结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统
试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
图３－１０
解：（1）系统自由度、广义坐标
图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； （2）系统运动微分方程
根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：
;)(;)()(;)(3
4233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K x m x x K x K x m ---=------=---=&&&&&&
整理如下
;
0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K x m x K x K K K K x K x m x K x K K x m &&&&&& 写成矩阵形式
;000)(0)(0)
(0
0000321433365322221321321
??
????????=????????????????????+--+++--++????????????????????x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m &&&&&&（1） （3）系统特征方程
设)sin(,)sin(,)sin(332211?ω?ω?ω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程
;000)(0)(0)(321234333
2
26532222121??
????????=????????????????????-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω（2） （4）系统频率方程
系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即
;0)
(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K
展开得系统频率方程
;
0))(())(()))(())(()((2
121
2
32
343
2223432265322121=-+-
-+-
-+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K
进一步计算得
;
0;0)
()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(()
)(())(()))(()()())((()
)(())(()
))(())(()((022446621234322653243212365322143212312332243165322143322163212
312321232322432263214
21434
32212
43212431653221653243236532216532432121212323432223434212
21265322165322121212
323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++
++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωω (3)
其中
;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=
;
))(())((365322143212312
33222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((212
34322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=
求解方程（3）得系统固有频率
;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω （4） （5）系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型， 即各阶振型之比：
)3(3
)
3(1)3(3)3(2)
3(1)3(2)2(3)
2(1)2(3)2(2)
2(1)2(2)1(3)
1(1)1(3)1(2)
1(1)1(2
1
,1
;1
,1
,1
,1
A A A A A A A A A A A A ======
γγγγγγ （5） （6）系统振动方程
)
sin()sin()sin()sin()sin()sin(33
)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122
)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(1
33)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321?ωγγ?ωγγ?ωγγ?ω?ω?ω+??
?
???????++??
?
???????++??
?
???????==+??
????????++??????????++???
??
?????=??????????t A A A t
A A A t
A A A t A A A t A A A t A A A x x x （6）
在方程（6）中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1?、2?和3?。 它们由初始条件)0(1x 、)0(1x &、)0(2x 、)0(2x
&、)0(3x 和)0(3x &确定。
若３.１题中m 1=m 3=m ，m 2=2m ，,K 1=K 4=K ，K 2=K 3=2K ，K 5=K 6=3K ，求该系统的固有频率和固
有振型。
解：若m 1=m 3=m ，m 2=2m ，,K 1=K 4=K ，K 2=K 3=2K ，K 5=K 6=3K ， 则 ;233216m m m m a -=-=
;
221066)3322()2(2)2(2)()()(2222222316532214332214K m K m K m K m K K K K m K K m K K m m m K K K K m m K K m m K K a =++=+++++++=+++++++=
2
22222223
65322143212312
33222444301844))(())((mK m K m K m K m K m K m K K K K K K K K K K m m m K m K a -=--+=++++-++-+=
;
66121290)2(4)2(4)3322)(2)(2()
()())()((33332221234322653243210K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K a =--=+-+-+++++=+-+-+++++=
系统频率方程（3）成为
;066)444(222322224263=+-++-K m K m K K m m ωωω
化简
;033)222(11322224263=----K m K m K K m m ωωω
求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。
解：（1）系统自由度、广义坐标
图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3，广义坐标取
1θ、2θ和3θ； x （2）系统中A 、B 、C 三质点的坐标 ;cos ;sin 11θθL y L x A A ==
;cos cos ;sin sin 2121θθθθL L y L L x B B +=+= cos cos cos ;sin sin sin 21321θθθθθL L L y L L L x C C ++=++= （2）系统中A 、B 、C 三质点的速度 ;sin ;cos 1111θθθθ&&&&L y L x A A -== L
;)cos cos (2211θθθθ&&&+=L x B m
;)sin sin (2211θθθθ&&&+-=L y B 图３－１１ ;)cos cos cos (332211θθθθθθ&&&&++=L x C ;)sin sin sin (332211θθθθθθ&&&&++-=L y C
（3）系统中A 、B 、C 三质点的动能
;2
1)(2121222θ&&&mL y x m T A A A =+=
[]
;)sin sin ()cos cos (2
1)(2122
21122211222θθθθθθθθ&&&&&&+++=+=
mL y x m T B B B []
;)sin sin sin ()cos cos cos (2
1)(2123
322112332211222θθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&+++++=+=
mL y x m T C C C 因为对于微振动有
;1cos ,1cos ,1cos ,sin ,sin ,sin 321332211≈≈≈≈≈≈θθθθθθθθθ
()()
2222221
12123111222
T mL mL mL θθθθθθ=+++++&&&&&&； （4）系统中A 、B 、C 三质点的势能
()1233cos 2cos cos A B C
V mgy mgy mgy mgL θθθ=---=-++
； (5) L=T-V;
根据拉格朗日定理：
0i i
d L L
dt θθ????-
= ?????& 得：
112233321300022102001110010L g θθθθθθ??????????
?????? ? ?+=?????? ? ???????
? ???????????
&&
&&&& （1） 求固有频率和固有振型：
23213002210200111001L g ω????
? ?
-+= ? ? ? ?????
；
解得固有频率：
1ω=
23ωω==固有振型：
{}{}{}1231111.29210.3529 1.64501.6308 2.39810.7669??? ????????????= = =-????????????-??????
；
两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B 处用铰链连接，如图3-12所示，如选取
B 点的竖直位移y 和两杆绕B 点的转角12,θθ为广义坐标，试从特征方程出发，求系统的固有频率和固有振型。
图 3-12
（1）AB 杆的动能：
2
22
11111122212
l T m y ml θθ??=-+? ???&&& ； AB 杆的势能：
112l V mg y θ?
?=- ??
?；
（2）BC 杆的动能：
2
22
22211122212
l T m y ml θθ??=++? ???&&&； BC 杆的势能：
222l V mg y θ?
?=- ??
?；
（3）三根弹簧的势能：()()22
231212V k y l y l y θθ??=
-+++?
?；
（4）()12123L T T V V V =+-++； 由拉格朗日方程可得：
22112222222231002320
10
22
3ml
ml m mg y
k kl kl y ml ml kl kl mgl kl kl ml ml mgl θθθθ????-
????
-??-????????
??????????-+-=????????????????????????????
??-??????
??
