数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题
1．验证下列等式 （1）
C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()(
证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(.
（2）因为C u du +=?, 所以?
+=C x f x df )()(.
2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点
)5,2(.
解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=
??22)()(.
于是知曲线为C x y +=2
, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以
有 C +=2
25, 解得1=C , 从而所求曲线为12
+=x y
3．验证x x y sgn 2
2
=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 2 x y -=, x y -='; 当0=x 时, y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim 02 0==-→→x x x x x x x , 所以?? ? ??=<-=>='||0 000x x x x x x y 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 解 由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。 5．求下列不定积分 ⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-?????- 31 423 2 3 32 33421)1 1( ⑵C x x x dx x x x dx x x ++-=+-=-??||ln 343)12()1 (2 3 32 12 2 ⑶ C g x C x g dx x g gx dx += +?= = ?? - 22212122 12 1 ⑷ ? ??+?+=+?+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++?+=9 ln 96ln 624ln 4 ⑸ C x dx x dx x +=-= -?? arcsin 2 3 112344322 ⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan 1(31 )111(31)1(311)1(32 2222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=??tan )1(sec tan 2 2 ⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=?? ?)2sin 2 1 (21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx x x x x dx x x x +-=+=--=-??? cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽ C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=?-=????tan cot )cos 1 sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt t t t t t +=+??= ?=???90 ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿ C x dx x dx x x x +==?? 815 8 715 8 ⒀ C x dx x dx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+???arcsin 212 )1111()1111( 222 ⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +- =+=+=+????2cos 2 12sin 1)2sin 1()sin (cos 2 ⒂ C x x dx x x xdx x ++=+= ??)sin 3sin 3 1(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x x x x x x x x x x ++--=-+-=------??333333 13331)33()( 习题 1．应用换元积分法求下列不定积分： ⑴ C x x d x dx x ++=++= +??)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==??22222 224 1)2(41 ⑶ C x x x d x dx ++=++=+??|12|ln 2 112)12(2112 ⑷ C x n x d x dx x n n n +++=++=++??1)1(1 1)1()1()1( ⑸ C x x x d x dx x dx x x ++=-+ -=-+ -?? ?3arcsin 3 1 3arcsin 3)311 3 1 31 )31131( 2 2 2 2 ⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++??2 ln 22ln 22)32(2212 2 232323 2 ⑺ C x C x x d x dx x +--=+-?-=---=-?? 23 2 3 21 )38(9 2)38(3231)38()38(3138 ⑻ C x C x x d x x dx +--=+-?-=---=-?? -3 2 32313 )57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==?? 2 222 cos 2 1sin 21sin ⑽ C x x x d x dx ++-=++ =+??)4 2cot(21) 4 2(sin )42(21)42(sin 22πππ π ⑾ 解法一： C x x x d x dx x dx +===+? ? ?2 tan 2 cos 2 2cos 2cos 12 2 解法二： ????-=--=+x xdx x dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x x x d x ++-=--=?sin 1 cot sin sin cot 2 ⑿解法一：利用上一题的结果，有 C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+??)2 4tan()2(21tan ) 2 cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x x x d x dx x dx x x dx +-=+=--=+????cos 1 tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三： ???+?=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dx x x dx x dx C x x x d ++-=+=? 1 2tan 2 )12(tan 2tan 22 ⒀ 解法一：? ??---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππ C x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ 解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-=== ???? 1cos 1 cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22 C x x +-=|cot csc |ln 解法三：??++= dx x x x x x xdx cot csc ) cot (csc csc csc C x x C x x x x d ++-=+++-=?|cot csc |ln cot csc )cot (csc 解法四：???==dx x x x dx x x xdx 2 cos 2sin 22sin 2cos 2sin 21csc 2 C x C x x d x +=+-=-=? |2tan |ln |2cot |ln 2cot 2 cot 1 ⒁ C x x d x dx x x +--=---= -?? 222 2 1)1(11 211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+??2arctan 41)(4121422 224 ⒃ C x x x d x x dx +==??|ln |ln ln ln ln ⒄ C x x d x dx x x +-=---=-??255 35354)1(1101)1()1(151) 1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-?= -=-??|2 2|ln 281|22|ln 221412)(1412 44 44 4 248 3 ⒆ C x x C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+??|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x x xdx +==? ?|sin |ln sin cos cot (21) ? ??-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=?5342sin 5 1 sin 32sin sin )sin sin 21( (22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==??|2cot 2csc |ln 2sin ) 2(cos sin 解法二：C x x x d x x xdx x x dx +===???|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：??+=x x dx x x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22 C x x dx x x x x +-=+=?|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ( (23) C e e de e dx e e e dx x x x x x x x +=+=+=+???-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--??|83|ln 8 3) 83(83322222 (25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++???2 323 232)1(2312|1|ln )) 1(3)1(211() 1(3 )1(2)1()1(2 (26) ? +2 2 a x dx 解 令t a x tan =, 则 C a x x C t t t a tdt a a x dx +++=++==+?? ||ln |tan sec |ln sec sec 22122 2 (27) C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+??21222212222322)(1)(1)( 解法2 令t a x tan =, 则 C a x a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+???222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28) ? -dx x x 2 51 解 令t x sin =, 则 C x x x C t t t t d t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-???? 