直线与椭圆的综合应用
椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用
考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系
例1 椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，
|PF 1|＝43，|PF 2|＝143
.
(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．
【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.
在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，
故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2
＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2
4
＝1.
（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22
194
x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。由于该直线与椭圆无公共点，所以，
()()2
2724108940k k ?=-??+<，解之得，k <<
所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．
已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，
所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.
因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k
4＋9k 2
＝－2，
解得k ＝8
9
，此时，0?>。
所以直线l 的方程为y ＝8
9(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。
解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 21
4＝1① x 229＋y 22
4＝1② ①－②得
()()()()121212120
9
4
x x x x y y y y -+-++=.③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89
，即k ＝8
9。
由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝8
9
符合题意。
所以直线l 的方程为y －1＝8
9
(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.
总结反思：
①处理直线与椭圆位置关系方法通常采用代数法，利用直线方程与椭圆方程联立得到的一元二次方程的判别式确定位置关系；
②处理直线与椭圆相交弦的中点问题通常有两种方法：韦达定理及点差法。其中点差法通常解决与中点弦（弦中点）有关的问题。
③在利用韦达定理处理与直线、椭圆相交的有关问题时，需保证判别式为正数；在利用点差法解决与中点弦（弦中点）有关的问题时可以通过弦中点是否在椭圆内部判定所求结果是否满足题意。
变式1(2011·陕西高考)设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16
b
2＝1，∴b ＝4，
由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，
即1－16a 2＝9
25
，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)方法一：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝4
5
(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 2
25＋x －3225
＝1，即x 2－3x －8
＝0，解得
x 1＝3－412，x 2＝3＋412
，
∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝2
5(x 1＋x 2－6)＝－65
，
即中点坐标为(32，－6
5
)．
方法二：设过点(3,0)且斜率为4
5
的直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的
中点为()00,M x y ，则120
12022x x x y y y +=??+=?。
由点A 、B 在椭圆上可得，22
1122
2212516
12516
x y x y ?+=????+=??，
两式相减，
()()()()121212120
25
16
x x x x y y y y +-+-+=，
所以，
()()0120122202516
x x x y y y --+=，
从而
012
120
1625x y y x x y -=--。
另一方面，
12124
5
y y x x -=-，
所以，00164255x y -
=，即004
5
y x =-，① 又因为点()00,M x y 在过点()3,0，斜率为45的直线：()4
35
y x =-上， 故()004
35
y x =
-，② 联立①②，可解得，00326
5x y ?=????=-??
，即36,25M ??
- ???。
所以，过点()3,0，斜率为
45的直线被椭圆C 截得线段的中点坐标为36,25??
- ???
。 考点二 如何求解与椭圆相关的最值问题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与
y 轴交于A 、B 两点，直线l ：2
a x c =与
x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，
P 为椭圆上弧AC 上一点。
（1）求证：A 、C 、T 三点共线；
（2）如果3BF FC =，四边形APCB
的面积最大值为2
3
，
求此椭圆的方程和点P 的坐标。
解：（1）设椭圆方程为
()22
22
10x y a b a b +=>>，① 则()0,A b ，()0,B b -，2,0a T c ??
???
。
直线AT 的方程为：
21x y a b c
+=-，② 直线BF 的方程为：
1x y c b
+=-，③ 联立②③，可得点C 的坐标为2322222,a c b a c a c ??
?++??，代入①得，
()()
2
2
2322222222222222241a c b a c a c a c a c a b a c ????
? ?+-++????+=
=+， 满足①式，则点C 在椭圆上，A 、C 、T 三点共线。
（2）据题意可得，(),0F c ，(),BF c b =，2332222,a c c b FC a c a c ??
-= ?++??。
因为3BF FC =，所以23223
2233a c c c a c b b a c ?-=??+??=?+?
，化简得，22
2a c =，22b c =。
则()0,A c ，()0,B c -，4,33c c C ??
???，椭圆方程为222212x y c c +=，即22222x y c +=。
故3AC c =，2
1442233
ABC c c S c ?=??=。 设点()00,P x y ，则222
0022x y c +=。
直线AC 的方程为：220x y c +-=，
所以，点P 到直线AC
的距离d =
，结合点P 在直线AC
的上方，可知
d =
，
从而0022112233APC x y c S d AC c ?+-=
?==?。 下面只需求出002x y +的最大值。 思考：如何求二元函数的最值？
方法一：（三角代换）设0cos x θ=?，0sin y c θ=?。
所以002cos 2sin x y c θθθθ?+=
?+?=?+????
