圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
ep
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：.
1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则
∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF
ep
．
1ecos
当P在双曲线的左支上时，PF
ep
1ecos
.
推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有
112
.
MF NF ep
2
cos 2
.
c
2 2 2
三、圆锥曲线的焦点弦长
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，
a 2
b 2 ep ep
2ab 2
1、椭圆中， p ， MN
c
c
1 ecos
1 ecos(
) a 2 c
2、双曲线中，
ep ep
2ab 2
若 M 、N 在双曲线同一支上， MN
；
1 ecos
1 ecos(
)
a 2 c 2 cos
ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN
.
1 ecos
1 ecos
c 2 cos a 2
3、抛物线中， MN
p
p
2p
.
1 cos 1 cos(
)
sin
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点，
1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF
1
2
1
a ex ，PF
2
a ex ；
2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2
当点 P 在双曲线右支上时， PF
1
ex a ， PF
2
ex a ；
当点 P 在双曲线左支上时， PF
1
a ex ， PF
2
a ex ；
3、若 F 是抛物线的焦点， PF
x
p . 2