2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的图象与性质学案文
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的
图象与性质学案文
[知识梳理]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，? ????π2，1，(π，0)，? ??
??3π2，－1，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，? ??
??π2，0，(π，－
1)，?
??
?
?3π2，0，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )
(2)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin2x 的单调增区间都是??????k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．( )
(3)由sin ? ????π6
＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( )
(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化
(1)(必修A4P 46T 2)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期、最大值为( ) A ．2π，2 B.3π2， 3 C ．π，2 D.π
2， 3
答案 A
解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ? ????x －π3，则T ＝2π.最
大值为2.故选A.
(2)(必修A4P 40T 4)已知函数f (x )＝sin ? ????2x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )
A ．函数f (x )是偶函数
B ．函数f (x )的最小正周期为π
C ．函数f (x )在区间?
?????0，π2上是增函数
D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
4对称
答案 D
解析 f (x )＝sin ? ????2x －π2＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确．由函数y ＝cos x 的单调性知C 正确．函数图象的对称轴方程为x ＝k π
2
(k ∈Z )，显然，
无论k 取任何整数，x ≠π
4
，所以D 错误．故选D.
3．小题热身
(1)函数f (x )＝sin ? ????2x －π4在区间??????0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.2
2
D ．0 答案 B
解析 由已知x ∈??????0，π2，得2x －π4∈??????－π4，3π4，所以sin ? ????2x －π4∈??????－22，1，故函数f (x )＝sin ? ????2x －π4在区间?
?????0，π2上的最小值为－22.故选B. (2)函数y ＝tan ? ??
??x 2＋π3的单调递增区间是________，最小正周期是________． 答案 ?
????2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 2π
解析 由k π－π2 π 1 2＝2π. 题型1 三角函数的定义域和值域 典例1 函数f (x )＝64－x 2 ＋log 2(2sin x －1)的定义域是________． 本题采用数形结合． 答案 ? ????－11π6，－7π6∪? ????π6，5π6∪? ?? ??13π6，8 解析 由题意，得??? ?? 64－x 2 ≥0，①2sin x －1>0，② 由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π 6 ＋2k π(k ∈Z )． 所以不等式组的解集为? ????－11π6，－7π6∪? ????π6，5π6∪? ?? ??13π6，8. 典例2 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2 x ＋a cos x ＋58a －32 在 闭区间? ?????0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由． 用转化法将问题化为二次函数型，然后分类讨论． 解 y ＝1－cos 2 x ＋a cos x ＋58a －32＝－? ????cos x －a 22＋a 2 4＋58a －12. 当0≤x ≤π 2 时，0≤cos x ≤1. 若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1?a ＝20 13 <2(舍去)， 若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋5 8a －12＝1?a ＝32 或a ＝－4<0(舍去)． 若a 2<0，即a <0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1?a ＝12 5 >0(舍去) 综合上述，存在a ＝3 2符合题设． 方法技巧 1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．见典例1. 2．三角函数值域的不同求法 (1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．见典例2. (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 冲关针对训练 1．(xx·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ? ????x ＋π6，其中x ∈??????－π3，a ，若f (x )的值域是 ???? ??－12，1，则实数a 的取值范围是________． 答案 ?? ?? ??π3，π 解析 由x ∈??????－π3，a ，知x ＋π6∈??????－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈??????－π6，π2时，f (x )的值域为??????－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π 3 ≤a ≤π. 2．已知3sin 2 α＋2sin 2 β＝2sin α，求y ＝sin 2 α＋sin 2 β的取值范围． 解 ∵3sin 2 α＋2sin 2 β＝2sin α， ∴sin 2β＝－32 sin 2 α＋sin α， ∵0≤sin 2 β≤1，∴????? －3 2 sin 2 α＋sin α≥0，－3 2sin 2 α＋sin α≤1， 解得0≤sin α≤2 3 ， ∵y ＝sin 2α＋sin 2β＝－12sin 2α＋sin α＝－12(sin α－1)2 ＋12， 0≤sin α≤23，∴sin α＝0时，y min ＝0；sin α＝23时，y max ＝4 9， ∴0≤sin 2α＋sin 2 β≤49. 题型2 三角函数的单调性 典例1 (xx·长沙一模)函数y ＝sin ? ?? ??π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( ) A.??????－π3 ，5π3 B.? ?????－2π，－π3 C.?? ?? ? ?5π3，2π D.??????－2π，－π3和???? ??5π3，2π 本题用子集法． 答案 D 解析 依题意得y ＝－sin ? ????12 x －π3，当2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即4k π ＋5π3≤x ≤4k π＋11π3(k ∈Z )时，函数y ＝－sin ? ????12x －π3是单调递增函数．又x ∈[－2π， 2π]，因此函数y ＝－sin ? ????12x －π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是? ?????－2π，－π3和 ???? ??5π3，2π.选D. 典例2 已知ω>0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4在? ????π2，π上单调递减，则实数ω的 取值范围是( ) A.??????12，54 B.??????12，34 C.? ?? ??0，12 D ．(0,2] 子集反推法． 答案 A 解析 由π2 . 又y ＝sin α在? ????π2 ，3π2上递减， 所以????? ωπ2＋π4≥π 2，ωπ＋π4≤3π 2，解得12≤ω≤5 4 .故选A. 方法技巧 1．求三角函数单调区间的方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． (3)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．见典例1. 2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的方法 (1)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．