推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念

1．逆矩阵的定义

对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1

. 2．逆矩阵的性质

(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1

＝B －1A －1

. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法

(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝????

??ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1

＝

????????d ad －bc －b

ad －bc －c ad －bc a ad －bc .

(2)待定系数法． (3)逆变换法．

[对应学生用书P30]

[例1] 求矩阵A ＝??

??

3 22 1的逆矩阵．

[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．

[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1

＝??????xy zw ，

则??????3 22

1??????xy zw ＝????

??1 00

1.

即????3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝???

?1 00 1， 故?

??

??

3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，?

??

??

3y ＋2w ＝0，

2y ＋w ＝1，

解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，

从而A 的逆矩阵为A －1

＝??

??－122－3.

法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，

∴A －1

＝????

??－122－3.

用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1

，再由AA －1

＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1

.

1．(江苏高考)已知矩阵A ＝??

????－1002，B ＝????

??1206，求矩阵A －1

B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????ab cd ，则??

????－1

0 0 2??????ab cd ＝??????

1

00

1，即??????－a －b 2c 2d ＝????

??1

00

1

故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12

，从而A 的逆矩阵为A －1＝????????

－1 0 0 12， 所以A －1

B ＝?

??

??

???

－1

0 0 12??????

1 20 6＝????

??－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝????

21

－3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．

解：由M ＝????21 －3

－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，

故M

－1

＝????－1－1 32.

从而由????21

－3－1????x y ＝????

13 5得

????x y ＝????－1－1 32????13 5＝????－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝???

? 2－3， 故?

??

??

x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．

[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．

(1)A ＝??????2001；(2)B ＝????

??01－10.

[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．

[精解详析]

(1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，

横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12

，所对应的变换矩阵为A －1

＝?????

???

12 00 1.

(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.

它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1

＝????

??

0 －11 0

.

从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．

关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．

3．已知矩阵A ＝

?????

???－12

32－32 －12，求A －1

.

解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°

∴A －1

＝?

?

??

??－ －－－

－

＝?????

???－12 －32 32 －12.

4．已知矩阵A ＝?????

???

12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，

所以A －1

＝?

??

??

??

?2 00 15.

[例3] 若矩阵A ＝??

????

2

00

5，B ＝????

??1 30

1，求矩阵AB 的逆矩阵．

[思路点拨] 根据公式(AB )－1

＝B －1A －1

，先求出B －1

、A －1

，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，

所以A

－1

＝

?????

???1

20015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，

其逆矩阵B －1

＝????

??1 －30 1，

∴(AB )－1

＝B －1A －1

＝?????

?

1－301????????12001

5＝?????

???12－

350 15

. (1)要避免犯如下错误(AB )－1

＝A －1B －

1

. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．

5．已知A ＝?????

?1 －10 1?????

???12

－3232

12，求A －1

.

解：设M ＝??????1 －10 1，N ＝

??????

??12 －3232 12，则A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，

∴M －1

＝??

??

??

1

10

1，同理N －1

＝

?????

??? 12

32－32 12.

由逆矩阵的性质，得

A －1＝(MN )－1＝N －1M －1

＝????????1232－3212??????1101＝

?????

???

121＋32－321－32

. 6．若矩阵A ＝??????1001，B ＝??????1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1

变换下的曲线方程．

解：(AB )－1

＝B －1A －1

＝??????1－201??????1001＝????

??

1－201.

设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1

对应变换下变成Q (x ′，y ′)

则??????x′y′＝??????1 －20 1??????x y ＝????

??x －2y y . ∴?

??

??

x′＝x －2y ，y′＝y.故?

??

??

x ＝x′＋2y′，

y ＝y.′

∴P (x ′＋2y ′，y ′)．

又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2

＋(y ′)2

＝1. 展开整理为(x ′)2

＋4x ′y ′＋5(y ′)2

＝1. 故所求曲线方程为x 2

＋4xy ＋5y 2

＝1.

[例4] 已知矩阵A ＝??????12－2－3，B ＝??????2312，C ＝????

??

0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .

[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1

CB －1

，从而求解．

[精解详析] ∵A －1

＝????

