安徽师范大学考研数学分析题库习题库题集

数学分析思考题集

第一章 函数

思考题：

1．何谓函数，函数关系，函数值？

2．函数y=f(x)与方程y=f(x)在概念上有何区别？ 3．怎样确定函数的定义域？

4．怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？

(1)f(x)=x ，

)2； (2)f(x)=x -1，g(x)=2x 1

x 1

-+；

(3)f(x)= | x | ，

，

(5)f(x)=2x 1,x 1

1,

x 1-≥??

x ；

(6)1,x 1

f (x)x,

1x 11,x 1

-<-??

=-≤≤??>?

，{1

g(x)|1x ||1x |}2

=+--.

5．若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？ 6．下列函数是否是初等函数？说明理由.

(1)f(x)= | x | ； (2)xcosx f (x)(x sin x)=+；

(3)f(x)=x 0

0,

x 0>≤?， (4)f(x)=c,x c

x,

c x c c,x c

-<-??

-≤≤??>?

. 7．设f(u)与u=(x)?能复合为f((x)?)，

(1)若f(u)递增(递减)，(x)?递减，试研究f((x)?)的单调性.

(2)若f(u)为奇(偶)函数，(x)?为偶(奇)函数，试研究f((x)?)的奇偶性. (3)若f(u)为任意函数，(x)?为偶函数，试研究f((x)?)的奇偶性.

(4)若f(u)为有界函数，(x)?为任意函数，试问f((x)?)是否一定是有界函数？ (5)若f(u)为任意函数，(x)?为周期函数，试问f((x)?)是否一定是周期函数？ 8．判断下列命题是否正确，为什么？

(1)若f(x)在]，[βα?(a,b)?上有界，则f(x)在(a, b)上有界.

(2)设f(x)在[a, b]上有定义，且在(,)[a,b]?αβ?上有界，则f(x)在[a, b]上有界. 9．适合下列条件的函数存在吗？为什么？ (1)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的有界函数. (2)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的偶函数. (3)在R=(-∞, + ∞)上严格递减的奇函数.

(4)在(-,)内为偶函数，且在R=(-∞, + ∞)上又为奇函数. (5)在R 上严格递增的周期函数.

10．设f(x)在R 上有定义，且满足f(x)≠0，f(x·y)=f(x)·f(y)，试求f(1990). 11．用肯定语气叙述：在(-∞, + ∞)上 (1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数； (3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数. 12．用肯定语气叙述： (1)f(x)在[a, b]上无下界； (2)f(x)在[a,b)上没有零点；

(3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点.

13．若f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.

14．设f(x)满足关系式2f(x)+ 1k

f ()x x

=(k 为常数)，证明：f(x)为奇函数.

15．设f(x)为(-∞, + ∞)上的奇函数，且在[0,)+∞上严格增，求证：f(x)在(-∞, +∞)上严格增.

16．设0a 1≤≤，函数f(x)及g(x)对任意的12x ,x 分别满足

1212f[ax (1a)x ]af (x )(1a)f (x )+-≥+-及 1212g[ax (1a)x ]ag(x )(1a)g(x )+-≤+-

且g(x)为单减函数，试证：

1212g[f (ax (1a)x )]ag[f (x )](1a)g[f (x )]+-≤+-.

17．设f(x)在(-∞, + ∞)上严格增，且恒有f[f(f(x))]=f(x)，试证：必有f(x)=x. 18．若f(x)是在(-∞, + ∞)上单增的偶函数，且f(0)=0，则f(x)≡0. 19．若f(x)满足条件：对x R ?∈有f(x +)=-f(x) (>0)，

证明：f(x)是以为周期的函数. 20．设常数a>0，函数f(x)0≠，且f(x + a)=1

f (x)

，x R ∈，试证：f(x)是以2a 为周期的周期函数.

21．若y=f(x)(x R ∈)的图形关于两直线x=a 与x=b(a

2为周期的函数，

且12

n

m

=

(m, n 为互质的正整数)，证明：

F(x)=f(x)+ g(x)， G(x)=f(x)·g(x)，

是以=m

1=n

2为周期的函数.

23．证明：若f(x)是以T 为周期的周期函数，则f(ax)(a>0)是以T

a

为周期的周期函数. 24．函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？ 25．选择填空：

(1)奇、偶函数的定义域一定是________.

