轴对称问题有限元法分析报告

轴对称问题的有限元

模拟分析

一、摘要：

轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。

轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。分析完成之后用ABAQUS软件建模以及分析得出结果。

关键字：有限元法轴对称问题ABAQUS软件

二、前言:

1、有限元法领域介绍：

有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的

数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。

由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。

2、研究报告目的:

我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为

圆柱体毛坯直径d=50mm，高度l=60mm；凸模直径D1=70mm；凹模直径D2=80mm；凸模从接触圆柱体上表面开始向下运动10mm；模具与板材之间的摩擦系数为0.1。确定圆柱体变形后，凸模所受的反

作用力大小.

3、研究报告的预期结果：

用abaqus建模，通过后期处理计算出应力大小。

4、项目组分工：

王瀚墨：项目报告的编写。

闫括：力学分析及有限元原理。

顺博：有限元模型的建立及后处理。

郝永勇：项目ppt制作、项目汇报。

三、研究报告正文:

（1）问题的力学特征、有限元求解原理：

1）力学特征：

此问题的几何形状、约束条件以及作用的载荷都对

称于某一对称轴，在这种条件下的位移、应变和应力都

对称于某一对称轴。和平面问题三结点三角形平面单元

不同，所采用的是三结点三角形环状的实体单元，研究的是圆柱问题采用柱坐标系在等效载荷的计算中采用近似积分方式是相当简单也是相当有效的，并且此轴对

称问题的刚体位移为轴向移动。对其进行适当的应力应

变分析。

2）有限元求解原理： 轴对称问题的应力应变特点 特点：应力，应变，位移 都是轴对称

数学表述：变量与角度无关

位移分量： 应变分量： 应力分量：

0, 0, /r z r z u r

θθθθθττγγε====={}{}

T

q u w ={}{}

T

r z rz θεεεεγ={}{}

T

r z rz θσσσστ={}{}

{}[]{}

[]()() 101010112120002T

r

z rz T

u u

w

w u r r

z

r z D E D θ

εεεεγσεμ

μμμμμμμμμμμ=??????

=+????????

=-????-??=??

-+-??-??????

几何关系: 物理方程：

通常采用柱坐标系（r，m，z ），

并以 z 轴为对称轴。结构

中的位移、应变和应力与角度 m 无关。 可以取出结构的任一子午面进行分析，从而将三维问题转化为二维问题

径向变形将引起周向应变，即

轴对称结构的几何模型是一个表示子午面形状的平面图形，与平面问题相比，轴对称问题的应力与应变分量各多一个。

一、结构离散

本身是一个三维结构，由于形状和载荷的特殊

性，其网格划分仅在任一子午面上进行，为平面网格。

==θθττz r 0==θθυυz r r

u r r u r =-+=πππεθ22)(2

几何模型：一个表示子午面形状的平面图形，用相应的轴对称实体单元划分。 二、单元分析

1.位移函数

其中，Ni 是形函数，其表达式

()

()()

121212i i i i j j j j m m m m N a b r c z A N a b r c z A

N a b r c z A

=++=++=++

2.单元应变

选择线性位移函数，将节点i,j,m 的坐标值和位移值带入

由此可见，周向应变分量 随 而改变，不是常量。 []0000

i j m i

i

i N N N N N N N ??=???

?

001(,,)

02l l l l l

l b f B l i j m c A c b ??

????=

=???

???

(,,)l l l l a b r c z f l i j m r

++==θ

εz

r ,{}

[]{}T

e

u

u w w u B q r

r z

r z ε??????=

+=????????

3、单元应力

选择线性位移函数，将节点i,j,m 的坐标值和位移值带入

三、单元刚度矩阵

用虚位移原理来推导三角形环单元的单元刚度矩阵。单元等效节点力所作虚功等于三角环单元中的应力所作

的虚功。

单元虚应变为： {}[]{}[][]{}[]{}

e e D D B q S q σε===()()()()1112212112l l l l l l l l l l l l l

l b A f A c A b f A c E S A b f c A A c A b μμμ+??

??+-??=

??++-?

???

[]{}{}

e

e

B q δεδ={}{}{}{}eT e T e

q F rdrd dz

δδεσθ=???

考虑到虚位移的任意性，将两边的 同时

消去，

把单元中随位置变化而不断变化的r 和z 用单元截面的

形心坐标来近似，

{}eT

q δ{}[]{}2[][][]{}[][]e T

e

T e

e

e e

F B rdrd dz

B D B rdrdz q k q σθπ===?????[][][]()()()123412[]2112e

T

s k k E r k r B D B A k k A πμπμμ-??

==??

+-??

[]

[][]2[]ii ij im e

T

ji

jj jm mi mj

mm k k k k r B D B A k k k k k k π????==?????

?