??

－3 －2 2 1，

B －1＝??

??

??

2 －3－1 2，

∴X ＝A －1

CB －1

＝??

????－3 －2 2 1??????0 11 0????

??

2 －3－1 2

＝??????－2 －3 1 2?????? 2 －3－1 2＝????

??－1

0 0

1

.

此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．

7．已知矩阵A ＝??

??

??

1 －23 －7.

若矩阵X 满足AX ＝??????

31，试求矩阵X .

解：设A －1

＝????

??

xy zw ，

则??????1 －23 －7??????xy zw ＝??????

1 00 1，

即??

????x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝??

??

??1

00

1，

所以?????

x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，

3y －7w ＝1，

解得?????

x ＝7，

y ＝－2，z ＝3，

w ＝－1.

故所求的逆矩阵A －1

＝????

??

7 －23 －1.

因为AX ＝????

??

31，

所以A －1AX ＝A －1????

??31， 所以X ＝A －1

??????31＝??????7 －23 －1??????31＝????

??

19 8.

8．若点A (2,2)在矩阵M ＝????

??

cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，

求矩阵M 的逆矩阵．

解：因为M ??????22＝????

??

－2 2，

即??

????2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝????

??

－2 2，

所以???

??

cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.

解得???

?

?

cos α＝0，sin α＝1.

所以M ＝??

??

??

0－110. 法一：由M ＝??????0－110＝??????

cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变

换矩阵，于是M －1

＝?

?

?

???－－

－

－

－

＝????

??01－10.

法二：由M ＝??????0－110，则ad －bc ＝1≠0.∴M －1

＝????

??01－10.

[对应学生用书P32]

1．求下列矩阵的逆矩阵．

(1)A ＝??????1123；(2)B ＝????

??

2345.

解：法一：利用逆矩阵公式．

(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1

，且 A －1

＝?????

???3

1－11－2111＝??????3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1

，且 B －1

＝

????????5－2 －3－2－4－2 2－2＝??

???

???－52 32 2 －1.

法二：利用待定系数法．

(1)设矩阵A 的逆矩阵为??????

ab cd ，

则??????1 12

3??????ab cd ＝????

??1 00

1，

即??????a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝????

??1 00

1.

故?????

a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，

b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.

解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1

＝??

??

??

3 －1－2 1.

(2)设矩阵B 的逆矩阵为??????

xy zw ，

则??????2 34

5??????xy zw ＝????

??1 00

1，

即??????2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝????

??1 00

1.

故?????

2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.

解得x ＝－52，z ＝2，y ＝3

2

，w ＝－1.

从而B －1

＝?????

???－52 322 －1.

2．已知可逆矩阵A ＝??

????a 27 3的逆矩阵A －1

＝????

?? b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1

＝E ，

所以??

????a

27

3?????? b －2－7 a ＝????

??1 00

1，

即??

????ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝??

??

??1

00

1，

所以????

?

ab －14＝1，7b －21＝0，

－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.

3．已知A ＝??

????

1

11

2，B ＝?????? 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝??

????

1 11

2，B ＝????

?? 2 －1－1 1， 所以AB ＝??

????1

11 2?????? 2 －1－1 1＝????

??1 00

1，

BA ＝?????? 2 －1－1 1??

????1 11

2＝????

??1 00

1，

所以B 是A 的逆矩阵． 4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵．

(1)A ＝??

????

2 00

1，B ＝????

??1 00

4；

(2)A ＝??????－1 0 0 －1，B ＝??

??

??1 23

4.

解：(1)(AB )－1

＝B －1A －1

＝????????1 00 14????????12 00 1＝?????

???12 0

14

. (2)(AB )－1＝B －1A －1

＝????????－2132－12??????

－10

0－1 ＝?????

???2－1－32 12. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；

(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1

；如果不可逆，请说明理由．

解：(1)设A ＝??????ab cd ，依题意，得??????ab cd ?????? 2－1＝?????? 3－4，??????ab cd ??????－1 2＝????

??05，

即?????

2a －b ＝3，

2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.

