=+
当α取某一值时，可使F 的值达到最小，上式可写成 22
2
cos sin 11(
cos sin )
11F mg μθθ
μ
μααμ
μ
-=
++
++ 设2
sin 1μ
βμ
=+，2
1cos 1βμ
=
+，tan βμ=
于是
2
2
cos sin 1(cos cos sin sin )
cos sin 1cos()
F mg
mg
μθθ
μβαβαμθθ
μαβ-=
++-=
+-
由上式可知当arctan αβμ==时，所需的力F 最小，其值为 2
cos sin 1F mg μθθ
μ
-=
+
例2 半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2a π，2
R
a =
，绳圈的劲度系数为K ，将圈从球的正上方轻放到球上，并使其绳圈沿球表面向下平移，绳圈伸长，先用手扶着绳圈使其各部分都在同一水平面内，最后松手后绳圈能停留在某平衡位置，如图所示。考虑重力，不计摩擦。 （1）设平衡时绳圈长2b π，2b a =，求K 值。
（2）若22Mg
K R
π=，求绳圈的平衡位置。
解 （1）设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上，在绳圈上任取一小段，长为
b ??，质量为22M m b M b ??ππ
??=
??=（??很小）. α
m mg
θ
F N
f
?
R O a θ
b
这一小段绳圈在水平面内，两端受张力T 的作用；竖直平面内受重力mg ?，方向竖直向下；球面的支持力为N ，方向沿半径R 指向球外。正视图和俯视图分别如图（a ）和（b ）所示。
由于??很小，sin 22
??
??≈，因此两端张力的合力为
2sin 2()2
T T K b a ?
?π??≈?=-??，位于
水平面内，指向绳圈的圆心。重力mg ?、球面支持力N 和张力合力T ??都在同一平面内。当绳圈处于平衡状态时，这三个力的合力为零，可得
sin 0N T θ?-?= ① cos 0N mg θ-?= ② 由①、②两式，得
22()4()
tan 2T K b a K b a mg Mg Mg ?π?πθ?π
??-??-===?? ③
又因为 2
2
22
22tan 12()
2R b R b
R R θ=
=
=-- 由③式，有 22
2tan (21)4()
224()
22
Mg Mg Mg
K b a R R
R θ
πππ+=
=
=-- (2)若22Mg
K R
π=时，将它代入③式，得 2()tan b a R θ-=，其中sin b R θ=，2R
a =
即 2tan (sin )2sin 12
R
R R θθθ=-=-
sin 2sin 1cos θ
θθ
=- s i n 2s i n c o s
θθθ=+ 上式平方后得
2
sin 2sin 21θθ=+ ④
θ
N
b mg ?
T ??
(a)
T ??
T
? (b)
在90θ≤
的范围内，0sin 21θ≤≤，④式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。
例3 人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小动摩擦因数。
解 当杆与水平面成倾斜角α时，受力如图所示，设杆长为2l ，取重力和人作用于杆的力F 作用线的交点O 为轴，根据平衡条件得
21sin cos (1sin sin )sin Nl fl fl α
αααα
+=+=
因此 222cos sin cos sin 1sin 2sin cos 1
2tan cot f N N N αααα
ααα
αα
=?
=?
++=?
+ 要使杆不滑动，须满足f N μ≤
即 1
2tan cot μαα
≥+
因为 2tan cot 2αα+=为正值，所以当 2t a n c o t α
α=
即 2
tan 2
α=
有最小动摩擦因数 m i n 24
μ=
例4 如图所示，一根细棒，上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等。两棒限于图示的竖直面内运动，且不计较铰链处的摩擦。当在C 端加一个适当的外力，（在纸面内），可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90
，且C 端正处在A 端的正下方。
（1）不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理
（2）如果AB 棒的质量1 1.0m kg =，BC 棒的质量2 2.0m kg =，求此外力的大小和方向。
α f
N
F
O mg ? A
C B
? A C
B
F
1
m g
2m g
T
解 （1）先用隔离法考虑BC 棒，以B 为转轴，其重力的力矩与F 的力矩平衡，可知F 的方向必须作用在BC 棒左侧向上。再用整体法考虑ABC 的平衡：系统除受重力1m g 、2m g 的作用外，还受铰链A 处的拉力T 和C 处的外力F 作用而平衡。由共点力平衡条件可知，力F 的作用线应指向棒AB ，且与重力作用线相交，如图所示。
(2)设棒长为L ，F 与AC 线的夹角为θ，用整体法考虑ABC 以A 为转轴的力矩平衡，有
122sin ()sin 452
L
F L m m g θ??=+?
? 再用隔离法考虑BC 棒以B 为转轴的力矩平衡，有 2sin(45)sin 452
L
F L m g θ??-=?