()

1,,l l l l a b r c z f f l i j m r

++≈=

=()

1212121A A μ

μ

μ

μ-=

=

--

四、总刚集成

求出每个三角形环单元的刚度矩阵后，即可按照第二章介绍的总体刚度矩阵的集成方法，得出结构的总刚矩阵。

五、等效节点载荷的计算

计算轴对称问题的等效节点载荷与平面问题有所不同，因为轴对称结构的子午面上的一个节点是一个关

2.表面力的移置

{}

[]{}()[]{}

c T

z r c c c T

e P P N r d r P N R c

c

c

,20

2πθπ

==?

O

z

r

单元的jm 边作用有均布载荷Ps ，其方向以压向单元边界为正。

由等效节点载荷与原载荷在虚位移上作的虚功应相等，同时，虚位移的任意性，

3.体积力的移置

{}

rds l r r q l z z q N R im m

i im i m T i e

P is

???

????????

???--=?π2

重力

（1）单元体积力列阵为

由重心公式可推导最后得

{}[]

{}[]000000

0000101013

v

T

e

v P

e

T

i

j m c i j

m e T

c i

j

m e

T

c R N p rdrdz N N N r drdz N N N v r v

N N N drdz Ar v ==

????

=?

???-??

?

???-=

??-??????{}{}()

{}

22

2

2

1010103

10101027

v

e

T c P i

j

m T

A R r A r r

r ρωρω

==++

六、约束处理和求解线性方程组

对矩阵[K]、 [R]按第二章介绍的方法进行约束处理后，就可以求解结构的刚度方程

式中， 为经过约束处理的总刚度矩阵； 为经过约束处理的载荷矩阵。

求出节点位移分量 后，可求出单元各点的位移、应变和应力。

（2）有限元模型的建模过程： 1、绘制子午面、凸模和凹模

子午面在轴对称-壳体下绘制，凸模和凹模在轴对称-解析刚体下绘制

[]{}{}

R q K =[]

K {}

R {}

q

2、赋予材料和截面的选定

在part下选取截面

3、装配

4、设置加载步骤

5、赋予摩擦

美丽的轴对称图形教学设计

美丽的轴对称图形教学设计 Beautiful teaching design of axisymmetric gra phics

美丽的轴对称图形教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科， 从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代 的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要 求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的 设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随 意修改调整及打印。 教学要求： 1、联系生活实际中的具体事物，通过观察和动手操作，初 步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形的基本特征，会识别 并能做出一些简单的轴对称图形。 2、在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体 图形的对称美，激发对数学学习的积极情感。 教学重点：理解轴对称图形的特征。 教学难点：掌握判别对称图形的方法。 教具学具准备：挂图、彩纸、剪刀、钉子板、图片。 教材分析：本单元初步教学对称现象和轴对称图形。学生认 识轴对称图形后，能以新的视角去观察物体，研究图形，体验它 们的对称美。这次安排轴对称图形的教学的要求是：使学生初步 认识生活中的对称现象，初步认识轴对称图形；能用简便的方法 制作轴对称图形。至于轴对称图形的对称轴，仅仅知道就可以了。在“你知道吗”里介绍了自然界里的对称现象以及对称在建筑中

的应用。 第一道例题的编写线索是“由生活中的对称现象引出简单的轴对称图形”，大致分成两段：第一段是观察天安门、飞机、奖杯等物体，发现这些物体的左右两边或上下两边的形状和大小都是相同的，它们都是对称的。并由此联想生活中还有一些物体也具有这种对称特征，即生活中经常能看到对称现象。第二段是把天安门、飞机、奖杯都画下来，从观察物体到研究图形。把这些图形剪下来并对折，发现折痕两边的部分能完全重合，教材告诉学生这些图形都是轴对称图形，让他们初步建立轴对称图形的概念。在形成轴对称图形概念的过程中，学生经历操作、观察、概括等学习活动，教材中的文字叙述是和学生一起进行概括，引导他们正确理解知识，不是把知识灌输给学生。 教学过程： 一、从生活中感知 1、欣赏建筑中的对称美 谈话：同学们，你知道世界上有哪些著名的建筑物吗？老师这里也收集了一些著名建筑物的照片，咱们来欣赏一下，好吗？（图片） 谈话：你觉得这些建筑物怎么样？ 讲述：这些建筑物之所以看起来这样赏心悦目，是因为它们都具有一种对称美。 2、欣赏生活中其他具有对称性的物体

轴对称与轴对称图形概念

轴对称与轴对称图形概念 （1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。 （2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 轴对称的性质 ①轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形。 ②轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等。 ③如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ⑤两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上。 图形的平移定义 （1）平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。 （2）平移的性质： ①对应点的连线平行（或共线）且相等 ②对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外） ③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 （3）用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长。 （4）平移的条件：图形的原来位置、方向、距离 （5）平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线