解得?????

a ＝2，

b ＝1，

c ＝－1，

d ＝2.

所以A ＝????

??

21－12.

(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：

设矩阵A 的逆矩阵为????

??

xy zw ，

则由?????? 2 1－1 2??????xy zw ＝????

??

1 00 1，得?????

2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.

解得???????

x ＝25

，y ＝－1

5

，z ＝1

5

，w ＝25.

故矩阵A 的逆矩阵为A

－1

＝?????

???25 －1515 25. 6．已知矩阵M ＝?

??

?????

1

00 12，N ＝?????

???12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．

解：M －1

＝??

??

??1

00

2，

∴M －1

N ＝??

????1 00

2??

??????12 00 1＝?????

???12 00 2. ∴??????x′y′＝????????12 00 2??????x y ＝

?????

???12x 2y 即?????

x′＝12x ，y′＝2y.

∴????

?

x ＝2x′，y ＝1

2

y′.

代入y ＝cos x 得1

2

y ′＝cos 2x ′

故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1

N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x .

7．已知矩阵A ＝??

??

??1

23

4.

(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；

(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．

解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝??????ab cd ，则??

????1

23

4????

??ab cd

＝????

??

1 00 1，得?????

a ＋2c ＝1，

b ＋2d ＝0，3a ＋4

c ＝0，3b ＋4

d ＝1，

解得?????

a ＝－2，

b ＝1，

c ＝32，

d ＝－12，

所以B ＝?????

???

－2

13

2

－1

2. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，则?????

???

－2

13

2

－1

2??????x y ＝??????x′y′， 即?

???

?

x′＝－2x ＋y ，y′＝32x －1

2y ，

又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，

即直线l 的方程为7x －3y ＝0.

8．已知曲线C 在矩阵

?????

???

13

00 12对应的变换作用下的象为x 2

＋y 2

＝1，求曲线C 的方程．

解：矩阵

?????

???13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12

，横坐标沿

x 轴方向缩短为原来的13

，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横

坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故

?????

???13

00 12－1

＝????

??3 00

2.

设圆x 2

＋y 2

＝1上任一点P (x ，y )在矩阵??

??

??3 00

2对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，

y ′)，

则?????

x′＝3x ，y′＝2y ，

即?????

x ＝1

3x′，y ＝y′

2，

代入x 2＋y 2

＝1，

得

9

＋

4

＝1.

故曲线C 的方程为x29＋y2

4＝1.

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计三

1.2.1 函数的概念 教学设计 一、教材分析： 本节内容为《1.2.1函数的概念》 ，是人教A 版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如： 对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法． 二、学情分析： 在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解. 三、教学目标: (一)知识与技能 理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法 通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华. （三）情感、态度与价值观 通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美. 四、教学重点与难点： （一）教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点 函数概念的理解及符号“)(x f y =”的含义. ?? ?=.01)(是无理数时，当是有理数时， ，当x x x f

新课标下高中数学概念教学的实践与思考

新课标下高中数学概念教学的实践与思考 广东东莞实验中学黄芳芳523120 新一轮课程改革把培养人的创新能力放在重要位置, 重视知识传授的过程,强调各科目在学生个性发展、提高素质和健全人格上的作用。数学教学是实现这一教育目的的重要途径之一,而数学概念是数学思维的细胞,是形成数学知识体系的基本要素,是数学基础知识的核心。所以,数学概念教学是数学教学工作中的一项重要内容,是新课标下“人人学有用的数学”的前提，是提高中学数学教学质量的关键。 一、高中数学课程标准对概念教学的要求 高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。 二、当前高中数学概念教学中存在的问题 长期以来, 由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看做一个名词而已,概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,而没有看到像函数、向量这样的概念, 本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。在新课程理念下，研究和实践与之相适应的高中数学概念教学的范式与方法成为当务之需。那么，作为教师应如何进行数学概念的教学呢？笔者从以下几个方面作了努力与探索,收到了一定的效果 三、新课标下高中数学概念课的教学 新课标下教师要更新教学理念,重视概念课教学；正确选择教学方法,改进概念课的教学过程;精心设计问题情景,激发学生的学习兴趣;倡导学生自主探索，合作交流,优化学生的学习方式；引导学生重视概念的学习,提高应用概念解决问题的能力。 １. 重视数学概念引入的方法 新课标指出：概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础,揭示概念形成的实际背景,要创设好的问题情境,帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡,并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系． 1.1 从实际生活中,引入新概念 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例．并且注意选取事例不在于数量的多少,关键是要贴近学生的认识经历，能够反映概念的本质特征。 案例1:数列极限的概念引入,从学生熟悉的砍木棍引入：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有这样一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．意思是说:一根一尺长的木棍,每天砍去一半，这样可以无限制的进行下去.让学生将每天剩余的木棍长度和已砍去的木棍长度写成两个数列,并把它们的各项标在数轴上,引导学生归纳两个数列的共同点特征：(1)都是无穷数列；（２）随着项数的无限增大，数列的项无限趋近于一个常数.从而引出数列极限的定义。 1.2 在体验数学概念产生的过程中引入概念 数学概念的引入,应从实际出发,创设情景，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强