&&&&&&； 令 2222222300230
2
3ml
ml m k
kl
kl ml ml M K kl kl kl kl ml ml ?
?
-??-????????=- =-???
???????
??????
； （5）由20K M ω-= 令2
6m k
λω=
()()2121660λλλ?--+= 解得：
(
(2112
2223333613,23,36k
m k m
k
m
λωλωλω-=
=-===
=+
固有频率：
123ωωω= = = 固有振型：
{
}{}{
}123333111111??????-????0????????
= - = = -???????????? ??????????????
试求图3-13所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。
解：（1）以123,,θθθ 为广义坐标， 建立系统的运动微分方程：
系统的动能：
I 3
I 3
I 2
222112233111222
T I I I θθθ=
++&&& 系统的势能：
()()22
211221332111222
V K K K θθθθθ=
+-+-； L=T-V ；
由拉格朗日方程得：
111122
222233233
3330
0000000
00I K K K I K K K K I K K θθθθθθ??+-????????
??????????+-+-=????????????????????-??????
????
&&&&&&
（2）当 123123,I I I I K K K K ======时
可得固有频率：
123ωωω= = =固有振型：
{}{}{}1231111.8020.445 1.2472.2470.8020.555??? ??????
??????= = =-????????????-??????
图3-14所示的两均质杆是等长的，但具有不同的质量，试求系统作微振动的振动方程，若1212,m m m k k k == ==，试求系统的固有频率和固有振型（设选取两杆的转角1θ和2θ为广义坐标，其中1θ以顺时针方向为正，2θ以逆时针方向为正）。
图 3-14
解：（1）系统的动能：
4
4
2
图 3-13
22222112222222112211111()2321216
17696
T m l m l m l m l m l θθθθ=?++ =+&&&&
（2）系统的势能：
22
1122211221331111
2442224
V k l l k l m gl m gl θθθθθ????=-+-- ? ?????
(3)建立系统的运动微分方程：
由拉格朗日方程
0i i
d L L
dt q q ????-
= ?????& 21111212222112222
133310344427333110
48
44444m l k l l l m gl m l k l l l k l m gl θθθθθθθ???+--= ???
???????--+-= ?????&&&& 由条件1212,m m m k k k == ==，将上述方程整理 得：
2
2
21
12222219910
31616
27913104816164ml kl kl mgl ml kl kl mgl θθθθ??????
-
??????????????+=????????????????????
??-????????????
&&&&；
从系统的特征方程解得
固有频率
12ωω==； 固有振型
{}{}1
2
110.7492 3.0508?? ????= =????
-????
试从矩阵方程
[](){}[](){}2j j j K x M x ω=
出发，左乘[][]1
K M -，利用正交关系证明
()
{}[][]()[](){}10h
T
i j
x K M K x -= i=1，2，……，n
其中n 为系统自由度数。 解：由式 [](){}[](){}2j
j j
K x
M x ω
=可得：
[][](){}(){}1
2j j j M K x x ω-=；
[][]
()[]()
{}[][]
(
)
[][]()[]()
{}
[][]()[][][]()
{}()[][]()[]()
{}()[][]()[]()
{}
1
1111
11
1
12
1
12
h
h j j h j h j j
h j j
K M K x
K M K M K x K M K M K x K M K x K M K x ωω-----------= = = = [](
){}
2j
h j K x ω = ()
{}[][]()[]()
{}()
{}[](){}12h
T
T
i j i j
h
j
x K M K x x K x ω-=
由正交关系可知：
()
{}
[](){}20T
i j h
j
x K x ω=()f t
()
{}[][]()[](){}10h
T
i j
x K M K x -=
结论得证.
图3-15中简支梁有三个置于它的四分之一点处的质量。试以微小的平动123,,y y y 作为位移
坐标，梁的自重忽略不计，其弯曲刚度为EI 。假设123m m m m ===，求系统的固有频率和固有振型，对振型规范化并画出各阶振型。
解：（1）ij δ表示在j m 点作用单位力而在i m 点产生的挠度。 利用图乘法可得：
2
34
4
1100
3
133
4
443256l
l x x x dx dx
EI EI l EI
δ??? ?
??= + =
?? 同理：
3122111768l EI δδ==； 3
13317768l EI
δδ==；
3233211768l EI δδ==； 32248l EI δ=； 3
333256l EI
δ=；
（2）以各小竖向位移123,,y y y 为广义坐标，建立系统的运动微分方程：
1111112221333
22111222223333
311132223333y m y m y m y y m y m y m y y m y m y m y δδδδδδδδδ=---??
=---??=---?&&&&&&&&&&&&&&&&&&
整理成矩阵形式：
3
3311333
2233333311725676876810011110100768487680017113768768256l l l EI EI EI my y l l l my y EI EI EI my y l l l EI EI
EI ?????
???????????????+=???
????????????????????????
?
&&&&&&； 固有频率：
123ωωω= = = 固有振型：
{}{}{}1231111.41420 1.4142111??? ????????????= = =-???????????? - ??????
[]{}{}{}123
φ?????=??
正规化：
[][][]{
}}{}
{}
{}{}{}
111
2
23
3
0.1644
0000.00520000.00232.513.920.8T M φφ???????????=??
????=== =
各阶振型图：
振型 1
振型 2
振型 3
一轻型飞行器的水平稳定器被简化为3个集中质量系统的模型，见图3-16，其刚度、质量
矩阵和固有频率及模态形状已经求出。若飞行器遇到一突然的阵风，其产生的阶跃力为
()()500100100p t f t ??
??
=??????
其中()f t 是单位阶跃力，如图3-16。
（１） 确定模态响应()r t ξ表达式，假设()()000V V ==&；
（２） 确定()1V t 响应的表达式，并指出个模态的贡献。
其中
[]50.06560.15380.12200.15380.47970.5843100.12200.5843 1.2593k -??
??=--?????-??
[][]2221234.00
010 6.00386
008.059900133000084000008031 4.96 1.704.08 5.36 4.351.10 3.80 5.71m ωωω?????=???????
= = =-??
??=-??
????
图3-16
解：（1）进行坐标变换：
{}[]{}
[][][][][][][]()(){}{}()()
()()()()()()()6
001231000100010.06
000 1.3357010008.40467315649830
1
1cos 0.07791cos 244.740.001171cos 1153.30.T
T T r i i
x M M K K F p t f t t t f k i t t t t t ?ξ?????ξξξωξξξ=??????==????????
??????==?????