，
令sin 3?=
，cos 3
?=，?为锐角。
故()()002sin cos cos sin sin x y ?θ?θ?θ+?+=?+。
当2
π
?θ+=
，cos cos sin 2πθ????=-==
???sin sin cos 2πθ????
=-== ???
时，
002x y +。
即当003
x y c ==
时，002x y +。
显然，此时点P 的坐标为,33c c ??
? ???
，在椭圆弧AC 上，符合题意。
则()2max 2233
APC c S c c ?-=
?=。
所以，四边形APCB 22243c +==，故2
1c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2
212x y +=，点P 的坐标为??
。 方法二：（基本不等式）
因为()2
22
0000002422x y x y x y +=++?，结合不等式：2200002x y x y ≤+，
可知()()()
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
000000000000242242326x y x y x y x y x y x y c +=++?≤+++=+=，
故002x y +≤，
当且仅当00
222
0022x y x y c
=???+=??，即00x y ==时，002x y +。
则()2
max APC S c ?=
=。
所以，四边形APCB
的面积最大值为
22224223333
c c c +==，故2
1c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为
22
12x y +=，点P
的坐标为33?? ? ???
。 方法三：（线性目标函数） 令002x y t +=，即001122
y x t =-
+，代入椭圆22
20
022x y c +=， 可得 ()2
2
2002220t y y c -+-=，即2220
06420y ty t c -+-=。 据题意可得，()(
)2
2
2
42420t t c
?=---≥
，解之得t ≤
。
当t =
时，代入原方程解得，003
x y ==
。 则(
)2
max 2233
APC c S c c ?-=
?=。 所以，四边形APCB
的面积最大值为
22224223333
c c c +==，故2
1c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为22
12x y +=，点P
的坐标为??
。 反思总结：解决二元函数(),z f x y =最值的常用方法： ① 将二元函数化归为一元函数()(),z f x y g t ==； ② 利用基本不等式；
③ 利用(),z f x y =的几何意义，如距离，斜率，线性目标函数等。
变式2 如图，设A ，B 分别为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右顶点和上顶点，过原点
O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ）
，交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ?和ABD ?的面积分别为1S 与2S ．当点M 在线段AB 上运动时，求
1
2
S S 的最大值．
解：（1）由题意可知， (),0A a ，()0,B b ，则点M 的坐标为,22a b ??
???
。 因为点M 在直线3x y =
上，所以3
a b =。 从而22
9a b =，即222
9
a a c -=，
所以2
8
9
e =
，结合01e <<，
可得3e =。
（2）思路分析：将
1
2
S S 视为目标函数的函数值域 ?
点M 在线段AB 上运动
?
点C 在椭圆E 的第一象限的部分上运动
设点()()0000,0,0C x y x y >>，则2200
221x y a b
+=，点()00,D x y --。
直线AB 的方程为
1x y
a b
+=，即0ax by ab +-=。 所以，点C 到直线AB
的距离为C h =
C 在直线AB
的上方，可得
C h =
=
同理，点D 到直线AB
的距离为D h =
。
所以0012001
212C C
D D
AB h h bx ay ab S S h bx ay ab
AB h ?+-====++? 0021ab
bx ay ab
=-
++。
只需求出00bx ay +的最大值即可。
方法一：设0cos x a θ=，0sin y b θ=。0,
2πθ??
∈ ??
?
。
故00cos sin sin 4bx ay b a a b πθθθ?
?+=?+?=
+ ??
?。
所以，当4
π
θ=
时，点C
的坐标为,22a ??
? ??
?，00bx ay +
。 所以，12max
S S ??= ?
??()00max 21ab
bx ay ab -+
+13==-。 方法二：由22
00221x y a b
+=可得，222222
00b x a y a b +=。
故2
222222
0000222bx ay b x a y a b ++??≤
= ???
，
即00bx ay +≤，当且仅当00bx ay =时，取等号。
此时，00222222
00bx ay b x a y a b =???+=??
，即0022
x a y ?
=??
??=
??
。 所以，当点C
的坐标为?
???
?时，00bx ay +
。 所以，12max
S S ??=
?
??()00max 21ab
bx ay ab -+
+13==-。 方法三：设00t bx ay =+，即00b t
y x a a =-+，代入22
00221x y a b +=，整理可得
22
22200220b x bx t a b -+-=。
据题意可得，()222
2
224420b t b
t
a b ?=-?-≥
，解之得，t ≤≤。
所以，(
)00max bx ay +=。
此时，002200
221bx ay x y a b =???+=??
