高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0,

)2

π

θ∈时,0k ≥;(2）2

πθ=

时,k 不存在；(3）(

,)2

π

θπ∈时,0k <

（4)当倾斜角从0?

增加到90?

时,斜率从0增加到+∞;

当倾斜角从90?

增加到180?

时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程

（1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+

（3）两点式:

1

21

121x x x x y y y y --=--

(４)截距式：

1x y

a b

+= (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式

（1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP =

(2）点

00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =

(３）平行线间的距离：

10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d =

4．位置关系

(1）截距式：y kx b =+形式

重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠

平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式

重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系

1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所

有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程

（1)标准形式:2

2

2

()()x a y b R -+-=(0R >）

（2)一般式:2

2

0x y Dx Ey F ++++=(22

40D E F +->）

（3)参数方程：00cos sin x x r y y r θ

θ=+??=+?

（θ是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系

（１）点00(,)P x y 和圆222

()()x a y b R -+-=的位置关系:

当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=外

(2)直线0Ax By C ++=和圆222

()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=

的距离d =R 的大小关系

当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.

（3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时,两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时,两圆外切，有3条公切线; 当1212R R d R R -<<+时,两圆相交,有2条公切线; 当12d R R =-时，两圆内切，有１条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线; 4.当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：l =

例１若圆x 2

+ｙ２

=1与直线y =kx +２没有公共点,则实数k 的取值范围是__＿＿＿＿＿_. 解析:由题意知错误! >１,解得-错误!

例2已知两圆Ｃ1:x 2+y 2-2x +10ｙ－２4=０,Ｃ２:x ２＋y 2

+２x +2ｙ－8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____＿_______．

解析：两圆相减即得x －2y +4＝０． 答案：x －２y ＋4=0

例3设直线x -my -１=0与圆（x －1)2＋（ｙ－2)２

＝4相交于A 、B 两点,且弦A Ｂ的长为2３,则实数m 的值是___＿＿___．

解析：由题意得，圆心（1,2)到直线x -ｍy －１=0的距离d ＝＼ｒ(4-3)＝1，即错误!=１，解得m =±错误!． 答案:±＼ｆ(＼r(3),3)

例４若a ,b ,c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边),则圆Ｃ:x 2＋y ２

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c =0所截得的弦长为______＿_．

解析：由题意可知圆C :ｘ2+y 2＝4被直线l ：ａx ＋by ＋c =0所截得的弦长为2 错误!,由于a ２+b 2=c 2

，所以所求弦长为２3． 答案：2３

例5已知⊙Ｍ:x ２+(ｙ-2）２

＝1,Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ,B 两点. （1)若|AB |＝错误!，求|MQ ｜及直线ＭQ 的方程； (2）求证：直线A Ｂ恒过定点．

解:(1)设直线ＭQ 交AB 于点Ｐ，则|AP |＝错误!，又｜ＡM |＝1，ＡP ⊥MQ ，A Ｍ⊥AQ ,得｜MP |= 错误!＝错误!,

又∵｜M Ｑ|＝＼f （|MA ｜2

,|M Ｐ｜),∴｜MQ |=３．

设Q （x ，０)，而点Ｍ(0，２),由ｘ２

+2２

＝3,得x ＝±5, 则Q 点的坐标为（错误!，0)或(-错误!,0).

从而直线MQ 的方程为2x +错误!y －2错误!=0或2x -错误!y ＋2错误!=0. （2)证明：设点Q (ｑ,０),由几何性质，可知Ａ,B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为ｘ(x －q )+y (y -2)=0，而线段ＡB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得ＡＢ的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线ＡB 恒过定点错误!．

例６过点(-１,-2)的直线l 被圆x 2+y 2

-２x -２y +1＝0截得的弦长为 ＼ｒ(2）,则直线ｌ的斜率为_____＿_＿．

解析：将圆的方程化成标准方程为（x -1)２＋(y -1)2

＝１,其圆心为(1，1),半径r =1.由弦长为＼ｒ（２)得弦心距

为错误!. 设直线方程为ｙ＋2=k （ｘ+1)，即ｋx －y ＋ｋ－2＝０，则错误!=错误!，化简得7k 2

－24ｋ+17＝0，

得k =1或k ＝17

7

.

答案:1或错误!

例7圆x 2－２x +ｙ2

-3=０的圆心到直线x +＼r(３)y -３＝0的距离为_______＿． 解析:圆心（1,0)，d =错误!＝1. 答案:１

例8圆心在原点且与直线x +ｙ－2＝0相切的圆的方程为 ＿_＿____＿＿＿_________＿．

解析:设圆的方程为x 2+y 2＝a ２

（a ＞0) ∴错误!＝a ，∴a ＝错误!, ∴x 2＋ｙ2

=２.

答案:x 2+y 2

＝2

例9已知圆C 经过Ａ（５,１),B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆Ｃ的方程为__＿＿_____＿______.

圆C 的方程为x ２+y 2

+Dx ＋Ｆ＝０, 则错误! 解得错误!

圆C 的方程为x 2＋ｙ2

-4x -6=0.

[答案] (1)Ｃ (2)ｘ2+y 2

-4x －6=0

例10 (1)与曲线C ：ｘ2+y 2

+2x +2y ＝0相内切,同时又与直线l :ｙ=2-x 相切的半径最小的圆的半径是_______＿．

(2)已知实数x ，y 满足(x －２）2+(ｙ＋1)2

＝１则2x -y 的最大值为________,最小值为＿_______.