??????
??
??==-????
????
===
-=-?????=--????=&()0001171cos 2898.3t ???
??-?
?????
（2）
()()()()()()()()()()3
3
111
16661
1cos 8.311cos 244.748.31500 4.08100 1.1010010.061024.961cos 1153.3 4.96500 5.36100 3.801001.3357101.701cos 2898.3 1.705008.4010i r ri i i r i
V t f k t N N t t ω??===-??
=
-?+?+?=?????=-?
+--?+?+? ???+ -??∑∑
()34.35100 5.71100N ???
?=??
?-?+? ??
()()()()()()4
0.64721cos 244.741231cos 1153.31cos 2898.3t N N N t t -??? =-=??
?==? +0.0058- ???+1.995?10 - ??
一栋三层楼房，如图3-17，其刚度、质量矩阵和固有频率及振型如下：
[][][]222123800800010080024001600020016004000002251.11200.02548.91.00000 1.00000
0.313860.686140.500000.686140.31386k m ωωω?-????
????=-- =????
????-????= = ==---0.50000 1.00000??????
????
图3-17
（1）确定模态质量、模态刚度矩阵M ，K ； （2）若
()[]()100100100cos ,T
p t t =Ω确定模态力r F ；
（3）确定稳定响应r ξ的表达式；
（4）用模态位移法确定1u 的响应，并指出各阶模态对响应的贡献，并列出当激振频率分别
为()1131
0,0.5,2
ωωωΩ=Ω=Ω=
+时，1u 的振幅随截取模态数变化的表格。 解：（1） []
[][]T
M m ????=??
2.1386
000 2.00000 3.0401???? =??
????
537
00024000007748.9K ??????=????
????
（2） []()T
r F p t ?=
()2000cos 62.772t ??
?? =Ω??
????
（3）
2
r
r r r f k m ξω
=
- ()12
200cos 537 2.1386t ξΩ=-Ω
()
22
0cos 02400 2.00t ξΩ=
=-Ω
()32
62.772cos 7748.9 3.0401t ξΩ=-Ω
（4）
{}()()()()()3
111
12
1312
1
32
222
2
1
2.29167 1.041670.4166710100cos 200cos 251.1537 2.138601200
0.3138662.772cos 2548.97748.9 3.0401r r
r r
u a a a p t t t t ?ξω=-=- =++??ΩΩΩ +?
-ΩΩ+??ΩΩ+?-Ω∑
&&3
3
112
11ri i r
i r i i f u k m ??ω
===-∑∑
()()21
11000.686141000.31386100cos 537 2.1386t =
?+?+?Ω-Ω ()()21
10.50.5100cos 24002t +--?Ω-Ω ()()2
0.31386
0.31380.686141100cos 7748.9 3.0401t + -+?Ω-Ω
()()
22200cos 1537 2.138623019.7010cos 7748.9 3.0401t N N N t ??Ω?
==???-Ω???
??==+ ???Ω+ ?-Ω?
阶数
激振频率
N=1 N=2 N=3 0Ω=
10.5ωΩ=
()121
2
ωωΩ=
+
当 题中的柔度矩阵为
[][]132.29167 1.041670.416671.04167 1.041670.41667100.416670.416670.41667a k --????==???????
（1）用模态加速度法，确定1u 响应的表达式；
（2）像3-10题一样，列出当激励频率分别为()131
0,0.5,2
ωωωΩ=Ω=Ω=+时的1u 的振幅随截取模态数变化的表格，并对结果加以分析。 解（1）{}()3
111
12
1312
1
1
r r
r r
u a a a p t ?ξω==-∑
&& ()()32.29167 1.041670.4166710100cos t - =++??Ω
()2
2
200cos 251.1537 2.1386t ΩΩ +?-Ω
201200
Ω+? ()2
2
0.3138662.772cos 2548.97748.9 3.0401t ?ΩΩ+?-Ω
()()()2222
0.37500cos 10.7965cos 2537 2.1386300.0077cos 7748.9 3.0401t N t N N t ??=Ω
?
??? =Ω???= +Ω????-Ω?
=??
+ ?
??Ω?+Ω? ?-Ω?
（2）1u 的振幅随截取模态数变化的表格
阶数
激振频率
N=1 N=2 N=3 0Ω=
10.5ωΩ=
()121
2
ωωΩ=
+
和上一题所得结果比较可以看出：
（1）两种方法所得的结果基本相同，且随项数增加，两者差别变小。 （2）用模态加速度法的收敛速度比位移法要快。
例如 当0Ω=时，用位移法各阶模态相加才收敛到，而用加速度法第一项就收敛到。
第四章 连续弹性体的振动
一端固定，一端自由的均匀杆，在自由端有一弹簧常数为k 的轴向弹簧支承（图4-23），试推导纵向振动的频率方程，并对两种极端情形：（1）0k =,（2）k →∞,进行讨论。 解： (,)['sin()'cos(w w
u x t A x B a =+其边界条件为：
0x =处，(0,)0u t =； x l =处，u
EA
ku x
?=?。 将(,)u x t 代入得：
；
cos()sin()u l l l EA
EA k x a a a
ωωω?==?
得到纵向振动频率方程为
cos(
)sin(
)l
l
l
EA
k a
a
a
ωωω=
当0k →时，
cos()l
a
ω=0
()2a
k l
πωπ=+ （1,2,3n =???）
当k →∞时，
tan(
)0l a EA a l K
ωω== a
n l
ωπ
= （1,2,3n =???） 一均质杆，两端都是自由端，开始时在端部用相等的力压缩，若将力突然移去，求其纵向振动。
解：(,)['sin(
)'cos(
)]sin()u x t A x B x t a
a
ω
ω
ω?=++
无外力作用时，边界条件为：
0x =时，有
0dU
dx =； x l =时，有0dU
dx
=
将它们代入振型函数
()['sin(
)'cos(
)]U x A x B x a
a
ω
ω
=+
得
'0A =；
'
sin(
)0l
B a
a
ω
ω=
得各阶固有频率为
n a n l
ωπ
=； 各阶主振动的表达式为
(,)'cos(
)sin()n
n n n u x t B x t a
ωω?=+
在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的叠加，即
1
(,)'cos(
)sin()n n n n n u x t B x t l
π
ω?∞
==+∑ 当0t =时，有
p
u x EA =-
； 0du
dt
= 将初始条件代入1
(,)'cos(
)sin()n n n n n u x t B x t l
π
ω?∞
==+∑ 有
由于上式要得到满足，必须有cos 0n ?=，这样导致sin 1n ?=，或（1-），代入得
1
'cos(
)n n n P
B x x l EA
π∞
==-∑ 为了求出'n B ，上式两边均乘以cos()m x l
π
，（1,2m =???） 得到
1
22
4'(1)n n lP
B EAn π
+=-，1,3,5n =??? 2
21,34(1)(,)cos()cos()n n lP
n u x t x t EA n l l πωπ
π∞
=???