联立解得
2211221
281018.7()4
F m m m m g N =
++?= 12
22
1
122
sin 0.3952810m m m m m m θ+=
=++
arcsin 0.395θ=
例5 半径为r 、质量为m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两相互接触。用一个高为1.5r 的圆柱形刚性圆筒（上下均无底），将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间及球与筒壁间均保持接触，但相互无作用力。现取一个质量亦为m 、半径为R 的第四个球，放在三个球的上方 。设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦因数均为3
15μ=（均等于0.775）
。问：R 取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？
解 设系统已被提离桌面而能保持平衡，受力分析如图所示，平衡方程为 上球
0y
F
=∑
即 223sin 3cos N f mg θθ''-= ① 下球
0x
F =∑
即 122cos sin N N f θθ=+ ②
0y
F
=∑
即 122cos sin f f mg N θθ+=+ ③
整体 0y
F
=∑，即134f mg = ④
下球
A
0M
=∑，即12f r f r = ⑤
由④、⑤两式可得 1243f f mg == ⑥
1f
θ 2
N 2
f 2f '
mg
2N '
mg
1
N A
因为12f f '=，12N N '= 将⑥式代入①式得 2411cot 33sin N mg mg θθ=
+ ⑦ 将⑥、⑦两式代入②式得 1141cot 33sin N mg mg θθ
=
+ ⑧ 为了使物体之间不滑动，必须满足下列两式：
111
114cos cot sin 44sin N f θ
θμ
θθ+≤
=+=
⑨
221
114c o t
c o t 4s i n 4s i n
N f θθμ
θθ+≤
=+=
⑩ 因为 4cos 14cot θθ+≥+
所以只要⑩式满足，⑨式必定满足，也就是说如果发生滑动，首先在上下球之间发生，因为3
15
μ=
，由⑩式得 ax ax m m 415sin 3(14cos )θθ=+ 等式两边平方，并整理后得
ax ax 2m m 128cos 24cos 770θθ+-= 可解出 ax m 11cos 16
θ=
设R br =，借助于俯视图（右图）可知
223333cos ()(1)
r r R b θ==++
2312311
113cos 316
323133
b θ=
?-≤?-=-
但是b 又不能太小，要使上球不从三球中掉下，必须使 23
13
b >
- 所以R 的取值范围为
23323
(
1)(1)333
r R r -<≤- 即 0.15470.6796r R r <≤
例6 一长方形均匀薄板AB ，可绕通过其重心、垂直于长度方向的固定水平轴O （垂直于纸面）自由转动，如图所示。在板上轴O 左侧距O 点为L 处以轻绳悬挂一质量为m 的物体。在轴O 的右侧板上放一质量也是m 的立方体，立方体边长以及其左侧面到轴O 的距离均为l 。已知起始时板处于水平位置，挂物与地面相接触，轻绳紧绷，整个系统处于平衡状态。现在立方体右侧面中心处施一沿水平方向向右的力
F 去拉它，若用符号μ表示立方体与板面间的静摩擦系数，当F 从零开始逐渐增大至某一
数值时，整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论：可能出现几种平衡状态被破坏的情况？每种情况出现的条件是什么？要求在以μ为纵坐标、x （
23L
l
-）为横坐标的图中，画出可能出现这几种情况的区域。
解 起始时0F =，一直系统处于静止状态，且绳是绷紧的，用T 表示绳中张力，由力矩平衡方程可知
()2
l TL mg l =+. （1） 因为重物静止在地面上，所以有
T mg ≤. （2）
由以上两式可得 32
mgL mg l ≥， 即 2(
3)0L
x l
=-≥. （3） 这是L 和l 必须满足的条件.
开始破坏原来的平衡有几种可能： 若立方体发生滑动，则要求
F m g μ>. （4）
若立方体不发生滑动而绕右下棱转动，则由转动定律可知，此时应满足的条件为 22
l l
F
mg > 即 F mg >. （5） 若立方体既不滑动也不转动而板发生偏转，由于此时立方体和板之间无相对运动，可
将立方体和板作为一个整体对待，它们所受的外力有F 、立方体的重力和绳子的张力，如果板发生偏转，则左侧的重物将离地，绳中的张力等于mg 。由转动定律可知，板发生偏转应满足的条件为
322l F
mg l mgL +> 即 2(3)L F m g x m g l
>-=. （6） l A
B
O
m
L
m
T
F
l O m
L m
l
F 逐渐增大时究竟发生什么运动，取决于上述（4）、（5）、（6）式三个条件哪个先被满
足，实际上这取决于μ、l 和L 的值。
下面就通过比较（4）、（5）、（6）三个条件，作出判断如下：
（1）当1μ<，x μ<，则首先满足的是F mg μ>，故首先发生立方体滑动； （2）当1μ>，1x >，则F mg >首先被满足，即首先发生立方体绕其右下棱转动；
（3）当1x <，x μ<，F xmg >首先被满足，即
首先发生板偏转。
由上述各种情况判断，可得图（a ）.
例7 半径为R 的圆环绕其铅垂直径轴以不变的角速度ω
匀速运动。两质量为m 的珠子用长为L R =的轻杆相连，套在圆环上可以无摩擦地滑动，如图所以。试求轻杆在圆环上的平衡位
置，用环心O 与杆心C 的连线与铅垂轴的夹角θ表示，并分析平
衡的稳定性。
解 在随环转动的参照系中，杆与珠子系统的平衡成静平
衡，杆的运动是绕环心并垂直于环面的水平轴（称O 轴）的转动。在平衡时，作用在杆上的力有重力、环的支承力和惯性离心力。由于支承力沿环半径，对O 轴无力矩，因此，只需考察重力力矩和离心力矩的平衡。
当OC 与铅垂轴成θ角时，重力相对O 轴的力矩（取θ增大方向为正）
3
2s i n 2s i n 3s i n 2
O M m g O C m g R m g R θθθ=-
??=-?