《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》

《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》 课题开题报告 浙江温州第二十二中学高洪武325000 一、课题提出的背景及现实意义 新一轮课程改革已经在全国部分省市如火如荼地开展，为了进一步扩大普通高中新课程实验范围，教育部决定从2006年秋季起，福建、浙江、辽宁和安徽4省将全面进入普通高中新课程实验。这将意味着我省教师将真正意义上进入新课程教学的实践与研究了。作为高中数学教师，理所当然将在这一实验过程中扮演着重要的角色。在新课程理念下，对构建数学理论大厦的数学概念如何实施教学是摆在每一位老师面前的一个严峻的课题。 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展，能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。那么在新课标下如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念；如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题，我想关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学，为此“新课标下高中数学概念教学的实践与研究”课题在这样的背景下应运而生。 二、国内外关于同类课题的研究综述和课题研究的理论依据 1.国内外关于同类课题的研究综述： 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段），高中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 2. 课题研究的理论依据: 2-1 一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论： （1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。 （2）同化、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。 （3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的过程。

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计新版

函数的概念教学设计 教学内容分析 函数的概念是数学中最重要的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。本节课在高中数学中有着承上启下的作用，从初中运动观下的函数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义，本节课渗透的函数思想将被应用到数学的各个分支领域。本课的教学重点是：理解函数的概念，教学难点是：函数概念及对符号的理解。 教学目标设置 知识与能力：理解函数的集合观定义，并会使用符号表示；理解函数符号；会求一些简单函数的定义域，理解对应法则；使学生提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力。 过程与方法：创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上，理解函数的集合观定义，进而理解法则，培养学生类比与联想的学习能力。 情感、态度和价值观：学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程，培养了学生质疑、探究的科学精神，也培养学生唯物主义观点。 学生学情分析 教学对象：市重点高中学生。学生对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识变量间的依存关系，并且掌握了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质，已经基本具备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但高一学生的抽象概括能力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教师的引领。 教学策略分析 在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究历程，学生不可能独立完成，这需要教师用材料铺好一条路，要了解学情并对学生的疑问做好预设，难度大的地方搭好梯子，本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。 1、怎么从初中概念出发得到高中函数概念？ 学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语言刻画函数概念很有难度，如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从生活中的三个实例入手，用问题串引领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则，初中定义的”某一区间”用集合语言描述就是定义域A，自然过渡到集合语言描述函数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立函数模型的过程和方法。 2、对应法则是指什么？

高中数学课的基本课型

数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 （一）数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以下几点： 第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意义？它们与过去学过的概念有什么联系？ 第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这些规定和限制条件的确切含义又是什么？ 第三，概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术语比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？ 第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？第五，根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？由于数学概念是抽象的，因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发，通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征，着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念，常分散在各单元出现，在教学进行到一定阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以求巩固、深化、发展和运用。 （二）数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础。因此，它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方法，从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时，首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后，要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高中还有数学归纳法）。 命题课教学还要注意： 第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，教学语言要准确，论证要严格，书写要规范，