(A)R (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A 、B 、C 都不对 (2)函数f(x)=cosx |x sin x |e ,x (,)∈-∞+∞是________. (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数 D(x)=1,x 0,x ???

为有理数为无理数是________.

(A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数

(E)有界周期偶函数

(4)若f(x)为奇函数，则下列________款中的函数也是奇函数. (A)f(x)+ a (a 0≠，为常数) (B)f[f(x)] (C))f(-x)+ a (a 0≠，为常数) (D)f(x)+ f(-x)

(5)设f(x)2

22x ,|x |12x ,|x |1

?-≤??+>??，)x (?=2,|x |1

0,|x |1≤??>? ， 则复合函数f[(x)]?由_____________款表示. (A)f[(x)?]=2,|x |1

2,

|x |1-≤??

>? (B)f[(x)?]=6,

|x |12,|x |1

≤??>?

(C)f[(x)?]=22x ,|x |12,|x |1?+≤?>? (D)f[(x)?]=2

2

2x ,|x |1

2x ,|x |1?+≤??->??

(6)函数y=x

x 221

+的反函数是____________.

(A)22log x

y log (1x)

=

- (B)22y log x log (1x)=--

(C)2x y log 1x =- (D)x y lg 1x

=- 补充题

1．

|a |对吗？

(2)如果在 | x | >b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？ (3)试用 | a + b |，| a -b | 表示Max{a, b}，Min{a, b}. 2．证明下列不等式： (1)n!>2n (n>3) (2)2n >n 2 (n 5≥) (3)n n ≤(n!)2 (n 3≥)

(4)13

2n 1242n -?<

(5)n!

n 12+??

???

(n>1)

(6)若x>-1，则(1 + x)n ≥(1 + nx)(n N ∈) (这个不等式称为Bernoulli 不等式) (7)设i a 0> (i=1, 2,

,n)且12

a a ?a n =1，则a 1 + a 2 + … + a n ≥n.

(8)设a i >0(i=1, 2, …, n)，则

12n

a a a n

+?， 12

n

n

a 111a a a ≤

+++.

(9)12n 12n |x x x x ||x |(|x ||x ||x |+++

+≥-+++)

(10)设a 1, a 2, …, a n ； b 1, b 2, …, b n 为两组实数，则

2

n n n 22i i i i i 1i 1i 1a b a b ===??????≤ ? ? ???????

∑∑∑ 3．解下列不等式

(1)| 2x + 4 | >10； (2)| x(x -1)| <0.1； (3)| x -5 | < | x + 1 | ； (4)| x + 1 | - | x -1|<1； (5)| x + 2 | + | x -2 |12≤; (6)| x + 2 | - | x | >1；

(7) 2<

1

|x 2|

+<3. 4．设f(x)=arctgx ，g(x)=tgx ，求f[g(x)与g[f (x)]. 5．设0,x 0

f (x)x,x 0≤?=?>?，2

0,x 0g(x)x ,

x 0

≤?=?->?，求f [g(x)]; g[f(x)]; f[f(x)]; g[g(x)].

6．设x ln(1x),0x 2

f (x)2,

2x 46x,4x 6

+≤

=≤≤??-<≤?，求f(1), f(2), f(π), f(4.5). 7．验证：

1

Max{f (x),g(x)}[f (x)g(x)|f (x)g(x)|]2=++-

Min |])x (g )x (f |)x (g )x (f [2

1

)}x (g ),x (f {--+=

8．设f(x), g(x)在(a, b)上单增，求证：

(1)Max{f(x), g(x)} (2)min{f(x), g(x)} 也在(a, b)上单增.

9．设f(x)在(0,)+∞上有定义，x 1>0, x 2>0，求证：

若

f (x)

x

单增，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2). 10．一半径为a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为θ)围成一个无底圆锥，试建立圆锥容积V 与中心角θ之间的函数关系.

11．证明：函数f(x)=a x (a>0, a ≠1)，对一切实数x 1≠x 2恒有

1212x x 1

f (

)[f (x )f (x )]22

+<+. 12．设x x

ae be f (x)a b

-+=+ (a b ≠-)，证明：

f(2x)-f(-2x)=f 2(x)-f 2(-x).