-=
∑
图4-24为一端固定，一端自由的圆等直杆。在自由端作用有扭矩0M ，在t=0时突然释放，
1'cos()cos 0n n n n du n B x dt l
πω?∞===∑1
(,0)'cos(
)sin n n n n P u x B x x l EA
π?∞
===-∑
求杆自由端的振幅。 解：(),(sin
cos )sin()w w
x t A x B x wt a a
θφ=++
0|0x θ==
|0x l d dx
θ
== 将其分被代入振型函数得：
B=0 ; cos
w l a
=0; ∴得各阶固有频率为:
2n n a w l
π=
各阶主振动的表达式为:
(),sin(
)sin()2n n n n n x t A x w t l
π
θφ=+ 在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的叠加，即
()1,3,,sin(
)sin()2n n n i n x t A x w t l
π
θφ∞
==
+∑
L
当0t =时，有
001,3,|sin sin 2t n i p M n x A x GI l π
θφ∞
====∑L (1)
01,3,|sin cos 02t n n i d n A w x dt l θπφ∞
====∑L
(2)
由（2）式可得 cos φ=0
∴sin 1φ=± （3） 将（3）式代入（1）得：
01,3,sin 2n i p M n x A x GI l π
∞
==∑L
为了求出n A ，上式两边均乘以sin 2m x l
π
,(m 为正整数)， 得
100
2
22028sin (1)2l
n n p p
M M n x l A x dx l GI l n GI ππ-==-? n=1,3,5,…..
结构力学第五章习题及答案
第五章 习题 5—2 试用力法计算下列结构，并会出弯矩图。 解：1.判断超静定次数：n=1 2. 确定(选择)基本结构。 3.写出变形(位移)条件： （a ） 根据叠加原理，式（a ）可写成 （b ） 4 .建立力法基本方程 将? 11 = 11 x 1代入(b)得 F P A B C l/2 l/2 (a) F P X 1 X 1=1 M 1图 基本体系 M P 图 l F P F P l /2 1=?0 1111=?+?=?P
（c ） 5. 计算系数和常数项 EI l l l l EI 332)21(1311= ???=δ 6. 将d11、 ?11代入力法方程式（c ） 7.作弯矩图 3FP P l /16 1111=?+P X δEI l F l F l l l F l l EI P P P P 4852322212312221(13 1= ???+????=?) (1651111↑=?-=P P F X δp M X M M +=116 32165l F l F l F M P P P A = -?=
解：1.判断超静定次数：n=1 2. 确定(选择)基本结构。 3.写出变形(位移)条件： （a ） 根据叠加原理，式（a ）可写成 （b ） 4 .建立力法基本方程 将?11 = 11 x 1代入(b)得 （c ） EI 2 EI 1 F P A B X 1 X 1=1 F P C (b) M 1图 基本体系 M P 图 l F P (l -a ） 1=?0 1111=?+?=?P 0 1111=?+P X δ
5. 计算系数和常数项 1 33)3221(1)]332()(21)332()(21[13 2331211EI a EI a l a a a EI a l a a l l a a a l EI + -=???++??-?++??-?= δ2 2216)2()(]3 )(2)(213)()(21 [1EI a l a l F a l F a a l a l F a a l EI P P P P +--= -??-?+-??-?=? 6. 将d11、 ?11代入力法方程式（c ） 31 23 3 231)1(322a I I l a al l F X P --+-= 7.作弯矩图 （d ）解： 超静定次数为2 选择基本结构如图（1）所示力法典型方程为： d 11X 1+d 12X 2+△1P =0 d 21X 1 + d 22X 2+△2P =0 计算系数和常数项，为此作作出X 1=1、X 2=1和荷载单独作用下的弯矩图如（2）（3）（4）所示计 p M X M M +=1 1(a)
结构力学考试答案
结构力学考试答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
结构力学 一、填空题(每题2分，共10题) 1. 刚结点的特点是被连接的杆件在连接处既不能 ，又不能 ；既可以传递 ，也可以传递 。 相对移动；相对转动；力；力矩 2. 从几何组成角度看，静定结构和超静定结构都是 体系，前者 多余约束，而后者 多余约束。 杆件；板壳；实体；杆件 3. 图示体系的计算自由度=W -12 。 4. 在图示结构中，=K M ， 侧受拉。 75；右侧（内侧） 5. 拱是杆轴线为 ，且在竖向荷载作用下能产生 的结构。答案：曲线；水平推力 6. 图示桁架中，有 10 根零杆。 7. 如图所示结构，支座A 转动角度θ，则=AB M 0 ，=VC F 0 。 8. 使结构产生位移的外界因素，主要有 、 和 三个方面。 9. 图示超静定梁A 支座发生位移时， CD 杆件内力为零。 10. 图示单跨超静定梁的杆端弯矩=AB M ；=BA M ；杆端剪力=QAB F ；=QBA F 。答案：?-l i 6；?-l i 6；?212l i ；?212l i 二、单项选择题(每题2分，共10题) 1. 图示的体系是（ A ）。 A. 无多余约束的几何不变体系 B. 有多余约束的几何不变体系 C. 几何常变体系 D. 几何瞬变体系
2. 图示的体系是（ A ）。 A. 无多余约束的几何不变体系 B. 有多余约束的几何不变体系 C. 几何常变体系 D. 几何瞬变体系 3. 图示结构中，改变B 点支座链杆的方向（不能通过铰A ）时，对该梁的影响是（ D ）。 A. 全部内力没有变化 B. 弯矩有变化 C. 剪力有变化 D. 轴力有变化 4. 图示结构中，QBA F 为（ D ）。 A. -1kN B. 1kN C. D. 5. 图示圆弧三铰拱在静水压力q 作用下，K 截面的内力为（ D ）。 A. 0≠K M ，0=QK F ，0≠NK F B. 0=K M ，0≠QK F ，0≠NK F C. 0≠K M ，0≠QK F ，0≠NK F D. 0=K M ，0=QK F ，qr F NK -= 6. 如图所示拱结构，NDE F 为（ B ）。 A. 70kN B. 80kN C. 75kN D. 64kN 7. 如图所示，若增加桁架的高度，其他条件不变时，对杆1和杆2内力的影响是（ C ）。 A. 1N F ，2N F 均减小 B. 1N F ，2N F 均不变 C. 1N F 减小，2N F 不变 D. 1N F 增大，2N F 不变 8. 图示桁架中，B 支座的反力HB F 等于（ D ）。 A. 0 B. P F 3- C. P F 5.3 D. P F 5 9. 如图所示伸臂梁，温度升高21t t >，则C 点和D 点的位移（ D ）。 A. 都向下 B. 都向上 C. C 点向上，D 点向下 D. C 点向下，D 点向上 10. 将桁架各杆抗拉（压）刚度EA 都乘以n /1，则在荷载作用下各结点位移 （ A ）。
结构力学试题及答案
、选择题（每小题3分，共18分） 1?图示体系的几何组成为： （ ） A. 几何不变，无多余联系； B. 几何不变，有多余联系； C.瞬 变； 4?图示桁架的零杆数目为：（ ） A. 6； B. 7 ； C. 8 ； D. 9。 5?图a 结构的最后弯矩图为：（ ） A.图 b ； B .图 c ； C .图 d ; B. 动 C. 会产生 体位 移； D. 3?在径向均布荷载作用下， 三铰拱的合理轴线为: A.圆弧线； B ?抛物线； C ?悬链线；D.正弦曲 D .都不 支 A.内力；
