2021年中考数学专题训练：等腰三角形(含答案)
2021中考数学专题训练：等腰三角形
一、选择题
1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为()
A.16 cm
B.17 cm
C.20 cm
D.16 cm或20 cm
2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是()
A.12
B.13
C.14
D.15
4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形
的周长是()
A. 20或16
B. 20
C. 16
D. 以上答案均不对
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于()
A. 6
5 B.
9
5 C.
12
5 D.
16
5
6. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 ()
A .(1，1)
B .(1，)
C .(，1)
D .(
)
7. 如图，在△
ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC
交AB 于M ，交AC 于N.若△AMN 的周长为18，BC=6，则△ABC 的周长为
( )
A .21
B .22
C .24
D .26
8. △ABC
中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切
圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°
9. (2019?梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC
于点E ，且85AC BC ==，
，则BEC △的周长是
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
10. 如图，在五边形
ABCDE 中，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，且AB ∥ED ，∠EAB ＝120°，
则∠BCD 的度数为( )
A ．150°
B ．160°
C ．130°
D ．60°
二、填空题
11. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，那么(a -b )2的值是 .
12. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=45°，点D 在AC 边上，将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D ，B 在同一直线上，则∠ABD 的度数是 .
13. 如图，在△
ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，BD ⊥AC ，垂足为D .若∠EAD
＝20°，则∠ABD ＝________°.
14. 定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的
“特征值”.若等腰三角形ABC 中，∠A=80°，则它的特征值k= .
15. (2019?哈尔滨)在ABC △中，50A ∠=?，30B ∠=?，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD △为直角三角形，则BCD ∠的度数为__________．
16. 在边长为
4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作
DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE+DF= .
17. (2019?黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M
为
AB 的中点，若120CMD ∠=?，则CD 的最大值是__________．
三、解答题
18. 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF 的位置，使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.
(1)求证：△ACE≌△CBD；
(2)求∠CGE的度数．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝
5 cm，BC＝
6 cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？
(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
2021中考数学专题训练：等腰三角形-答案
一、选择题
1. 【答案】C
2. 【答案】A[解析]∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠ECA=60°-45°=15°.
3. 【答案】B[解析]∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE=BE.
∵AC=8，BC=5，∴△BEC的周长是:BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.
4. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.
5. 【答案】C【解析】此题应首先连接AM，则AM⊥BC.∴AM＝AC2－CM2
＝4，然后由三角形面积：S
△ACM ＝
1
2AM×CM.S△ACM＝
1
2AC×MN.得：AM×CM
＝AC×MN.∴MN＝12
5.也可以利用△ACM∽△MCN.得：
AC
CM＝
AM
MN.∴MN＝
AM×CM
AC＝12 5.
6. 【答案】B [解析]过点B 作BH ⊥AO 于点H ，
∵△OAB 是等边三角形， ∴OH=1，BH=
，∴点B 的坐标为(1，
).
7. 【答案】C
[解析]∵MN ∥BC ，∴∠MEB=∠EBC.
∵BE 平分∠ABC ，∴∠MBE=∠EBC ， ∴∠MEB=∠MBE ，∴△MBE 是等腰三角形， ∴ME=MB.
同理，EN=CN ，∵AM +AN +MN=18，MN=ME +EN=BM +CN ，∴AM +AN +BM +CN=18，∴AB +AC=18，∴AB +AC +BC=24.即△ABC 的周长为24.
8. 【答案】C
【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA
＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.
9. 【答案】B
【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵
85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：
13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ．
10. 【答案】A
[解析] ∵AB ∥ED ，
∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADE
是等边三角形．
∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC
＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.
二、填空题
11. 【答案】1 [解析]由勾股定理可得，a 2+b 2=13，直角三角形面积=(13-1)÷4=3，即ab=3，所以ab=6，所以(a -b )2=a 2+b 2-2ab=13-12=1.
