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六同第三讲直线型面积计算

第三讲直线型面积计算

教学目标：1.掌握等量代换和割补法的性质与特点

2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。

3.培养学生分析问题解决问题的能力

教学重难点：割补法在求图形面积中的应用。

教学方法：讲练

教学用具：讲义

教学过程:

一、故事导入

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，认为围起半个地球总够大了。（讲到这里，老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们各抒己见）

揭晓答案，数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”师：这个故事告诉我们想问题不能墨守成规，而要把思路发散开来。就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，对于他们的面积公式肯定是熟记于心。（这里可以带着学生复习一下面积公式：长方形S=a×b；正方形S=a×a；梯形S=(a+b) ×h÷2；三角形S= a×h÷2。另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了）

下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习----直线型面积计算

二、新课学习

例1：（原例3）、已知长方形ABCD 的面积是40平方厘米，AE=5cm ，求BD 的长。

解析：可以很容易发现BD 是三角形ABD 的一条边，又因为AE 为BD 的高，那么在已知高的情况下如何求底边？利用公式三角形 S= a ×h ÷2变形得a=s ×2÷h 。可以求得BD 。三角形ABD 的面积：40÷2=20平方厘米 BD 的长：20×2÷5=8厘米

小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。

例2：（原例1）、三角形ABC 的面积为36平方分米,DC=2BD,求阴影部分的面积。

解析：由题意DC=2BD ，可以理解成BD 被分成3份，BD 占1份，DC 占2份，又因为三角形ADC 和三角形ABD 等高，所以三角形ADC 是三角形ABD 的2倍。 36÷（1+2）×2=24平方分米

过渡：来看下一个例题可不可以用这个方法呢？

例3、如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=3ED ，三角形ABC 的面积为96平方厘米，求阴影部分。

解析：D 为三角形ABC 的底边BC 的中点，BD=CD ，而且三角形ABD 和ADC 等高，所以三角形ABD 和ADC 面积相等。也可以理解为AD 把三角形ABC 分成了面积相等的两部分，三角形ABD 占一份。同样的，在三角形ABD 中，底边AD 上有这样的关系----AE=3ED ，说明AD 被分成了4等分，ED 占一份，AE 占3份，即三角形ABD 被分成了面积相等的4部分，三角形ABE 占3份。 SABD=96÷2=48平方厘米 48÷4×3=36平方厘米

小结：通过以上两个例题，我们知道了同高三角形面积的份数关系等于底的分数关系（因为有些学生不知道比，所以老师们可以视班里学生情况总结）下面我们看下练习7

练习：如下图，已知在三角形ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD 。若三角形ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。

解析：这一题和刚才的两题就有点区别了，题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE 的面积。我们要求大三角形ABC 的面积。连接BD ，我们还是从大三角形开始分析：CD=2AD ，说明AC 被分成了3等份，CD 占2份，即三角形ABC 被分成了面积相等的3等份，三角形ABD 占一份；BE=3AE,说明AB 被分成

了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面积被分成了4等份，三角形ADE占一份。这样我们就找到了SADE与SABC的关系。

1×（3+1）=4（平方厘米）

4×（2+1）=12（平方厘米）

例4、下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形ABC的面积。

解析：这个题目只有小正方形的边长是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，还有一部分在大正方形中。如果我们能通过等量代换把三角形ABC全部都转换到小正方形中就好解决了。

连接AD，显然AD∥BC,接下来怎么转化呢？我们把梯形ABCD单独拿出来讨论，

发现，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它们的高相等（由于AD∥BC）。所以，SABD=SACD，而

这两个三角形有一个公共的部分---三角形ADF，根据我们前面讲的，等式两边都减去SADF后所得结果

仍然相等，联系图形，即SABF=SCDF。这是著名的蝶形定理中的一个性质。

然后，我们就可以把三角形ABC全部转化到小正方形中了，SABC=SBCD。

SABC=SBCD=4×4÷2=8（平方厘米）

答：三角形ABC的面积为8平方厘米。

小结：这一题我们连接AD，利用两个正方形的对角线，找出一个梯形，然后再进行等量代换。把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中，这样就用到了我们今天要学习的第二种方法----割补法，把不能直接求的面积转化为可以求的面积。这一题还要注意蝶形定理的运用。

例5：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.

解析：先看一个简单的加减法算式13=5+8，如果等式的两边都减去3，结果还会不会相等呢？（提问）其实这里面隐含着一个很重要的性质----两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同减。

现在我们来看这一题，阴影部分的面积不能直接求出，可以转化为△ABC与△DOC的面积差。△ABC和△DEF是相同的三角形，所以S△ABC=S△DEF；从图中看出，△DOC是△ABC和△DEF的公共部分。根据我们前面的分析，可以得出

S△ABC-S△DOC =S△DEF -S△DOC，所以S阴=SOEFC。

SOEFC=（

10+7）×2÷2=17（平方厘米）

答：阴影部分的面积为17平方厘米。

例6、如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

解析：已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长，可是求三角形的面积需要知道直角边长，怎么办呢？能不能想办法把直角边转化为直角边呢？

题目所给的三角形非常特殊，等腰直角三角形，其底角为45度。我们将这个三角形沿着其中一条直角边旋转180度，之后得到下图：

我们发现，三角形ABC和DEF仍然是等腰直角三角形，且这两个三角形的面积可以直接得出。然后根据我们刚才学习的等量代换的思想，可以计算出阴影部分的面积，然后再得出题目所求。

SABC=9×9÷2=40.5（平方厘米）

SDEF=5×5÷2=12.5（平方厘米）

S阴=40.5-12.5=28（平方厘米）

S梯=28÷2=14（平方厘米）

这种方法我们利用了这里特殊的45度角，除了利用补图形的办法外，还有没有别的办法呢？求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高，我们给这个等腰三角形作高，大家有没有什么发现呢？（引导学生，让他们学会利用等腰直角三角形特殊的45度角）

如下图MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，

MN=CN=AC÷2=4.5（厘米）

MH=FH=CD÷2=2.5（厘米）

HN=4.5-2.5=2（厘米）

S梯=（5+9）×2÷2=14（平方厘米）

M F

小结：这一题我们有两种方法，都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角，或者是旋转补图形，或者是作高。下面大家看练习题8

练习：在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。

解析：这一题和例题的条件很相似，只是例题中平行于底边剪掉一个三角形，而本题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。根据刚才的学习，大家应该对等腰直角三角形中特殊的45度角很有好感了！因为它对我们解题很有帮助。与例题类似，我们先补图形，如下图：

我们发现，三角形AOF，AEF，ABC都是等腰直角三角形。因为题目中告诉了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，所以三角形AEF的面积可求。等腰梯形EFCB的面积也可求，这样就能求出三角形ABC的面积。根据三角形的面积计算公式，可以求出BC，AD，然后再求CD，OD，即下底和高。

（3+3）×3÷2=9（平方厘米）

36×2+9=81（平方厘米）

BC ×AD ÷2=CD ×AD=CD ×CD=81（平方厘米） CD= AD =9（厘米） OD=9-3=6（厘米）

答：下底为9厘米，高为6厘米。

例7、在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

解析：求矩形的面积我们必须知道其长和宽，而题目给出的条件与所求没有任何关系，所以我们要想办法把已知条件转化为我们可以用的量。

因为题目给出的是一个直角三角形，我们给它补一个相同的直角三角形，让它变成一个矩形，如下图：

F E D C

我们发现，在矩形ABCD 中，三角形ABC 和ACD 相等；在矩形AEOG 中，三角形AOG 和AOE 相等；在矩形CFOH 中，三角形COF 和COH 相等。根据等量代换的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG ，即SBEOH=SDFOG 。矩形DOFG 的面积可以有已知条件求出，所以得解。

SBEOH=SDFOG=4×6=24

小结：在这一例中，我们利用对称的思想补图形，然后再进行等量代换，得出题目所求。下面大家看练习题9，用类似的方法试试看。

练习：在下图中，长方形AEFD 的面积是18平方厘米，BE 长3厘米，求CD 的长。

解析：这一题和例题非常的类似，只是把已知和求解调换了。同样的，我们先要补图形，如图

D C B

和例题类似，在矩形ABGC 中，三角形ABC 和BGC 相等；在矩形BEFM 中，三角形BEF 和BMF 相等；在矩形CDFH 中，三角形CDF 和FHC 相等。所以，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC ，即SAEFD=SGMFH