=-
① 作用在上、下端珠子上的惯性离心力1f 、2f 为 21sin(30)f m R ωθ=+ 2
2sin(30)f m R ωθ=-
对于O 轴的力矩1M 、2M 为
221122cos(30)sin(30)cos(30)
1
sin(260)2
M f R m R m R θωθθωθ=+=++=
+ ②
32-=l
L
x
1=μ μ
x 1=x 0 立方体翻转 立方体滑动 板
偏 转
(a)
mg 2 O
ω
2f θ
C 1f
222222cos(30)sin(30)cos(30)
1
sin(260)2
M f R m R m R θωθθωθ=-=--=- ③
作用在杆上的合力矩为
2221
3sin [sin(260)sin(260)]
2
sin (3cos )
M mgR m R mR g R θωθθθωθ=-+++-=-- ④ 杆相对于环保持静止，要求合力矩0M =，即 2sin (3cos )0mR g R θωθ-= 解此方程得杆的平衡位置： 当231g
R ω<，即23g
R
ω>
时，10θ=，2θπ= ，323arccos()g R θω= ；
当231g
R ω≥，即23g
R
ω≤
时，10θ=，2θπ=。 由于2
3g R ω=
时，23cos 1g
R
θω==，0θ=，所以归于10θ=，而不写成3θ。 讨论各平衡位置的稳定性，只需考察偏离各平衡位置后，所受合力矩的正负，看看是
否回复到平衡位置。然后，我们在θ坐标轴上标上平衡位置，再在各平衡位置附近标上由合力矩表达式④确定的正负号。
当2
3g R
ω>时
当23g R
ω≤时
根据以上各平衡位置附近合力矩的正负号表示，可以判断：
当2
3g
R
ω>
时，323arccos()g R θω= 是稳定平衡位置，因为受到扰动而偏离3θ时，
0 ? ?
? π
)3arccos(
2R
g
ω θ
M
+-
-+ +-
? ? π
M
θ
0 -+ +-
将受到回复到平衡位置的力矩；同理，当2
3g
R
ω≤时，10θ=是稳定平衡位置。θπ=的平衡位置属于不稳定平衡位置。
例8 如图所示，物体A 、B 及滚轮C 质量为m ，滚轮C 由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r 和r ，各接触面处静摩擦因数均为μ。求C 维持系统平衡时，μ最小值为多少？
解法一 图（a ）、（b ）、（c ）分别为滚轮C 和物体A 、B 的受力分析图。由平衡关系可知对滚轮C ，有
22B C T r f r f r ?=?+?（以圆心O 为轴）
C B f N = C B N T mg f =+- C C f N μ≤ B B f N μ≤ 对物块A ，有 T mg = 对物块B ，有 B N f =地 B N mg f =+地 f N μ≤地地 联立以上方程，可解得 min 1
3
μ=
? C
f T m
g C
B N B
f C N m
g A ? T ? mg f 地N 地 B N B
f B
（a ） （b ） （c ） C B
A
2r
解法二 对轮C ，有 2C B B
N m g T f m g f =+-=- 对B 物，有 B N mg f =+地
对轮C 以O 为轴，有 22B C f r f r T r mg r ?+?=?=? 即 2B C f f mg += 即 2B f mg < 故 C N N >地 而对整体有 C f f =地
这表明B 和地面之间先于轮C 和地面之间达到最大静摩擦力。若B 和地面之间先达到最大静摩擦力、而B 与轮C 之间尚未达到最大静摩擦力，则 ()B C f N mg f f μμ==+=地地 而 2B C f f mg += 故 122(1)B f mg μμ-=
+，32(1)
C f mg μ
μ=+
对轮C 与物B 接触处，满足
123B B B C f f N f μ
μμ
-≤
==
即 2
3210μμ+-≤ 易得 1
3
μ≤
若B 和地面之间未达到最大静摩擦力，而B 与轮C 之间已达到最大静摩擦力，则 (2)B B C B f N f mg f μμμ===- 得 2(1)
B f mg μ
μ=
+，1
2(1)
C f mg μ=
+
对物B 与地面之间，满足
1
23C B f f N mg f μμ
≤
==
++地地 易得 13
μ≤
两种假设求得的μ值范围相同，这表明物B 与轮C 和物B 与地面之间同时达到最大静
摩擦力。
例9 如图所示的杯中盛有密度均匀的混合液体，其密度为ρ，经过一段时间后变为密度为别为1ρ、2ρ（12ρρ<）的两层均匀液体，
设其总体积不变，则杯内底面所受的液体的压强是否有变化？若有变化，如何变化？试证明你的结论。
解 若杯子是柱形面的，显然液体分层后对容器底面的压强相等，因为液体的总质量不变，但事实上，杯子不是柱形面而是向上敞开的，由于倾斜的杯壁也支持了一部分液体的重量，故液体对杯底的压强可能要发生变化。
设分层前液柱高为h ，大气压强为0p ，液体对底面的压强为p ，则 0p p gh ρ=+
设变化后上、下层液柱高分别为1h 、2h ，对底面的压强为p '，则 01122p p gh gh ρρ'=++ 即 1122p p gh gh gh ρρρ'-=+- 因为总体积不变，所以有
1212hS h S h S =+
式中S 、1S 和2S 分别表示混合液体、变化后的上层液体和下层液体的平均截面积，因为总质量不变，所以有
121122hS h S h S ρρρ=+
即 212211()()h S h S ρρρρ-=- 因为
21ρρ>，12S S >
所以 2211()()h h ρρρρ->- 即
112212()h h h h h ρρρρ+>+=
由此得 p p '>
例10 如图（a ）所示，半径为R 的匀质球浮在密度分别为1ρ、2ρ的分层
液体界面处。设10ρρ=，204ρρ=，匀质球的密度01
(1032)4
ρρ=-。
求当球保持静止时，球心O 与分层液体界面间的距离。
2ρ ρ h 1ρ 1h
2h
?
x O 1ρ
2ρ
（a ）
解 设球保持静止时，球心O 与分层液体界面间的距离为x 。由于121
()2
ρρρ<+，所以球心O 在界面以上。
如图（b ）所示，为球上下部分密度分别为1ρ、2ρ内的球缺体积表达式
222121
()()33V R R x x R x ππ=
++- 222
221()()33
V R R x x R x ππ=---
设球上部表面受到密度为1ρ的液体的向下压力为1F ，利用假想的密度为1ρ的这部分球体的平衡，建立方程
2
2
1111()F V g gH R x ρρπ+=?- 此处H 为液面至两液面分界处的距离，解得
222221121
[()()()]33
F g H R x R R x x R x ρπππ=--+--
设球下部表面受到密度为2ρ的液体的向上压力为2F ，利用假想的密度为2ρ的这部分球体的平衡，建立方程
22222122222
21()
21[()()]()
33
F V g gH R x g R R x x R x gH R x ρρπρππρπ=+?-=---+- 以球作为对象，写出平衡方程 3214
3
F F R g πρ=+ 代入1F 、2F ，整理得 3
2
3
1221
2320x R x R ρρρ
ρρ---+?