，即002x y ?
=????=
??
。 所以，当点C
的坐标为,22a b ??
? ???
时，0
0bx ay +
。 所以，12max
S S ??=
?
??()00max 21ab
bx ay ab -+
+13==-。
考点三 如何求解椭圆中的定点定值问题
例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>的右焦点为(1 0)F ，，离心
．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．
解：（1）由题意，得1c =
，c e a =，
故a =
从而2221b a c =-=，
所以椭圆的方程为2
212
x y +=。 （2）思路分析：目标：AC BD k k +
?
A 、
B 、
C 、
D 四点的坐标
?
直线AB ，直线CD 分别与椭圆相交
?
直线AB 的斜率，直线CD 的斜率
由OE EF =可知，直线AB 的斜率与直线CD 的斜率互为相反数。设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y kx =，直线CD 的方程为()1y k x =--。 设()00,A x kx ，()00,B x kx --，()()11,1C x k x --，()()
22,1D x k x --
()()10201020102010201111AC BD
k x kx k x kx x x x x k k k x x x x x x x x -----+??--+-+++=+=?+ ?-+-+??
()()()()()()
10202010102011x x x x x x x x k x x x x --+++-++-=?
-+ ()()()
201212
102022x x x x x k x x x x -++-=?
-+。 由2
212x y y kx
?+=???=?得，22222x k x +=，所以22221x k =+，故2
02
221x k =+； 由()22
121x y y k x ?+=???=--?
得，()2222214220k x k x k +-+-=。 故2122421k x x k +=+，21222221
k x x k -?=+。
所以，
()()()()()
22222201212
102010202
422
22222121210AC BD k k x x x x x k k k k k k k x x x x x x x x --?+-?-++-++++=?=?=-+-+。
所以，直线AC ，BD 的斜率之和为定值0．
变式3如图，直线AB 与椭圆Γ：22
221(0)x y a b a b
+=>>交于A 、B 两点，与x 轴和y 轴
分别交于点P 和点Q ，点C 是点A 关于x 轴的对称点，直线BC 与x 轴交于点R 。 （1）若点P 为()6,0，点Q 为()0,3，点A 、B 恰好是线段PQ 的两个三等分点，求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆Γ给定时，试探究OP OR ?是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由。
解：（1）由点A 、B 恰好是线段PQ 的两个三
等分点可知，23PA PQ =
，1
3
PB PQ =。 因为点P 的坐标为()6,0，点Q 的坐标为()0,3， 所以，()6,3PQ =-，()24,23PA PQ =
=-，()1
2,13
PB PQ ==-。 从而点A 的坐标为()2,2，点B 的坐标为()4,1。
将点A 、B 的坐标代入椭圆方程得222244
11611a b a b ?+=????+=??，解得22
205a b ?=?
?=??。
所以，椭圆Γ的标准方程为
221205
x y +=。 （2）思路分析：探求OP OR ?的值
?
求点P 、R 的坐标
?
点A 、B 、C 的坐标
?
点A 、B 的坐标
设()11,A x y ，()22,B x y ，则点C 的坐标为()11,x y -，且2211221x y a b +=，22
22
221x y a b
+=。
直线AB 的方程为：()21
1121
y y y y x x x x --=
--；
令0y =，得()121122112121
y x x x y x y
x x y y y y ---=
+=--，故122121x y x y OP y y -=-。
直线BC 的方程为：()21
1121
y y y y x x x x ++=
--；
令0y =，得()121122112121
y x x x y x y
x x y y y y -+=+=++，故122121x y x y OR y y +=+。
所以，2222
122112211221
22
212121
x y x y x y x y x y x y OP OR y y y y y y -+-?=?=-+-，
由2211221x y a b +=，22
22221x y a b +=可得，2221121y x a b ??=?- ???，2222221y x a b ??=?- ???
，代入上式，
故22
2
2221221222222
212212222
2121
11y y a y a y b b x y x y OP OR a y y y y ?????--?- ? ?-?????===--。 所以，当椭圆Γ给定时，OP OR ?是定值2
a 。
变式4（2007·山东高考改编）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的
点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． ⑴求椭圆C 的标准方程；
⑵设椭圆C 的右顶点为M ，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 都不是顶点），且以AB 为直径的圆过点M ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
解：（1）设椭圆C 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>。
根据椭圆的性质可知，3
1a c a c +=??-=?