2 522 322 1 25322552 5 )1(5 1 )1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1 (29) ?- dx x x 3 1 解 令t x =6 1, 则6t x =, 5 6t dx = C t t t t t t dt t t t t dt t t t t t dt t t t dt t t dx x x ++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-?=-?????|11 |ln 26)357(6)11)1((611 )1)(1(6111)(61613 572 246224622422533 其中6 1 x t = (30) ? ++-+dx x x 1 111 解 令t x =+1, 则2 1t x =+, tdt dx 2=, C x x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+???? ? |11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1 4 42()142(2)121(2111 111112 2．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=? ?22 1arcsin 1arcsin arcsin ⑵ C x x x dx x x x x xdx +-=?-=??ln 1 ln ln ⑶ C x x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==???? ?sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=???2 23223 41 2ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=? ?2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 2 22 ⑹ ???+-==dx x x x x xdx xdx x 2 222 121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--= ?)arctan (21 arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=2 1 arctan )1(212 ⑺ ???+=+ dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx x dx x x x x x +=+?-=??)ln(ln ln 1 ln 1)ln(ln ⑻ ?? --=dx x x x x x dx x 2 2 21arcsin 2)(arcsin )(arcsin ?-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ?----+=dx x x x x x x 2 2 221112arcsin 12)(arcsin C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22 ⑼ ???-==xdx x x x x xd xdx 23 tan sec tan sec tan sec sec ???+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=? 所以 C x x x x xdx +++= ?|)tan sec |ln tan sec 2 1 sec 3 ⑽ ??+? -+=+dx a x x x a x x dx a x 2 2 2222 ?+- +-+=dx a x a a x a x x )(2 2 22 2 2 2 ? ?+++-+=dx a x a dx a x a x x 2 2 22 2 2 2 )ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=? 所以 C a x x a a x x dx a x +++++= +? ))ln((2 1 2222222 类似地可得 C a x x a a x x dx a x +-+--= -? ))ln((2 1 2222222 3．求下列不定积分： ⑴ C x f a x df x f dx x f x f a a a ++=='+? ?1)]([1 1 )()]([)()]([ ⑵ C x f x df x f dx x f x f +=+=+'??)(arctan )()]([11 )]([1)(22 ⑶ C x f x f x df dx x f x f +=='?? |)(|ln ) ()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='??)()() ()()( 4．证明： ⑴ 若? =dx x I n n tan ，Λ,3,2=n ，则21tan 1 1 ----= n n n I x n I 证 ? ??----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan 22tan tan ---=?n n I x d x . 因为? ?-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212， 所以x n x d x n n 12 tan 1 1 tan tan ---= ? . 从而21tan 1 1 ----= n n n I x n I . ⑵ 若? =dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时， ),2(1 sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+- )2,(1 sin cos 11-+-++-=-+n m I n m n n m x x n m ，Λ,3,2,=m n 证 ?? +-+= =x d x n dx x x n m I n m n m 1 1sin cos 1 1sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 11 2211?+-+--++= dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211?--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1 111n m I n m I m x x n n m ---++=+- 所以),2(1 sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++= +-， 同理可得)2,(1 sin cos ),(11-+-++- =-+n m I n m n n m x x n m I n m 习题 1．求下列不定积分： ⑴ ???-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )11 1(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2 32 3 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--??|3|)4(ln )3142(12 722 2 解法二： ???+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 1273 2112772211272222 ??-- -++-+-=)27 (4 1)27(123 12 7)127(21222x d x x x x x d C x x x x +--++-= 3 4 ln 23|127|ln 212 ⑶ 解 2 2311)1)(1(111x x C Bx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12 x C Bx x x A ++++-= 令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而31-=B ，因此 ???+---+=+dx x x x x dx x dx 2312311311 ??+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31?+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=3 12arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ????+--++=+--+=+dx x x dx x x dx x x x x dx 4 242422411 2111211)1()1(211 ????++-+-=+--++ =2 2222222221)1 (2 11)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x ??-++-+--=2 )1()1(212)1()1(2122x x x x d x x x x d C x x x x x x +++-+--= 212 1 ln 24121arctan 2 21 C x x x x x x ++++---=1 212ln 8221arctan 42222 ⑸ ?+-22)1)(1(x x dx 解 令 2 2222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x E Dx x C Bx x A x x , 解得 41= A , 41-==C B , 2 1 -==E D , 于是 ????++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1 211141141)1)(1( C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-= )11arctan 21 |1|(ln 4122 ⑹ ???++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222) 122(1 25)122(2441)122(2 其中1 221 )122()122()122(24222222++-=++++=+++??x x x x x x d dx x x x ???+++=++=++)12(]1)12[(1 2]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1 )12(1 22 +++++= x x x 参见教材 例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有 C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-?)12arctan(25 1)12(1225122141)122(2222 2 C x x x x ++-+++= )12arctan(2 5 )122(2352 2．求下列不定积分 ⑴ ?-x dx cos 35 解 令2 tan x t =，则 C t t t d t dt t dt t t dx x dx +=+=+=++--=-??? ?2arctan 21 )2(1)2(214112113 5cos 352222 2 C x += )2 tan 2arctan(21 ⑵ ????