6.力法方程是沿基本未 A .力的平衡方程； C. 位移协调方程；D ?力的平衡及位 移为零方程。 :■、填空题（每题 3分，共9分） 1. 从几何组成上讲，静定和超静定结构都是 _______________________________ 体系， 前者 ___________ 多余约束而后者 ______________________ 多余约束。 2. 图b 是图a 结构 _______________ 截面的 ____________ 影响线。 3. __________________________________________________ 图示结构AB 杆B 端的转动 刚度为 ____________________________________________________ ,分配系数为 ________ , 传递系数为 ___________ 。 灯订，衷 i 三、简答题（每题 5分，共10分） 1. 静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关? 为什么？ 2. 影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 四、计算分析题，写出主要解题步骤 （4小题,共63分） 1?作图示体系的几何组成分析（说明理由） ，并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） M/4 SI El M/4 3M4 量方向 移为零 知 B .位
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，
结构力学期末考试题库
一、判断题(共223小题） 1。结构的类型若按几何特征可分为平面结构和空间结构。(A) 2、狭义结构力学的研究对象是板、壳结构(B)。 3 单铰相当于两个约束。(A) 4、单刚节点相当于三个约束。(A) 5、静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力。A 6、超静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力B。 7 无多余约束的几何不变体系是静定结构。A 8 三刚片规则中三铰共线为可变体系。B 9 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为静定结构。A 10 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为超静定结构B。 11链杆相当于两个约束。B 12 平面上的自由点的自由度为2 A 13 平面上的自由刚体的自由度为3 A 14 铰结点的特征是所联结各杆可以绕结点中心自由转动。A 15 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。A 16 无多余约束的几何可变体系是超静定结构。B 17、无多余约束的几何可变体系是静定结构。B 18刚结点的特征是当结构发生变形时汇交于该点的各杆端间相对转角为零。A 19 三刚片规则中三铰共线为瞬变体系。A 20三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为静定结构。A 21 一个刚结点相当于3个约束。 22 一个连接3个刚片的复铰相当于2个单铰。A 23 一个铰结三角形可以作为一个刚片。A 24 一个铰结平行四边形可以作为一个刚片。B 25 一根曲杆可以作为一个刚片。A 26 一个连接４个刚片的复铰相当于2个单铰．B 27 任意体系加上或减去二元体，改变体系原有几何组成性质。B 28 平面几何不变体系的计算自由度一定等于零。B 29 平面几何可变体系的计算自由度一定等于零。B 30 三刚片体系中若有1对平行链杆，其他2铰的连线与该对链杆不平行，则该体系为几何不变体系。A 31 三刚片体系中，若有三对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。B 32 三刚片体系中，若有２对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。A 33 一个单铰相当于一个约束。B 34 进行体系的几何组成分析时，若体系通过三根支座链杆与基础相连，可以只分析体系内部。B 35 三刚片体系中，若有两个虚铰在无穷远处，则该体系一定为几何可变。B 36 有多余约束的体系为静定结构。B 37 静定结构一定几何不变。A 38 超静定结构一定几何不变．A 39 几何不变体系一定是静定结构。B 40几何不变体系一定是超静定结构。B 41力是物体间相互的机械作用。A 42 力的合成遵循平行四边形法则。A 43 力的合成遵循三角形法则。A 44 力偶没有合力。A 45 力偶只能用力偶来平衡。A 46 力偶可以和一个力平衡。B 47 力偶对物体既有转动效应，又有移动效应。B 48 固定铰支座使结构在支承处不能移动也不能转动。B 49 可动铰支座使结构在支承处能够转动，但不能沿链杆方向移动。A 50 结点法求解桁架内力应按照结构几何组成相反顺序来求解。A 51 将一个已知力分解为两个力可得到无数解答。A 52 作用力和反作用力是作用在同一物体上的两个力。B 53 作用力和反作用力是作用在不同物体上的两个力。A 54 两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等 B 55 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩A 56 力偶在坐标轴上的投影的代数和等于零A 57 一个固定铰支座相当于两个约束。A 58三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为超静定结构B 59 桁架是“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”。A 60桁架结构的内力有轴力。A 61 拱的合理拱轴线均为二次抛物线。B 62无铰拱属于超静定结构。A 63 三铰刚架和三铰拱都属于推力结构。A 64 简支刚架属于推力结构。B 65 三铰拱属于静定结构。A 66 相同竖向载荷作用下，同跨度拱的弯矩比代梁的弯矩大得多。B 67 桁架结构中，杆的内力有轴力和剪力。B 68 竖向载荷作用下，简支梁不会产生水平支反力．A 69 竖向载荷作用下，拱不会产生水平支反力。B 70 竖向载荷作用下，拱的水平推力与拱高成正比。B
结构力学期末试题及答案
结构力学期末试题及答案 一、 选择题：（共10题，每题2分，共20分） 如图所示体系的几何组成为 。 （A ）几何不变体系，无多余约束 （B ）几何不变体系，有多余约束 （C ）几何瞬变体系 （D ）几何常变体系 第1题 2.图示外伸梁，跨中截面C 的弯矩为（ ） A.7kN m ? B.10kN m ? C ．14kN m ? D ．17kN m ? 第2题 3.在竖向荷载作用下，三铰拱（ ） A.有水平推力 B.无水平推力 C.受力与同跨度、同荷载作用下的简支梁完全相同 D.截面弯矩比同跨度、同荷载作用下的简支梁的弯矩要大 4.在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.位移反力互等定理 D.虚功互等定理 5.比较图(a)与图(b)所示结构的内力与变形，叙述正确的为（ ） A.内力相同，变形不相同 B.内力相同，变形相同 C.内力不相同，变形不相同 D.内力不相同，变形相同
第5题 6.静定结构在支座移动时，会产生（ ） A.内力 B.应力 C. 刚体位移 D.变形 。 7.图示对称刚架，在反对称荷载作用下，求解时取半刚架为（ ） A.图（a ） B.图（b ） C.图（c ） D.图（d ） 题7图 图（a ） 图（b ） 图（c ） 图（d ） 8.位移法典型方程中系数k ij =k ji 反映了（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.变形协调 D.位移反力互等定理 9.图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数目是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 第9题 第10题 10.FP=1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段 B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段 D ．BC 、CD 段 二、填空题：（共10题，每题2分，共20分） 1.两刚片用一个铰和_________________相联，组成无多余约束的几何不变体系。 2.所示三铰拱的水平推力FH 等于_______________。 q q (a) (b)
结构力学题库答案
1 ： 图 a 桁 架, 力 法 基 本 结 构 如 图 b ，力 法 典 型 方 程 中 的 系 数 为 ：( ) 3. 2：图示结构用力矩分配法计算时，结点A 的约束力矩（不平衡 力矩）为（以顺时针转为正） ( ) 4.3Pl/16 3：图示桁架1,2杆内力为： 4. 4：连续梁和 M 图如图所示，则支座B 的竖向反力 F By 是：