，解之得，21a c =??=?。
故2
2
2
3b a c =-=。
所以，椭圆C 的标准方程为22
143
x y += （2）思路分析：直线l 过定点
?
直线l 的方程
?
点A ，B 的坐标
?
点A ，B 分别是直线MA ，MB 与椭圆的交点 据题意可得，()2,0M ，MA MB ⊥。
设直线MA 的方程为()()20y k x k =-≠，则直线MB 的方程为()1
2y x k
=-
-。 由()22214
3y k x x y ?=-??+=??，整理得，()2222431616120k x k x k +-+-=。
则221612243A k x k -?=+，即228643A k x k -=+，故()222
8612224343A A k k
y k x k k k ??-=-=?-=- ?++??。 所以，点A 的坐标为2228612,4343k k k k ??
-- ?++??
。
用1
k -代替k ，可得点B 的坐标为2228612,3434k k k k ??- ?++??
。
方法一：直接求直线l 的方程
从而，直线l 的斜率为()22222221212734438686413443
k k
k k k k k k k k +++=----
++，
故直线l 的方程为()222212786434341k k k y x k k k ??-+=- ?++-??，整理得，()272741k y x k ??
=- ?-?
?。 所以，直线l 恒过定点2,07?? ???
。
方法二：先定定点，再证明
根据图形的对称性，若直线l 恒过定点，则该定点必定在x 轴上。 对于点A 、B 的坐标，令1k =，则212,7
7A ??-
???，212,77B ??
???，此时直线l 的方程为27x =，
其与x 轴相交于点2,07T ??
???
。 下面证明：对任意0k ≠，A 、B 、T 三点共线，即证明AT BT k k =。
因为()22221274386241437AT
k k k k k k k -
+==----+；()22221273486241347BT
k k k k k k k +==----+， 所以AT BT k k =。
即对任意0k ≠，A 、B 、T 三点共线， 所以，直线l 恒过定点2,07T ??
???
。 总结反思：
①探求定值时，根据探求目标，确定合理的参变量，表达出探求目标；
②探求动直线过定点时，仔细分析题设条件，选择合理的参变量，表达出直线方程或与直线方程紧密联系的点的坐标，从而得出定点坐标。
椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
圆与椭圆综合题
1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 3 ，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :021422 2 =--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . （1）求椭圆G 的方程；（2）求21F F A k ?的面积； （3）问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由. 2.已知椭圆2 2 21(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作 P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ． (1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率； （2）若P 的圆心在直线 0x y +=上，求椭圆的方程． 3.在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于 坐标原点O ．椭圆22 219 x y a + =与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． " (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，已知圆C ：2 2 2x y +=与x 轴交于A 1、 A 2两点，椭圆E 以线段A 1A 2为长轴，离心 率2 e = ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）设椭圆E 的左焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ，判断直线PQ 与圆C 并给出证明．
5.已知平面直角坐标系中，A 1(—2，0)，A 2(2,0)、A 3(1,3)，△A 1A 2A 3的外接圆为C ；椭圆 C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率.2 2= e （I ）求圆C 及椭圆C 1的方程； （II ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的 垂线交直线22=x 于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明。 6.离心率为4 5 的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10. 以椭圆C 的右焦点)0,(c F 为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足||||PB PT =（B 为椭圆C 的上顶点）。 （Ｉ）求椭圆的方程； （II ）求点P 所在的直线方程l . 。 7.已知椭圆22 2210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为 ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标． 8.. 如图，已知椭圆2 22:1(1)+=>x C y a a 的上顶点为A :M 226270+--+=x y x y 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,?=AP AQ 求证：直线l 过定点，并求出该定点N : 第21题图
椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)
椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． － 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=?PF PF , ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1) 5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝1 7.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若 ＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －10 8. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ＋5y ＝0 C ．5x ±4y ＝0 D ．4x ±3y ＝0 9.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段 10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆(教师版) 知识与归纳： 1..点与椭圆的位置关系 点P (x 0，y 0)在椭圆122 22=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ； 在椭圆上的充要条件是122 220=+b y a x . 2.直线与椭圆的位置关系. 设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：122 22=+b y a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二 次方程，此一元二次方程的判别式为Δ， 则l 与C 相离的?Δ<0； l 与C 相切?Δ=0； l 与C 相交于不同两点?Δ>0. 3.弦长计算 计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2， y 2)?|P 1P 2|=2 21221)()(y y x x -+- 212 212 1 11y y k x x k -+ =-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系 （推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111 ()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k = -+-=-+-=+-2 121221(1)[()4]y y y y k =+ +-) 一，直线与椭圆的位置关系 例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系 解：由?? ???=++=14163 2 2y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162 -=?∴k （1）当45450)516(162 -<>>-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相交
椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
椭圆的几何性质及综合问题汇总
椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ=
椭圆综合练习2(含答案)
椭圆综合练习2 一、选择题 1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ． 2 3 B ．3 C ． 2 7 D ．4 3. 过椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦 点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ） A ． 22 B ．33 C ．12 D ．13 4. 椭圆141622=+y x 有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为4 1-,则2 2OQ OP + 为（ ） A .4 B.64 C.20 D.不确定 5.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2 (222+=+为椭圆的半焦距),有四个不 同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A .)53,55( B.)55,52( C.)53,52( D.)5 5,0( 6. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2,1( D ]2,1( 二、填空题： 7. 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是____________________.
