高二理科数学试卷
郑州一中2011—2012学年下期中考
13届 高二数学（理）试题
命题人：田顺利 审题人：李军丽
说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120
分钟。
2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。
第Ⅰ卷 （选择填空题，共80分）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分， 1、复数
i 2
12i
-=+（ ） A. i
B. i -
C. 43i 55
-
- D. 43i 55
-
+ 2、若集合{},{}x A x x B x
x
-2
=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ?=（ ）
A ． {}x x -1≤<0
B ． {}x x 0<≤1
C ．{}x x 0≤≤2
D ．{}x x 0≤≤1 3、函数)0()2(cos 2>++=
?
-x dt t t y x
x
（ ）
A ． 是奇函数
B ．是偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．以上都不正确
4、若函数在
处取最小值,则（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．4 5、曲线在点,
处的切线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
6、函数()e 2x
f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）．
Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 7、利用数学归纳法证明不等式()),2(1
21
.....31211*N n n n f n ∈≥<-++++
的过程，由k n =到1+=k n 时左边增加了 （ ）
A ． 1项
B ．k 项
C ． 1
2
-k 项 D ． k
2项
8、设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）
A ．1
B ．
1
2
C
．2
9、如图长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现
将一质点随机投入长方形OABC 阴影区域的概率是（ ） A ．
125 B ．21 C ．32 D ．4
3
10、已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14
a b
+ A ．72 B ．4 C ． 9
2
11、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，a b +中至少有一个负数”时的假设为（ ）A ．,,,a b c d 中至少有一个正数 B ．,,,a b c d 全为正数
C ．,,,a b c d 全都大于等于0
D ．,,,a b c d 中至多有一个负数
12、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3
()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。 13、i 为虚数单位，=+++
7
531
111i i i i ＿＿＿ 14、不等式130x x +--≥的解集是 ． 15、函数f(x)=
lnx
x
的单调递减区间是 16、给出下列四个命题：
①,x x R e ex ?∈≥；②0(1,2)x ?∈，使得02
00(32)340x x x e x -++-=成立； ③在ABC ?中，若tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ?是锐角三角形. ④已知长方体的长、宽、高分别为,,,a b c 对角线长为l ，则3333l a b c >++； 其中正确命题的序号是_____
郑州一中2011—2012学年下期中考
13届 高二数学（理）答案卷
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13、＿＿＿＿＿ 14、＿＿＿＿＿ 15、＿＿＿＿＿ 16、＿＿＿＿＿
第II 卷 （解答题，共70分）
三、解答题：
17、（本小题满分10分）函数x ax bx x f 3)(2
3
-+=若)(x f 为实数集R 上的单调函数，且1-≥b ，设点),(b a P ，试求点P 的轨迹所形成的图形的面积
18、（本小题满分12分）已知1a b +=，对,(0,)a b ?∈+∞，14
|21||1|x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围。
19、（本小题满分12分）
设函数3
2
()2f x x a x b x a =+++，2
()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
20、（本小题满分12分）数列{}n a 中，3
2
1-
=a ，其前n 项和n s 满足2
1
1+-
=-n n s s )2(≥n ，
(1)计算4321,,,s s s s ；(2)猜想n s 的表达式并用数学归纳法证明。
21、（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长
为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折
起，使得ABCD四个点重合，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V
（cm3）最大，试问x应取何值？并
求出此时包装盒的高与底面边长的
比值.
22、（本小题满分12分）
设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x
的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1
a
对任意x ＞0成立．