见典例2. (2)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组) 求解． 提醒：要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 冲关针对训练 1．(xx·济宁检测)下列函数中，周期为π，且在???? ??π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ? ????2x ＋π2 B ．y ＝cos ? ????2x ＋π2 C ．y ＝sin ? ????x ＋π2 D ．y ＝cos ? ????x ＋π2 答案 A 解析 对于选项A ，注意到y ＝sin ? ????2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在??????π4，π2上是减 函数．故选A. 2．(xx·莆田一模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋ φ)? ????ω>0，－π2<φ<π2，A ? ????13，0为f (x )图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最 高点和最低点，若BC ＝4，则f (x )的单调递增区间是( ) A.? ????2k －23，2k ＋43，k ∈Z B.? ????2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.? ????4k －23，4k ＋43，k ∈Z D.? ????4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 答案 C 解析 函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)? ????ω>0，－π2<φ<π2，A ? ????13，0为f (x )图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，∵BC ＝4， ∴(23)2 ＋? ?? ??T 22＝42 ，即12＋π2 ω2＝16，求得ω＝π2. 再根据π2·13＋φ＝k π，k ∈Z ，可得φ＝－π6，∴f (x )＝3sin ? ????π 2x －π6. 令2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2，求得4k －23≤x ≤4k ＋4 3， 故f (x )的单调递增区间为? ????4k －23，4k ＋43，k ∈Z . 故选C. 题型3 三角函数的奇偶性及对称性 典例1 (xx·江西模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0， ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( ) A ．－ 32 B ．－6 2 C. 3 D ．－ 3 数形结合思想． 答案 D 解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴f (0)＝A cos φ＝0 ∵0<φ<π，∴φ＝π 2 ， ∴f (x )＝A cos ? ????ωx ＋π2＝－A sin ωx . ∵△EFG 是边长为2的等边三角形，则y E ＝3＝A ， 又∵函数的周期T ＝2FG ＝4，根据周期公式可得，ω＝2π4＝π 2. ∴f (x )＝－A sin π2x ＝－3sin π 2x ， 则f (1)＝－ 3.故选D. 典例2 (xx·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)? ????ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对?x ∈R ，有f (x )≤f ? ?? ??π3恒成立，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.? ?? ??－2π3，0 B.? ?? ??－π3，0 C.? ????2π3，0 D.? ?? ??5π3，0 应用公式法． 答案 A 解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ? ????π3恒成立， 所以f (x )max ＝f ? ?? ??π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝ sin ? ????12 x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π 3 (k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为? ?? ??2k π－2π3，0(k ∈Z )．当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为 ? ?? ??－2π3，0.故选A. 方法技巧 1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π 2(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x ) 取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )＝0.见典例1. 2．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．对于函数y ＝ A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数 的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f (x 0)的值进行判断．见典例2. 冲关针对训练 1．(xx·揭阳模拟)当x ＝ π 4 时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ? ?? ??3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点? ?? ??π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π 2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C 解析 ∵当x ＝π 4时，函数f (x )取得最小值， ∴sin ? ????π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )， ∴f (x )＝sin ? ????x ＋2k π－3π4＝sin ? ????x －3π4， ∴y ＝f ? ?? ??3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x ， ∴y ＝f ? ?? ??3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．故选C. 2．(xx·南阳期末)已知函数f (x )＝1－cos 2 x ，试讨论该函数的奇偶性、周期性以及在区间[0，π]上的单调性． 解 因为y ＝1－cos 2 x ＝sin 2 x ＝|sin x | ＝? ?? ?? sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ， －sin x ，2k π＋π 所以，该函数是偶函数，周期为π. 在区间??????0，π2上是增函数，在区间???? ??π2，π上是减函数，在区间[0，π]上不是单调函 数． 1．(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ? ????x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π 3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π 6 D ．f (x )在? ?? ??π2，π单调递减 答案 D 解析 因为f (x )＝cos ? ????x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos ? ????x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x ＋π)＝cos ? ????x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π 6 ，C 项正确．因为 f (x )＝cos ? ? ??? x ＋π3的递减区间为? ?? ??? 2k π－π 3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为 ??????2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以? ????π2，2π3是减区间，???? ??2π3，π是增区间， D 项错误．故选D. 2．(xx·舟山模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的递增区间是( ) A.??????0，π2 B.??????π2，π C.??????