4.17.07(↑) 5：用常应变三角形单元分析平面问题时，单元之间（）。 3.应变、位移均不连续； 6：图示体系的几何组成为 1.几何不变,无多余联系； 7：超静定结构在荷载作用下的内力和位移计算中，各杆的刚度为（） 4.内力计算可用相对值，位移计算须用绝对值 8：图示结构用力矩分配法计算时，结点A之杆AB的分配系数
μAB 为（各杆 EI= 常数）( ) 4.1/7 9：有限元分析中的应力矩阵是两组量之间的变换矩阵，这两组量是（ ）。 4.单元结点位移与单元应力 10：图示结构用位移法计算时，其基本未知量数目为( ) 4.角位移=3，线位移=2 11：图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数 目是（ ） 3.6 12：图示结构两杆长均为d,EI=常数。则A 点的垂直位移为（ ） 4.qd 4/6EI （↓） 13：图示桁架,各杆EA 为常数,除支座链杆外,零杆数为：
1.四 根 ； 14：图示结构，各杆线刚度均为i,用力矩分配法计算时，分配 系数μAB 为（ ） 2. 15：在位移法中，将铰接端的角位移，滑动支撑端的线位移作为基本未知量： 3.可以，但不必； 1：用图乘法求位移的必要条件之一是：( ) 2.结构可分为等截面直杆段； 2：由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在温度改变作用下静定结构将（ ） 2.不产生内力 3：图示结构，各杆EI=常数，欲使结点B 的转角为零，比值P1/P2应 为（ ） 2.1
(完整版)结构动力学历年试题
结构动力学历年试题（简答题） 1.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请 简述每一种荷载的特点。P2 2.通过与静力问题的对比，试说明结构动力计算的特点。P3 3.动力自由度数目计算类 4.什么叫有势力？它有何种性质。P14 5.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P16 6.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P105 7.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P32 8.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断？P132 9.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在 哪里？第五章课件 10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确 解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P209 11.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P1 12.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P96 13.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？ P132及其课件 14.请给出度哈姆积分的物理意义？P81 15.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结 16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移，得到如下的位移时程的计算结果：。。。 17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该 如何进行判断？P132 18.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型， 每种类型请给出一种实例。P2 19.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P103 20.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题 21.在振型叠加法的求解过程中，只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响 可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P115 22.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程，动力自由度的总数 为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P103 23.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案 24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）， 为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。详解见卷子上答案 25.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及使用条件分别是什么？若 振型叠加法不适用，可采用何种普遍适用的方法计算体系响应？详解见卷子上答案 26.振型函数边界条件。。。 27.集中质量和一致质量有限元的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的自振频率与 实际结构自振频率相比有何种关系？P242及卷子上答案 28.人站在桥上可以感觉到桥面的震动，简述当车辆行驶在桥上和驶离桥面的主要振型特征 有何不同？ 29.简述用Duhamel积分法求体系动力响应的基本原理，以及积分表达式中的t和τ有何差
结构力学试题及答案
、选择题（每小题3分，共18分） 1?图示体系的几何组成为：（） A.几何不变，无多余联系； B.几何不变，有多余联系； C.瞬 变； 2?静定结构在支座移动时，会产生：（） A.内力； B.应力； C.刚体位移； D.变形 3?在径向均布荷（） A.圆弧线； 载作用下， B .抛物线 铰拱的合理轴线为: C .悬链线；D.正弦曲线。 4?图示桁架的零A. 6； B. 7杆数目为： ； C. 8 ； ( ) D. 9 。 D.常变。
5?图a结构的最后弯矩图为：（） A.图b ; B .图c；C .图d; D .都不对。 6?力法方程是沿基本未知量方向的：（） A.力的平衡方程； B.位移为零方程； C.位移协调方程；D ?力的平衡及位移为零方程。 :■、填空题（每题3分，共9分） 1.从几何组成上讲，静定和超静定结构都是_______________________________ 体系， 前者__________ 多余约束而后者______________________ 多余约束。 2.图b是图a结构_______________ 截面的 ____________ 影响线。 彳、亡A 卜 1 B K D —i |i li 11 行）f- 3._________________________________________________ 图示结构AB杆B端的转动刚度为_________________________________________________ ,分配系数为________ , 传递系数为 ___________ 。 三、简答题（每题5分，共10分） 1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？为什么？ 2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？
结构动力学1_652807188
1/35 结构动力学 教师：刘晶波助教：赵冬冬 清华大学土木工程系2010年秋 2/35 结构动力学教科书 ●刘晶波杜修力主编， 结构动力学，机械工业出版社，2005年1月第1版，2007重印。 3/35结构动力学参考书 ●A. K. Chopra, Dynamics of Structures, Prentice Hall, 1995, 2000. 4/35 结构动力学参考书 ●A. K. Chopra 著,谢礼立吕大刚等译结构动力学,高等教育出版社,2007.
5/35结构动力学参考书 ●R. W. Clough and J. Penzien, Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993, 1995. 6/35 结构动力学参考书 ●R. 克拉夫J. 彭津著, 王光远等译校，结构动力学第二版(修订版)，高等教育出版社，2006。 7/35 结构动力学参考书 ●唐友刚著, 高等结构动力学，天津大学出版社，2002。●诸德超邢誉峰主编, 工程振动基础，北京航空航天大学出版社，2004。●张相庭王志培等编著, 结构振动力学，同济大学出版社，2005。 yyyyyy 8/35 结构动力学总成绩： ①平时成绩 作业＋读书报告②期中成绩③期末成绩 总成绩＝平时成绩×(30～40%) ＋期中成绩×(20%) ＋期末成绩×(40～50%)
9/35 课程内容简介 本课程将系统讲授结构动力学基础理论知识和基本计算分析方法。 通过单自由度体系、多自由度体系和无限自由度体系的系列教学，使学生系统掌握结构动力学的基本理论和分析方法通过结构动力问题分析中的数值分析方法、离散化分析和随机振动分析的系列教学使学生具备分析和解决理论研究和实际工程问题的能力 通过介绍若干重要的前沿研究成果，使学生能较迅速接触到结构动力学研究领域的前沿 结构动力分析的基础理论知识 解决科研和工程中动力问题的技能和方法了解和掌握与结构动力学相关的科学前沿问题 10/35 结构动力学 第1 章概述 11/35 第1章概述 1.1结构动力分析的目的 12/35 1.1结构动力分析的目的 动力问题: 5地震作用下建筑结构、桥梁、大坝、地下结构的震动；5风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动； 5机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；5车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动； 5爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应，???等等，量大而面广。动力破坏的特点: 突发性、毁灭性、波及面大。
结构动力学习题解答一二章
第一章 单自由度系统 1、1 总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。 单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力; (2) 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析; (2) 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法: 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1)设系统的广义坐标为θ,写出系统对于坐标θ的动能T 与势能U 的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U ; (2)由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 与势能U 的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const (2)将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ,进一步得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 1、2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。 方法一:衰减曲线法。 求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值i A 、1+i A 。 (2)由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ, 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ,
结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统 试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。 图３－１０ 解：（1）系统自由度、广义坐标 图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； （2）系统运动微分方程 根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下： ;)(;)()(;)(3 4233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K x m x x K x K x m ---=------=---=&&&&&& 整理如下 ; 0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K x m x K x K K K K x K x m x K x K K x m &&&&&& 写成矩阵形式 ;000)(0)(0) (0 0000321433365322221321321 ?? ????????=????????????????????+--+++--++????????????????????x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m &&&&&&（1） （3）系统特征方程 设)sin(,)sin(,)sin(332211?ω?ω?ω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程 ;000)(0)(0)(321234333 2 26532222121?? ????????=????????????????????-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω（2） （4）系统频率方程 系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即 ;0) (0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K 展开得系统频率方程
结构力学试题及答案汇总(完整版)
. ... . 院（系） 建筑工程系 学号 三 明 学院 姓名 . 密封 线 内 不 要 答 题 密封……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………结构力学试题答案汇总 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 图 示 体 系 的 几 何 组 成 为 ： （ A ） A. 几 何 不 变 ， 无 多 余 联 系 ； B. 几 何 不 变 ， 有 多 余 联 系 ； C. 瞬 变 ； D. 常 变 。 （第1题） （第4题） 2. 静 定 结 构 在 支 座 移 动 时 ， 会 产 生 ： （ C ） A. 力 ； B. 应 力 ； C. 刚 体 位 移 ； D. 变 形 。 3. 在 径 向 均 布 荷 载 作 用 下 ， 三 铰 拱 的 合 理 轴 线 为： （ B ） A ．圆 弧 线 ； B ．抛 物 线 ； C ．悬 链 线 ； D ．正 弦 曲 线 。 4. 图 示 桁 架 的 零 杆 数 目 为 ： （ D ） A. 6； B. 7； C. 8； D. 9。 5. 图 a 结 构 的 最 后 弯 矩 图 为 ： （ A ） A ．图 b ； B ．图 c ； C ．图 d ； D ．都不 对 。 6. 力 法 方 程 是 沿 基 本 未 知 量 方 向 的 ： （ C ） A ．力 的 平 衡 方 程 ； B ．位 移 为 零 方 程 ； C ．位 移 协 调 方 程 ； D ．力 的 平 衡 及 位 移 为 零 方 程 。
. ... . 二、填空题（每题3分,共9分） 1.从 几 何 组 成 上 讲 ， 静 定 和 超 静 定 结 构 都 是___几何不变____ 体 系 ， 前 者___无__多 余 约 束 而 后 者____有___多 余 约 束 。 2. 图 b 是 图 a 结 构 ___B__ 截 面 的 __剪力__ 影 响 线 。 3. 图 示 结 构 AB 杆 B 端 的 转 动 刚 度 为 ___i___, 分 配 系 数 为 ____1/8 ____, 传 递 系 数 为 ___-1__。 三、简答题（每题5分，共10分） 1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？ 为什么？ 答：因为静定结构内力可仅由平衡方程求得，因此与杆件截面的几何性质无关， 与材料物理性质也无关。 2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 答：横坐标是单位移动荷载作用位置，纵坐标是单位移动荷载作用在此位置时物 理量的影响系数值。 四、计算分析题，写出主要解题步骤(4小题,共63分) 1.作图示体系的几何组成分析（说明理由），并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） （本题16分）1.因为w=0 所以本体系为无多约束的几何不变体系。（4分） F N1=- F P （6分）； F N2=P F 3 10（6分）。 2.作 图 示 结 构 的 M 图 。（本题15分）
结构力学试题及参考答案
