三角形中位线中的常见辅助线-)

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理

知识点一中点

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半

斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形

二、与中点有关的辅助线

方法一：倍长中线

解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线

解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一

解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口

其他位置的也要能看出

方法四：构造斜边中线

解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

其他位置的也要能看出

常见考点

构造三角形中位线

考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角

三角形斜边中点或其他线段中点;

②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题

【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．

举一反三

1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

2. 在ABC ?中，90ACB ∠=?，12

AC BC =

，以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．

【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD

于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三

1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．

2. 已知：在ABC ?中，BC AC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．

（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠

（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．

【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=?，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：

BF EF =．

举一反三

1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：

（1）DEM FDN ??≌；

（2）PAE PBF ∠=∠．

E

D

E D

B C

3. 已知：在ABC ?中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =

4. 如图所示，已知ABD ?和ACE ?都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=?，连接DE ，设M 为DE 的中点．

（1）求证MB MC =．

（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ?，让Rt ACE ?移至图示位置，

此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．

5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等

腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME

（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．

图 1 图 2 图3 【例4】 以ABC ?的两边AB 、AC

为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等

腰Rt ACE ?，90BAD CAE ∠=∠=?.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；

（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转θ?(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

举一反三

1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、

,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12

DE BC DE AB BC AC =++，∥

（2）如图2，BD CE 、

分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变；

图1F E D C

B A （3）如图3，BD 为AB

C △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。则在图2、图

3两种情况下，DE BC 、

还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明． 2. 已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AB 边上的高线CH 与ABC ?的两条内角平

分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：

EF AB ∥．

【例5】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，

60AOB ∠=?，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ?是正三角形．

举一反三

1. AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13

AE AC =． 【例6】 如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且

()12

EF AB CD =-． 举一反三

2. 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ?，

90ACB ∠=?，45ABC ∠=?，分别以AB BC ，

为边向外作ABD ?和BCE ?，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=?，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。

小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解

小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=?，60ADB BEC ∠=∠=?

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系

（2）如图2，若30ABC ∠=?，60ADB BED ∠=∠=?，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的

结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发

生变化？请写出你的猜想并加以证明。

真题演练

1. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠. 连接AD BC 、

、，点M 、 N 、P 分别为AO 、DO 、BC 的中点.

（1）如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时AD BC

=________； （2）如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN △∽BAO △，并计算

AD BC 的值（用含α的式子表示）；

（3）在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.

图1 图2

2. 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.

（1）求证：△DMN 是等边三角形；

（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；

小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？ 她考虑将

△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

3. 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AB 于点

E ，P

F ⊥AC 于点F ．

（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．

图1 图2

4. 探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O .

（1）△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD =__________；

（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.

（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：

30ABO DCO ∠=∠=?如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4.

求：△ABC 的周长.

图1 图2 图3

5. 如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与

BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．

（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）

问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．

问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明． 图1 图2 图3

6. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：

重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1．请你用此性质解决下面的问题.

已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，90CAB ∠=?，直线m 过点O ,过A B C 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D E F 、、.

（1）当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明；

（2）当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．

7. 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD ，其中

（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．

（2） ①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM

=_______； ②如图2，将图1中的AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其

他条件不变，判断FM

EM

的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（3）如图3，若BO=N在线段OD上，且2

NO=．点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

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