=-
代入1ρ、2ρ、ρ，得
3
2
3
320x R x R -+= 因x R <，所以
2
2
20x Rx R +-= 解出0x >的合理解为
222242
(31)0.5222
R R R x R R -++==-≈
（b ）
? x 1F
2F
R
O
?
例11 如图（a ）所示，质量为M 的圆柱体位于可动的平板车和倾角为α的斜面之间，圆柱体与小车间的摩擦因数为1μ，与斜面间的摩擦因数为2μ.要使小车向左匀速运动，必须对小车施加多大的水平推力？（地面与小车之间的摩擦不计）
解 先对圆柱体进行受力分析，必须注意在B 点的摩擦力1f 作用下，圆柱体有顺时针转动的趋势，所以A 点的摩擦力2f 方向沿斜面向左，受力分析如图（b ）所示。
根据力矩平衡原理，以O 为转动轴，有 12f R f R =
即 12f f = ① 将2f 和2N 沿水平和竖直方向分解后，根据力的平衡原理，有 221sin cos 0N f f αα?-?-= ② 122cos sin 0N Mg N f αα---= ③ 由①、②式得
122sin 1cos f f N α
α
==+ ④
因小车匀速运动，有1F f = 所以 2sin 1cos F N α
α
=+ ⑤
将④式代入③式，得
12N Mg N =+ ⑥ 因④式与⑤式未能得出F 的最终结果，为此应进行讨论： （Ⅰ）若1122N N μμ<
此时在A 处的摩擦力为最大静摩擦力。因此有 222sin 1cos F N N α
μα
=
=+
α A ? O B (a) F
(b)
? x
2f y 2N B O 1
N Mg A 1f
改写为 22sin (
)01cos N α
μα
-=+.
这里又有两种可能： （a ）若
2sin 1cos α
μα
>+，则20N =，0F =，这是圆柱体做顺时针转动，摩擦力为零，
小车前进不需要推力。 （b ）若2sin 1cos α
μα
≤+，2N 无意义，即圆柱体被卡住，即使推力为无穷大，小车也不会
前进。
（Ⅱ）若1122N N μμ>
此时在B 处出现最大静摩擦力，即111f N μ=，代入上面④式和⑥式可得
122sin ()1cos Mg N N α
μα+=?+
整理后可得 121
sin 1cos Mg
N μα
μα
=-+
这里也出现两种可能性： （c ）若1sin 1cos α
μα
≥+，2N 为负值，无意义。这种情况下圆柱体同样被卡住，小车不会
前进。 （d ）1sin 1cos α
μα
<
+，则有
1112()F N N Mg μμ==+ 即
111
11
sin 1cos (1cos )1sin Mg F Mg Mg μμαμαμμαα
????=+??
??-+??=
+-
因此本题的完整答案应该包括（a ）、（b ）、（c ）、（d ）四种情况。
例12 （第二十届全国中学生物理竞赛复赛）有一半径为R 的圆柱A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱B ，用手扶着圆柱A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。
已知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r 的值各应满足什么条件？
?
?
解 放上圆柱B 后，圆柱B 有向下运动的倾向，对圆柱A 和墙面有压力，圆柱A 倾向于向左移动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A 受地面的正压力为1N ,水平摩擦力为1F ；圆柱B 受墙面的正压力为2N ，竖直摩擦力为2F ；圆柱A 受圆柱B 的正压力为3N ，切向摩擦力为3F ；圆柱B 受圆柱A 的正压力为3N '，切向摩擦力为3F '，如图（a ）所示，各力以图示方向为正方向。
已知圆柱A 与地面的摩擦系数10.20μ=，两圆柱间的摩擦系数
30.30μ=。设圆柱B 与墙面间的摩擦系数为2μ，过两圆柱中轴的平
面与地面的交角为?。设两圆柱的质量均为M ，为了求出1N 、2N 、
3N 以及为保持平衡所需1F 、2F 、3F 之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：
圆柱A ： 133sin cos 0Mg N N F ??-++= （1） 133cos sin 0F N F ??-+= （2） 13F R F R = （3）
圆柱B ： 233sin cos 0Mg F N F ??''---= （4） 233cos sin 0N N F ??''-+= （5） 32F r F r '= （6） 由于33F F '=，所以得
1233F F F F F '==== （7）
式中F 代表1F 、2F 、3F 、3F '的大小。又因为
33N N '=，于是①、②、④和⑤式成为 13sin cos 0Mg N N F ??-++= （8） 3cos sin 0F N F ??-+= （9） 3sin cos 0Mg F N F ??---= （10） 23cos sin 0N N F ??-+= （11）
（a ）
3F 2F
B
3N '
3F ' 1N
Mg
3N 1F
? 2N
Mg
A
以上四式是1N ，2N ，3N 和F 的联立方程，解这联立方程可得 2N F = （12） 31sin 1cos sin N Mg ?
??
+=
++ （13）
2cos 1cos sin N F Mg ?
