2014届高考数学一轮复习教学案数学归纳法(理)(含解析)

第七节

数学归纳法(理)

[知识能否忆起]

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[小题能否全取]

1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3

D ．n ＝4

答案：C

2．(教材习题改编)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1

n ＝

2????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

解析：选B 因为n 为偶数，故假设n ＝k 成立后，再证n ＝k ＋2时等式成立． 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

.

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋

1＝2n ＋

2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，

左端计算所得的项为________．

答案：1＋2＋22

5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1

2n －11)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推

证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．

解析：当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋1

2k －1

则n ＝k ＋1时，左边应为：

1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋1

2k ＋1－1 则增加的项数为2k ＋

1－1－2k ＋1＝2k .

答案：2k

数学归纳法的应用

(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．

典题导入

[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

n

(n ∈N *)．

求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． [自主解答] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2???

?1＋1

2－1＝1，

左边＝右边，等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)???

?f (k ＋1)－1

k ＋1－k

＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，

∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

由题悟法

用数学归纳法证明等式的规则

(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．

(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n 0是多少，同时第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1时要充分利用假设，不利用n ＝k 时的假设去证明，就不是数学归纳法．

以题试法

1．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，

11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1

. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝1

3，左边＝右边，所以等式成

立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k

2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，

11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1

(2k ＋1)(2k ＋3) ＝

k 2k ＋1＋1

(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)

＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．

典题导入

[例2] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x

＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．

(1)求r 的值；

(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1

b n

＞n ＋1成立． [自主解答] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －

1＋r .

所以a n ＝S n －S n －1＝b n －

1(b －1)．

由于b ＞0且b ≠1，

所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，

∴a 2

a 1＝

b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明：由(1)知a n ＝2n －

1，

因此b n ＝2n (n ∈N *)，

所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.

①当n ＝1时，左式＝3

2，右式＝2，

左式＞右式，所以结论成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋1

2k ＞k ＋1，则当n ＝k ＋1

时，

2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋3

2k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证

2k ＋3

2k ＋1≥k ＋2.

即证2k ＋32

≥(k ＋1)(k ＋2)，

由基本不等式知2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)

2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，

故

2k ＋3

2k ＋1≥k ＋2成立，

所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．

由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1

b n ＞n ＋1成立．

由题悟法

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．

以题试法

2．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1

n (n ∈N *，n ≥2)．

证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54＜2－12＝3

2，命题成立．

(2)假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2＜2－1

k

.

当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1

k －1k ＋1

＝2－1

k ＋1

命题成立．

由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立.

典题导入

[例3] (2012·天津模拟)如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2,3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．

(1)写出a 1、a 2、a 3；

(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．

[自主解答] (1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12.

(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n 2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及y 2n ＝3·x n 得????3·a n －a a －122＝3

2(a n ＋a n －1)，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．

由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． 下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立；

②假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－

a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)，得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即a 2k ＋1－2(k 2

＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －

1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0，解之得，a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)，即当n ＝k ＋1时成立．由①②知，命题成立．

由题悟法

“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．

以题试法

3．(2012·北京海淀模拟)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *) (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1.

当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2， ∴a 2＝3

2

.

当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3， ∴a 3＝74

.

当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158

.

由此猜想a n ＝2n －1

2

n －1(n ∈N *)．

(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．

②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *

)时，结论成立，即a k ＝2k －1

2

k －1，那么n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k ，

∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋

1－1

2k ，

这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n －1

2n －1成立．

1．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )

A ．p (n )对所有正整数n 都成立

B ．p (n )对所有正偶数n 都成立

C ．p (n )对所有正奇数n 都成立

D ．p (n )对所有自然数n 都成立

解析：选B 由题意n ＝k 成立，则n ＝k ＋2也成立，又n ＝2时成立，则p (n )对所有正偶数都成立．

2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>127

64(n ∈N *)成立，其初始值最小应取

( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：选B 可逐个验证，n ＝8成立．

3．(2013·海南三亚二模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －

1＝2n －1(n ∈N *)”的过

程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时，应得到( )

A ．1＋2＋22＋…＋2k －

2＋2k －

1＝2k ＋

1－1

B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋

1＝2k －1＋2k ＋

1

C ．1＋2＋22＋…＋2k －

1＋2k ＋

1＝2k ＋

1－1

D ．1＋2＋22＋…＋2k －

1＋2k ＝2k ＋

1－1

解析：选D 由条件知，左边是从20,21一直到2n

－1

都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，

左边应为1＋2＋22＋…＋2k －

1＋2k ，而右边应为2k ＋

1－1.

