数学必修四复习导学案一对一使用资料
必修4 第一章
§4-1任意角及任意角的三角函数
1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边 相同的角定义。
2．把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．
1?= rad , 1 rad = 。
3．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角， (,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则 =αsin ，
=αcos ，=αtan 。
4．角α的终边交单圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则角α的正弦线用有向线段 表示，余弦线用 表示，正切线用什么表示呢？ 5．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ； （2）终边落在x 轴上的角的集合可表示为 。
6．sin α的值在第 象限及 为正；cos α在第 象限及 为正值；tan α 在第 象限及 象限为正值．
7．扇形弧长公式l = ;扇形面积公式S= 。 8．特殊角的三角函数值
【例1】在0
3600-，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限：（1）?1200；（2）`129500
【例 2】如果角α与角0
45+θ
具有同一条终边，角β与角0
45-θ具有同一条终边，那么α与β的
关系是什么？
【例3】已知角α是第二象限角，求
3
α
所在的象限
【例4】已知扇形周长为10cm ，面积为62cm ，求扇形中心角的弧度制
【例5】已知角α的终边经过点()3,2-P ，求角α的正弦，余弦，正切值
【例6】（1）已知角3
7π
α-=，求ααcos sin 2+的值
（2）已知角α的终边经过()()03,4≠-a a a P ，求ααcos sin 2+的值
课堂练习
1．0
570- = 弧度，是第___ _象限的角；=π5
3 度，与它有相同终边的角的集合为__________，
在[－2π，0]上的角是 。
2．3tan 2cos 1sin ??的结果的符号为 。
3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。 4．函数|
tan |tan cos |cos ||sin |sin x x
x x x x y ++=
的值域是 。
5．已知扇形的周长是6cm ，面积是2
2cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是 。
6.已知角α的终边经过()a a --4,32,且0sin ,0cos >≤αα,则实数α的取值范围是 7．已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？(2) 2
α
是第几象限的角？
8．已知角α的终边过点(,2)(0)P a a a -≠，求：(1)tan α；(2)sin cos αα+。
9．已知角α
的终边上有一点()(0)P γγ≠
且sin 4
α=，求：cos ,tan αα．
10．已知一扇形的中心角是75,α=o 所在圆的的半径是12,R cm =求：扇形的弧长及该弧所在弓形面积。
课后作业 1．若点P 在
3
2π
的终边上，且OP =2，则点P P 的坐标是（ ， ）。 2．若00
360,1690-=的终边相同，且与αθα＜θ＜0
360，则θ= _。
3．下列各命题正确的是 （ ）
A ．终边相同的角一定相等；
B ．第一象限的角都是锐角；
C ．锐角都是第一象限的角；
D ．小于0
90的角都是锐角。
4.钟表经过 4小时，时针与分针各转了___________（填度） 5．若,cos sin θθ>且,0cos sin
6．已知角α的终边上一点的坐标为（－4，3），则ααcos sin 2+的值为 。 7．已知角α的终边上一点的坐标为（3
2cos
,32sin
π
π）,则角α的最小正值为( )
A.
65π B.32π C.35π D.6
11π 8.设角α是第一象限角，且2
sin
2
sin
α
α
-=，则
2
α
是（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.已知角α的终边经过()a a --4,32,且0sin ,0cos >≤αα,则实数α的取值范围是 10．若a c b a 则,405tan ,230cos ,125sin 000===c b ,,的大小关系为 11．已知角α的终边上有一点)0)(3,4(≠-t t t A , 求：ααcos sin 2+的值。 12.已知扇形AOB 的面积是12
cm ，它的周长是4cm ，则弦AB 的长等于多少cm ？
13.已知角θ的终边上一点P 的坐标是()()02,≠-x x ，且3
cos x
=θ，求θsin 和θtan 的值
14．已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2rad ,求该扇形的面积。
15.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合 (不包括边界
).
§4-2 同角三角函数的基本关系
1、 同角三角函数关系的基本关系式：
（1）平方关系： （α∈ ）； （2）商数关系： （α≠ ）； （3）倒数关系： （α≠ ）。
【例1】已知17
8
cos -=α，求ααtan ,sin 的值
【例2】已知α是第三象限角，化简α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+--
-+ 【例3】已知ααcos 2sin =，求
α
αααcos 2sin 5cos 4sin +-及αααcos sin 2sin 2
+的值
【例4】已知方程(
)
01322=++-
m x x 的两根分别是θθcos ,sin ，求
θθ
θ
θtan 1cos tan 11sin -+-
的值
课堂练习
课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题： 1．若4.0sin -=α（α是第四象限角），则αcos = ,αtan = 。 2．若2cos sin =
+θθ，则=θθcos sin 。
3．若α是第四象限角，且5
tan ,sin 12
αα=-
=则 。 4．若2
0π
α<
<，则ααcot tan +的最小值为 。
5．若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是 （ ）
A 、)4,0(π
B 、),43(ππ
C 、)45
,4(ππ D 、[0,]4
πU ],43[ππ
6.已知αα,5
3
cos -=为第二象限角，那么αtan 的值等于（ ）
4
3.43.3
4.34.--D C B A 7.已知πααα<<-=
+0,2
3
1cos sin ，则αtan 的值为（ ） 3.3
3.3
.3
3
.D C B A --
8.已知θ是三角形的内角，51
cos sin =
+θθ，则θθcos sin -的值为（ ） 5
1.57.5
7.5
1.D C B A -
-
9．化简
（1）42242
21(sin sin cos cos )3sin sin x x x x x x --++；（2）α
αααcos 1cos 1cos 1cos 1-++
+-（α为第四象限角）
10．已知,81cos sin =αα且2
4π
απ<<，求αcos －αsin 的值。
11．已知,2tan =θ求下列各式的值： (1)θ
θθθcos 9sin 4cos 3sin 2--； (2) θθcos sin ； （3）2θθθθ2
2cos 4cos sin 3sin --。
课后作业 1.已知ααα44cos sin ,5
5
sin -=则的值为( ) A ．51-
B ． 53-
C ．51
D ．5
3
2．已知,cos sin 3cos 12θθθ=+则θtan 值等于（ ）
A ．2
53+
B ．253-
C ．2
53±
D ．1或2
3．已知2cos sin =+θθ，则θθcot tan +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．
2
1 4．已知αtan 与αcot 是方程0222
=+-m x x 的两根，则αsin 值等于（ ）
A ．
2
2
B ．2
2±
C ．
2
3 D ．2
3-
5．若,1|cos |cos sin sin 2-=-θθθθ则θ所在象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若
,2cos sin cos sin =-+θθθ
θ则=θθcos sin （ ） A ．43 B ．103± C ．103 D ．10
3-
7．已知,51
cos =α且0tan <α，则αsin 的值是 ；
8．已知,21tan =α且)2
3
,(ππα∈,则αsin 的值为___________；
9．已知1sin cos (0)5
αααπ+=-≤≤，则tan α= ；
10．已知5
sin cos ,sin cos 4
αααα-=-
?=则 11．设==-=+<<αα
απαsin lg ,cos 11
lg
,)cos 1lg(,20则且n m (用n m ,表示) 12.