??
==
++ （14）
12cos 2sin 1cos sin N Mg ??
??
++=
++ （15）
式（12）、（13）、（14）、（15）是平衡时所需要的力，1N ，2N ，3N 没有问题，但1F ，2F ，3F 三个力能不能达到所需的数值F ，即式（12）
、（14）要受那里摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的F 值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。
首先讨论圆柱B 与墙面的接触点，接触点不发生滑动要求
2
22
F N μ≥
由式（12），得
2
2
1F N = 所以
21μ≥ （16）
再讨论圆柱A 与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为10.20μ=，根据摩擦定律f N μ<，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力1F 满足111F N μ≤，则圆柱在地面不滑动；若111F N μ>，这一点将要发生滑动。
圆柱A 在地面不发生滑动的条件是 111cos 2cos 2sin F N ?
μ??
≥
=++ （17） 由图（a ）可知
cos R r
R r
?-=
+ （18） 2
2sin 1cos Rr
R r
??=-=
+ （19） 由式（17）、（18）、（19）以及10.20μ=，可以求得
1
9
r R ≥ （20） 即只有当1
9
r R ≥
时，圆柱A 在地面上才能不滑动。 最后讨论两圆柱的接触点，接触点不发生滑动要求
333cos 1sin F N ?
μ?
≥
=
+ （21） 由式（18）、（19）以及30.30μ=，可解得 2
7(
)0.2913
r R R ≥= （22） 显然，在平衡时，r 的上限为R ，总结式（20）和式（22），得到r 满足的条件为 0.29R r R ≥≥ （23）
【训练题】：
1、一个小物体与竖直墙面之间的摩擦因数0.25μ=，当作用力与竖直方向成的角度53α=
时，F 至少为10N 才能维持物体静止，如图所示，问： （1）在α不变的情况下，需要多大的力才能使物体沿墙面做匀速运动？ （2）在μ已确定的情况下，要使物体向上做匀速运动，α有什么限制？
2、 一根长度为l 的杆AB 重为G ，B 端压在粗糙的地面上，A 端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上，绳与杆的夹角为θ。在离B 端a l ?处有一个水平作用力F 。问：
（1）杆B 端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止？ （2）如果B 端与地面之间的动摩擦因数为0μ，那么在AB 上有一点D ，在AD 之间不论施加多大的水平力F ，都不会破坏AB 的平衡，求D 点的位置。
3 质量为m 的两环A 、B 用长为a 的细线相连套在水平杆上，在细线的中点挂有一质量为M 的物块C ，如图所示。A 、B 环与杆间的静摩擦因数为μ，求平衡情况下两环的最大距离x 。
4、质量为1M 、2M 的两星体相距L ，一质量为m 的小星体位于两星体的连线上，求小星体的平衡位置，并分别讨论对小星体沿连线方向的扰动和垂直于连线方向的扰动，其平衡的
α
al A
θ l B
μ F B
m
m
C M
A
高中物理《力的平衡问题》常用解题方法
《力的平衡》常用解题方法【专题概述】 1 处理平衡问题的常用方法 2．一般解题步骤 (1)选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象． (2)画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图． (3)正交分解：选取合适的方向建立直角坐标系，将所受各力正交分解． (4)列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论． 3．应注意的两个问题 (1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单． (2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少．物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法 【典例精讲】 方法1 直角三角形法 用直角三角法解答平衡问题是常用的数学方法，在直角三角形中可以利用勾股定理、正弦函数、余弦函数等数学知识求解某一个力，若力的合成的平行四边形为菱形，可利用菱形的对角线互相垂直平分的特点进行求解．
【典例1】如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g ，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为 A.2 sin αmg B.2 cos αmg C.21 mgtan α D.21 mgcot α 【答案】 A 直角三角形，且∠OCD 为α，则由21mg ＝F N sin α可得F N ＝2sin αmg ，故A 正确． 方法2 相似三角形法 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向． 【典例2】 如图所示，一个重为G 的小球套在竖直放置的半径为R 的光滑圆环上，一个劲度系数为k ，自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ.