+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x x d x x dx x x dx x dx C x x x d +=+=?)tan 23arctan(6 1)tan 2 31() tan 23 ( 612 ⑶ ???++-+=+=+dx x x x x x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21???+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (2 1 另解：设?+=x x xdx I sin cos cos 1，?+=x x xdx I sin cos sin 2， 则C x dx x x x x I I +=++=+?sin cos sin cos 21， C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-??|sin cos |ln sin cos ) sin (cos sin cos sin cos 21 所以C x x x I x dx +++==+?|)sin cos |ln (2 1 tan 11 ⑷ ? ?? -+++-+-=-+2 22 21)1(11x x dx x dx x x dx x x x ???-++-++-- -+-=2 221231)12(211x x dx x x dx x dx x x 其中（利用教材例7的结果） ]1)21(5 12arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+?? 22 22 121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-? ? 5 12arcsin )2 1(45122 -=--=-+? ? x x dx x x dx 所以有 ? -+dx x x x 2 21 C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122 C x x x x +-++--= 214325 12arcsin 87 ⑸ C x x x x x d x x dx ++++=- ++=+? ? |21|ln 4 1 )21() 21 (222 ⑹ ?+-dx x x x 111 2 解 令 x x t +-=11，则2 211t t x +-=，22)1(4t tdt dx +-=，代入原式得 ????---=--=+-????? ? ??-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x x x 222222222 2 22)1(1 14)1(4)1(411111 ????-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12 )1(1)1(1[114)1(141142222222 C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=?? 1111|11|ln ]) 1(1)1(1[112222 C x x x x +---+=2 21|11|ln 总 练 习 题 求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x dx x x x +--=--=--?? - 4 3 1213 45 4 112 14 1 4 33 4132454)2(1 2 ⑵ ]11arcsin [2 1arcsin 21arcsin 22 22???--== dx x x x x dx x dx x x 其中 )2sin 21 (2122cos 1cos cos sin 122 2 t t dt t dt t t t dx x x -=-==-??? )1(arcsin 2 1 2x x x --= 所以]11arcsin [21arcsin 222?? --= dx x x x x dx x x C x x x x x +---=)]1(arcsin 21 arcsin [2122 C x x x x x +-+-=2214 1 arcsin 41arcsin 21 ⑶ ?+ x dx 1 解 令u x =，则udu dx 2= C u u du u u udu x dx ++-=+-=+=+ ?? ?|)1|ln (2)11 1(2121 C x x ++-=|)1|ln (2 ⑷ ? ???===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=?)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin ⑸ C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x +-=+-==??)1(2)(22)(令 ⑹ C x x d x x x dx x x dx +-=--=- =-? ? ?1 arcsin )1(1 11 1 11 2 2 22 解法二：令t x sec =， C x C t dt t t t t x x dx +=+==-? ?1 arccos tan sec tan sec 1 2 ⑺ ???++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos ) sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1 C x x ++=|sin cos |ln C x dx x dx x x +-=-=+-??|)4 cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--??23 232)2(1 23|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x x dx x x dx ++=+==???32 224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ???-==dx x dx x dx x 22 24)2 2cos 1()(sin sin ??++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 32 12sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ?+--dx x x x 4 35 2 3 解 ??-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5 435 令 2 2) 2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52 ++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，3 2 =B ，1-=C 所以 ????---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(12 1321132435 C x x x +-++-= 2 1 |12|ln 32 ⑿ ?+ dx x )1arctan( 解 令u x =+1，du u dx )1(2-= ????-?=-?=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan( 122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan( ⒀ ???+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )2 2(2222433 4 3374 7 C x x ++-= )2ln(2 1 4144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+?=+???)2ln(21 41)2 21(412244444344 7 ⒁ ?++dx x x x 2tan tan 1tan 解 令u x =tan ????++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 2222211 11111tan tan 1tan C x x C u u ++- =++- =3 1 tan 2arctan 3 23 12arctan 3 2arctan ⒂ ??-+---=-dx x x x dx x x 100 21002) 1(1 )1(2)1()1( C x x x +-+---= 97 9899) 1(971 )1(491)1(991 ⒃ ???-+-=-=dx x x x x x d x dx x x 2211 arcsin 1arcsin arcsin C x x x x +-+--=|11|ln arcsin 2 ⒄ ???--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(2 1 )]1ln()1[ln(11ln dx x x dx x x x dx x x x C x x x x dx x x x x x x ++-+-=-++---+=?11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222 ⒅ ? ? ? +==x d x x dx x x dx x x tan tan tan 1cos tan 1cos sin 124 7 C x x ++=)tan 5 1 1(tan 22 ⒆ ????+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e x x x x 222222 22) 1(21)1(21)11( C x e dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=????2 222221111111 ⒇ ? = dx u v I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+= 解 ][22121 1??? --== = dx v b u n u v b u d v b dx u v I n n n n n ])([2][21122111121??---+-=-=dx u v b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n n n n ])([21122111 ----= n n n I b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2 112211 ---+=n n n I b a b a n u v b n I 华东师范大学2004数学分析试题 华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连 续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致 收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+- 第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0 《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有 S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+． 第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数； 第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71 数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为 r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V= ()??