解析:（１)依题意，曲线C 表示的是以点C (-1，－1)为圆心，2为半径的圆,圆心C （-１,－１）到直线y ＝2－x 即x +ｙ－2=0的距离等于错误!=２错误!，易知所求圆的半径等于错误!=错误!.

(２）令b =２x －y ，则b 为直线2x -ｙ=b 在y 轴上的截距的相反数,当直线２x -ｙ=b 与圆相切时,b 取得最值.由错误!=1．解得ｂ＝5±错误!，所以2x -ｙ的最大值为5+错误!,最小值为5-错误!． 答案：(１)错误! （2）5＋错误! ５－错误!

例11已知x ,y 满足x 2+ｙ2

＝1,则＼ｆ(ｙ－２,x －１)的最小值为___＿____. 解析：错误!表示圆上的点P (x ，y )与点Ｑ（１,2)连线的斜率,所以错误!的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝ｋ(ｘ－1）即kx -y ＋2－ｋ＝0．由错误!＝1得k =错误!,结合图形可知，错误!≥错误!,故最小值为错误!.

答案:34

例１２已知两点A （－２,０),B (0,２)，点C 是圆x 2+y 2

－2x ＝０上任意一点，则△ABC 面积的最小值是＿___＿＿__．

解析:l AB ：x -y ＋２=0，圆心（1,0)到l 的距离d ＝错误!,

则AB 边上的高的最小值为3

2

－1．

故△ABC 面积的最小值是错误!×2错误!×错误!＝３-错误!． 答案:３－２

例１3平面直角坐标系x ｏｙ中，直线10x y -+=截以原点

O (1)求圆O 的方程；

(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ,Ｅ，当DE 长最小时,求直线l 的方程; (3）设M ，Ｐ是圆Ｏ上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为Ｎ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点(m ，0)和（n ,0),问ｍn 是否为定值?若是,请求出该定值；若不是，请说明理由.

解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=

,

所以圆O

= 故圆O 的方程为222x y +=.

⑵设直线l 的方程为1(0,0)x y

a b a b

+=>>,即0bx ay ab +-=，

由直线l 与圆O 相切,

=22111

2a b +=，

222222211

2()()8DE a b a b a b =+=++≥,

当且仅当2a b ==时取等号,此时直线l 的方程为20x y +-=． ⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -,22112x y +=,22222x y +=，

直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，12

21

21x y x y m y y -=-, 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，12

21

21

x y x y n y y +=+,

22222222

12211221122112212222

21212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2．

例１４圆ｘ2+y ２

=8内一点P （-1,2),过点P 的直线l 的倾斜角为α,直线l 交圆于A 、B 两点． （1）当α=

4

3π

时,求AB 的长； (2）当弦AB 被点Ｐ平分时，求直线l 的方程．

解:（1)当α=

4

3π

时,k AB =-１,

直线ＡB 的方程为y-２=-（ｘ+1），即x ＋ｙ-１=０． 故圆心（0，0）到A Ｂ的距离ｄ=2

1

00-+=

2

2， 从而弦长|AB ｜＝22

1

8-

=30. （２）设A(x １,ｙ1)，B （x 2，y 2),则x 1+x 2＝－２，y １＋y 2=4．

由?????=+=+,8,

82222

2121y x y x

两式相减得（ｘ１+x 2)(x 1-ｘ2）+(y 1＋y 2)（ｙ1－y 2)＝0， 即－2（x 1－x 2）＋4（y 1－y ２）=0, ∴ｋAB ＝

2

1

2121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y-2＝2

1

（x+１）,即x －2y ＋５＝0.

例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上. （1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;

（2）是否存在正实数ｒ,使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y ２=ｒ２

相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.

解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －ａ）2+(ｙ－b ）2=2５,

其中圆心(a ，ｂ）满足a-b+1０＝０.

又∵动圆过点(－5,0),∴(-5-a)２

+（０-b ）2=2５. 解方程组????

?=-+--=+-25

)0()5(0

102

2b a b a ,

可得??

?=-=010b a 或?

??=-=55

b a , 故所求圆C 的方程为（x+10)２

+y 2=２5或(ｘ+５）2+(ｙ-５)2＝25. (2）圆O 的圆心(0,0)到直线ｌ的距离d=

1

110+=52.

当r 满足ｒ+5＜ｄ时，动圆C 中不存在与圆Ｏ:ｘ2+y 2＝r 2相外切的圆；

当r 满足r+5>d 时,r 每取一个数值,动圆Ｃ中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2=r 2相外切； 当r 满足r ＋5=d,即r=52－5时,动圆Ｃ中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r ２

相外切.

题目

1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 .

2．求与圆52

2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.

３．若点P 在直线l 1：x +ｙ+3＝０上，过点P 的直线l 2与曲线Ｃ：(x －5)2+y 2＝16相切于点M ，则PM 的最小值 ．

4．设O 为坐标原点,曲线ｘ２

+y 2+2x -6y +1=０上有两点P 、Q ,满足关于直线x +m ｙ+4=0对称,又满足·

OQ ＝０. （1）求m 的值;

(２）求直线PQ 的方程.

5．已知圆C ：x 2+y 2-2x ＋4ｙ－4＝0,问是否存在斜率是１的直线ｌ,使l 被圆C 截得的弦AB ,以A Ｂ为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程;若不存在，说明理由．

6. 已知曲线C :x ２

+ｙ2－4ax ＋２ａy -20＋２0a =0.

(1）证明:不论a取何实数，曲线C必过定点;

（２）当a≠2时，证明曲线Ｃ是一个圆，且圆心在一条直线上；（3)若曲线Ｃ与x轴相切，求ａ的值．