高中物理竞赛辅导(2)
高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中
由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。
高中物理竞赛(力学)练习题解
1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。当飞船运行到P点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量可以不计。 （1）试求飞船新轨道的近火星点A的高度h近和远火星点B的高度h远； （2）设飞船原来的运动速度为v0 ,试计算新轨道的运行周期T 。 2，(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计）， 在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固 定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定 而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直 线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放 手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试 求x的最小值． 3，（20分）如图所示，一根长为L的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和 b，它们的质量分别为m a 和m b. 杆可绕距 a球为L/4处的水平 定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎 接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为 m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面 的截面．现用一水平恒力F作用于 a球上，使之绕O轴逆时针 转动，求当a转过 角时小球b速度的大小．设在此过程中立方 体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分 离．不计一切摩擦． 4、把上端A封闭、下端B开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后 放手,玻璃管可以竖直地浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的 长度b=1厘米,大气压强P0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计. (1)求玻璃管内外水面的高度差h. (2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管 不浮起.求这个深度. (3)上一小问中,放手后玻璃管的位置是否变化?如何变化?(计算时可认为管内空气的温度不变) 5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右 图).一条长度为l的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为 m的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线).物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀 速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出 ). a O b A B C D F
高中物理《力、共点力的平衡》典型题精选(含答案推荐)
高中物理《力、共点力的平衡》精选典型题 （高考物理典型题全接触）强烈推荐 解决动态平衡问题一般方法 1、对物体进行正确地受力分析，是解决好力学问题的关键。受力分析的顺序：先找重力、其它场力，考察研究对象与其它物体有几个接触面（点），然后依次分析各个接触面的弹力和摩擦力 2．整体法：研究外力对物体系统的作用时，一般选用整体法。因为不用考虑系统内力，所以这种方法更简便，总之，能用整体法解决的问题不用隔离法。 3．隔离法：分析系统内各物体(各部分)间的相互作用时，需要选用隔离法，一般情况下隔离受力较少的物体。 4．图解法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，此时可用图解法，画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况． 5．解析法：如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，根据自变量的变化确定因变量的变化． 6．相似三角形法：如果物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法．
弹力的分析方法 1．弹力有无的判断 (1)条件法：根据产生弹力的两个条件——接触和发生弹性形变直接判断． (2)假设法或撤离法：可以先假设有弹力存在，然后判断是否与研究对象所处状态的实际情况相符合．还可以设想将与研究对象接触的物体“撤离”，看研究对象能否保持原来的状态． 静摩擦力的分析方法 与绳、接触面、杆的弹力类似，静摩擦力也是“被动力”，要分析其有无、方向及大小，必须了解物体的其他受力和状态． (1)假设法：先假设没有静摩擦力(接触面光滑)，看相对静止的物体间能否发生相对运动．若能发生相对运动，则有静摩擦力，方向与相对运动方向相反；若不能发生相对运动，则没有静摩擦力． (2)状态法：根据物体的运动状态来确定，思路如下． (3)转换法：利用牛顿第三定律(作用力与反作用力的关系)来判定．先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的大小和方向，再确定另一物体受到的反作用力——静摩擦力的大小和方向. 一、选择题： 1．如图所示，A 、B 、C 为三个质量相等、材料相同的小物块，在沿斜面向上的拉力作用下，沿相同的粗糙面上滑，其中A 是匀速上滑，B 是加速上滑，C 是减速上滑，而斜面体相对地面均处于静止状态，斜面体甲、乙、丙所受地面的摩擦力分别为1f 、2f 、3f ，该三个力的大小关系是（ ）
全国高中物理竞赛-历年赛题分析电学+力学
24届 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角， a的大小和方向已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度 c （用与CD杆之间的夹角表示） 27复 28复 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的 静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触， 杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均 为m，长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆 与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的 方程式表示）。 2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时 α的取值范围（用数值计算求出）。
26复 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连线 OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP =，求桌面 对桌腿1的压力F 1。 25复 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。 27复 24届 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹 A
高中物理竞赛热现象和基本热力学定律
高中物理竞赛——热现象和基本热力学定律 1、平衡态、状态参量 a 、凡是与温度有关的现象均称为热现象，热学是研究热现象的科学。热学研究的对象都是有大量分子组成的宏观物体，通称为热力学系统（简称系统）。当系统的宏观性质不再随时间变化时，这样的状态称为平衡态。 b 、系统处于平衡态时，所有宏观量都具有确定的值，这些确定的值称为状态参量（描述气体的状态参量就是P 、V 和T ）。 c 、热力学第零定律（温度存在定律）：若两个热力学系统中的任何一个系统都和第三个热力学系统处于热平衡状态，那么，这两个热力学系统也必定处于热平衡。这个定律反映出：处在同一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征是由这些互为热平衡系统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a 、温度即物体的冷热程度，温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标t 、华氏温标F （F = 5 9t + 32）和热力学温标T （T = t + 273.15）。 b 、（理想）气体温度的微观解释：K ε = 2 i kT （i 为分子的自由度 = 平动自由度t + 转动自由度r + 振动自由度s 。对单原子分子i = 3 ，“刚性”〈忽略振动，s = 0，但r = 2〉双原子分子i = 5 。对于三个或三个以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以说温度是物质分子平均动能的标志。 c 、热力学第三定律：热力学零度不可能达到。（结合分子动理论的观点2和温度的微观解释很好理解。） 3、热力学过程 a 、热传递。热传递有三种方式：传导（对长L 、横截面积S 的柱体，Q = K L T T 21-S Δt ）、对流和辐射（黑体表面辐射功率J = αT 4） b 、热膨胀。线膨胀Δl = αl 0Δt 【例题3】如图6-5所示，温度为0℃时，两根长度均为L 的、均匀的不同金属棒，密度分别为ρ1和ρ2 ，现膨胀系数分别为α1和α2 ，它们的一端粘合在一起并从A 点悬挂在天花板上，恰好能水平静止。若温度升高到t ℃，仍需它们水平静止平衡，则悬点应该如何调整？ 【解说】设A 点距离粘合端x ，则 ρ1（2 L ? x ）=ρ2（2 L + x ） ，得：x = ) (2)(L 2121ρ+ρρ-ρ 设膨胀后的长度分别为L 1和L 2 ，而且密度近似处理为不变，则同理有 ρ1（2 L 1 ? x ′）=ρ2 （2 L 2 + x ′） ，得：x ′= ) (2L L 212211ρ+ρρ-ρ 另有线膨胀公式，有 L 1 = L （1 + α1t ），L 2 = L （1 + α2t ） 最后，设调整后的悬点为B ，则AB = x ′? x
高中物理受力分析(动态平衡问题)典型例题(含答案)【经典】