轴对称图形中心对称图形的定义及性质

轴对称图形、中心对称图形的基本概念 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 轴对称图形的性质 1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。（对于一个图形来说） （2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。（对于两个图形来说） （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 中心对称的定义： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的性质： ①于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等． 只是中心对称图形的有：平行四边形等． 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．

完整word版有限元分析轴对称问题

思考题 5-1 轴对称问题的定义 答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。 5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义 答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r，θ，z。 各位移分量是那几个自变量的函轴对称问题中每个点有几个位移分量？ 5-3 数？的函数，与θ无关。都只是rz答：位移分量u, w, 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。5-4 4答：个应力分量； 5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数 答：4个应变分量 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单5-6

元？作图说明等于零。因此轴对称问题是二维问v答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移平面（子午面）正交的截面r z题；三角形环单元。（三角形轴对称单元，这些圆环单元与是三角形） 写出三角形环单元的位移函数。满足完备性要求吗？5-7 答：满足完备性要求。 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。5-8 三角形环单元的应力和应变的特点。其单元刚度矩阵是几阶的？5-9 个正应力分量均随位置变化；答：应力分量：剪应力为常量，其他3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单应变分量：面内（子五面）3 元中各点的位置有关。单元刚度矩阵为六阶。有限元方法求解对称问题的基本步骤？5-10 结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相1. 连； {F}(e){Φ}(e)[K](e) 2.求出各单元的刚度矩阵：[K](e)是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);{Φ}集成总体刚度矩阵 3.[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量，此即为总体平衡方程。{F}= [K] {Φ} 的转移矩阵，其关系式为沿某个方向n4.引入支撑条件，求出各节点的位移：节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为一给定值。的位移为零，另一种是节点n 求出各单元内的应力和应变 5. 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边

2019年全国数学中考试卷分类汇编：中心对称图形、轴对称图形

数学精品复习资料 中考全国100份试卷分类汇编 中心对称图形、轴对称图形 1、（2013年潍坊市）下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）. A. B. C. D. 答案：A． 考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。 点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别。．．． 3、（2013杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 考点：轴对称图形． 分析：根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可． 解答：解：A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．不是轴对称图形，故本选项错误； D．是轴对称图形，故本选项正确； 故选D． 点评：本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．

4、（2013四川南充，7，3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下 列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗 匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 答案：B 解析：既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共2张，所以，所求概率为：5 2 5、（2013达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 答案：D 解析：A 、C 只是轴对称图形，不是中心对称图形；B 是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D 符合。 6、（2013凉山州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形进行判断即可． 解答：解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C ．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选B ． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7、（2013?宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）

轴对称问题有限元法分析报告

轴对称问题的有限元 模拟分析

一、摘要： 轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。 轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。分析完成之后用ABAQUS软件建模以及分析得出结果。 关键字：有限元法轴对称问题ABAQUS软件 二、前言: 1、有限元法领域介绍： 有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的

数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。 由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。 2、研究报告目的: 我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为

二年级上册《美丽的轴对称图形》教学设计(1)

《对称图形》教学设计 教材依据：《对称图形》义务教育课程标准实验教科书小学数学二年级上册第68页内容。 设计思路： 指导思想：根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅。教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，并运用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。 教材分析：本教材从学生熟悉的生活入手，结合实例，通过观察、操作等形式多样的活动，让学生初步感知生活中的对称现象，认识简单的轴对称图形，为今后进一步探索简单图形的轴对称特性，把握简单图形之间的轴对称关系，以及利用轴对称方法进行变换或设计图案打好基础。教材第一道例题首先出示了一组实物图片，并把实物图形抽象为平面图形，引导学生对折发现轴对称图形的基本特征，并初步描述轴对称图形的概念。第二道例题则让学生“做出”轴对称图形。以活动来帮助学生积累感性认识，丰富对轴对称图形的体验，锻炼学生的实践能力。“想想做做”安排了形式多样、内容丰富的训练帮助学生加深对轴对称图形的认识，体会数学与生活的广泛联系。 设计理念： 1、以活动为载体。数学教学实际是数学活动的教学，学生在丰富的实践活动中反复体验，深刻理解，形成知识、能力。 2、以学生为中心。学生在自主、合作、探究的过程中获取知识，形成能力，真正成为学习数学的主人。 3、以欣赏为引线。欣赏世界，拉近生活与数学的距离，使学生感受到生活中有数学，数学中有生活，提升学生的情感和价值观。 学情分析:轴对称现象是学生新接触的一个知识点，这种现象广泛蕴涵在大自然中，学习这部分的知识，要求学生具备观察能力和动手操作能力。 教学目标： 1使学生了解对称图形的特征，能正确识别对称图形。 2、通过操作，锻炼学生的动手能力，发展学生的创造性思维，培养学生的合作意识。 3、通过观察、讨论、创作使学生体会对称图形的美，对学生进行美育教育。 教学重点：使学生知道轴对称图形的含义，并了解轴对称图形的特征 教学难点：1、了解轴对称图形的特征；2、找出轴对称图形的对称轴。 教具学具准备： 1、教师准备剪刀，卡纸，多媒体课件，美丽的对称图形、学过的各种平面图形。 2、学生准备剪刀，卡纸、各种平面图形。 教学过程： 一、初步认识对称现象 1、观看课件，提出问题。 老师这儿有一个故事，你们想想不想听？（播放课件） 师提问：“小蝴蝶为什么说在图形王国里他们四个是一家人”？那么这节课我们就来研究这个问题。 2、合作学习，认识对称现象 ①独立观察，探寻对称物体的共同特征。 请同学们认真观察这几幅图，你发现它们有什么共同的特点？把你的发现和同桌说一说。 ②小组间交流，感知对称物体的共同特征。 ③班内交流，认识对称现象。 师：如果把一个图形的左边和右边对折以后，完全重合了，我们就把这样的图形叫做对称图形。板书“对称”。 二、剪一剪

轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别与联系 说明”轴对称图形”和”轴对称”是两个不同的概念，它们的区别与联系如下： 区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的． 联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 下面是一些概念和定理，希望能帮到你。 【轴对称】 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称。 说明：（1）轴对称是指两个图形之间形状个位置的关系，包含两层意思：一是两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；二是对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件，即把它们沿某一条直线对折后能够重合，因此，全等的图形不一定是轴对称的，而轴对称图形一定是全等的. (2)对称轴是指一条直线. 【关于轴对称的定理】 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形. 定理2 如果两个图形关于某直线对称.那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. （逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.） 定理3 两个图形关于某直线对称.如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上. 说明（1）定理1实际上是轴对称定义的一部分．为了突出这一点，教材把它作为一个定理．（2）定理1，2，3都是轴对称的性质，而逆定理是轴对称的判定定理．由于定义是根据图形翻折后是否重合来判定两个图形是否对称，实际操作很困难，所以该逆定理就是判定轴对称的主要依据． （3）如果A，B两点的对称点是A‘，B‘，那么线段AB的对称图形必是线段A‘B‘，因此对于直线形，如线段，三角形，折线等等．要求它们的对称图形，只需把它们的顶点的对称点确定，然后只要将线段按相同关系连结即可，而不必去找图形上每个点的对称点． 【轴对称图形】 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是（对称点的中点的连线，即垂直平分线）轴对称图形的对称轴是（对折重合的折痕线）

美丽的轴对称图形

美丽的轴对称图形 数学的世界真可谓是浩瀚无比。由点到线，由线到面，由面到体。无不蕴藏着丰富的知识。我记得曾经有一句著名的格言：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。可想而知，数学的伟大与魅力了吧！ 然而，在数学的大家庭中。有一对兄弟深深的吸引了我，他们的形状，他们的关系，他们的普遍性，让人觉得他们一直在我们的身边，离我们很近很近。他们就是轴对称图形。 轴对称图形是一个一定要沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形，之所以说到他们的关系是因为他们两个总是被一条直线所连着，好似一对分不开的兄弟，关系十分的密切。把他们拉在一起的这条直线就是他们的对称轴。当然这条对称轴就像一个公正的法官。左右两边的长度、面积、大小等，都一点儿也不差，唯一不同的就是他们所朝的方向。 在数学的课本上，我们看见过他们的身影，我们也接触和了解过他们。但是他们给我印象更多的，却是他们在日常生活中所扮演、组成的图形或者可以说是事物。 一、生活当中的轴对称图形 1、自然界中的轴对称图形。当我漫步在街头时，我时常看见飞来飞去的蝴蝶。当一只蝴蝶停留在花朵上，张合着翅膀时，我发现如果将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所在的那一条直线就是其对称轴。而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻过去的图形。跟蝴蝶一样是轴对称图形的动物还有很多。比如蜻蜓、飞蛾等。如果到了秋天，远看稻田，金黄的一片，不禁使人感觉到又是