=+???++++???+++0
20202020
00089sin 3sin 2sin 1sin 89tan lg 3tan lg 2tan lg 1tan lg 13．求证：
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-
14．已知53sin +-=
m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=
m m ， 求（1）m 的值； （2）θtan 的值。
15．已知2tan =θ，求（1）
θ
θθθsin cos sin cos -+；（2）22
sin sin cos 2cos θθθθ-?+。
16.已知：5
1
sin =
α且0tan <α，试求ααtan ,cos 值
§4-3 正弦、余弦的诱导公式
诱导公式：
（1）角2(),,2,k k Z παπαπαα+∈±--的三角函数值与角α三角函数值的关系分别是什么？
（2）角
3,
2
2
π
π
αα±±的三角函数值与角α三角函数值的关系分别是什么？ 口诀为：
【例1】求下列各式的值：
()()();210sin 60cos 100--- ()6
11sin 310cos 631sin 2πππ-?
?
?
?
?--??
? ?
?- 【例2】化简：
()[]()[]()()
()Z n n n n n ∈--+-+++,2cos 2sin 12sin 212sin αππαπαπα
【例3】已知()()
223360
tan 1720tan 10
+=--++θθ
【例4】已知()1sin ,3
1
sin =+=βαβ，求()βα32sin +的值
课堂练习
1． 求下列三角函数值： （1）11sin
3
π= ；（2）cos(2040)-o
= ；
（3）16sin()3
π
-= 。 2．化简下列各式：
（1）3
sin ()cos(2)tan()απααπ-+--；（2）2
tan(360)
cos ()sin()
ααα+---o 。
3．计算（1）sin420cos750sin(330)cos(660)?+-?-o o o o （2）252525sin cos tan()634
πππ++-。
4．sin 2
(π
3
－x )＋sin 2
(π6
＋x )＝ 。
5．若)cos()sin(,3)11tan(απαπαπ-+-=+则=
6．化简：
3
sin()cos(2)tan()
2cot()sin()
παπααπαππα---+---+
7．已知α是第三象限的角，且)
sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπ
ααπαπα---+
--+=
f
(1) 化简：)(αf ；(2)若,5
3
)23cos(=-πα求：)(αf 的值；
8．已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 求)5(-f 课后作业
1．0
690tan 的值为( )(2007高考湖北卷.文)
A ．33-
B ．3
3 C ．3 D ．3- 2．已知)2sin(),2
,2(5
3
)cos(αππ
πααπ---
∈-=+则且的值为（ ） A ．54- B ．54 C ．5
4± D ．53
3．已知)
cos()2sin()
cos()5sin(,2)tan(
πθθππθθπθπ+--+-++--=+则等于（ ）
A ．
31 B ．31- C ．51 D ．51- 4．已知1sin cos ,31cos sin 1--=+x x
x x 则的值等于（ ）
A ．31
B ．3
1
- C ．3 D ．3-
5． tan300°＋sin450°的值为 。
6．已知)cos(θπ+＝－4
5 ，θ是第一象限角，则=+)sin(θπ ，=θtan 。
7．函数3cos |sin |)(+-=x x x f 的奇偶性为 ；
8．若1
cos()4
πα-= ，则=-)2sin(απ 。
9．函数3cos )(2
--=x b ax x f ，若5)2(=-f ，则=)2(f 。 10.已知(),41cos -
=-απ则=??
? ??+απ23sin
11．求值5
4cos 53cos 52cos
5cos
ππππ
+++=
12．已知13
5)45sin(0=+α，则)225sin(0
α+=
13．已知,31cos =α且,02<<-απ求：α
ααππαtan )cos()
2sin()cot(-+-- 的值。
14．已知2
32cos 232sin 21)(-+=
x x x f
（1）求)625(πf 的值 （2）设ααπαsin ,2
3
41)2(),,0(求-=∈f 的值
15．已知3
2,cos(9)5παπαπ<<-=-，求：αtan 的值．
16．已知)0(2
3
1cos sin πααα<<-=+,求
（1）ααcot tan +的值 （2）ααcot tan -的值
§4- 4 三角函数的图象
1．“五点法”画正弦函数[]sin ,0,2y x x π=∈的简图，五个特殊点是（ ， ）、（ ， ） （ ， ）（ ， ）（ ， ）。 2． 由函数sin y x =的图象到函数2sin(2)23
y x π
=+
+的图象的变换方法之一为：
①将sin y x =的图象向左平移 个单位得 sin()3
y x π
=+
图象，
②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 得sin(2)3
y x π
=+
图象，
③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍得2sin(2)3
y x π
=+图象，
④最后将所得图象向 平移2个单位得2sin(2)23
y x π
=+
+的图象．
这种变换的顺序是：①相位变换 ②周期变换 ③振幅变换。若将顺序改成②①③呢？ 【例1】作函数143sin 2+??
?
?
?
+
=πx y 的简图, 并说明此函数图形怎样由x y sin =得图像变化而来。 【例2】已知函数()?ω+=x A y sin ，在同一周期内，当9
π
=x 时函数取得最大值2，当9
4π
=
x 时函数取得最小值-2，则该函数的解析式为（ ）
??
?
??-=?
??
??+=?
?? ??
+=?
?? ??