知识点三：共点力平衡（动态平衡、矢量三角形法） 1．(单选)如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕 O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()．答案B A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 2、（单选）(天津卷，5)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平， 此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是()．答案D A．F N保持不变，F T不断增大 B．F N不断增大，F T不断减小 C．F N保持不变，F T先增大后减小 D．F N不断增大，F T先减小后增大 3．（单选）如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地 推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是()．答案B A．F1增大，F2减小B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小D．F1减小，F2增大 4、（单选）如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加 上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为()．答案B A．F cos θB．F sin θ C．Ftan θD．F cot θ 5．(单选)如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在地面上，一质量为m的小木块在水平力F的作用下静止在斜面上．若只改变F的方向不改变F的大小，仍使木块静止，则此时力F与水平 面的夹角为()．答案A A．60°B．45° C．30°D．15° 6．（多选）一铁架台放于水平地面上，其上有一轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直，现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止，则在这一 过程中()．答案：AD A．细线拉力逐渐增大B．铁架台对地面的压力逐渐增大 C．铁架台对地面的压力逐渐减小D．铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大 7、（多选）(苏州调研)如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直 方向的夹角θ保持30°不变，则外力F的大小()．答案BCD A．可能为 3 3 mg B．可能为 5 2 mg C．可能为2mg D．可能为mg 8、（单选）如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上．现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使 其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动．在这一过程中，水平拉力F、环 与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是()．答案D A．F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大B．F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变 C．F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小D．F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变
历届全国初中物理竞赛(简单机械)
最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题12--简单机械 一、选择题 1. （2013全国初中应用物理知识竞赛预赛题）某次刮大风时把一棵大树吹倒了，需要两个工人把它扶起，工人们想到了如图l2所示的四种方案，每个人所需拉力最小的方案是 ( ) 1.答案：B 解析：根据滑轮知识，AB图绳中拉力为二人拉力之和，且拉树的力为两根绳中的拉力。根据杠杆知识，B图在动力臂大，所以每个人所需拉力最小的方案是B。 2.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).图5是环卫工人用的一种垃圾夹的结构示意图。拉绳的一端固定在手把上，另一端穿过空心管杆与两夹爪的一端相连。当用力捏手把时，夹爪在拉绳的作用下可夹持物体，同时弹簧被压缩；当松开手把时， 夹爪在弹簧的作用下恢复原状。在使用过程中，手 把和夹爪分别是 ( ) A.省力杠杆，费力杠杆 B.费力杠杆，省力杠杆 C省力杠杆，省力杠杆 D.费力杠杆，费力杠杆 . 答案：A解析：手把动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，夹爪动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。 3.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).体操、投掷、攀岩等体育运动都不能缺少的“镁粉”，它的学名是碳酸镁。体操运动员在上杠前都要在手上涂擦“镁粉”，其目的是 ( ) A.仅仅是为了利用“镁粉”，吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑 B.仅仅是为了利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”，能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦” C仅仅是为了利用“镁粉”，填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀 D.上述各种功能都具有
.答案：D解析：体操运动员在上杠前在手上涂擦“镁粉”的目的是为了利用“镁粉”吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑；利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦”；利用“镁粉”填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀，所以选项D正确。 4. (2011上海初中物理知识竞赛题)某人在车后用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，突然发现车辆前方出现情况，他马上改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到的合力大小为( ) A．40牛 B．80牛 C．120牛 D．200牛 3. 答案：D解析：用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，说明车运动受到的阻力为80N。改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到人向后拉力120N，阻力80N，所以车受到的合力大小为120N+80N=200N. ，选项D正确。 5. （2011上海初中物理知识竞赛题）分别用铁和铝做成两个外部直径和高度 相等，但内径不等的圆柱形容器，铁杯装满质量为m1的水后总重为G1；铝杯装 满质量为m2的水后总重为G2。下列关系不可能正确的是（） A．G1
20高中物理竞赛力学题集锦
全国中学生物理竞赛集锦（力学） 第21届预赛（2004.9.5） 二、（15分）质量分别为m 1和m 2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角α ＝30?的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m 1悬空，m 2放在斜面上，用t 表示m 2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m 1和m 2位置互换，使m 2悬空，m 1放在斜面上，发现m 1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求m l 与m 2之比。 七、（15分）如图所示，B 是质量为m B 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A 是质为m A 的细长直杆，被固定的光滑套管C 约束在竖直方向，A 可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：m B ＝2m A 。初始时，A 杆 被握住，使其下端正好与碗的半球面 的上边缘接触（如图）。然后从静止 开始释放A ，A 、B 便开始运动。设A 杆的位置用θ 表示，θ 为碗面的球心 O 至A 杆下端与球面接触点的连线方 向和竖直方向之间的夹角。求A 与B 速度的大小（表示成θ 的函数）。 九、（18分）如图所示，定滑轮B 、C 与动滑轮D 组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D 上，悬挂有砝码托盘A ，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m ，弹簧的劲度系数为k ，压缩量为l 0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。 第21届复赛 二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫 星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示） 六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上 （图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的 夹角为π-α ，α < π/2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令 A 、 B 、 C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小． 第二十届预赛（2003年9月5日） 五、(20分)有一个摆长为l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处（x ＜l ）的C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l 一定而x 取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O 点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x 的最小值． 六、(20分)质量为M 的运动员手持一质量为 m 的物块，以速率v 0沿与水平面成a 角的方向向前跳跃（如图） ．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处， A B C π-α D E
全国第31届高中物理竞赛初赛试题
全国第31届中学生物理竞赛预赛试题 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大
全国高中物理竞赛力 物体的平衡