一个丰收的季节。就在这个令人喜悦的季节里，我行走在田边的小路上，随手捡起了一片金黄的树叶，仔细的观察了一下，发现其实树叶也有对称轴。如果我们将树叶中间的那根经，当成是其左右两边的对称轴，那将树叶右边部分沿着这条对称轴对折过去，正好与左边的一半树叶重合。 2、商标中的轴对称图形。有一次，我跟我的家人去中国银行取钱，我无意间发现中国银行的标志也是一个轴对称图形。这个图形的对称轴有两条。第一条是图标中两竖相连接所形成的，而另一条就是方框上下两条横线连接的线段的中点，所在的那一条直线就是其第二条对称轴。和中国银行一样的还有中国联通、中国农业银行以及奔驰汽车等轴对称图形。但是如果大家觉得前面几个例子，平时都没有注意到的话，那么下面说到的这个例子大家肯定熟悉的不得了。这个例子就是商标，我先来举一个吧。平时我最大的兴趣就是吃零食。所以我对“旺旺”这个商标熟悉的不得了。我发现在旺旺这个商标当中，将其头发上的一个中点到两脚脚后跟之间的线段的中点，想连接的线段所在的那一条直线就是其对称轴。也正是这条对称轴将旺旺这个图标分成了相等的两份。像旺旺这样具有对称轴的商标还有很多。比如：五粮液的商标、麦当劳的商标的商标等等。而且这些图形都是我们日常生活中常见的，这也不告诉了我们，只要我们认真、仔细的观察生活，数学的无处不在吗。 二、建筑当中的轴对称图形 说了生活中较为普通也较常见的轴对称图形后，也应该说说在建筑方面关于轴对称的宏伟建筑了。像我们中国的天安门城楼。如果用线段连接天安门城楼的左右两边，这条线段的中点所在的直线就是对称轴了，这条对称轴不就把天安门城楼分成了相同的两份了吗？法国的埃菲尔铁塔，是法国标志性建筑之一。它的对称轴就是把铁塔底部的两边相连接。连接后的线段的中点与塔尖的点相连接的线段所在那一条直线了。 还有一些建筑也利用了轴对称的方法，他们在建筑的前方建了一

轴对称问题的有限元分析

第1节基本知识 本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。 一、轴对称问题的定义 轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。 二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定 用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。 求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。 在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。 常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。 表11-1 2D轴对称常用结构单元列表

的高阶单的高阶单 在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。 后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。 可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。 轴对称问题有限元分析实例 2D节2第

对称结构有限元分析

对称结构有限元分析 ----3节点三角形单元的分析 一问题分析(对称框架线弹性实体的静力平衡问题) 图是一个方形弹性实体，单位边长、单位厚度、承受等效竖向压力2 1m，其中边界条 KN 件暗示着存在两组相对称的平面，因此现考虑的仅是问题的。每个节点上的自由度号码代表了各自在x和y方向上可能的位移。 结构和单元信息NELS NCE NN NIP 8 2 9 1 AA BB E V

.5 .55 1.E6 .3 约束节点自由度信息NR 5 K , NF(:,K), I=1，NR 10 1 4 0 1 7 0 0 8 1 9 1 0 载荷信息LOADED_NODES 3 (K, LOADS(NF(:,K)), I=1 , LOADED_NODES) 1 .0 -.25 2 .0 -.5 3 .0 -.25 333 3节点三角形单元网络的总体节点和单元编号 3节三角形单元局部坐标系中节点和自由度编号

二理论基础（有限元方法原理） 通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立的有限元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元，也是本书主要讨论的单元。 对于一个力学或无力问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。我们将以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。对于前一问题，着重讨论选择广义坐标和有限元位移模式的一般原则和建立其位移插值函数的一般步骤。对于后一问题，着重讨论单元刚度矩阵和单元载荷向量的形式，总体刚度矩阵和总体载荷向量集成的原理和方法，以及它们各自的特性。 作为一种数值方法，有限元解的收敛性无疑是十分重要的问题，以后将讨论解的收敛准则及其物理意义，所阐明的原则在以后还将得到进一步的应用和具体化。 在建立了有限元的一般表达格式以后，原则上可以将它推广到平面问题以外的其他弹性力学问题和采用任何形式的单元。轴对称问题具有很广泛的应用领域，轴对称问题3结点三角形 单元的表达格式可以看作是平面问题此种单元表达格式的直接推广。 一）弹性力学平面问题的有限元格式 结点三角形单元是有限元方法中最早提出，并且至今仍广泛应用的单元，由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个二维离散成有限个三角形单元，如图1所示。在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。我们在讨论如何应用有限元方法分析各类具体问题的开始，将以平面问题3结点三角形单元 为例来阐明弹性力学问题有限元分析的表达格式和一般步 1.1）单元位移模式及插值函数的构造 典型的3节点三角形单元节点编码i,j,m ，以逆时针方向编码为正向。每个节点有位移分量如图所示。 ?? ? ???=i i v u i a (i,j,m) 每个单元有6个节点位移即6个节点自由度，亦即 [ ] T m m j j i i m j i e v u v u v u a a a =??? ? ??????=a 1.2） 单元的位移模式和广义坐标 在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为 多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取由低次到高次。