13．设f(x)=1x

lg

1x

-+，试证： y z

f (y)f (z)f (

)1yz

++=+. 14．设f(x)=

x 32x 1+-，解方程12

f ()f ()x 13=-. 15．(1)设f(x+

1x )=221

x x

+，求f(x). (2)设x f (sin )1cosx 2=+，求f(cos x

2

).

16．设f(x)为(-∞, +∞)上的奇函数，f(1)=a ，且对任意x 值均有：f(x+2)-f(x)=f(2)

(1)试用a 表示f(2)与f(5)；

(2)问a 取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数？ 17．研究下列函数有界性 (1)f(x)=

2

x

1x

+； (2)f(x)=x 2分别在(a, b)及(-∞, +∞)上；

(3)f(x)=x 2

+； (4)f(x)=

21

x x 1

++.

18．在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为： 双曲正弦 x x e e shx 2--=

双曲余弦 x x

e e chx 2-+=

双曲正切 x x

x x shx e e thx chx e e ---==

+ 双曲余切 x x

x x

chx e e cthx shx e e --+==

- 试证：

(1)22ch x sh x 1-=

(2)sh(x y)shxchy chxshy +=+ (3)22ch2x ch x sh x =+， s h 2x 2s h x c h

= (4)

22

1

1th x ch x

=-

(5)1sh x ln(x -= (-∞

)

1ch x ln(x -= (x 1)≥

北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，

数学分析试题库--证明题

数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.

数学分析考题2

《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )

数学分析试题库--选择题

数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.

浙江大学数学分析考研试题

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16

数学分析报告考研试题

高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?????+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有) 0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）. （2）已知曲线b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可. 【详解】 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =. ])1[(21 02101 2a dx x x a dy dx a x x =-+=??? + 【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 . （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1+=，

数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)2 1(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B.23 C. 32- D. 23 - 3．?=dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．???????>+=<=0 ) 1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义

五、计算题 1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5 311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x

数学分析考研试题 (1)

南京理工大学2005年数学分析试题 一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim =∞→n n n a 。 二、（15分）求积分 ??∑?ds n F ??其中），，＝（x y yz x y F ?，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋， ＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且） （0f ''存在，f （0）＝0， 定义?????≠'0 x x f x 10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。 四、（15分）证明 级数 ∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在） ，＋（∞0上无穷次可微。 五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>?ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈ ?。 六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期 函数，且2222x u t u ????＝，证明?????E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。 七、（15分）设f 为〕 ，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4 1π＋。 八、（15分）设∑∞1n n n x a ＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足 0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞ →j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ??上的二元连续映射，定义 {}〕 ，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。 十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。

数学分析各校考研试题与答案

2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?

2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案

2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学

2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 0,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? - =?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2)(lim )(lim )() (lim )('lim 20 0020 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x =-=-=?? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ? ?--+--= 1 1 11 )(2)(2])1[(])1[(!!21 )()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2 ) (2 ])1[(])1[(] )1[(])1[(=

数学分析III复习题

数学分析III 复习题 一、填空题 1.设函数?? ???=+≠++=,0,,0,0,),(22222 2y x y x y x xy y x f 则当00→→y x 及时),(y x f 的重 极限为 ，两个累次极限分别为 和 ． 2． ()() = -+++→11lim 2 2 2 20,0,y x y x y x ． 3． ()() ()= ++→220,0,1 sin lim y x y x y x ． 4. 设()y x e z x +=sin 则=dz ． 5．设 ()????? =+≠++=0,00,1sin ,22222 2y x y x y x xy y x f 则()=0,0df 6. 设3 2),,(yz xy z y x f +=，)1,1,2(0-P 则=)(0P gradf ． 7．设2 ),,(y xz z y x f +=，则 f 在点)1,1,1(0p 沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数 为 ． 8．曲面 x y z arctan =在点??? ??4,1,1π处的切平面方程 法线方程 9．方程02=+--z xy e z e 确定的隐函数的偏导数x z ??= ，=??y z 10. 函数()y x y x f =,在点()4,1处3阶泰勒公式中()2 1-x 项的系数为 ． 11．设,tan ,sin 3,2 3x v x u v u z ==+=则=dz 12．设()0,=--bz y az x ?，则= ??+??y z b x z a 13．()x F = ? +2 )()3(x dy y f y x 则()='x F 14．() ?+→3 020lim dx e x x ααα= 15．() ?+→1 20cos lim xdx x ααα= . 16． ()? ? 2 ln 0 ,e x dy y x f dx 交换积分次序得 17．π=??? ??Γ21，则=??? ??Γ27 = ??? ??+Γn 2 3