-=63sin 2.63sin 2.63sin 2.63sin 2.ππππx y D x y C x y B x y A
【例3】如图，单摆从某个点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的
关系式为??? ?
?
+=62sin 6ππt s 。（1）单摆摆动5秒时离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最
右边到最左边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动10次所需时间为多少秒？
课堂练习 1．函数)9
2sin(21π
-=
x y 的振幅是______,；频率是______,,初相是______； 2．用“五点法”画函数)3
sin(2π
-
=x y 的图象时，所取五点为（ ， ）、（ ， ）
（ ， ）（ ， ）（ ， ）。
3．函数]2,0[,sin 1π∈+=x x y 的图象与直线2=y 交点个数是_____个。
4．如果把函数)cos(x y -=的图象向右平移2个单位后所得图象的函数解析式为 。 5．函数)2tan(?+=x y 的图象过点),0,12
(
π
则? 的一个值是 6. 画出下列函数的简图： （1）sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）1cos ,[0,2]y x x π=+∈。
7. 试说明下列函数的图象与函数x y sin =图象间的变换关系： (1));3
sin(π
+=x y (2);2)3
22sin(--
=π
x y (3)x y sin 2=。
8. 已知函数()()0,0sin >>+=ω?ωA x A y 的最大值是2，最小正周期是52π，初相为4
π
，则这个函数的表达式是（ ）
??? ?
?
+=?
?? ??
+===324sin .84sin .4cos .4sin .ππx y D x y C x
y B x
y A
9.把函数??
?
?
?
+
=42sin πx y 的图像向左平移8π个单位，再将横坐标压缩到原来的21
，所得函数的解析式（ ）
??? ?
?
+=?
?? ??
+===324sin .84sin .4cos .4sin .ππx y D x y C x
y B x y A
10.要得到函数x y cos 2=
的图像，只需将函数??? ?
?
+=42sin 2πx y 的图像上所有的点的（ ）
（A ） 横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8
π
个单位长度
（B ） 横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4
π
个单位长度 （C ） 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π
个单位长度
（D ） 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8
π
个单位长度
11.要得到??
?
?
?-
=42cos πx y 的图像，只需将x y 2sin =得图像（ ） A ．向左平移
8π个单位 B. 向右平移8π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移4
π
个单位 12. 函数)(x f 图象的一部分如图所示，则)(x f 的解析式为 ( ) A ．5.33
sin 4)(+=x
x f π B ．46
sin
5.3)(+=x
x f π C ．5.43
sin
5.3)(+=x
x f π D ．5.36
sin
4)(+=x
x f π
课后作业 1．要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+
=x y 图象上的点的___坐标_____到原来的
____倍，再向___平移____个单位。
2．将函数)3sin(π
-=x y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移
3
π
个单位，所得的图象对应的解析式是 。
3．函数)3
24sin(2π
+-=x y 的图象与x 轴的交点中,离原点最近的一点是__________。 4.已知函数()()0,0sin >>+=ω?ωA x A y 在同一周期内，当35π=x 时，y 有最大值为32，当3
11π
=x 时，y
有最小值3
2
-，则此函数的解析式
5.把函数??
?
?
?
+
=34cos πx y 的图像向右平移?个单位，所得到的图像正好关于y 轴对称， 则?得最小正值是
6．若函数()sin()f x A x ω?=+（0,0,02A ω?π>><<）的最小值为2-，周期为23
π
且它的图象过点(0,，求：此函数解析式．
7．已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?π><
8．解不等式：sin )x x R ≥∈。
9．（1）画出函数y ＝2sin （3x ＋4
π
）的图象。
y ＝2sin （3x ＋4
π
）的图象如何由y ＝sin x 的图象变换得到？
)20.0,0)(sin()(π?ω?ω<<>>+=A x A x f 图象的一个最高点(2，由这个最高点到相
x 轴交于点(114，0)，
（1）试求函数)(x f 的解析式
（2）写出函数)(x f 的图象的对称轴方程
（3）请说明函数)(x f 的图像如何变换得到函数x y sin =的图象
§4-5 三角函数的性质
正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =、正切函数tan y x =的定义域为 ，值域为 ，单调递增区间 ，最值，奇偶性，周期性及公式，对称轴，对称中心
【例1】(2005全国卷Ⅰ)设函数()()()()x f y x x f =<<-+=,02sin
?π?图像的一条对称轴是直线8
π
=x
（1） 求?（2）求函数()x f 的单调增区间
【例2】求下列三角函数的周期：()()??
?
??+=??
?
?
?+=52
sin 323sin 1ππx y x y
3】已知函数??
?
?
??∈+-=2,6,3sin cos 2
ππx x x y ，求函数的最大值 4】若函数x b a y cos -=的最大值是23，最小值是2
1
-，求函数bx a y sin 4-=的最大值与最小值及周期 【例5】作出函数x y sin =的图像，指出它的奇偶性，周期和单调区间
课堂练习
0.5 3
9
1.函数)6
2cos(π
+
=x y 的周期为______; 函数)4
3tan(π
-
=x y 的周期是 ______; 函数3sin y x =的周期为_______。 2．x y sin 25.0-=
的值域是____________。
3．函数x y 2sin =的对称轴方程为_______， 函数)2
cos(π
+=x y 的对称中心坐标为 。 4.函数??
?
?
?
-
=34sin 2πx y 的最小正周期是（ ） ππ
π
π4.2
.
2..D C B A
5.函数x y sin 21-=的值域是（ ）
[][][][]2,2.1,0.3,1.1,2.---D C B A
6.函数??? ??