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念

第09课时 逆矩阵的概念 一、要点讲解 1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法： 二、知识梳理 1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵． 3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________． 5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________． 三、例题讲解 例1． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换； (3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）． 例2． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在， 请说明理由． (1)0110??????=A ； (2)11210??????????=B ； (3)0110??-????=C ； (4)1010?????? =D ； 例3． 求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵． 四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．

高中数学概念课教学

高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是

培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。

(完整版)全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)

全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版） 中华人民共和国教育部制订 数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学能够处理数据、观测资料，进行计算、推理和证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。随着社会的发展，数学的应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学技术的基础；它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。 高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础，对形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。因此，使学生在高中阶段继续受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义现代化建设所需要的人才打好基础是十分必要的。 一、教学目的 高中数学的教学目的是：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。 基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。 基本技能是指：按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器）、简单的推理、画图以及绘制图表等技能。 思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。 运算能力是指：会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据，并理解算理；能够根据问题的情景，寻求与设计合理、简捷的运算途径。 空间想象能力主要是指：能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状、位置和大小；能够想象几何图形的运动和变化；能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题本质。 解决实际问题的能力是指：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。 创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。 良好的个性品质主要是指：正确的学习目的，学习数学的兴趣、信心和毅力，实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，欣赏数学的美学价值。 高中数学中所培养的辩证唯物主义观点主要是指：数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。 二教学内容的确定和安排 高中数学教学内容应精选那些在现代社会生活、生产和科学技术中有着广泛应用的，为进一步学习所必需的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，同时又是学生所能接受的知识。在内容安排上，既要注意各部分知识的系统性，注意与其他学科的相互配合，更要注意符合学生的认识规律，还要注意与义务教育初中数学内容相衔接。 高中数学分必修课、选修课，选修课包括选修Ⅰ和选修Ⅱ。必修课总计280课时，选修Ⅰ总计52课时，选修Ⅱ总计104课

高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念

高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

6 函数的概念 教材分析 与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念． 函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念． 对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解． 教学目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3. 了解映射的概念． 任务分析 学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系． 教学设计 一、问题情景 1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t 的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）． 2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．

推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念 1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1 . 2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1 ＝B －1A －1 . (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法 (1)公式法：对于二阶矩阵A ＝???? ??ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1 ＝ ????????d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (2)待定系数法． (3)逆变换法． [对应学生用书P30] [例1] 求矩阵A ＝?? ?? 3 22 1的逆矩阵． [思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1 ＝??????xy zw ， 则??????3 22 1??????xy zw ＝???? ??1 00 1. 即????3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝??? ?1 00 1， 故? ?? ?? 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，? ?? ?? 3y ＋2w ＝0， 2y ＋w ＝1， 解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，

从而A 的逆矩阵为A －1 ＝?? ??－122－3. 法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0， ∴A －1 ＝???? ??－122－3. 用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1 ，再由AA －1 ＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1 . 1．(江苏高考)已知矩阵A ＝?? ????－1002，B ＝???? ??1206，求矩阵A －1 B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????ab cd ，则?? ????－1 0 0 2??????ab cd ＝?????? 1 00 1，即??????－a －b 2c 2d ＝???? ??1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12 ，从而A 的逆矩阵为A －1＝???????? －1 0 0 12， 所以A －1 B ＝? ?? ?? ??? －1 0 0 12?????? 1 20 6＝???? ??－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝???? 21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解：由M ＝????21 －3 －1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故M －1 ＝????－1－1 32. 从而由????21 －3－1????x y ＝???? 13 5得 ????x y ＝????－1－1 32????13 5＝????－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝??? ? 2－3， 故? ?? ?? x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．

(完整word版)高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总

目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21)