4．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1

D ．f (n )＋n －2

解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．

5．在数列{a n }中，a 1＝1

3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )

A.1

(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1

(2n －1)(2n ＋1)

D.1

(2n ＋1)(2n ＋2)

解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝1

7×9.

猜想a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1)

.

6．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k

B ．2＋7k －

1

C ．2(2＋7k ＋

1)

D ．3(2＋7k )

解析：选D (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．

(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋

1)＝21(2＋

7n )－36.

这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．

7．(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．

解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立． 答案：2k ＋1

8．(2012·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2

＝n 4＋ n 22

，则当n ＝k ＋1时左

端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．

解析：当n ＝k 时左端为

1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，

则当n ＝k ＋1时，左端为

1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2

9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.

解析：由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝1

2； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；

由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝3

4.

猜想S n ＝n

n ＋1.

答案：

n n ＋1

10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2 ＝1

3

n (4n 2－1)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝ 1

3×1×(4－1)＝1，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝1

3k (4k 2－1)．

则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝1

3k (4k 2－

1)＋4k 2＋4k ＋1

＝13k [4(k ＋1)2－1]－1

3k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋1

3(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋1

3[4(k ＋1)2－1] ＝1

3(k ＋1) [4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．

11．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n

(n ∈N *

)，且点P 1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，

b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2????13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.

(2)①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k

1－4a 2k ·(2a k ＋1)

＝

b k

1－2a k ＝1－2a k 1－2a k

＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．

由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．

12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3……. (1)求a 1，a 2；

(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．

解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0， 解得a 1＝1

2

.

当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－1

2，于是????a 2－122－a 2????a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝1

6

.

(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，

S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2

3

.

由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝n

n ＋1，n ＝1,2,3….

下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．

(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即S k ＝

k k ＋1

， 当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝

1

2－S k

， 即S k ＋1＝k ＋1

k ＋2

，故n ＝k ＋1时结论也成立．

综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝n

n ＋1对所有正整数n 都成立．

1．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1

D.2k ＋3k ＋1

解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；

当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1

＝2(2k ＋1)．

2．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．

解析：∵依题意得 n 2＝

10×(1＋19)2＝100, ∴n ＝10. 易知 m 3＝21m ＋m (m －1)

2

×2, 整理得(m －5)(m ＋4)＝0, 又 m ∈N *, 所以 m ＝5, 所以m ＋n ＝15.

答案：15

3．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－1

2n 2，n ∈N *.

(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．

解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝11

8，

所以f (2)＜g (2)；

当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312

216，

所以f (3)＜g (3)．

(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，

即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－1

2k 2，那么，当n ＝k ＋1时，

f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3

， 因为12(k ＋1)2－????12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0， 所以f (k ＋1)＜32－12(k ＋1)2

＝g (k ＋1)．

由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．

1．用数学归纳法证明a n ＋

1＋(a ＋1)2n －

1(n ∈N *)能被a 2＋a ＋1整除．

证明： (1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＋

1＋(a ＋1)2k

－1

能被a 2＋a ＋1整除，

则当n ＝k ＋1时，

a k ＋

2＋(a ＋1)2k ＋

1＝a ·a k ＋

1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －

1

＝a ·a k ＋

1＋a ·(a ＋1)2k －

1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －

1

＝a [a k ＋

1＋(a ＋1)2k －

1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －

1

由假设可知a [a k ＋

1＋(a ＋1)2k －

1]能被a 2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k

－1

也能被a 2＋a

＋1整除，

∴a k ＋

2＋(a ＋1)2k

＋1

也能被a 2＋a ＋1整除，

即n ＝k ＋1时命题也成立，

由(1)(2)知，对任意n ∈N *原命题成立．

2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋

1(2n ＋1)，n ∈N *，其中c ≠0.求数列{a n }的通

项公式．

解：由a 1＝1，a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)c 2＋c ，

a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 2＝(32－1)c 3＋c 2， a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3，

猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －

1，n ∈N *.