+=252sin πx y 图像的一条对称轴方程是（ ）
4
5.8
.2
.4
.ππ
π
π
=
=
-
=-
=x D x C x B x A 7．不等式1tan - 8．已知sin y a x b =+的最大值为3，最小值为－１，求：a b ，的值。 9．求：函数)cos 21(log )(sin x x f x +=的定义域： 10. 求下列函数的值域：（1）);1(tan 3≤=x x y （2）)3 (1sin cos 2 π ≤++=x x x y 11.设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图象的一条对称轴是直线,8 π =x )1(求?； )2(求：函数)(x f y =的单调减区间。 课后作业 1．判断函数的奇偶性： ①x y cos lg =_____ _____；②)2 3sin( x y +=π _____ _____。 2.函数)4 tan(π + =x y 的对称中心是___________,函数)3 2sin(π - =x y 的对称轴方程是___________。 3．x y 2cos =的单调递减区间为____________；)sin(2x y -=的单调递增区间为__________。 4．若)(x f 是奇函数，当0>x 时，,sin )(2x x x f -=则0 5.若函数)sin(3)(?ω+=x x f 对任意实数x 都有=+)6 (x f π ),6( x f -π 则________)6 (=π f 。 6.函数?? ? ???-∈??? ??-=2,2,36sin 3πππx x y 的单调递增区间是 7.已知函数)3 sin(π ω+ =x y 的最小正周期为3，则ω= 。设函数),5 2 sin( 2)(π π + =x x f 若对任 意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值是__ _____。 8．求：函数)]4 3 [cos(log 2 1π + =x y 的单调区间。 9.求函数x x y 2cos sin 22--=的最大值和最小值 10. 求：函数216sin x x y -+= 的定义域。 11.已知函数()4 5 62sin 21+??? ??+= πx x f ， （1）求()x f 的最小正周期及单调区间； （2）求()x f 的图像的对称轴和对称中心 第一章三角函数单元测试 一、选择题(5分×10=50分)： 1、化简0 sin 600的值是 （ ） A ．0.5 B ．0.5- C D ． 2、已知4 sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 3、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－2 5 C ．0 D ．与α的取值有关 4、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα -=-+那么的值 （ ） A ．－2 B ．2 C ． 2316 D ．－ 2316 5 （ ） A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 6、下列函数中，在区间02π?? ??? ，上为增函数且以π为周期的函数是 （ ） A ．sin 2 x y = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =- 7、把函数sinx y =的图象向右平移 8 π 后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（ ） A. )8 -x 21sin(y π= B. )8x 21sin(y π+= C. )8-x 2sin(y π= D. )4 -x 2sin(y π = 8．已知简谐运动)2 )(3 sin(2)(π ??π < +=x x f 的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初相? 分别为（ ） A ．6 ,6π ?= =T B ．3 ,6π ?= =T C ．6 ,6π ?π= =T D ．3 ,6π ?π= =T 9．下列关系式中正确的是（ ）（2009高考重庆卷文.6） A ．0 168sin 10cos 11sin << B ．0 10cos 11sin 168sin << C ．0 10cos 168sin 11sin << D ．0 11sin 10cos 168sin << 10．如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 A. 2π 3??? ??--，∪(0，1)∪ 3 2π?? ? ??， B. 1 2π??? ??--，∪(0，1)∪ 3 2π??? ??， C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3) D. 2π 3??? ? ? --，∪(0，1)∪(1，3) 二、填空题（5分×5=25分）： 11．已知31cos = α，且02 <<-απ,则) 2 cos()23sin() 2tan()2sin()cos(απαπαπαππα+--+--= . 12．函数2sin(2)6 y x π =- (0)x π≤≤的递减区间是 ． 13. 已知3 3cos ,,tan 5 24πθπθπθ? ?=-<<- ?? ?且则= . 14．函数])3 2 ,6[)(8cos(πππ ∈- =x x y 的最小值是 15．若扇形的中心角为 3 π ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为 三、解答题（共75分）： 16．求值2 2 sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)?+?+?--?+-? 17．已知(0,)θπ∈，1 sin cos 2 θθ+= 求 (1)θ?θcos sin ； (2) sin cos θθ- 18．已知函数),0,0)(sin(π?ω?ω<>>+=A x A y 的最小正周期是 32π，最小值是2-，且图象经过点（09 5，π），求这个函数的解析式. 19．已知1 sin()2x π+=-，计算：（1）3sin(5)cos()2 x x ππ--- （2）)2 tan( )2 sin(x x ++π π 20．求函数2 3sin 4sin 1y x x =-+，,3x ππ?? ∈???? 的值域 21．已知角θθθcos sin 2),0,(),3,4(+≠∈-求且的终边过点 t R t t t P 的值 (第10题) §4-6 两角和与差的三角函数公式 sin()αβ±= ；cos()αβ±= ；tan()αβ±= 。 课堂练习 1．(1)??-??43cos 73sin 47cos 17sin = ；（2）?+? -15tan 115tan 1=________ __。 2．=++)19tan 1)(26tan 1( 。 3．若πtan 34α?? -= ??? ，则cot α等于 。 4．若tan 3α=，4 tan 3 β=，则tan()αβ-等于 。 5．化简： θθcos 2 1 sin 23+=________。 6．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）（2008高考全国卷.文） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 7．已知)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-=+则的值为（ ） A ．1813 B ．223 C ．1213 D ．6 1 8．求值：)10tan 31(50sin 200+。 9．求值：? +?+?+?10cos 1) 10tan 31(80sin 50sin 2。 10．设),,2 (ππ α∈若,54sin = α试求： （1）)4cos(2πα+；（2）)3 tan(π α+。 11．设71cos =α,1411)cos(-=+βα,)2,0(πα∈,),2 (ππ βα∈+,求：β. 12. 求证：αααα 2sin 41 2 tan 2cot cos 2=-. 课后作业 1 ．cos ________6 6 π π +=。 2． 152sin 118cos 28cos 62sin -=_______； ______15sin 15cos 15sin 15cos =+- 。 3．)20tan 10(tan 320tan 10tan ?+?+?? = 。 4．在ABC ?中,若,13 5 cos ,54cos ==B A 则C cos 的值是_________。 5． ? ? -?70sin 20sin 10cos 2的值为_________。 6．0 000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值为 7．已知锐角βα、满足10 10 sin ,55sin = = βα，则=+βα 8．若0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，则=-)cos(γα 9. 若),2 0(tan cos sin π αααα< <=+则∈α( ) A.)6 ,0(π B.( )4,6π π C.()3,4ππ D.()2 ,3π π 10．ββααπ βαcos sin ,cos sin ,4 0+=+=< < A ．b a < B ．b a > C ．1 D ．1>ab 11．已知)sin(,15sin 5cos 13,9cos 5sin 13βαβαβα+=+=+则的值为（ ） A ． 6517 B ．6516 C ．65 56 D ．6556- 12．0 105sin 15cos 75cos 15sin +等于（ ）（2007高考福建卷.文） A ．0 B ． 21 C ．2 3 D ．1 13. 设54)cos(- =-βα,1312)cos(=+βα,),2(ππβα∈-,)2,2 3(ππ βα∈+, 求：α2cos ,β2cos 的值。 14. 已知,7 1 tan ,21)tan(-==-ββα且),0(πβα∈、,求：βα-2的值。 15．已知) tan(tan tan tan )tan(,31)sin(,21)sin(2 βαββ αβαβαβα+--+=-=+求的值 16．已知2 cot )2 tan(,0sin 3)sin(5β β ααβα+=++求的值 §4-7 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1． cos 2α= ；= ；= sin 2α= ；tan 2α= 2．在二倍角公式中, 可得降次公式： 2 sin 2 α = ；2 cos 2 α = 。 课堂练习 1．已知0cos 2sin 3=+x x ,则x 2tan =_______。 2. 若316sin =??? ??-απ，则?? ? ??+απ232cos = 。 3.若==+θθπ2cos ,5 3 )2sin(则 （2008高考浙江卷.文） 4．化简sin 6cos24sin 78cos48= 。 5．0 165cos 15sin ?的值是（ ） A ． 41 B ．21- C ．4 1- D ．21 6．设02x π≤≤, sin cos x x =-,则（ ） A ． 0x π≤≤ B ． 744x π π≤≤ C ． 544x ππ≤≤ D ．322 x ππ ≤≤ 7．（1）求8cos 85cos ππ的值 （2）已知2 cos ,54cos ,23θθπθπ求-=<< 8．33sin 2()542 ππαα=-<<-已知，，cos α求:的值。 9．若f (sin x )＝3－cos2x ，求f (cos x ) 10．