第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等

1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

高中数学 矩阵及逆矩阵 试题及解析

高中数学矩阵及逆矩阵试题 一．选择题（共13小题） 1．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D． 2．定义＝a1a4﹣a2a3，若f（x）＝，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（） A．y＝2sin（x﹣）B．y＝2sin（x+） C．y＝2cos x D．y＝2sin x 3．给出一个算法＝x1y2﹣x2y1，如果，那么实数a的值等于（）A．0B．1C．2D．3 4．设行列式＝n，则行列式等于（）A．m+n B．﹣（m+n）C．n﹣m D．m﹣n 5．设＝，n∈N*，则n的最小值为（） A．3B．6C．9D．12 6．函数的最小正周期是（） A．2πB．πC．D． 7．有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（） A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC 8．定义运算＝ad﹣bc，则函数图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D． 9．已知矩阵A＝，C＝，若AC＝BC，则矩阵B＝（）

A． B． C． D．，其中a，c为任意实数 10．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，则矩阵A的特征值为（） A．﹣1B．4C．﹣1，4D．﹣1，3 11．矩阵的逆矩阵是（） A．B．C．D．12．矩阵A＝的逆矩阵为（） A．B． C．D． 13．设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|＝（）A．|A|B．C．|A|*D．|A|n﹣1二．填空题（共22小题） 14．若＝0，则x＝． 15．若θ∈R，则方程＝0的解为． 16．增广矩阵（）的二元一次方程组的解（x，y）＝． 17．已知矩阵A＝，矩阵B＝，计算：AB＝． 18．N＝，则N2＝． 19．若行列式＝1，则x＝． 20．二阶行列式的运算结果为．

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

新课标下如何进行高中数学概念教学

新课标下如何进行高中数学概念教学 发表时间：2011-01-26T17:01:56.810Z 来源：《少年智力开发报》2010年第9期供稿作者：杨昆 [导读] 如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。 贵州省平塘民族中学杨昆 教师应该准确地提示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，并在解决各类问题时灵活应用数学概念是新课标下数学概念的教学要求。因此正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。下面我从引入概念、解析概念、巩固概念三个方面谈谈对概念教学。 一、引入概念 概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础，揭示概念形成的实际背景，要创设好的问题情境，帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡，并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系．下面介绍几种引入数学概念的方法： 1.从实际生活中，引入新概念。 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例． 2.创设问题情境，引入新概念。 教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生能够从问题分析中，归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的概念才容易被学生理解和接受。 3. 从最近概念引入新概念。 数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。教学中充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验引入概念，使相应的具体经验升华为理性认识，不仅能使学生准确地理解概念的形式定义，而且有利于建立起关于概念的恰当心理表征。使学生对知识的积累变成对知识的融合。 二、解析概念 生动恰当的引入概念，只是概念教学的第一步，，要使学生真正掌握新概念，还必须多角度、多方位的解析概念。对概念理解不深刻，解题时就会出现这样或那样的错误，要正确而深刻地理解一个概念并不是一件容易的事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当地引导学生正确地分析解剖概念，充分认识概念的科学性，抓住概念的本质。因此，教师要充分利用概念课，培养学生的能力，训练学生的思维，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。为此，我们可以从以下几个方面努力，加深对概念的理解。 1.用数学符号语言解析概念。数学教学体现了数学语言的特点，数学语言无非是文字叙述、符号表示、图形表示三者之间的转换，当然要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力。数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误。 2.用图形语言解析概念。数与形的结合是使学生正确理解和深刻体会概念的好方法，数形结合妙用无穷，教学中凡是“数”与“形”能够结合起来讲的，一定要尽量结合起来讲。 3.逆向分析，加深对概念的理解。人的思维是可逆的，但必须有意识地去培养这种逆向思维活动的能力。对某些概念还应从多方面设问并思考。 4.讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延，又称范围。 5.揭示概念与概念之间的区别与联系,使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系,把新概念纳入到已有概念体系中,同化新概念。教学中，应将相近、相反或容易混淆的概念放到一块来对比讲解，从定义、图形、性质等各方面进行分析对比，从而正确理解把握概念.。 三、巩固概念 学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。我们可以选择概念性、典型性的习题，加强概念本质的理解，使学生最终理解和掌握数学思想方法。例如，当学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形ABCD的三个顶点ABC的坐标分别是(1,2),(2,4),(0,2),试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生应用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点D的坐标和向量CD的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。 总之，在中学数学概念的教学中，只要针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能更好地完成数学概念的教学任务，从而有效地提高数学教学质量。