专训1 用二次函数解决问题的四种类型

专训1用二次函数解决问题的四种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．

建立平面直角坐标系解决实际问题

题型1拱桥(隧道)问题

1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B 和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.

(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．

(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．

(第1题)

题型2建筑物问题

2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()

(第2题)

A．50 m

B．100 m

C．160 m

D．200 m

题型3物体运动类问题

3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．

(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？

(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？

(第3题)

建立二次函数模型解决几何最值问题

题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题

(第4题)

4．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________米．

题型2利用二次函数解决图形面积的最值问题

5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线上．

(1)若BE＝a，求DH的长．

(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

(第5题)

建立二次函数模型解决动点探究问题

6．如图所示，直线y＝1

2x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点

B(1，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D 的坐标，并求出最大距离．

(第6题)

建立二次函数模型作决策问题

题型1几何问题中的决策

7．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为x m，面积为S m2.

(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．

(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？

(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

(第7题)

题型2实际问题中的决策

8．【2016·武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品每件售价

(万元)

每件成本

(万元)

每年其他

费用(万元)

每年最大产

销量(件)

甲 6 a 20 200

乙20 10 40＋0.05x280

其中a为常数，且3≤a≤5.

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

答案

(第1题)

1．解：(1)由已知得OA ＝OA 1＝8 m ，OC ＝8 m ，AB ＝6 m ．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB 1对应的函数解析式为y ＝ax 2＋8，将B 点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a ＝－132，所以y ＝－1

32

x 2＋8(－8≤x ≤8)．

(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y 轴的距离为2 m ．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D ，过点D 作DE ⊥AA 1于点E.当x ＝2时，y ＝－132×22＋8＝778

，

即D ????2，778，所以DE ＝77

8

m . 因为77

8＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．

2．C

(第3题)

3．解：(1)以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D ????32，0.设抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋c ，由抛物线过点M 和点B ，可得a ＝－54，c ＝5.故抛物线的解析式为y ＝－5

4x 2＋5.当x ＝1时，

y ＝

154；当x ＝32时，y ＝35

16.故?

???1，154，????32，3516两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝32(米)．∵32＜154且32＜35

16

，∴网球不能落入桶内．

(2)设竖直摆放m 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得3516≤0.3m ≤15

4，解得

7724≤m ≤121

2

. ∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12.

∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内． 4．0.5

5．解：(1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF，

∴CG＝BE，HG∥FC，∴四边形FCGH是平行四边形，∴FH

=

CG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°.由题意可知，CF＝BE＝a.在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH ＝a，

∴DH＝DF2＋FH2＝5a.

(2)设BE＝x，△DHE的面积为y.

依题意，得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH＝

1

2×3a×(3a－x)＋

1

2(3a＋x)x－

1

2×3a×x，∴y＝

1

2x

2－

3

2ax＋

9

2a

2，即y＝

1

2?

?

?

?

x－

3

2a

2

＋

27

8a

2.

∴当x＝

3

2a，即E是BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是

27

8a

2.

6．解：(1)在y＝

1

2x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，

∴

??

?

??

16a＋4b＋c＝0，

a＋b＋c＝0，

c＝－2.

解得

??

?

??a＝－

1

2，

b＝

5

2，

c＝－2.

∴抛物线的解析式为y＝－

1

2x

2＋

5

2x－2.

(第6题)

(2)设点D的坐标为(x，y)，则y＝－

1

2x

2＋

5

2x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝2 5.如图所示，连接CD，AD.过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，则FG＝AO＝4，FD＝x，DG＝4－x，OF＝AG＝y，FC＝y＋2.∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝

1

2(AG＋FC)·FG－

1

2FC·FD－

1

2DG·AG＝

1

2(y ＋y＋2)×4－

1

2(y＋2)·x－

1

2(4－x)·y＝2y－x＋4.将y＝－

1

2x

2＋

5

2x－2代入，得S△ACD＝2y－x ＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.∴D(2，

1)．∵S △ACD ＝1

2AC·DE ，AC ＝2 5.∴当△ACD 的面积最大时，高DE 最大，则DE 的最大

值为412AC ＝412×25＝455.∴当D 与直线AC 的距离DE 最大时，点D 的坐标为(2，1)，最大

距离为455

.

7．解：(1)因为AB ＝x m ，所以BC ＝(24－3x) m ，此时S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x. (2)由已知得－3x 2＋24x ＝45，整理可得x 2－8x ＋15＝0.解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x ≤10，得14

3

≤x ＜8，∴x 2＝3不符合题意，故AB ＝5 m .

(3)能．S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x)＝－3(x －4)2＋48.∵143≤x ＜8，∴当x ＝14

3

时，S

最

大值

＝4623.∴能围成面积比45 m 2更大的鸡舍．围法是：BC 的长是10 m ，AB 的长是42

3

m ，

这时鸡舍的面积最大，为462

3

m 2.

8．解：(1)y 1＝(6－a)x －20，(0＜x ≤200) y 2＝(20－10)x －40－0.05x 2 ＝－0.05x 2＋10x －40.(0＜x ≤80) (2)对于y 1＝(6－a)x －20， ∵3≤a ≤5，∴6－a ＞0，

∴x ＝200时，y 1最大值＝(1 180－200a)万元． 对于y 2＝－0.05(x －100)2＋460， ∵0＜x ≤80，

∴x ＝80时，y 2最大值＝440万元． (3)①1 180－200a ＝440，解得a ＝3.7； ②1 180－200a ＞440，解得a ＜3.7； ③1 180－200a ＜440，解得a ＞3.7. ∵3≤a ≤5，

∴当a ＝3.7时，产销甲、乙两种产品的年利润相同； 当3≤a ＜3.7时，产销甲产品年利润比较高； 当3.7＜a ≤5时，产销乙产品年利润比较高．