已知,223,53)4cos(παπαπ -<<- =-求)4 2cos(π α-的值 11. 已知11 tan()tan 27 αββ-==-，，(0)αβπ∈且，，，求2αβ-的值。 12．求证：α α -= α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan 课后作业 1．若ααα2sin ,cot tan 则m =+等于（ ） A ． m 1 B ．m 2 C ．m 2 D ．21m 2．)240(cos )120(cos cos 02022++++ααα= 3．已知)4.1(,2sin )cos (sin f f 则θθθ=+= 4．求值：（1）sin 2230cos2230''?= （2）8sin cos cos cos 48 48 24 12 π π π π = 5．已知：tan 2x =，则tan 2()4 x π - = 6 = 7．化简αα2 sin 22cos +得 8．设(tan )tan 2f x x =，求(2)f 9．已知sin cos 2,( ,),2 π αααπ=∈tan α求: 10．若tan 3θ=，求：sin 2cos 2θθ-的值 11．化简α αα α4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++。 12．)2 tan(2cos ,53)2cos(,1312)cos(,β ααβαβαβα+=+=+和求且为锐角、的值 §4-8 三角函数的最值问题 课堂练习 1．（1）设M 和N 分别表示函数1cos 3 1 -=x y 的最大值和最小值,则M +N 等于_____ （2）函数x x y cos sin 4=在区间[0,π3 2]上的最大值为_______,最小值为_______. 2．（1）函数x x y cos sin +=的最大值为_______,最小值为_______. （2）函数)6 sin()3sin( 2x x y ++-=π π 的最大值为_______. 3．函数2 5 sin 25sin 2+-=x x y 的最大值为_______,最小值为_______. 4．函数x x x f sin 1 sin )(+=,),0(π∈x ,则)(x f 的最小值是_______. 5．求函数1 cos cos +=x x y 的最大值。 6. 求函数x x y cos 3sin +=在区间[2, 2π π- ]上的最大值与最小值。 7. 求：函数)cos 34)(sin 34(x x y --=的最小值。 8. 扇形AOB 的半径为1,中心角为 60，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出这个最大值。 9.已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3 sin(cos 2)(2+-+=π ,求函数)(x f 的最大、最小值. 课后作业 1．当- ≤≤ππ2 2 x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 ，最小值是 。 2． 函数2cos 3cos 2+-=x y 的最小值为 3．函数x x y cos sin 21 ++=的最大值是 。 4．若函数)34sin(π --=x b a y 的最大值和最小值分别为5和1,则=a ,=b 。 5．函数)6 cos()3 sin( 2x x y +--=π π 的最小值为 。 6. 求函数4 7 2cos sin cos 2+--=x x x y 的最大值。 7. 求函数)4 0)(sin (cos sin π <<-=x x x x y 的最大值。 8.已知函数1cos sin 2 3cos 212++= x x x y ，R x ∈ （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由x y sin =（R x ∈）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 《三角恒等变换》单元测试题 班级 姓名 一、选择题(5分×10=50分)： 1．sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是 （ ） A ． 23 B ．21 C ．2 3 D ．21- 2．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 3．设a 3(,sin )2 α=，b 1cos ,3α??= ??? , 且a ∥b ，则锐角α为 （ ） A ．30? B ．60? C ．45? D ．75? 4．下列各式中值等于 1 2 的是 （ ） A ．sin15cos15ο ο B ．2tan 22.51tan 22.5 ο ο - C ．22cos sin 1212ππ- D 5 ．函数sin 22x x y =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3 x π =- 6 ．已知cos 23 θ= 44 sin cos θθ+的值为 （ ） A ． 1813 B ．18 11 C ．97 D ．1- 7．把函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数sin 236y x π=+ +? ? ?? ? 的图象，则向量a 可以是（ ） A ．,36π?? ??? B ．,36π??- ??? C ．,312π??-- ??? D ．,312π??- ??? 8．关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=--C B A x x 有一根为1，则三角形AB C 一定是（ ） A ． 等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形 9．函数4 7 2cos sin cos 2 + --=x x x y 的最大值是（ ） A ．47 B ．2 C ．49 D ．4 17 10．若)(x f 是奇函数，且当0>x 时,x x x f sin )(2+=,则0 + B ．x x sin 2 +- C ．x x sin 2 - D ．x x sin 2 -- 二、填空题（5分×5=25分）： 11． 0 15cos 75cos ?的值是 。 12． ()()._________sin sin cos cos =+++ββαββα 13．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14．已知1 cos()3 πα+=，2παπ<<，则sin 2α的值是= 15．已知2 1tan = θ，则θθ2 sin 2sin += 三、解答题（共75分）： 16.化简：［2sin50°+sin10°（ 1+3tan10°）］ 17.已知2π＜β＜α＜4 π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值 18．已知函数R x x x x y ∈+=,cos sin sin 2 （1）求函数的最小正周期 （2）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合 （3）函数在什么区间上是增函数？ 19.（1）已知2tan -=α，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知0445 13<<-?? ???=x x ππ,sin ,求cos cos 24x x π+?? ? ??的值 . 20．已知函数2()2sin cos f x x x x =+（1）求)(x f 的周期和振幅 （2）在给出的坐标系中用五点作图法作出)(x f 在[0，π]上的图象 （3）写出函数)(x f 21．已知函数)sin()(?ω+=x A x f (0,0>>ωA ，|?|＜2 π )的图象和y 轴交于)1,0(且y 轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为)2,(0x P 和)2,3(0-+πx Q . (1)求函数)(x f y =的解析式及0x ； (2)求函数)(x f y =的单调递减区间； (3)如果将)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的 3 1 (纵坐标不变)，然后再将所得图象沿x 轴负方向平移3 π个单位，最后将)(x f y =图象上所有点的纵坐标缩短到原来的21 (横坐标不变)得到函数)(x g y =的图 象，写出函数)(x g y =的解析式并给出=y |)(x g |的对称轴方程. D B A 必修4 第二章 §2-1、2 平面向量及运算法则 1、向量： （1）概念：既有 又有 的量叫做向量 （2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a （4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量. （5）相等向量： 的向量叫相等向量； （6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则： （1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接； 减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。 3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下： （1）||a λ = ||||a λ；（2）λ>0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=0 4、向量的线性运算满足： （1）()a λμ= （2）(λμ+)a = （3）()a b λ+= 5、//a b (0)b a a λ?=≠其中R λ∈且唯一 课堂练习 1. ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D a =b, b=c,则a=c ； ④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。⑥若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列说法中正确的是 （ ） A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD 是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( ) A ．零向量只有大小没有方向 B ．对任一向量,||>0总是成立的 C ．||AB =|BA | D ． ||AB 与线段BA 的长度不相等 5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A ．与共线 B ．与相等 C ． 与 是相反向量 D ．与模相等 6．如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则-＝( ) A. B ． C. D ． 7．在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+ =AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC 8．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A ．A B B C CA ++ B ．OA OC BO CO +++ C ．