12. 【答案】22.5°
[解析]根据题意可知△ABD ≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，
AD'=AD ，
∴∠ADD'=∠AD'D=
=67.5°.
∵D'，D ，B 三点在同一直线上， ∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.
13. 【答案】50
[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，
∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，
又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.
14. 【答案】
或 [解析]①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数
为:=50°，
∴特征值k=
=;
②当∠A 为底角时，顶角的度数为:180°-80°-80°=20°，∴特征值k==.
故答案为或.
15. 【答案】60?或10?
【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=?时，
∵30B ∠=?，∴903060BCD ∠=?-?=?； ②如图2，当90ACD ∠=?时，
∵50A ∠=?，30B ∠=?，∴1803050100ACB ∠=?-?-?=?， ∴1009010BCD ∠=?-?=?，
综上，则BCD ∠的度数为60?或10?．故答案为：60?或10?．
16. 【答案】2
[解析]如图，作AG ⊥BC 于G ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=AB=2
，
连接AD ，则S △ABD +S △ACD =S △ABC ， ∴AB ·DE +AC ·DF=BC ·AG ， ∵AB=AC=BC=4， ∴DE +DF=AG=2.
17. 【答案】14
【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．
∵120CMD ∠=?，∴60AMC DMB ∠+∠=?， ∴60CMA'DMB'∠+∠=?， ∴60A'MB'∠=?， ∵MA'MB'=，
∴A'MB'△为等边三角形，
∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．
三、解答题
18. 【答案】
解:(1)证明:∵线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，∴AC=AF . ∵∠CAF=∠BAE ，
∴∠CAF +∠CAE=∠BAE +∠CAE ，即∠EAF=∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中，AB=AE ，∠BAC=∠EAF ，AC=AF ， ∴△ABC ≌△AEF (SAS)，∴EF=BC. (2)∵AE=AB ，∴∠AEB=∠ABC=65°. ∵△ABC ≌△AEF ，∴∠AEF=∠ABC=65°， ∴∠FEC=180°-∠AEB -∠AEF=180°-65°-65°=50°. ∵∠FGC 是△EGC 的外角，∠ACB=28°， ∴∠FGC=∠FEC +∠ACB=50°+28°=78°.
19. 【答案】
解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．
∴AB ＝CB ＝AC ，∠ACB ＝∠ABC ＝60°. ∵BE ＝AD ，∴BE ＋BC ＝AD ＋AB ，
即CE ＝BD.
在△ACE 和△CBD 中，???CE ＝BD ，
∠ACE ＝∠CBD ，AC ＝CB ，
∴△ACE ≌△CBD(SAS)．
(2)由(1)知△ACE ≌△CBD ，∴∠E ＝∠D. ∵∠BAE ＝∠DAG ，
∴∠E ＋∠BAE ＝∠D ＋∠DAG ， 即∠CGE ＝∠ABC. ∵∠ABC ＝60°， ∴∠CGE ＝60°.
20. 【答案】
(1)如解图①，连接DF ，
解图①
∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3， 在Rt △ABD 中AD ＝52－32＝4，
∵EF //BC ，
∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AQ AD ， ∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝3
2(4－t )， ∵EF //BD ，
∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴3
2(4－t )＝3， ∴t ＝2，
∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形； (2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，
解图②
∵PN //DC ， ∴PN DC ＝AP AC ， ∴PN
3＝5－t 5，
∴PN ＝3
5(5－t )，
∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN
＝6－12(4－t ) ·
35(5－t ) ＝6－(310t 2－27
10t ＋6)
＝－310t 2＋27
10t (0＜t ＜4)； (3)存在．理由如下：
如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .
解图③
∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，
∴AN ＝NP ＝12AP ＝1
2(5－t )，
由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN
AQ
，
∴1
2（5－t ）4－t ＝45，∴t ＝73，
∴当t ＝7
3s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．
∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵P A ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷
45＝25
12，
∴PF＝7
12，∴FH＝
7
20.
∴点F到直线PQ的距离h＝7
20(cm)．