π4，π2 D.???? ??3π4，π 答案 B 解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，∴θ＝π2，f (x )＝3sin ? ????2x ＋π2＝3cos2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，求得k π－ π 2 ≤x ≤k π，可得函数f (x )的增区间为???? ??k π－π2，k π(k ∈Z )． 则f (x )在[0，π]上的递增区间为?? ?? ??π2，π.故选B. 3．(xx·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若 f (x )在区间? ??? ??π6，π2上具有单调性，且f ? ?? ??π2＝f ? ?? ??2π3＝－f ? ?? ??π6 ，则f (x )的最小正周期为 ________． 答案 π 解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π 3 ， 又f ? ????π2＝f ? ????2π3＝－f ? ?? ??π6，且2π3－π2＝π6. 可作出示意图如图所示， ∴x 1＝? ????π2＋π6×12＝π3，x 2＝? ????π2＋2π3×12＝7π12 ， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π 4 ，∴T ＝π. 4．(xx·赣榆区期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋ φ)? ????A >0，ω>0，φ∈? ????0，π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两个最值点 ? ?? ??x 0－32，2和(x 0，－2)上(x 0 >0)，函数f (x )分别取最大值和最小值． (1)求函数f (x )的解析式； (2)若f (x )＝ k ＋1 2在区间???? ??0，32内有两个不同的零点，求k 的取值范围； (3)求函数f (x )在区间???? ??134，234上的对称轴方程． 解 (1)A ＝2，T 2＝x 0－? ????x 0－32＝32?T ＝3?ω＝2π3， ∴f (x )＝2sin ? ?? ? ?2π3x ＋φ， 代入(0,1)点，2sin φ＝1， ∵φ∈? ????0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ? ????2π 3 x ＋π6. (2)x ∈??????0，32?2π3 x ＋π6∈??????π6，7π6?1≤k ＋12<2?1≤k <3. (3) 2π3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ?x ＝12＋32k ，k ∈Z ?函数f (x )在区间???? ??134，234上的对称 轴方程为x ＝7 2 ，x ＝5. [基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ? ?4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值 为( ) A. π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 A 解析 依题意得3cos ? ?? ??8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此 |φ|的最小值是π 6 .故选A. 2．(xx·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在???? ??－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A.??????－32，0 B ．[－3,0) C.? ?? ??0，32 D ．(0,3] 答案 C 解析 由于y ＝sin x 在??????－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在???? ??－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤3 2 .故选C. 3．(xx·成都调研)函数y ＝2sin ? ????π 6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A 解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π 6， 所以sin ? ????π 6x －π3∈???? ??－32，1. 所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. 4．设函数f (x )＝2sin ? ????ωx ＋φ＋π4? ????ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函 数，则( ) A ．f (x )在? ????0，π2内单调递减 B ．f (x )在? ????π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在? ????0，π2内单调递增 D ．f (x )在? ????π4 ，3π4内单调递增 答案 A 解析 由条件，知ω＝2. 因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π 4， 这时f (x )＝2sin ? ????2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈? ????0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在? ????0，π2内单调递减．故选A. 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π 2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法 正确的是( ) A ．y ＝f (x )是奇函数 B ．y ＝f (x )的周期为π C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π 2 对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点? ?? ??－π2，0对称 答案 D 解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误； 它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点? ????k π＋π2，0，k ∈Z ， D 正确．故 选D. 6．(xx·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)? ????0<φ<π2的图象的一个对称中心为? ?? ??3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.? ?????2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.? ?????2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.? ?????k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.??????k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D 解析 由题意得f ? ????3π8＝sin ? ?? ??2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝ －3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ? ????2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π4的 单调递减区间为?? ?? ??π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .故选D. 7．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 C 解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即15 2≤t ， ∴t min ＝8.故选C. 8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)? ????|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称， 则函数f (x )在? ?????0，π2上的最小值为( ) A ．－ 32 B ．－12 C.12 D.32 答案 A 解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ???? ??2? ????x ＋π6＋φ＝ sin ? ?? ??2x ＋π3＋φ 的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且 |φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ? ????2x －π3，当x ∈??????0，π2时，2x －π3∈??????