AB AC B D CD -+- D ．NQ QP MN MP ++- 9．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A ．0AD = B ．00AB AD ==或 C ．ABC D 是矩形 D ．ABCD 是正方形 10．如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM = 31BC ，CN =3 1 CD ．试用，表示，，． 11．设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量 （1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量． 12．已知、不共线，=a +b ．求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是 a +b =1． 课后作业 1． 下面的几个命题： 共线与则==；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； O A D B C M N 第一章空间几何体复习 三维目标 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 2. 能画出简单空间几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型； 3. 了解球、柱体、锥体与台体的表面积和体积的计算公式.能用这些公式解决简单实际问题. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1. 请做以下基础练习 （1）充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是( ) （2）如图，在正四面体A －BCD 中， E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ C ） A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．②④ *(3)如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为( ) A ．81π B ．100π C ．14π D ．169π ① ② ③ ④ A B C D ? ? ? E F G 问题2. 请梳理本章的知识结构. 【学做思2】 1.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为13 2，则第三条侧棱长的取值范围是________． 2．―个几何体的三视图如图所示 (单位:m ),则该几何体的体积为______3 m . *3．长方体1111A BC D ABCD 内接于底面半径为1，高为1的圆柱内，如图，设矩形ABCD 的面积为S ，长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的体积为V ，设矩形ABCD 的一边长AB ＝x . (1)将S 表达为x 的函数； (2)求V 的最大值． 达标检测 1.已知两个圆锥，底面重合在一起， 其中一个圆锥顶点到底面的距 (2) §3.1.2 概率的意义 课前预习案 教材助读 阅读教材113-118页，完成下列问题 1.概率的正确理解：概率是描述随机事件发生的的度量，事件A的概率P(A)越大，其发生的可能性就越；概率P(A)越小，事件A发生的可能性就越 . 2.概率的实际应用：知道随机事件的概率的大小, 有利我们做出正确的 ,还可以解决某些决策或规则的正确性与公平 性. 3.游戏的公平性：应使参与游戏的各方的机会为等可能的, 即各方的相等,根据这一要求确定游戏规则才是的. 4.决策中的概率思想：以使得样本出现的 最大为决策的准则. 5.天气预报的概率解释：降水的概率是指降水的这个随机事件出现的 ,而不是指某些区域有降水或能不能降水. 6.遗传机理中的统计规律: (看教材P118) 课内探究案 一、新课导学 1、阅读课本p113“思考”，讨论其结果： 2、问题1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”? 3、问题2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件 奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？ 二、合作探究 探究1:概率的正确理解 问题1：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？ 试验：让我们做一个抛掷硬币的试验，观察它落地时的情况。 每人各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录下结果，填入下表。重复上 面的过程10次，把全班同学试验结果汇总，计三种结果发生的频率。 事实上，“两次均反面朝上”的概率为， “两次均反面朝上”的概率为，“正面朝上、反面朝上各一次”的概率 为。 问题2:有人说,中奖率为 1/1000的彩票,买1000张一定中奖,这种理解对吗? 探究2:游戏的公平性 问题3:在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？ 探究3:决策中的概率思想 思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？ 探究4:天气预报的概率解释 思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，你认为下面两个解释中哪一个能 代表气象局的观点？明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？明天本地下雨的机会 是70% 思考：遗传机理中的统计规律 你能从课本上这些数据中发现什么规律吗？ ※典型例题 例1某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子 得到点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？哪个班被选中的概率最大？ 例2 为了估计水库中的鱼的尾数，先从水库中捕出 2 000尾鱼，给每尾鱼作上记号（不影响其存活），然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水 库中捕出500尾鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计这个水库里鱼的尾数． 必修一集合 一、知识梳理 1．集合与元素 (1) 对集合，一定要抓住集合的三个特征：、、． (2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：、、． (4)常用数集：自然数集____；正整数集____(或____)；整数集____；有理数集____；实数集_____. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为、、． ★注意空集的特殊性：空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：若A?B，则需考虑A＝Ф和A≠Ф两种可能的情况． 2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则． 若A?B，且在B中至少有一个元素x B，但x A，则A是B的真子集； 若 A?B，B?C则A C. 若A中含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有，A的非空真子集有个． (2)集合相等：若A?B且B?A，则 . 3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }；交集：A ∩B ＝ ； 补集：C U A ＝ ．U 为全集，C U A 表示A 相对于全集U 的补集． (2)集合的运算性质 并集的性质：A ∪?＝ ；A ∪A ＝ ；A ∪B ＝ ；A ∪B ＝A ? . 交集的性质：A ∩?＝ ；A ∩A ＝ ；A ∩B ＝ ；A ∩B ＝A ? . 补集的性质：A ∪(?U A )＝ ；A ∩(?U A )＝ 二、典型例题 例1、课本19页，第14题 变式：1、已知集合}54{≤≤-=x x A ，}242{-≤≤-=a x a x B ，若A B ?，求实数a 的范围？ 2、已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x|ax ＋1＝0}，若B ?A ，则实数a 的所有可能取值的集合为____． 例2：已知集合A ＝{x |0 2．1 随机抽样 2．1.1 简单随机抽样 1．问题导航 (1)什么叫简单随机抽样？ (2)最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ (3)抽签法是如何操作的？ (4)随机数表法是如何操作的？ 2．例题导读 通过教材中的“思考”，我们了解抽签法的优、缺点及适用条件． 1．简单随机抽样的定义 设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2．简单随机抽样的分类 简单随机抽样? ????抽签法（抓阄法）随机数法 3．随机数法的类型 随机数法?????随机数表法随机数骰子法计算机产生的随机数法 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最小；( ) (2)有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”．() 解析：(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与第几次抽取无关； (2)随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差并不大． 答案：(1)×(2)× 2．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是() A．1 000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 解析：选D.该问题中，1 000名学生的成绩是总体，每个学生的成绩是个体，抽取的100名学生的成绩是样本，样本的容量是100. 3．抽签法的优点、缺点各是什么？ 解：优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，每个个体有均等的机会被抽中，从而保证样本的代表性．缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大． 1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．2．随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型． 3．简单随机抽样中每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误． 章末复习课 网络构建 核心归纳 1．函数的零点与方程的根的关系 函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值． 因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数． 2．函数零点的存在性定理 (1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可． (2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数． 3．函数应用 (1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键． (2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径． (3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型． 要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用 1．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． 2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断． 【例1】 (1)函数f (x )＝????? x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． (2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2. ②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x . 而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1,3)内至少有一个零点．而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增． 故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f (x )共有2个零点． 法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x . 如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象． 显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解． 综上，函数f (x )共有2个零点． (2)由f (x )＝0得|2x －2|＝b ，在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|和y ＝b 的图象，如图所示， 人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案 第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 - 1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 - 1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 - 1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 - 1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 - 1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 - 1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 - 1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 - 1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 - 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 - 第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 - 第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 - 1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 - 章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 - 2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 - 2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 - 2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 - 2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 - 2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 - 2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 - 2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 - 2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 - 2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 - 2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 - 2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 - 2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 - 2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 - 2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 - 2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 - 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 - 2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 - 2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 - 章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 - 3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 - 3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 - 3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 - 第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 - 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 - 3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 - 3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 - 2．3 变量间的相关关系 1．问题导航 (1)相关关系分为哪两种？ (2)什么叫散点图？ (3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？ 2．例题导读 通过对例题的学习，(1)学会如何作散点图；(2)学会如何用散点图判断两个变量是否相关；(3)掌握求回归直线方程的方法；(4)熟悉回归直线方程的实际应用． 1．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法 求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． b ^ = ∑ n i=1 (x i－x － )( y i－y － ) ∑ n i=1 (x i－x － )2 = ∑ i＝1 n x i y i -nx - y - ∑ i＝1 n x2i- n x -2 a ^ =y － －b ^ x － 其中，b ^ 是回归方程的斜率，a ^ 是回归方程在y轴上的截距． 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)线性回归方程必经过点(x - ，y － )；() (2)对于方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，x增加一个单位时，y平均增加b ^ 个单位；() (3)样本数据中x＝0时，可能有y＝a ^ ；() (4)样本数据中x＝0时，一定有y＝a ^ .() 解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x＝0时，y的值可能为a ^ ，也可能不是a ^ ，故(3)正确． 答案：(1)√(2)√(3)√(4)× 2．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是() 解析：选C.A、B为函数关系，D无相关关系． 3．下列关系中，有相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系． 解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．答案：② §1.2.1 函数的概念（1） 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； . 重点：理解函数的模型化思想。 一、课前准备 （预习教材P 15~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A . 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B . 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C . 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金 额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来 我们城镇居民的恩格尔系数如下表 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分 别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实 例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →. 新知：函数定义. 设A 、B 是 ，如果按照某种确定的 ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫 ，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）. 试试：如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）. A. B. C. D. 小结： 函数的对应关系：每一个x 与y 的对应可以为：一对一，多对一，不可以一对多。 反思： （1）值域与B 的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 . 函数 解析式 定义域 值域 一次函数 (0)y ax b a =+≠ 二次函数 2y ax bx c =++， 其中0a ≠ 反比例函数 (0)k y k x =≠ 探究任务二：区间及写法 新知：设a 、b 是两个实数，且a a }= 、 {x |x ≤b }= 、{x |x 或= . （3）函数y ＝x 的定义域 ， 值域是 . （观察法） 四年级数学下册教学计划 一、教学内容： 四则运算，位置与方向，小数的意义与性质，小数的加法和减法，运算定律与简便运算，三角形，折线统计图，数学广角和数学综合运用活动等。 二、教材简析： 四则运算，运算定律与简便计算。在本学期里学生将系统的学习混合运算的运算顺序，重点学习含有两级运算的四则混合运算的运算顺序，为学习列出综合算式解决问题打下基础；运算定律则主要是 学生已有的直观认识的基础上对有关加法和乘法的运算定律加以概 括和总结，并学习运用运算定律进行简便运算。 在空间与图形方面，本册教材安排了位置与方向、三角形两个单元，这些都是本册的难点或重点教学内容。 在数与计算方面，本教材安排了小数的意义与性质，小数的加法和减法，小数的意义与性质，小数的加法和减法，运算定律与简便运算，以及三角形是本册教材的重点教学内容。 在统计知识方面，本册教材安排了折线统计图。 在用数学解决问题的方面，教材一方面结合计算内容，教学用所学的整数四则运算知识和小数加减法知识解决生活中的简单问题；另一方面，按排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，初步体会植树问题的思想方法，感受数学的魅力。 三、教学目标： 1．掌握四则混合运算的运算顺序，会进行简单的整数四则混合运算；探索和理解加法和乘法的运算定律，会应用它们进行一些简便运算，进一步提高计算能力。 2．掌握四则混合运算的运算顺序，会进行简单的整数四则混合运算；探索和理解加法和乘法的运算定律，会应用它们进行一些 简便运算，进一步提高计算能力。 3．理解小数的意义和性质，体会小数在日常生活中的应用，进一步发展数感，掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律，掌握小数的加法和减法。 4．认识三角形的特性，会根据三角形的边、角特点给三角形分类，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°。 5．初步掌握确定物体位置的方法，能根据方向和距离确定物体的位置，能描述简单的路线图。 6．认识折线统计图，了解折线统计图的特点，初步学会根据统计图和数据进行数据变化趋势的分析，进一步体会统计在现实生活中的作用。 7．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 8．了解解决植树问题的思想方法，培养从生活中发现数学问题的意识，初步培养探索解决问题有效方法的能力，初步形成观察、分析及推理的能力。 9．体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 10．养成认真作业、书写整洁的良好习惯。 四、学情分析： 从上学期了解的情况来看，由于本班学生学习基础存在着差异，这就需要教师在教学中，在面向全体学生的同时，更要注意因材施教。 从上学期的学习情况看，大部分学生能够掌握所学的知识技能， 班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 2.2.1对数（1） 【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够进行对数式与指数式的互化； 3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考: 1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？ 请问：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 试试：将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a = ， log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式： （1）4 216=； （2）3 1 3 27 -= ； （3）520a =； （4）10.452b ??= ??? ． 2)将下列对数式写成指数式： （1）5log 1253=； （2） log 32=-； （3）lg 0.012=-； （4） 2.303=． 小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 【合作探究】 1．求下列各式的值： ⑴2log 64； ⑵2 1 log 16 ； (3)lg10000； 3．3几何概型 3．3.1几何概型 1．问题导航 (1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？ (2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？ (3)几何概型有几种模型？ 2．例题导读 通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率． 1．几何概型的定义与特点 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等． 2．几何概型中事件A的概率的计算公式 P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） ． 1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；() (2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；() (3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；() (4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．() 解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14 D.23 解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝2 3. 3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝ 12·2R ·R ＝R 2 ，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π . 答案：1 π 4．古典概型与几何概型有何区别？ 解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的． 1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值． 2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型． 3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积． 数学·必修1(人教版) 本章概述 学习内容 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． (4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． (2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． (3)了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 3．幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y ＝x α? ?? ??α＝1，2，3，12，－1的图象，了解 它们的变化情况． 4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题 (1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近 基本初等函数(Ⅰ) 无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程． (2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y＝a x(a＞0， 且a≠1)和对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数． (3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理 解和处理现实生活和社会中的简单问题. 知识结构 2.1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算(一) ?基础达标 1．化简下列各式： 4.1.1 加、减法的意义和各部分间的关系 班级 姓名 【学习目标】 1.认识加减法的意义和关系，初步理解加法与减法的意义以及它们之间的互逆关系。 2．学会利用加减法算式中各部分之间的关系求解加减法算式中的未知数。 【学习过程】 一、知识铺垫 1.口算。 350＋230＝ 45＋65＝ 2200＋2500＝ 230＋350＝ 65＋45＝ 2500＋2200＝ 2.350＋330＝ 180＋240＝ 5800＋1200＝ 680－350＝ 420－180＝ 7000－5800＝ 680－330＝ 420－240＝ 7000－1200＝ 二、自主探究 1.理解加减法的意义 例：（1）四年级同学参加植树劳动，一班植树126棵，二班植树143棵，两个班一共植树多 少棵？ 算式：126＋143＝ （棵） （2）四年级两个班一共植树269棵，其中一班植树126棵，二班植树多少棵？ 算式： （3）四年级两个班一共植树269棵，其中 二班植树143棵，一班植树多少棵？ 算式： 说一说：第（1）题为什么要用加法计算？什么叫做加法？ 议一议： （1）第（2）、（3）题为什么用减法计算？ （2）与（1）题相比，（2）题中的两个班一共植树269棵也就是（1）题中的 ， 一 班植树126棵也就是 ，求二班植树多少棵？也就是求 ，用 法计算。 （3）例3与例1比较，是已知什么？求什么？ （4）想一想减法是一种什么样的运算？ （5 三、课堂达标 1.根据3125－567＝2558，直接写出下面两道题的得数。 3125－2558＝ 567＋2558＝ 2.填一填。 126＋（ ）＝321 （ ）－85＝168 （ ）＋276＝728 642－（ ）＝367 3. 4.计算下面各题，并利用加、减法各部分间的关系进行验算。 327＋256＝ 632－368＝ 四、知识拓展。 在一个减法算式里，被减数、减数、差三数之和为120，差和减数相等，差是多少？ 【学习评价】 4.1.2 乘、除法的意义和各部分间的关系 班级 姓名 【学习目标】 1.理解乘除法的意义，理解除法是乘法的逆运算，并会在实际中应用。 2.学会自己总结乘、除法各部分间的关系，并会应用这些关系进行乘、除法的验算。 【学习过程】 一、知识铺垫 说一些乘、除法的算式，同位之间说出得数。 二、自主探究人教版高中数学必修二第1章《空间几何体复习》导学案
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