最新人教版四年级下册轴对称图形教案

轴对称图形 一、教学目标 1、联系生活中的具体事物，认识轴对称图形的基本特征，会画出轴对称图形的对称轴。 2、会画一个图形的轴对称图形，掌握画图的方法和步骤：先画出几个关键的对称点，再连线。 3、通过观察、操作等活动，能在方格纸上补全一个轴对称图形。 4、让学生在探索的过程中进一步增强动手操作能力，发展空间观念，培养审美观念和学习数学的兴趣。 二、教学重难点 教学重点：掌握画轴对称图形另一半的方法。 突破方法：让学生充分观察、讨论，动手操作，逐步探索。 教学难点：按步骤画出轴对称图形的另一半。 突破方法：小组合作探究，教师适时点拨。 三、教学过程 （一）复习导入 教师：1、同学们，今天我们猜猜这些都是什么？出示课件图片。 2、请仔细观察，这些物体都有什么共同特征？（都能在沿一条线对折后能完全重合） 小结：像这样，对折后两边能完全重合的图形就是轴对称图形，中间的折痕就是对称轴。 出示常见的轴对称几何图形并说明其对称轴 几何图形的对称轴一都是从顶点或边中点的连线 思考：平行四边行是不是轴对称图形？ 让学生动手折纸，得出正确结论。 （提醒学生注意平行四边行不是轴对称图形，而等腰三角形是轴对称图形，其对称轴就是底边上的高） （二）探索新知 1．轴对称图形性质。 出示教材例1， 让学生观察A、A'和B、B'两组对称点，找出不在对称轴上的对称点的特征。（1）每一组对称点到对称轴的距离相等 （2）每组对称点的连线都与对称轴垂直 让学生观察C、C'这组对称点，找出在对称轴上的对称点的特征 对称轴上的点的对称点就是它本身 2、画出轴对称图形 教师：根据对称轴，补全下面的轴对称图形

教师：要想顺利的画出另外一半的图形，你有什么办法呢？根据是什么？ （小组讨论，全班交流） 预设：我们刚刚学习了轴对称图形的对称点的特点，可以利用这个方法来画。教师：很好，怎样来找点呢，所有的点都找吗？ 预设：不用， 只要数出关键点到对称轴的距离； 在对称轴的另一侧点出关键点的 对称点；顺次连接描出的各个点即可。 教师：谁能来展示一下你画出的轴对称图形的另一半？ 学生展示自己的作品。 小结：画轴对称图形的步骤 第一步：找关键点（一般是图形的顶点） 第二步：标对称点（要注意与对应的关键点的连线与对称轴垂直，而且要保证每一组对称点到对称轴的距离相等，不要数错格子） 第三步：顺次连线。 （三）知识运用

轴对称图形知识点分析

轴对称图形知识点分析 数学与生活 以树干为对称轴，画出树的另一半，如图14-1所示. 思考讨论图14－1给出了树的一半，以树干为对称轴，画出它的另一半，需要找到几个关键点即关于树干的对称点，依次连接这些点即可，那么，我们为什么要这么做呢？ 知识详解 知识点1 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如图 14-2所示，△ABC是轴对称图形. 知识点2 对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如图14-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.

知识点3 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 如图14－4所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线. 知识点4 对称轴的性质 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究交流 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 点拨成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等；这两个图形对称. 知识点5 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图14－5所示，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB. 知识点6 线段垂直平分线的判定

美丽的轴对称图形

推荐美丽的轴对称图形 教学目标：1、联系生活中的具体事物，通过观察和动手操作，使学生初步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形的一些基本特征，并初步知道对称轴。2、使学生能根据自己对轴对称图形的初步认识，在一组实物图案或简单平面图形中识别出轴对称图形，能用一些方法做出一些简单的轴对称图形，能在方格纸上画出简单的轴对称图形。3、使学生在认识、制作和欣赏轴对图形的过程中，感受到物体或图形的对称美，激发学生对数学学习的积极情感。教学内容： 教学重难点：初步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形的一些基本特征，并初步知道对称轴。 教学过程：一、谈话引入，激趣蕴思：师：同学们，你们喜欢看《春节联欢晚会》吗？看，这是春节晚会的现场，知道这是什么节目吗？《千手观音》这个节目一直深受着观众的喜爱，下面我们就一起来欣赏其中的片断。（播放视频，结束后把几幅图同时出示在课件中。）师：你觉得这些画面中舞蹈演员的动作造型美吗？师：这些造型都体现一种艺术美----------对称美（板书：对称）1、欣赏建筑中的对称美 师：其实生活中有很多物体都有这种对称的特点。一些世界上的著名建筑也有这种对称的特点。你们看（播放照片） 师：这些都是世界上的著名建筑物,他们之所以看起来这样赏心悦目，是因为它们都具有一种对称美。2、欣赏生活中其他具有对称性的物体 师：除了有些建筑具有对称的特点，生活中还有很多物体也是对称的。你能来说一说吗？师：是啊，对称的物体的确很多。看来对称不仅能给我们带来美的感受，有时也是必须的。3、欣赏蝴蝶的对称美师：春天到了，万物复苏，一只美丽的蝴蝶飞到了我们的眼前。（演示蝴蝶课件） 你喜欢它吗？请小朋友仔细观察蝴蝶的翅膀，看看你能发现什么？ 学生通过讨论，得出蝴蝶的左右两片翅膀形状完全一样，大小也完全一样。蝴蝶的翅膀一张一合，当它合起来的时候，它的翅膀完全重合了。 二、参与探索，体悟特征。 （一）看一看。 1、出示天安门、飞机、奖杯等图片。 2、师：看，这是什么？请同学仔细观察这些物体，你能发现它们的共同的特征吗？（师：可以有教棒在图中间比划一下）(引导学生观察它们的形状，认识到“它们也都是对称的物体”。教师板书：对称)（二）折一折。（认识对称图形） 2．师：我们把天安门、飞机和奖杯画下来，可以得到这样的图形。（课件出示图形。） 请同学们拿出课前剪好的这三个图形，这些图形有什么特点呢，让我们一起来研究一下。自己动手折一折、比一比，看看你能发现什么？（学生折一折，比一比。学生汇报。） 请一位学生到讲台前展示一下。学生说一说自己是怎么折的。（板书：对折）老师电脑演示。师：对折后折痕两边的部分怎么样？(对折后折痕两边的部分完全重合) （板书：对折后折痕两边完全重合）。多请几生说说。像这样的图形，猜一猜叫什么名字？ 师：像这样，对折后折痕两边能完全重合的图形叫做轴对称图形。 教师板书：轴对称图形。 什么样的图形是轴对称图形。请多生说说。 这条折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。（板书：对称轴） （三）猜一猜。（课件出示）结合轴对称图形的特征，判断下列图形是否为轴对称图形。（1）学生根据经验大胆猜想。