直线与椭圆的位置关系Word版
《直线与椭圆的位置关系》的教学设计 濮阳市第一高级中学任素巧 【教学目标】 （一）知识目标 1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 2、学会判断直线与椭圆公共点的方法 3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的 关系简化运算 （二）能力目标 1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力 2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力 （三）德育目标 1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点 2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法 【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题 【教学难点】学生解题综合能力的培养 【教学过程】 一、复习引入 回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d
提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？
(2015-2017)三年高考真题精编解析一专题17-椭圆及其综合应用
1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 3 B ． 53 C ． 23 D ． 59 【答案】B 【分析】 试题分析：945 33 e -= = ，选B ． 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且 以线段A 1A 2 为直径的圆和直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C 2 D ． 13 【答案】A 【分析】 试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为 222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：2 2 d a a b ==+， 整理可得2 2 3a b =，即() 222223,23a a c a c =-=， 从而22 223 c e a ==，椭圆的离心率26 3c e a ===， 故选A .
【考点】椭圆的离心率的求解；直线和圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ c a ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)和双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
椭圆和双曲线综合
椭圆和双曲线综合练习卷 1. 设椭圆122 22=+n y m x ， 双曲线122 22=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B m n m e 2 21-= ， m n m e 2 22+= ，所以1144 2 4421<-=-=m n m n m e e ，故选B. 2. 已知双曲线:C 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂 线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ） A ． D 【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x a a y x c b ?=-????=+??，得 2 a x c ab y c ?=-??? ?=?? ，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以 2222222 (23)91c a a a c c --=，化简得22 413c a = ，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆2 2 2 b y x =+与双曲线122 22=-b y a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围 是（ ） A ．),2[+∞ B ．]2,1( C ．)3,1( D ．)2,2( 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即 1≥a b 时，圆222b y x =+与双曲线
一道直线与椭圆综合问题研究
一道直线与椭圆综合问题研究 已知椭圆C 的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>，椭圆上的点到两焦点的距离之和为6，以坐标原点为圆心，b 为半径的圆和直线0x y +=相切。 （1）求椭圆的离心率； （2）若直线l 和椭圆C 交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，求A M N ?面积的最大值。 解：（1）263a a =?= ，由相切，得1b ==， 所以3e === （2）由（1），椭圆方程为2 219 x y +=， 当直线斜率为0时，设为y m =，将y m =代入2 219 x y += ，得x =± 所以221(1)3233222m m S x m +-=??==?=。 当直线斜率不为0时， 设:l x ty λ=+，1122(,),(,)M x y N x y ，由2219 x ty x y λ=+???+=??得222(9)290t y t y λλ+++-=， 由0?>得，229t λ<+， 所以212122229,99 t y y y y t t λλ--+==++，1212()2x x t y y λ+=++， 2212121212()()()x x ty ty t y y t y y λλλλ=++=+++。 因为以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，所以0AM AN ?=u u u r u u u r ， 所以1122(3,)(3,)0x y x y -?-=，所以1212123()90x x x x y y -+++=， 所以22 1212(1)(3)()690t y y t y y λλλ++-++-+=， 所以222222(1)(9)2(3)69099 t t t t λλλλλ+---+-+=++，
椭圆综合专题整理(供参考)
椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
椭圆综合测试题(含答案)
椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） A.3 B.2 C.3 D.6 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP u u u r u u u r g 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段
直线与椭圆的综合应用
椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用 考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系 例1 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2， |PF 1|＝43，|PF 2|＝143 . (1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程． 【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3. 在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25， 故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2 ＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2 4 ＝1. （2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22 194 x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。由于该直线与椭圆无公共点，所以， ()()2 2724108940k k ?=-??+<，解之得，k << 所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5， 所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0. 因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2 ＝－2， 解得k ＝8 9 ，此时，0?>。 所以直线l 的方程为y ＝8 9(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。 解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1) 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 21 4＝1① x 229＋y 22 4＝1② ①－②得 ()()()()121212120 9 4 x x x x y y y y -+-++=.③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89 ，即k ＝8 9。 由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝8 9 符合题意。
椭圆综合题
椭圆习题课 1 已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_____________ 2 如图直线y ＝kx ＋b 与椭圆 2 2 14 x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．
3 设椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点， 212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为 113 O F ． （Ⅰ）证明a =； （Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．
4 求F 1、F 2分别是椭圆 2 2 14 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，2 2 1254 P F P F +=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
15 我们把由半椭圆 12 22 2=+ b y a x (0)x ≥与半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤合成 的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ， y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点． （1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （2）设P 是“果圆”的半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时， P 在点12B B ，或1A 处； （3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．
椭圆方程及性质的应用
椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程.