北京大学数学分析考研试题及解答复习进程

北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02

第二章 数列极限 习题 §1数列极限概念 1、设n a =n n )1(1-+，n=1，2，…，a=0。 （1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001； （2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明： （1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2 3 12322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !； （4）∞ →n lim sin n π=0；（5）∞→n lim n a n =0（a >0）。 3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞ →n lim n 1；（2）∞ →n lim n 3； （3）∞ →n lim 31n ；（4）∞→n lim n 3 1 ； （5）∞ →n lim n 2 1；（6）∞ →n lim n 10； （7）∞→n lim n 2 1。 4、证明：若∞ →n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞ →n lim k n a += a 。 5、试用定义1'证明： （1）数列{ n 1 }不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{n n )1(1-+}的极限是1。 7、证明：若∞ →n lim n a = a ，则∞ →n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立？ 8、按ε—N 定义证明： （1）∞ →n lim )1(n n -+=0； （2）∞ →n lim 3 321n n ++++ =0；

2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)

北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页

数学分析试题及答案解析

2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不

相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答

浙江大学2000年数学分析考研试题及解答 一、（1）求极限()1 1lim t t t e t →+-； 解 ()1 1 1 ln(1) ln(1)1 11 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e e t t t ++-→→→+---== 1 ln(1)1 ln(1)1 1lim ln(1) 1 t t t t e t e t t t +-→+--=+- 2 00 ln(1) 1 1 1 ln(1)1lim lim lim lim 22(1) 2 t t t t t t t t e t t e e e e t t t t t →→→→+--+--+=====- +； 或()1 ln(1) 1 1 ln(1) 2 1ln(1) ( ) 1(1) lim lim lim 1 t t t t t t t t t e t e e e t t t t t ++→→→+- +--+== 2 ln(1)1lim t t t t e t →-++=2 1 1 (1) 1lim 2t t t e t →- ++=2 lim 2(1) 2 t t e e t t →-==- +。 （2）设01,x a x b ==，211()2 n n n x x x --= -，求 n n x lim ∞ →. 解 由条件，得 12111211()()2 2 n n n n n n n x x x x x x x ------+=-+= +， 反复使用此结果 11 11011()()()()22 n n n n x x x x b a ---+=+=+， ,2,1=n ； 于是 21212221100()()()n n n n n x x x x x x x x ++-=+-++++- 221 11()()()()()22 n n a b a b a b a -=++-++++- 21 11() 222 () ()13 3 1() 2 n b a a b a a b a +-- -=+-→+-= -- ，)(∞→n ； 22212122100()()()n n n n n x x x x x x x x ---=+-++-++

(最新整理)上海交通大学年数学分析考研试题

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上海交通大学2005年数学分析考研试题 一、 设函数)(x f 定义在R 上,满足R x ∈?，有2 )1()(2x x f x f -=-+,试求)(x f 的表达式； 二、 设}{n x 是收敛数列，}sup{},inf{n n x x ==βα,证明βα,中至少有一个属于}{n x 。 三、 设a>0,c 〉0，数列}{n a 定义如下： 2,1),(),(211211=+=+=+n a a a a n a c n n a c ，证明数列}{n a 收敛，并求其极限； 四、 设.0)0(,0,sin )(01=≠=?f x dt x f x t ，试求)0('f ； 五、 设)(x f 在),1[+∞上可导,1)1(=f ,且满足)(1)('22x f x x f += ，试证:A x f x =+∞→)(lim 存在，且41π +

数学分析试题库

数学分析题库 一． 选择题 １． 函数7 12arcsin 162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２． 函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３． 点0=x 是函数x e y 1=的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４． 当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５． x x x x 2)1 (lim -∞→的值（ ）． （A ）e; (B)e 1; (C)2e ; (D)0. ６． 函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）． （A ）0 0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→)()(lim 0 ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim 0 ; (D)()()x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000. ７． 若()()2 102lim 0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C)21; (D)4 1,

８． 过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９． 若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3. 11．函数()x f y =由参数方程?????==-t t e y e x 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）t e 253; (B)t e 53; (C) t e --5 3 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =?是),(b a 上的（ ） （A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数; （C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数. 13 ．()n = （A ） 21 ; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x →=（ ） （A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ）