2021年高三第一次统一考试(理)

2021年高三第一次统一考试（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题共40分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的球的体积公式

概率是P，那么n次独立重复试验

中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）不等式的解集是（）

A. B.

C. D.

（2）在下列给定的区间中，使函数单调递增的区间是（）

A. B.

C. D.

（3）已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）

A. B.

C. D. 与平面M成等角

（4）数列的前n项和为，则这个数列一定是（）

A. 等差数列

B. 非等差数列

C. 常数数列

D. 等差数列或常数数列

（5）设分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线

的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（）

A. B. C. D.

（6）定义运算，则符合条件的复数z为（）

A. B. C. D.

（7）已知函数，则的反函数为（）

A. B.

C. D.

（8）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）

A. B.

C. D.

第II卷（非选择题共110分）

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。

（9）函数的最小正周期是__________，其图象的相邻两条对称轴之间的距离是____________。

（10）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为__________，球的表面积为__________（不计损耗）。

（11）圆C：（为参数）的普通方程为__________，设O为坐标原点，点M（）在C 上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________________。

（12）设P（x，y）是图中四边形内的点或四边形边界上的点（即x、y满足的约束条

（13）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8。现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击。如果只有3发子弹，则射击次数的数学期望为_____________（用数字作答）。

（14）已知函数是R上的减函数，A（0，-3），B（-2，3）是其图象上的两点，那么不等式的解集是____________________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分14分） 已知函数

（I ）证明：函数是奇函数； （II ）求的单调区间。

（16）（本小题满分14分）

已知a b ==<<<(cos sin )(cos sin )ααββαβπ，，，，0 （I ）求的值；

（II ）求证：与互相垂直； （III ）设且，求的值。

（17）（本小题满分14分）

某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为，乙队获胜的概率均为。求：

（I ）甲队以3：0获胜的概率； （II ）甲队获得总冠军的概率。

（18）（本小题满分14分）

直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，，E 是A 1C 的中点，且交AC 于D ，。 （I ）证明：平面； （II ）证明：平面；

（19）（本小题满分12分）

自点A（0，-1）向抛物线作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线与抛物线C交于不同的两点E、F，直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点。

（I）求切线AB的方程及切点B的坐标；

（20）（本小题满分12分）

把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1

3 5

7 9 11

————

—————

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。

（I）若，求的值；

（II）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。

朝阳区高三第一次统一考试数学（理工农医类）

参考答案及评分标准

一. 选择题： 1. C 2. A 3. D 4. B

5. D

6. A

7. C

8. B

二. 填空题： 9. ， 10.

11. ，

12. 2 13. 1.24 14. 三. 解答题：

15. 解：（I ）证明：显然的定义域是R 。设任意， f x x x x x f x ()()()()()-=--+-=--+=-3

3

33，

4分

函数是奇函数 6分 （II ）解：， 8分 令，由，解得 10分 由此可知，当时，，

所以函数的单调增区间是（-1，1）； 12分 当或时，，

所以函数的单调减区间分别是（，-1），（1，） 14分 （写出的区间，无论是否包含端点均可给分。） 16. 解：（I ）解： 3分 （II ）证明：

=+-++-(cos cos )(cos cos )(sin sin )(sin sin )αβαβαβαβ 6分 ， 8分

（III ）解：

ka b k k +=++(cos cos sin sin )αβαβ，， a kb k k -=--(cos cos sin sin )αβαβ，，

10分

∴+=+++=++-||(cos cos )(sin sin )cos()ka b k k k k αβαββα22212，12

分

||(cos cos )(sin sin )cos()a kb k k k k -=-+-=--+αβαββα22212 ||||cos()cos()ka b a kb k k +=-∴-=--，22βαβα

又

002

<<<∴<-<∴-=

αβπβαπβαπ

，. 14分

17. 解：（I ）设“甲队以3：0获胜”为事件A ，则 3分 （II ）设“甲队获得总冠军”为事件B ，

则事件B 包括以下结果：3：0；3：1；3：2三种情况

若以3：0胜，则；6分若以3：1胜，则9分

若以3：2胜，则12分

所以，甲队获得总冠军的概率为14分18. （I）证：

三棱柱中，1分

又平面，且平面，

平面3分

（II）证：

三棱柱中，

中

是等腰三角形6分

E是等腰底边的中点，

又依条件知

且

由①，②，③得平面EDB 8分

（III）解：

平面，

且不平行，

故延长，ED后必相交，

设交点为E，连接EF，如下图

是所求的二面角10分

依条件易证明

为中点，

A为中点

即12分

又平面EFB，

是所求的二面角的平面角13分

E为等腰直角三角形底边中点，

故所求的二面角的大小为14分

19. 解：（I ）由题意可设切线AB 的方程为：， 代入得，

点B 在第一象限，。切线AB 的方程为：

2分

y x y x y x y x =∴==∴=∴==2

2

2211，，，，'' 切点B 的坐标为（1，1）

4分

（II ）由（I ）线段AB 的中点M ，设直线的方程为， 点E （）、F （）、P （）、Q （） 由得 6分 直线与抛物线C 交于不同的两点E 、F ， 。解得或

AB PQ x x x x x x x x →=→=--=-+()()()()121434232

4343，，，，，

A 、P 、F 共线，

8分

x x x x x x x x x x x x x x 323222

2322322

3

32231110+=+∴+=+∴--=，()()

10分

同理由A 、E 、Q 共线得 ∴+=

+=+==x x x x x x x x m

m 43121212

1112

2

∴→=-=→

∈PQ x x AB R ()()()4312，λλ

12分

20. 解：（I ）三角形数表中前行共有个数，

第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。 故第行最后一个数是 2分

因此，使得的m 是不等式的最小正整数解。 由得 ∴≥

-++>-+=-+=∴=m m 1180242179212189

2

44

45

于是，第45行第一个数是

4分 （II ），。 故 6分

第n 行最后一个数是，且有n 个数，若将看成第n 行第一个数，则第n 行各数成公差为-2的等差数列，故。 8分

故S n n n n n =++++-+-122123121121

2231()()()()() (121221*********)

2341

S n n n n n =++++-++()()()()()()…，

两式相减得：

12121212121

2231S n n n n =++++-+()()()()… 10分

=---=--++12112112

121121211[()]

()()()n n n n n n

12分 注：1. 如有不同解法，请阅卷老师酌情给分； 2. 两个空的填空题，做对一个给3分。

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