下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，等式成立； 假设当n ＝k 时，等式成立，

即a k ＝(k 2－1)c k ＋c k －

1，则当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝ca k ＋c k ＋

1(2k ＋1)

＝c [(k 2－1)c k ＋c k －

1]＋c k ＋

1(2k ＋1)

＝(k 2＋2k )c k ＋

1＋c k ＝[(k ＋1)2－1]c k ＋

1＋c k ，

综上，a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1

对任何n ∈N *都成立．

不等式、推理与证明

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．不等式x －2

x ＋1≤0的解集是( )

A ．(－∞，－1)∪(－1,2]

B ．(－1,2]

C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)

D ．[－1,2]

解析：选B ∵x －2

x ＋1

≤0，∴－1＜x ≤2.

2．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，结论还正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行

D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：选B 由空间立体几何的知识可知B 正确．

3．(2012·保定模拟)已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2≥0 B ．ac ＞bc C ．ac 2＞bc 2

D ．2a ＞2b

解析：选D A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 、C 不成立．由a ＞b 知2a ＞2b 成立．

4．若规定????a b c d ＝ad －bc ，则不等式0＜????x 11 x ＜1的解集是( ) A ．(－1,1)

B ．(－1,0) ∪(0,1)

C ．(－2，－1) ∪(1，2)

D ．(1，2)

解析：选C 由题意可知0＜x 2－1＜1?1＜x 2＜2?1＜|x |＜2?－2＜x ＜－1或1＜x ＜ 2.

5．(2012·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y

的最小值为( )

A ．－5

B ．－4

C ．－2

D ．3

解析：选B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0,2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4.

6．设a ∈R ，则“a －1

a 2－a ＋1＜0”是“|a |＜1” 成立的( )

A ．充分必要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既非充分也非必要条件

解析：选C 因为a 2－a ＋1＝???a －122＋34≥3

4＞0，所以由a －1a 2－a ＋1＜0得a ＜1，不能得知|a |＜1；反过来，由|a |＜1得－1＜a ＜1，所以a －1a 2－a ＋1＜0，因此，“a －1

a 2－a ＋1＜0”是“|a |

＜1”成立的必要不充分条件．

7．设M ＝????1a －1????1b －1????

1c －1，且a ＋b ＋c ＝1(a ，b ，c 均为正数)，由综合法得M 的取值范围是( )

A.????0，1

8 B.????

18，1 C. [1,8]

D ．[8，＋∞)

解析：选D 由a ＋b ＋c ＝1，

M ＝????b a ＋c a ????a b ＋c b ????

a c ＋

b

c ≥8(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．

8．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac

B ．c (b －a )＞0

C ．cb 2＜ab 2

D ．ac (a －c )＜0

解析：选C 由题意知c ＜0，a ＞0，则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．

9．已知函数f (x )＝?????

x 2，x ≥0，

x 2，x ＜0，，则f (f (x ))≥1的充要条件是( )

A ．x ∈(－∞，－ 2 ]

B ．x ∈[42，＋∞)

C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)

D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)

解析：选D 当x ≥0时，f (f (x ))＝x 4≥1，所以x ≥4；当x ＜0时，f (f (x ))＝x 2

2≥1，所以

x 2≥2，解得x ≥2(舍去)或x ≤－2，因此f (f (x ))≥1的充要条件是x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．

10．(2012·山西省四校联考)设实数x ，y 满足约束条件????

?

2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，

x ≥0，y ≥0，若目标函数z

＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为13，则a ＋b 的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选C 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线abx ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)取得最大值，依题意有ab ×1＋4＝13，即ab ＝9，其中a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ＝29＝6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，因此a ＋b 的最小值为6.

11．已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC

＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC 、△MCA

和△MAB 的面积分别是12、x 、y ，则1x ＋4

y

的最小值是( )

A ．9

B ．18

C ．16

D ．20

解析：选B AB ·AC ＝|AB ||AC

|cos 30°＝23，

∴|AB ||AC |＝4，∴S △ABC ＝1

2

×4×sin 30°＝1，

∴1

2＋x ＋y ＝1，即2(x ＋y )＝1， ∴1x ＋4y ＝????