－π3，2π3， 所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－3 2 .选A. 9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．可以取得最大值M D ．可以取得最小值－M 答案 C 解析 T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ? ????ωx ＋φ＋π2＝M sin ???? ??ω? ????x ＋π2ω＋φ， ∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω? ?? ?? 即T 4得到的． 由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2 得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C. 10．(xx·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ，给出下列五个结论： ①f ? ?? ??2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )； ③f (x )在区间???? ??－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点? ?? ??π2，0成中心对称． 其中正确的结论是( ) A ．①⑤ B ．①②⑤ C ．②④ D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ? ????2018π3＝???? ??sin 2018π3cos 2018π3＝32×? ????－12＝－34，∴①正确； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则 ??????12sin2x 1＝??????12sin2x 2，当x 1＝0，x 2 ＝π2时也成立，∴②不正确； ③∵当x ∈???? ??－π4，π4时， f (x )＝|sin x |cos x ＝????? －12sin2x ，－π 4 ≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π 4 ， ∴f (x )在???? ??－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x ＝????? －1 2sin2x ，－π＋2k π k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点 ? ?? ??π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题 11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 答案 3π 4 解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ，f ′(x )＝cos(x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝2sin ? ?? ??x ＋φ＋π 4 是奇函数，因此φ＋π4 ＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π4 . 又0<φ<π，所以φ＝3π 4 . 12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)? ?? ??π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3， 所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________. 答案 12 解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π 3 － ? ?? ??－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12. 13．(xx·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)， B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ? ?? ??16 ＝________. 答案 －2 解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π 2 ，f (x )＝－4sin ωx . A (a,0)， B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2π ω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sin πx ， 则f ? ?? ??16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)? ?? ? ?ω>0，φ∈? ????－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关 于直线x ＝π 12 对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点? ????π4，0对称； ②图象关于点? ????π3，0对称； ③在??????0，π6上是增函数； ④在???? ??－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④ 解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝ 2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π 12 对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ? ????2x ＋π3.当x ＝π3时，f ? ????π3＝0，∴函数图象关于点? ????π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋ 2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π 12 ＋k π(k ∈Z )，所以④正确． 三、解答题 15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1. (1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间??????－π2 ，2π3上单调递增，求实数ω的取 值范围； 解 16．(xx·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2 x ＋a cosx ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值； (2)如果对于区间? ?????0，π2上的任意一个x ，都有f (x )≤1成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2 x ＋cos x ＋2＝－? ????cos x －122＋94， ∵cos x ∈[－1,1]， ∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π 3 (k ∈Z )时， f (x )max ＝94 . (2)依题意sin 2 x ＋a cos x ＋a ≤1， 即sin 2 x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈??????0，π2恒成立． 当x ∈? ?????0，π2时，0≤cos x ≤1， 则1≤cos x ＋1≤2， ∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈? ?????0，π2恒成立． 令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2， ∴a ≤(t －1)2t ＝t 2 －2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤? ?? ??t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π 2时取等号， ∴a ≤0. 2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的 图象与性质课后作业文 一、选择题 1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ? ?4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π 2 答案 A 解析 依题意得3cos ? ?? ??8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此 |φ|的最小值是π 6 .故选A.