美丽的轴对称图形_教案教学设计

美丽的轴对称图形 教学要求： 1、联系生活实际中的具体事物，通过观察和动手操作，初步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形的基本特征，会识别并能做出一些简单的轴对称图形。 2、在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体图形的对称美，激发对数学学习的积极情感。 教学重点：理解轴对称图形的特征。 教学难点：掌握判别对称图形的方法。 教具学具准备：挂图、彩纸、剪刀、钉子板、图片。 教材分析：本单元初步教学对称现象和轴对称图形。学生认识轴对称图形后，能以新的视角去观察物体，研究图形，体验它们的对称美。这次安排轴对称图形的教学的要求是：使学生初步认识生活中的对称现象，初步认识轴对称图形；能用简便的方法制作轴对称图形。至于轴对称图形的对称轴，仅仅知道就可以了。在“你知道吗”里介绍了自然界里的对称现象以及对称在建筑中的应用。 第一道例题的编写线索是“由生活中的对称现象引出简单的轴对称图形”，大致分成两段：第一段是观察天安门、飞机、奖杯等物体，发现这些物体的左右两边或上下两边的形状和大小都是相同的，它们都是对称的。并由此联想生活中还有一些物体也具有这种对称特征，即生活中经常能看到对称现象。第二段是把天安门、飞机、奖杯都画下来，从观察物体到研究图形。把这些图形剪下来并对折，发现折痕

两边的部分能完全重合，教材告诉学生这些图形都是轴对称图形，让他们初步建立轴对称图形的概念。在形成轴对称图形概念的过程中，学生经历操作、观察、概括等学习活动，教材中的文字叙述是和学生一起进行概括，引导他们正确理解知识，不是把知识灌输给学生。 教学过程： 一、从生活中感知 1、欣赏建筑中的对称美 谈话：同学们，你知道世界上有哪些著名的建筑物吗？老师这里也收集了一些著名建筑物的照片，咱们来欣赏一下，好吗？（图片）谈话：你觉得这些建筑物怎么样？ 讲述：这些建筑物之所以看起来这样赏心悦目，是因为它们都具有一种对称美。 2、欣赏生活中其他具有对称性的物体 谈话：除了有些建筑具有对称的特点，生活中还有很多物体也是对称的。你能来说一说吗？ 小结：是啊，对称的物体的确很多。大家看，边解说：许多动物的外形是对称的。有些艺术品是对称的。飞机的外形也是对称的，如果飞机不对称的话，会怎么样？看来对称不仅能给我们带来美的感受，有时也是必须的。 二、在操作中研究。 1、在操作中探究轴对称图形的特点。 谈话：现在把这些对称的物体画下来，可以得到一些平面图形，