1x ＋4y ·2(x ＋y )

＝2????5＋y x ＋4x

y ≥2?

??

?

5＋2 y x ·4x y ＝2×(5＋4)＝18，当且仅当y ＝2x ，即x ＝16，y ＝1

3时等号成立．

12．(2012·湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c

b ；②a

c log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③

D ．①②③

解析：选D 由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >c

b ；幂函数y ＝x

c (c <0)是减函数，所以a c

因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．

二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．(文)若不等式－4＜2x －3＜4与不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集相同，则p

q ＝________.

解析：由－4＜2x －3＜4 得－12＜x ＜72

，

由题意得72－1

2＝－p ，????－12×72＝q ， 即p ＝－3，q ＝－74，∴p q ＝12

7.

答案：12

7

13．(理)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，

∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2

14．(2012·福州模拟)如图，一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________，第n 行的第2个数为________．

解析：每行的第一个数可构成数列1,3,5,7,9，…，是以1为首项，

以2为公差的等差数列，故第n 行第一个数为1＋2(n －1)＝2n －1.

从第2行起，每行的第2个数可构成数列3,6,11,18，…，可得a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2n －3.

(其中n 为行数)，以上各式两边分别相加，可得a n ＝[3＋5＋7＋…＋(2n －3)]＋a 2＝(n －2)[3＋(2n －3)]

2

＋3＝n 2－2n ＋3.

答案：2n －1 n 2－2n ＋3

15．(2012·浙江调研)已知实数x ，y 满足?

???

?

x ＋y ＋1≥0，2x －y ＋2≥0，若(－1,0)是使ax ＋y 取得最大

值的可行解，则实数a 的取值范围是________．

解析：题中不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，令z ＝ax ＋y ，则y ＝－ax ＋z ，因为(－1,0)是使ax ＋y 取得最大值的可行解，所以结合图形可知－a ≥2，即a ≤－2.

答案：(－∞，－2]

16．(2012· 北京西城模拟)设λ＞0，不等式组????

?

x ≤2，λx －y ≥0，

x ＋2λy ≥0所表示的平面区域是W .给

出下列三个结论：

①当λ＝1时，W 的面积为3； ②?λ＞0，使W 是直角三角形区域； ③设点P (x ，y )，?P ∈W 有x ＋y

λ≤4.

其中，所有正确结论的序号是________．

解析：当λ＝1时，不等式组变成????

?

x ≤2，x －y ≥0，x ＋2y ≥0，其表示以点(0,0)，(2,2)，(2，－1)为顶

点的三角形区域，易得W 的面积为3，①正确；

∵直线λx －y ＝0的斜率为λ，直线x ＋2λy ＝0的斜率为－12λ，λ×????－12λ＝－1

2≠－1，且直线x ＝2垂直于x 轴，

∴W 不可能成为直角三角形区域，②错误；

显然，不等式组????

?

x ≤2，λx －y ≥0，

x ＋2λy ≥0

表示的区域是以点(0,0)，(2,2λ)，?

???2，－1

λ为顶点的三角形区域，令z ＝x ＋y λ，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－1λ2，∴z ＝x ＋y

λ的最大值z max ＝4，

③正确．

答案：①③

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2

＜4}，B ＝??????

???

?x ?

?

1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；

(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a 、b 的值． 解：(1)A ＝{x |－2＜x ＜2}， ∵

4x ＋3＞1?4

x ＋3－1＞0?x －1x ＋3

＜0?－3＜x ＜1， ∴B ＝{x |－3＜x ＜1}． ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．

(2)由(1)及题意知，不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－3,1)， ∴－3＋1＝－ a 2，－3×1＝b 2，

∴a ＝4，b ＝－6.

18．(本小题满分12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

解：x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8， ∴xy ≥64.

故xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8

x ＝1，

则x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )????

2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y

x ≥10＋8＝18.

故x ＋y 的最小值为18.

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，a ，b ∈R .

(1)若对任意的实数x ，都有f (x )≥2x ＋a ，求b 的取值范围； (2)当x ∈[－1,1]时，f (x )的最大值为M ，求证：M ≥b ＋1.

解：(1)对任意的x ∈R ，都有f (x )≥2x ＋a ?对任意的x ∈R ，x 2＋(a －2)x ＋(b －a )≥0?Δ＝(a －2)2

－4(b －a )≤0?b ≥1＋a 2

4

?b ≥1.

∵a ∈R ，

∴b ∈[1，＋∞)，即b 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明∵f (1)＝1＋a ＋b ≤M ，f (－1)＝1－a ＋b ≤M ， ∴2M ≥2b ＋2，即M ≥b ＋1.

20．(本小题满分12分) 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ?

???S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4，…，并求1

S n (不需证明)；

(2)求数列{a n }的通项公式．

解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ????S n －12， 得S 22＝(S 2－S 1)????S 2－12， 得1S 2＝1＋2S 1S 1＝2＋11＝3， 由S 23＝(S 3－S 2

)????S 3－12， 得1S 3＝2＋1

S 2

＝5， 由S 24＝(S 4－S 3

)????S 4－12， 得1S 4＝2＋1

S 3＝7， …

由S 2n ＝(S n －S n －1)????S n －12得 1S n ＝2＋1S n －1

＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝

12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)

， 显然，a 1＝1不符合上述表达式， 所以数列{a n }的通项公式为

a n ＝?????

1，n ＝1，－2

(2n －1)(2n －3)

，n ≥2. 21．(本小题满分12分)(2012·福州质检)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：

(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5万套， 此时每套丛书的供货价格为30＋10

5＝32元，

书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340万元．

(2)每套丛书售价定为x 元时，由?

????

15－0.1x ＞0，

x ＞0，

得0＜x ＜150，

由题意，单套丛书利润P ＝x －????30＋1015－0.1x ＝x －100

150－x －30.

∵0＜x ＜150， ∴150－x ＞0，

P ＝－ ????(150－x )＋100150－x ＋120. ∵(150－x )＋100

150－x

≥2

(150－x )·100

150－x

＝2×10＝20，

当且仅当150－x ＝100

150－x ，即x ＝140时等号成立，

∴此时，P max ＝－20＋120＝100.

每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润为340万；每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值．

22．(本小题满分12分)(2012·江西模拟)设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：

①

a n ＋a n ＋2

2

≤a n ＋1；②a n ≤M ，其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数． (1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3＝4，S 3＝18，试探究{S n }与集合W 之间的关系；

2021届高三数学一轮复习第4单元训练卷三角函数(理科) B卷(详解)

2021届单元训练卷?高三?数学卷（B ） 第4单元 三角函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知2sin(π)3α-=- 且π (,0)2 α∈-，则tan(2π)α-=（ ） A B ． C D ．2．已知π4 cos()45 α-=，则sin 2α=（ ） A ．725- B ． 725 C ．15 - D ． 15 3．已知π1 sin()63 α-=，则πcos(2)3α-=（ ） A ．79 - B ． 9 C ． 79 D ．9 - 4．已知π3sin()45α-=，π5π (,)24 α∈，则sin α=（ ） A B ． C ．± D ． 5．函数()g x 的图像是由π()sin(2)2f x x =+的图像向左平移π 6 个单位得到，则()g x 的一条对称轴方程是（ ） A ．π6 x =- B ．π6 x = C ．π12 x =- D ．π12 x = 6．已知1tan 4tan θθ+=，则2π cos ()4 θ+=（ ） A ． 1 5 B ． 14 C ． 13 D ． 12 7 ．函数()cos f x x x =-，[0,π]x ∈的单调递减区间是（ ） A ．2π[0, ]3 B ．π2π [, ]23 C ．2π[ ,π]3 D ．π5π [, ]26 8．若π1sin()6 3α-=，则2π cos( 2)3 α+的值为（ ） A ．1 3- B ．79 - C ． 13 D ． 79 9．函数π()sin(2)(||)2f x x ??=+< 的图象向左平移π 6 个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 是R 上的奇函数，则函数()f x 在π [0,]2 上的最小值为（ ） A ．2 - B ．12 - C ． 12 D ． 2 10．设π (0,)2α∈，π(0,)2β∈，且1sin tan cos α βα += ，则（ ） A ．π32 αβ-=- B ．π22αβ-=- C ．π32 αβ+= D ．π22 αβ+= 11．将函数sin 2y x =的图象向右平移π (0)2 ??<< 个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间π[0,]4 上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5ππ (,)126 --上，则?的取值范围是（ ） A ．ππ (,]64 B ．ππ(,)62 C ．ππ( ,]124 D ．ππ( ,)122 12．函数πsin sin()3 y x x =+的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ． π 12 B ． π2 C ． π3 D ． π6 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13 ．函数2 3 ()cos cos 2 f x x x x =+ 的单调递增区间为__________．