2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.
直线与椭圆经典例题
【直线与椭圆】典例精讲 已知直线:1l y kx =+与椭圆2 2 :14y C x +=相交于两点,A B . （1）若AB 的中点的横坐标等于 14，求k 的值； （2）若AB 的中点在直线14x = 上，求k 的值； （3）若AB 的中点在直线12y = 上，求k 的值； （4）若AB 的中点的横坐标大于 15 ，求k 的取值范围；
（5）求AB 的中点横坐标的取值范围； （6）求A B x x 的取值范围； （7）若AB 的中点在圆2212 x y +=上，求k 的值； （8）若AB 的中点与短轴右顶点的连线斜率为1-，求k 的值；
（9）若0OA OB =,求k 的值； （10）设点(2,0)N ,若0NA NB =，求k 的值； （11）设点(2,0)N ,若ABN 为直角三角形，是否与（13）同解，为什么？
（12）设1(,0)2 P ，若PA PB =,求k 的值； （13）设过AB 的中点且与l 垂直的直线为m ，求直线m 与x 轴交点横坐标的取值范围； （14）设直线l 与y 轴交于点M ，若2AM MB =,求k 的值；
（15）若AB 求k的值； （16）求OAB面积的最大值及此时k的值；
1. 如图，,A B 是椭圆2 2:13 x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为3 1时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率. 2. 已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围； （Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程. 3. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；（Ⅲ）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程。 x y O A B C D
椭圆综合测试题(含答案)
椭圆测试题 一、选择题： （ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、离心率为 2 3 ，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ） （A ） 2 2 x y 9 5 1 （B ） 2 2 x y 9 5 1 或 2 2 x y 5 9 1 （C ） 2 2 x y 36 20 1 （D ） 2 2 x y 36 20 1 或 2 2 x y 20 36 1 2、动点 P 到两个定点 F （- 4 ，0）、 F 2 （4，0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ） 1 A. 椭圆 B. 线段 F F C. 直线 F 1F 2 D .不能确定 1 2 3、已知椭圆的标准方程 2 y 2 1 x ，则椭圆的焦点坐标为（ ） 10 A. ( 10,0) B. (0, 10) C. (0, 3) D. ( 3,0) 4、已知椭圆 2 2 x y 5 9 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是（ ） A. 2 5 3 B.2 C.3 D.6 5、如果 2 2 x y 2 1 a a 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ( 2, ) B. 2, 1 2, C. ( , 1) (2, ) D.任意实数 R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A. 方程 2 2 0 x xy y 的曲线关于 X 轴对称 B.方程 3 3 0 x y 的曲线关于 Y 轴对称 C.方程 2 2 10 x xy y 的曲线关于原点对称 D.方程 3 3 8 x y 的曲线关于原点对称 7、方程 2 2 x y 2 2 1 （a ＞b ＞0,k ＞0 且 k ≠1)与方程 ka kb 2 2 x y 2 2 1 （a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. a b A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴 .长轴 D. 有相同的顶点 . 8、已知椭圆 2 2 x y C : 1(a b 0) ＞ ＞ 的离心率为 2 2 a b 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k( k ＞0) 的直线与 C 相交于 A 、 B 两点．若 AF 3FB ，则 k ( ) （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
椭圆综合测试题(含答案)
椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） ( A.3 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程22 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段