轴对称图形

轴对称图形 一、教材分析 1、教材的地位及作用 对称是数学中一个非常重要的概念，教科书分为轴对称和中心对称两部分讲述。“轴对称和轴对称图形”这一节是在学生学过等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质定理，及逆定理的基础上安排的一节内容。它是前面所学知识在生活中的应用，也是后面学习中心对称的重要的基础知识。本节课是在学习了“轴对称定义及性质”的基础上进行的。通过本节课的教学，主要是训练学生初步的审美能力和初步的图案设计操作技能，拓展学生的空间想象能力。 因此，这一节课无论在知识上，还是对学生观察能力的培养上，都起着十分重要的作用。 2、教学目标 根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用依据教学大纲确定本课的教学目标为： （1）经历对现实生活中的有关图形的观察和联想，学生进一步丰富自己的生活经验，更深层次的理解轴对称图形的概念，学会画轴对称图形的对称轴，并能用适当的图形和语言表达自己的思考结果。 （2）在观察、比较、实践操作等活动中，正确区分轴对称

和轴对称图形，掌握利用所学知识画轴对称图形。 （3）学生养成主动动手、动脑的良好习惯，培养自己的探究问题、发现问题、解决问题的能力。 （4）在学习的过程中体验良好的情感、态度等价值观，并积极主动参与、与同伴合作交流，提高自己的审美情趣、发展和创新意识。 3、教学重点与难点 本节课的教学重点是学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴，这是因为： （1）《九年义务教育初中学数学教学大纲》中明确要求学生理解轴对称、轴对称图形的概念，了解轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的轴对称图形。 （2）学习知识的目的在于应用，轴对称图形在现实生活中应用非常广泛。如建筑设计的轴对称，服装设计中的轴对称，民间美术中处处体现着对称的美学原则。 本节课的教学难点是正确区分轴对称与轴对称图形的两个不同概念，原因有两点： （1）学生对轴对称图形比较熟悉，但往往不能够完全掌握它的定义； （2）轴对称与轴对称图形的联系，体现了中学数学中的整体思想，需要学生有较强的思维能力，这对于初二学生来说有

3.4 轴对称场的有限元分析

3.4 轴对称场的有限元分析 3.4.1轴对称场的变分问题 1. 典型边值问题 若以z 轴为对称轴线，则轴对称场过z 轴的任意半平面中场的分布形态都是一样的，这就是说，如果建立圆柱坐标，场的分布只相关于ρ和z 坐标，而与角度φ坐标无关， 即()()z u r u ,ρ= ，于是三维场就可以转化为轴对称场来计算。 (1) 标量场的边值问题： 与二维场中的表述情况一样： ??? ? ? ? ???=??=Ω ∈-=?Γ Γ22 21 f n u u u f u o β (2) 用矢量磁位A 描述的恒定磁场边值问题： A 应满足的旋度旋度方程 J A μ=???? 展开上式 z z e A e A A A e A A A 22222222121?+???? ? ???+-?+???? ????--?φρφφραρρφρρφρρ () z z e J e J e J ++-=φφρρμ 在轴对称场中，只可能有 ()φφφφρe z J e J J ,==，则 ()φ φφφρe z A e A A ,== 代入控制方程 φφφμρ J A A -=- ?22 1 再考虑磁感应强度

∵ ()()z z z z e B e B e A e z A A z e e e A B +=??+??-=?????? = ??=ρρφρφφ φρ ρρρρρρφρρρ110 ① 设z A )( ??为切向分量，ρe 方向即为其法向分量方向，有 ()21f H B n A t t =-=-=??γ ρρα 是第二类边界条件 ② 在二维平面场中等A 线即B 线，但轴对称场中B 线的微分方程： ()()00 =+?+?=?dz e d e e B e B l d B z z z ρρρρ ()0d d =+-φφρρe B e z B z ()()011=??+??ρρ ρρρρφφd A dz z A ? ()()()0d d d ==??+ ??φφφρρρ ρρA A z z A c A =φρ 线B ? 是第一类边界条件。 ∴ 以A 表示的轴对称恒定磁场边值问题为： 2. 等价变分问题 (1) 以标量位描述的场(包含静电场、恒定电场和无电流区的恒定磁场) ???ΩΓΩΓ-Ω-Ω?= 2 22 )(21)(ud f fud d u u F ββ

轴对称图形作业导学案

学科导学案 教师:学生：年级八日期:12-07-28星期:时段：10:00-12:00

例2:标出下列图形中的对称点 知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征 1成轴对称的两个图形全等?如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等， 并且也是成轴对称的. 2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？ 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 知识点四：垂直平分线的定义： 引入：如图：△ ABC和厶A ' B ' C'关于直线MN对称，点A '、B '、C '分别是点A、B、C的对称点，线段AA '、BB'、CC '与直线MN有什么关系？ (1)设AA '交对称轴MN于点P,将厶ABC和厶A ' B ' C '沿MN折叠后，点A与A '重合吗？

归纳：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 知识点五：线段垂直平分线的性质 (1)线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离 思考：反过来，如果PA= PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上. 例3 :、如下图，AD丄BC, BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？ 例4、△ ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm,A ABD的周长为13cm，求△ ABC的周长。 知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形： 性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 例6:如图，已知：△ ABC和直线I，请作出厶ABC关于直线I的对称三角形。 C C C