SGMFH=FM ×HF=BE ×CD CD=18÷3=6(厘米)

过渡：是不是所有的图形问题都可以用这种对称的思想解决呢？（提问）接下来我们看例8。

例8、在下图中，平行四边形ABCD 的边长长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。

解析：同样的，我们先来看一个加法算式10=8+2，现在我在等号的两边同时加上4，所得到的新式子仍然相等吗？

在这个变化过程中同样的包含一个重要的性质----两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同加。

现在我们看这一题，平行四边形的面积没办法直接求出，可以转化为阴影部分与梯形FGCB的和。由已知条件，有这样的等量关系：S阴=S△EFG+10。由前面分析的性质，如果在等式的两边同时加上梯形FGCB 的面积，等式仍然成立，即

SFGCB+S阴=SFGCB+S△EFG+10。联系图形，我们发现，等式的左边是平行四边形ABCD的面积，右边的（SFGCB+S△EFG）是三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+10。

SABCD=10×8÷2+10=50（平方厘米）

答：平行四边形的ABCD的面积为50平方厘米。

小结：例8中的图形面积都不能直接求出，我们通过转化为其他可求的图形才得以解决，这叫做等量代换，即一个量可以用它相等的量来代替。另外，在这两个例题中我们用到了两条重要的性质：两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等；两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等。这在以后的学习中也经常会用到，大家要掌握。下面我们看下练习10 。

练习：在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。

解析：由已知得出等量关系，SAFB=SEFD+18，所以SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，联系图形，发现等式左边就是直角梯形ABCD的面积，右边的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面积我们可以直接求出，进而计算出三角形BEC的面积，然后根据三角形的面积计算公式求出CE的长，最后计算ED的长。

SABCD=（4+8）×6÷2=36（平方厘米）

SBEC=36-18=18（平方厘米）

SBEC=BC ×CE÷2

CE=18×2÷6=6(厘米)

ED=6-4=2(厘米)

答：ED的长为2厘米。

总结：今天这节课可是大丰收，学习了很多解决直线型面积计算的方法，比如利用公式的变换、割、补、对称、等量代换等思想，课后要好好复习，并把方法运用到实际计算中去。好吗？

家庭作业

练习题1，2，3，4，5、6

板书设计

直线型面积计算

长方形S=a×b

正方形S=a×a

梯形S=(a+b) ×h÷2

三角形 S= a ×h ÷2 等量代换：同减；同加

割补法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份数

课后反思：

练习巩固：

1、（1）一块长方形草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草（阴影部分）的面积。

（15-1）×（10-1）=126平方米

（2）已知：ABCD 是长方形，4AB =，6BC =，3AE =，1CF =。（单位：厘米）求阴影部分的面积。连BD 3×4÷2+3×6÷2=15平方厘米

（3）、已知：在四边形AECF 中，AE 和EC 垂直，CF 和AF 垂直。8AE =，7AB =，4CD =，10CF =。（单位：厘米）求：阴影部分的面积。

D F

连AC 8×4÷2+7×10÷2=51平方厘米

2、在直角三角形ABC 中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm 。求AC 边上的高BE 的长。

4×3÷5=2.4厘米

3、如下图，已知在△ABC 中，3BE AE =，2CD AD =。若△ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。

平方厘米所以因为连128318

=++====????ABC BDC BDE ADE S S S S BD

4、如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ?的面积是多少平方厘米．

连接

B C A

三角形ADE=三角形DEF=5

三角形BDF=三角形ADF=10

三角形ABC=10×3=30

5、如下图，两个正方形的边长分别为8cm和12cm，求阴影部分面积。

8×8÷2+4×12÷2=32+24=56平方厘米

6、下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

（15+20）×8÷2=140平方厘米

7、在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。

（3+3）×3÷2=9（平方厘米）

36×2+9=81（平方厘米）

BC×AD÷2=CD×AD=CD×CD=81（平方厘米）

CD= AD =9（厘米）

OD=9-3=6（厘米）

8、在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。

CD=18÷3=6(厘米)

9、在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。