力 物体的平衡 【基本内容】： 1、力学中常见的几种力 重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。 弹力 物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。 F kx =-，k 为劲度系数，x 为形变量。 摩擦力 摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。滑动摩擦力的大小由公式f N μ=计算，动摩擦因数 μ是由接触面的情况和材料决定。 2、共点力作用下物体的平衡 如果几个力作用在物体上，且交于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。如果物体只受三个力作用，一般根据两个力的合力同第三个力等值反向做出平行四边形，解决问题，处理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有时也根据根据相似三角形的关系列方程。如果物体受到三个以上的共点力作用，一般可用正交分解法。 物体的平衡包括静平衡和动平衡，即有静止、匀速直线运动、匀速转动三种平衡状态。 3、有固定转动轴物体的平衡 力矩 力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为M Fd =，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m ?。 力偶与力偶矩 作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。 4、一般物体的平衡 力对物体的作用效果可以改变物体的运动状态，物体所受的合力对物体的平动有影响，而合力矩对物体的转动有影响，当这两种影响都不存在时，物体处于平衡状态。 所以受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为
高中物理力的平衡经典习题及答案【复习准备】
力的平衡经典习题 1、如图所示，两个完全相同的光滑球的质量均为m，放在竖直挡板和倾角为α的固定斜面间．若缓慢转动挡板至与斜面垂直，在此过程中 A．A、B两球间的弹力不变 B．B球对挡板的压力逐渐减小 C．B球对斜面的压力逐渐增大 D．A球对斜面的压力逐渐增大 2、如图所示，不计滑轮质量与摩擦，重物挂在滑轮下，绳A端固定，将B端绳由B移到C或D（绳长不变）其绳上张力分别为T B，T C，T D，绳与竖直方向夹角θ分别为θB, θC, θD则 A． T B>T C>T D θB<θC<θD B． T B A．F B．F + mg C．F -mg D．mg -F 5、如图所示，质量为m的质点静止地放在半径为R的半球体上，质点与半球体间的动摩擦因数为，质点与球心的连线与水平地面的夹角为，则下列说法正确的是 A．地面对半球体的摩擦力为零 B．质点对半球体的压力大小为mg sin C．质点所受摩擦力大小为mg sin D．质点所受摩擦力大小为mg cos 6、如图所示，一个质量为m=2．0 kg的物体，放在倾角为θ=30°的斜面上而静止，若用竖直向上的力F=5 N提物体，物体仍静止（g=10 m/s2），则下述正确的是 A．斜面受的压力减少量等于5 N B．斜面受的压力减少量小于5 N C．地面受的压力减少量等于5 N D．地面受的压力减少量小于5 N 7、半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，右图所示是这个装置的纵截面图. 若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q 落到地面以前、发现P始终保持静止. 在此过程中，下列说法中不正确的是 A．MN对Q的弹力逐渐减小B．地面对P的摩擦力逐渐增大 C．P、Q间的弹力先减小后增大 D．Q所受的合力逐渐增大 《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率 动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声 全国中学生物理竞赛集锦（力学）答案 第21届预赛（2020.9.5） 二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T 1为绳中张力，a 1为两物块加速度的大小，l 为斜面长，则有 1111 m g T m a -= （1） 1221 sin T m g m a α-= （2） 2 11 2 l a t = （3） 第二次，m 1与m 2交换位置．设绳中张力为T 2，两物块加速度的大小为a 2，则有 2222m g T m a -= （4） 2112sin T m g m a α-= (5) 2 2123t l a ?? = ??? (6) 由（1）、（2）式注意到α ＝30?得 12 11222() m m a g m m -= + （7） 由（4）、（5）式注意到α ＝30?得 21 21222() m m a g m m -= + （8） 由（3）、（6）式得 2 19 a a = （9） 由（7）、（8）、（9）式可解得 1211 19 m m = （10） 评分标准：本题15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，求得（10）式再给3分。 七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A 沿竖直方向运动，设其速度为v A ，B 沿水平方向运动，设其速度为v B ，若以B 为参考系，从B 观测，则A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R 的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为V A 。杆相对地 面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得 A A sin V v θ= （1） B A cos V v θ= （2） 因而 B A cot v v θ= （3） 由能量守恒 A 22 B B A A 12 1cos 2m gR m v m v θ=+ （4） 由（3）、（4）两式及m B ＝2m A 得 A 22cos sin 1cos gR v θ θ θ =+ （5） B 2 2cos cos 1cos gR v θ θ θ =+ （6） 评分标准： 本题（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分。 九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t ，在这段时间内，各砝码和砝码 图1 高中物理竞赛辅导讲义 第1篇 静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件： 3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R 全国中学生物理竞赛真题汇编---光学 1.（19Y5）五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f = 的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上 距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知 其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱 镜的折射率． 2.（21Y6）六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O 下方玻璃中的C 点，球面的半径R ＝1.50cm ，O 到杯口平面的距离为8.0cm 。在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片，P 点距O 点6.3cm 。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n 1＝1.56，酒的折射率n 2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 3．（22Y3）三、(18分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为尺的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心p 和光源s.皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少? 4．（16F2）（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ，相距为d ，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 5．（17F2） 如图1所示，在真空中有一个折射率为ｎ（ｎ＞ｎ0，ｎ0为真空的折射率），半径为ｒ的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线ＢＣ传播，直线BC 与小球球心O 的距离为ｌ（ｌ＜ｒ），光束于小球体表面的点Ｃ经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D 又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 图1 1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。当飞船运行到P 点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量 可 以 不 计 。 （1）试求飞船新轨道的近火星点A 的高度h 近和远火星点B 的高度h 远 ； （2）设飞船原来的运动速度为v 0 ,试计算新轨道的运行周期T 。 2，(20分)有一个摆长为l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处（x ＜l ）的C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l 一定而x 取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O 点），然后放 手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x 的最小值． 3，（20分）如图所示，一根长为L 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和 m b . 杆可绕距a 球为L/4处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动， 求当a 转过 角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦． 4、把上端A 封闭、下端B 开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地 浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1 厘米,大气压强P 0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计. (1)求玻璃管内外水面的高度差h. (2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A 端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起.求这个深度. a O b A B C D F《全国中学生物理竞赛大纲》2020版
全国中学生高中物理竞赛集锦(力学)答案
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