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综 合应用 1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________． 答案：y 2＝12x 解析：双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x. 2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________． 答案：x 24＋y 216＝1 解析：双曲线方程可化为y 212－x 24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22 ＝1的右焦点重合，则p ＝________． 答案：4 解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p 2 ＝2，p ＝4. 4. 已知双曲线x 2－y 23 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→2PF 2→的最小值为________． 答案：－2 解析：设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1).PA 1→2PF 2→＝(－1－x ，－y)2(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝ x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4? ????x －182－8116 ，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→2PF 2→取得最小值－2. 5. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202 ＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________． 答案：[2，22] 解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．

2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法

§13.4 数学归纳法 2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1． 凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π 解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π. 2． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证 n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k 解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋1 2k －1， 当n ＝k ＋1时，

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

届高考理科数学第一轮复习辅导讲义

选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23 a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??

第一轮复习放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? (111111562216412) n ??=+-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈； （Ⅱ）设103 c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; 分析：（Ⅰ）数学归纳法证明（Ⅱ）结论可变形为1)3(1-≤-n n c a ，即不等式右边为一等比数列通项形式，化归思路为对 n a -1用放缩法构造等比型递推数列， 即)1(3)1)(1(112 111-----≤++-=-n n n n n a c a a a c a

高考理科数学第一轮复习教案

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理

1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，

∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理|

年高考第一轮复习数学数学归纳法

年高考第一轮复习数学 数学归纳法 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

※第十三章极限 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.数学归纳法、极限 要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. （2）了解数列极限和函数极限的概念. （3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限. （4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. ●复习方略指南 极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性. 数学归纳法 ●知识梳理 1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的

证明方法：（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. 2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明. 特别提示 （1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可; （2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n 21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等 于 A.1 21 +n B.2 21 +n C. 121+n +2 21+n D. 1 21 +n －221+n 解析：f （n +1）－f （n ）= 21+n +31+n +…+n 21 +1 21 +n +221+n － （11+n +21+n +…+n 21）=121+n +2 21+n －11+n =121+n －221+n . 答案：D 2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}

2019届高考数学一轮复习教师用书文

2019届高考数学一轮复习教师用书文 第一节集合 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 授课提示：对应学生用书第1页 ◆教材通关◆ 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系 A B [必记结论] 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)． 3．集合的基本运算 (1)A ∩?＝?，A ∪?＝A ； (2)A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ??U A ??U B ?A ∩(?U B )＝?； (3)A ∪(?U A )＝U ，A ∩(?U A )＝?，?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )，?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )． [小题诊断] 1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( ) A ．A ∩ B ＝?????? ??? ?x ??? x < 3 2 B ．A ∩B ＝?

2014届高考数学知识点总复习教案基本不等式

第4讲基本不等式 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()． A.1 2B．1 C．2 D．4 解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2.当且仅当 a＝1，b＝1 2时等号成立． 答案 A 2．函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是()． A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2 解析∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x2＋2 x－1 ＝ x2－2x＋1＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)2＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥23＋2. 当且仅当x－1＝ 3 x－1 ，即x＝3＋1时取等号． 答案 A 3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

∵a a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2 ＋1ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2的最小值是 ( ) ． A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 解析 2a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋a －b ＋b ab (a －b )－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋1 b (a －b ) －10ac ＋25c 2 ≥2a 2＋1 ? ??? ?b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”) ＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝? ? ???a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ? ????当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝2 5时取“＝”，故选B. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2 ＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·? ?? ??2x ＋y 22，得5 8(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值210 5.

高考数学一轮复习：36数学归纳法(理科专用)

高考数学一轮复习：36 数学归纳法（理科专用） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共11题；共22分) 1. （2分） (2015高二下·沈丘期中) 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（） A . 假设n=k（k∈N*），证明n=k+1命题成立 B . 假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立 C . 假设n=2k+1（k∈N*），证明n=k+1命题成立 D . 假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立 2. （2分）已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（） A . n=k+1 时等式成立 B . n=k+2 时等式成立 C . n=2k+2 时等式成立 D . n=2(k+2) 时等式成立 3. （2分） (2017高二下·郑州期中) 利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n ﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（） A . 2k+1 B . C . D .

4. （2分） (2017高二下·保定期末) 用数学归纳法证明：1+ + ++ ＜n（n∈N* ，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（） A . 2k﹣1 B . 2k C . 2k﹣1 D . 2k+1 5. （2分）(2018高二下·长春月考) 用数学归纳法证明假设 时成立,当时,左端增加的项数是（） A . 1项 B . 项 C . 项 D . 项 6. （2分）用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（） A . （3k+2） B . （3k+4） C . （3k+2）+（3k+3） D . （3k+2）+（3k+3）+（3k+4） 7. （2分）(2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明 （）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）

数学高考第一轮复习策略

数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课， 先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些 还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举 一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课 中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 三、建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析， 然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。 每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类： 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型

古_典_概_型 [知识能否忆起] 一、基本事件的特点 1．任何两个基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点 1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性． [提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 . [小题能否全取] 1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1 解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23 . 2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13 D.23 解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－ 515＝23 . 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( ) A.13 B.23

C.12 D.14 解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝2 3 . 4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________． 解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29 . 答案：29 5．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________． 解析：P ＝3×210＝3 5. 答案：35 1.古典概型的判断： 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型． 2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求． 典题导入 [例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45 [自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，

2014届高考数学(人教版)总复习提高分冲刺模拟卷6.5推理

第6章 第5节 课时作业 一、选择题 1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d”； ③“若a ，b ∈R ，则a －b>0?a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 ①②正确，③错误，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小． 【答案】 C 2．观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …， 可以得出的一般结论是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1) 2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2 【解析】 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 【答案】 B 3．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 【解析】 y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小

高三上学期一轮复习数学教学案与抢分训练---数学归纳法

第3讲 数学归纳法 ★知识梳理★ 1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可 2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 ★重难点突破★ 重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 难点：对不同类型的数学命题，完成从k 到k+1的递推 重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法 1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 问题1用数学归纳法证明：22431 31414141?- =+++n 错证：（1）当n=1时，左=右=4 1 1，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立， 那么当n=k+1时，2 112431314 11] )41(1[41414141?-=--=+++++k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设 2.归纳起点0n 未必是1 问题2：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为2 32n n - 点拔：本题的归纳起点30=n 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式 问题3：在数列}{n a 中，3 3,2111+== +n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式 点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一 解析：,73,632121=== a a ,9 3,8323==a a 猜想53 +=n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，2 1 5131=+= a ，猜想成立 （2）假设当n=k 时猜想成立，则5)1(335 3533331++=+++? = +=+k k k a a a k k k

最新高考数学第一轮复习教案1

高三一轮复习 5.4 数列求和 （检测教 师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4 ＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝ －3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15， 则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列???? ??1a n a n ＋1的 前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1 101＝100 101，故选A. 3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n

＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008 ＝( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝ 6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1 a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008＝ 2? ????1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2? ? ? ??1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1 a 2 008＝2? ??? ?1－12＋2? ????12－13＋…＋2? ????1 2 008－12 009＝2? ????1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A

高三数学第一轮复习教学案

天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行；

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版

【教学目标】 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】 1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足， 直线AC ?平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么 cos θ=cos θ1cos θ2． 3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角． 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】 1．下列命题中，正确的是 ( ) (A )垂直于同一条直线的两条直线平行 (B )平行于同一平面的两条直线平行 (C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线 2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( ) (A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1 (C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直 3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( ) (A )异面直线 (B )相交直线 (C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线 4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( ) C α D A B O