《结构力学》作业参考答案 一、判断题（将判断结果填入括弧内，以 √表示正确 ，以 × 表示错误。） 1．图示桁架结构中有3个杆件轴力为0 。（×） 2．图示悬臂梁截面A 的弯矩值是ql 2。 (×) l l 3．静定多跨梁中基本部分、附属部分的划分与所承受的荷载无关。（√ ） 4．一般来说静定多跨梁的计算是先计算基本部分后计算附属部分。（× ） 5．用平衡条件能求出全部内力的结构是静定结构。（ √ ） 6．求桁架内力时截面法所截取的隔离体包含两个或两个以上的结点。（√ ） 7．超静定结构的力法基本结构不是唯一的。（√） 8．在桁架结构中，杆件内力不是只有轴力。（×） 9．超静定结构由于支座位移可以产生内力。 （√ ） 10．超静定结构的内力与材料的性质无关。（× ） 11．力法典型方程的等号右端项不一定为0。 （√ ） 12．计算超静定结构的位移时，虚设力状态可以在力法的基本结构上设。（√） 13．用力矩分配法计算结构时，汇交于每一结点各杆端分配系数总和为1，则表明分配系 数的计算无错误。 （× ） 14．力矩分配法适用于所有超静定结构的计算。（×） 15．当AB 杆件刚度系数i S AB 3 时，杆件的B 端为定向支座。 (×)
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号填在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分。） 1．图示简支梁中间截面的弯矩为（ A ） q l A ． 82ql B ． 42ql C ． 22 ql D ． 2ql 2．超静定结构在荷载作用下产生的内力与刚度（B ） A ． 无关 B ． 相对值有关 C ． 绝对值有关 D ． 相对值绝对值都有关 3．超静定结构的超静定次数等于结构中（B ） A ．约束的数目 B ．多余约束的数目 C ．结点数 D ．杆件数 4．力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（C ）。 A ．结构的平衡条件 B ．结构的物理条件 C ．多余约束处的位移协调条件 D ．同时满足A 、B 两个条件 5． 图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（A ）。 6．超静定结构产生内力的原因有（D ） A ．荷载作用与温度变化 B ．支座位移 C ．制造误差 D ．以上四种原因
结构力学试题及答案
结构力学复习题 一、填空题。 1、在梁、刚架、拱、桁架四种常见结构中，主要受弯的是 和 ，主要承受轴力的是 和 。 2、选取结构计算简图时，一般要进行杆件简化、 简化、 简化和 简化。 3、分析平面杆件体系的几何组成常用的规律是两刚片法则、 和二元体法则。 4、建筑物中用以支承荷载的骨架部分称为 ，分为 、 和 三大类。 5、一个简单铰相当于 个约束。 6、静定多跨梁包括 部分和 部分，内力计算从 部分开始。 7、刚结点的特点是，各杆件在连接处既无相对 也无相对 ，可以传递 和 。 8、平面内一根链杆自由运动时的自由度等于 。 二、判断改错题。 1、三刚片用三个铰两两相联必成为几何不变体系。（ ） 2、对静定结构，支座移动或温度改变会产生内力。（ ） 3、力法的基本体系必须是静定的。（ ） 4、任何三铰拱的合理拱轴都是二次抛物线。（ ） 5、图乘法可以用来计算曲杆。（ ） 6、静定结构的影响线全部都由直线段组成。（ ） 7、多跨静定梁若附属部分受力，则只有附属部分产生内力。（ ） 8、功的互等定理成立的条件是小变形和线弹性。（ ） 9、力法方程中，主系数恒为正，副系数可为正、负或零。（ ） 三、选择题。 1、图示结构中当改变B 点链杆方向（不能通过A 铰）时，对该梁的影响是（ ） A 、全部内力没有变化 B 、弯矩有变化 C 、剪力有变化 D 、轴力有变化 2、图示桁架中的零杆为（ ） A 、DC, EC, DE, DF , EF B 、DE, DF , EF C 、AF , BF , DE, DF , EF D 、DC, EC, AF, BF 3、右图所示刚架中A A 、P B 、2P - C 、P -
结构动力学论文
浅议“动力有限元法” 摘要：有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数。该方法在工程中有着广泛的应用，比如：桥梁，建筑上部和建筑基础等。 关键词：有限元；动力；位移 Abstract: Finite element method is currently the most widely used as a discrete numerical method. Its basic idea is going to artificially continuum structure which is divided into a finite number of units. Each unit provids common to a group of deformed form, which is known as an unit displacement mode or interpolation function. This method works with a wide range of applications. Example: bridges, buildings and construction base and so on. Key words: Finite element; Force;Displacement 1 动力有限元法基本过程 有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数[1]。动力学的有限元法同静力学问题, 是把物体离散为有限个单元体, 考虑单元的惯性力和阻尼力等动力因素的特性。在运动物体单位体积上作用的体力可以用下式表达: {}{}δδδνδρt t a -=22a - } Ps { P} { (1-1) 式中 {Ps}——静力; {δ}——位移; {}δρ22 a t a ——惯性力; {}δδδνt ——阻尼力。 用有限单元法求解动力问题的位移模式: {}e δ ] [N f} {= (1-2) 式中 [N]——形函数矩阵; {}e δ——单元节点位移矩阵。
结构动力学例题复习题
第十六章结构动力学 【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。 图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。 设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+?=?+?+?= 式中，)t (q EI 38454P =?，EI 483 =δ。将它们代入上式，并注意到y m I -=，y c R -=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y --+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++ 式中，3EI 481k =δ= ，)(8 5)(t q k t P P E =?= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和 实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。 【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。 【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本
湖南大学结构力学考试及答案
结构力学 试 题 一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共 11分） 1 . (本小题 3分) 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。（ ）. 2 . (本小题 4分) 用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。 （ ） 3 . (本小题 2分) 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。（ ） 4 . (本小题 2分) 用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。 （ ） 二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分） 图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ） A ．2/M ； B ．M ； C ．0； D. )2/(EI M 。 2
2. （本小题4分） 图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch ; ; ; . 3. (本小题 4分) 图a 结构的最后弯矩图为： A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。（ ） ( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分) 用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。 ( ) 5. （本小题3分） 图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3 /(24EI ); B . F P l 3 /(!6EI ); C . 5F P l 3 /(96EI ); D. 5F P l 3 /(48EI ). F P