年人教A版高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 4.3 4.3.1 4.3.2

第四章4．3空间直角坐标系

4．3．1空间直角坐标系

4．3．2空间两点间的距离公式

课时分层训练

‖层级一‖……………………|学业水平达标|

1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()

A．3B．2

C．1 D．0

解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；

④正确．故选C.

2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()

A．7 B．－7

C．－1 D．1

解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.

3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()

A．(0，2，0) B．(0，2，3)

C．(1,0，3) D．(1，2，0)

解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.

4．已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )

A ．2 5

B ．4

C ．2 2

D ．27

解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，

故|BC |＝

(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.

5．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4

D ．6或－2

解析：选D ∵|AB |＝(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2 ＝(x －2)2＋8＝26， ∴x ＝6或－2.

6．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是 三角形．(填三角形的形状)

解析：|AB |＝

(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.

|AC |＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，

|BC |＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC |＝|BC |，由三边长度关系知能构成三角形，

所以△ABC 是等腰三角形． 答案：等腰

7．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为 ． 解析：由两点间距离公式可得 |AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝

5? ??

??t －152＋95≥35

5. 答案：35

5

8．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD

上，且|CG |＝1

4|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，

由题意，得F ? ????12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ? ????0，34，0，则E ? ?

???0，78，12.

所以

|EF |＝

? ????0－122＋? ????78－122＋? ??

??12－02＝

418. 答案：41

8

9．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．

解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .

在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，

∴点D 的坐标为?

????

0，－12，32.

10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．

解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ? ??

??32，3，1.

M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．

由两点间距离公式，得 |MN |＝

? ??

??

32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|

1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内

D ．在xOz 平面内

解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称

D ．以上都不对

解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )

A.13

2 B.534 C.532

D.532

解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为? ?

?

??2，32，3，

由空间两点间的距离公式，得|PC |＝

(2－0)2

＋? ??

??32

－12＋(3－0)2

＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )

A ．9 B.29 C ．5

D ．2 6

解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.

5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．

解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段

AB

在

yOz

平面上的射影长|A ′B ′|＝

(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：101

6．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．

解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．

答案：(0，－1,0)

7．对于任意实数x ，y ，z 则 (x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最

小值为 ．

解析：设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.

由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6， 故所求的最小值为 6. 答案： 6

8．在空间直角坐标系中，解答下列各题．

(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；

(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．

解：(1)设P(x,0,0)．

由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.

所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．

(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．

则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2

＝2(x0－1)2＋51.

所以当x0＝1时，|MN|min＝51.

此时点M的坐标为(1,0,0)．

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