+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦. 2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则 ()??S ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向. 3. 证明 公式 ???V r dx dydz =()??S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ()??++S ds z y x ,其中S 为上半球面 222z y x ++=2a 0z ≥; (2) () ??+S 22ds y x ,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ?? +S 22ds y x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ??S xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分. 2.计算??S 2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分. S:?? ???θ=θ?=θ?=cos r z sin sin r y sin cos r x D:???π≤?≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2 π). 3.计算下列第二型曲面积分 (1) ()?? -S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2)()()()??+++++S dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体 表面并取外侧正向; (3)??++S zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 表面并取外侧为正向; (4) ??S yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)?? ++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=()??S dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h 其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ??++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧; (4) ??++S 332dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ??++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧. 习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是 _______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O 第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 ??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积. 4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7. 性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且 ()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得 ()D ,f f D ?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且 210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3. 性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且 ?0D f =??+2 1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明: (1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D >?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有 ?' =D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 . 7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得 ()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D dxdy y ,x g . 8.应用中值定理估计积分 ?? ≤-++10y x 22y cos x cos 100dxdy 的值 §2 二重积分的计算 1.计算下列二重积分: (1)()??-D dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3?; (2) ??D 2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0?,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0?; (3)()??+D dxdy y x cos ,其中D=[]π???????π,02,0; (4) ??+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0?. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21?为定义在D=[]?11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且 ?D f =???1122 b a b a 21f f . 习 题 十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02 （）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h 8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin () 0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln () 1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体 积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ ，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥ ()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密 度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数） ． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0， () (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米， §6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式 和引力的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一 曲面的大面积 设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则 ),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得 到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+= 第十四章 幂级数 一、证明题 1. 证明:设f(x)=∑∞=0n n n x a 在x=R 是否收敛).应用这个结果证明: ∑?∞=--==+1 n 1n n 11)(ln2dx x 1101. 2. 证明 (1) y=∑∞ =0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y (2) y=∑∞ =0n 2n )(n!x 满足方程x y ''+y '-y=0. 3. 证明:设f(x)为幂级数∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次 幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项. 4. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x ∈(a,b),有|f (n)(x)|≤M(n=1,2,3,…),证明:对(a,b)内任一点x 与x 0有 f(x)=∑∞ =0n n 00(n))x -(x n!)(x f 二、计算题 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域. (1) ∑n nx ; (2) ∑n n 2x 2n 1; (3) ∑n 2 x (2n)!)(n!; (4) ∑n n x r 2 ,(0华东师范大学2004数学分析试题
数学分析(华东师大)第四章函数的连续性
华东师大数学分析习题解答1
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
华东师大数学分析答案
数学分析华东师大反常积分
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
华东师大数学分析试题
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10
数学分析教案华东师大第三版
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章
相关文档
- 数学分析 华师大 课后习题 截图版
- 数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
- 华东师大数学分析答案
- 华东师范大学数学分析试题解答
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-I
- 华东师范大学数学分析试题
- 2017年华东师大数学分析考研真题
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
- 华东师大数学分析习题解答
- 华东师大数学分析习题解答1
- 华东师大数学分析习题解答3
- 华东师大数学分析答案.
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章
- 华东师范大学1997-2011年数学分析试题及解答
- 华东师范大学2015年硕士研究生入学考试试题(数学分析)
- 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
- 华东师大数学分析试题
- 数学分析课后习题答案(华东师范大学版)