相似三角形的判定
相似三角形的判定
中考要求
重难点
1．相似定义，性质，判定，应用和位似
2．相似的判定和证明
3．相似比的转化
课前预习
相似三角形的由来
两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答．
有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自
语起来．
想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！
在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法．
例题精讲
模块一 相似三角形的判定
?角对应相等、边对应成比例，三角形相似
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠，
''''''AB BC AC
A B B C A C ==
，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”
．
A '
B '
C '
C
B A
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．
【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△．
M
F
E
D
C
B
A
【难度】1星
【解析】解法一：由DC AB ∥得出对应角相等，对应边成比例
EM FM EF
MB MA AB
==
，再根据相似三角形的定义得出答案．
解法二：根据三角形的对应边成比例，且夹角相等，可以证明两三角形相似．
解法三：根据三角形的两组对应角相等，三角形相似，可以证明三角形相似． 本题根据第一种解法给出证明．
【答案】∵DC AB ∥
∴,FEM MBA EFM MAB ∠=∠∠=∠，EF EM FM
AB MB MA
==
又有对顶角EM F BM A ∠=∠ ∴MEF MBA △∽△
?平行定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 常见题模型如下：
E
D
C
B
A
E D C
B
A G E
D
C
A
G
F
E
D
C
B
A G E
D
C B
A D
E
F
C
B
A
方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一
般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．
【例2】 如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．
E
D
B
A
【难度】3星
【解析】∵DE BC ADE ABC ?∥△∽△
∴AD AE AD AE AB AC DB EC ==， ∵510AB AC BD AE ===，， ∴1210AD AB AD DB AE AE AE AC AE EC AC AE AE =====
--， ∴1101023
AE AE AE =?=-
【答案】103
【巩固】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ?=?．
P
E D C
B
A M
P
E
D C B
A
【难度】3星 【解析】略
【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，
∵CM AB ∥， ∴PCM PBD △∽△， ∴
CM PC
BD PB
=
， ∵CM AB ∥， ∴CEM AED △∽△， ∴
CM AD
CE AE
=
， ∵BD CE =， ∴CM CM
CE BD =
， ∴
PC AD
PB AE
=
， ∴AD BP AE CP ?=?
【拓展】如图所示，在Rt ABC △中，0
90B ∠=，4,8BC cm AB cm ==，D E F 、、分别为AB AC BC 、、边
的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若3AP cm =，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．
P Q
M
N
A
B
C
D F
E
【难度】3星 【解析】PQ BC ∥
∴APQ ABC △∽△ ∴
AP PQ
AB BC
=
又∵4,3,8BC AP AB === ∴3
2
PQ MN ==．同理4EF BD == ∴31122
DN =
-= ∴正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积133
224
=?=．
【答案】34
?三条边对应成比例，两三角形相似
如图，在ABC △与A B C '''△中，若
AB BC AC
A B B C A C ==
''''''
，则有'''ABC A B C △∽△．
A '
B '
C '
C
B A
方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者
根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．
【例3】 如图所示，如果,,D E F 分别在,,OA OB OC 上，且,DF AC EF BC ∥∥．
求证：ABC DEF △∽△．
O
D
F
E
B
A
【难度】1星
【解析】由两组平行线得到ABC
△与DEF
△的三条边对应成比例，即DE DF EF
AB AC BC
==，题目得证．
【答案】∵DF AC
∥
∴OD DF OF OA AC OC
==
∵EF BC
∥
∴OE EF OF OB BC OC
==
∴OD OE DE OA OB AB
==
∴DE DF EF AB AC BC
==
【巩固】如图，已知O是ABC
△内一点，D E F
、、分另是OA OB OC
、、的中点．求证：ABC DEF
△∽△．
O
F
E
A
B C
D
【难度】1星
【解析】考察相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两三角形相似．
【答案】∵EF BC
∥，点,E F分别为线段OB和线段OC的中点
∴
1
2 OE EF OB BC
==
同理：
12OE DE OB AB ==，1
2OD DF OA AC == 所以有
1
2
EF DE DF BC AB AC === ∴ABC DEF △∽△
?两角对应相等，两三角形相似
如图，在ABC △与A B C '''△中，若','A A B B ∠=∠∠=∠，则有'''ABC A B C △∽△．
A '
B '
C '
C
B A
常见题型中的几何模型有以下几种：
方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“A ”字形图形时，就马上想到有一个公
共角，遇到第二图的“8”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角．
【例4】 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，过C 作CE AB ∥，P 为梯形ABCD 内一点，连接BP 并
延长交CD 于F ，交CE 于E ，再连接PC ．若BP PC =． 求证：PFC PCE △∽△．
2
1E
F
A
B
D C P
【难度】2星 【解析】略
【答案】∵在等腰梯形ABCD 中，BP PC =
∴12
∠=∠
又∵AD BC
∥
∴1E
∠=∠
2E
∠=∠，CPF EPC
∠=∠
∴PFC PCE
△∽△
【巩固】如图，在矩形ABCD中，1
AB=，2
BC=将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）
F E D C
B
A 【难度】2星
【解析】解法一：根据两角对应相等，证明CEF CAB
△∽△，得到对应边成比例CF EF BC AB
=
，
1
CF
BE EF AB
BC
==?==．
解法二：由勾股定理求得．设BE x
=，根据1
AB=，2
BC=，BE EF x
==
得知
1
CF=,2
CE x
=-，根据勾股定理可列：(
))2
22
21
x x
-=+
，解得：BE x
=本题给出解法一的标准答案．
【答案】BE
∵C C
∠=∠，90
AFE ABE
∠=∠=?
∴CEF CAB
△∽△
∴
EF CE
AB AC
=
∴1
CE
FE x AB
AC
==?=
，x=
∴BE x
=
【例5】如图所示，AB CD
∥,,
AD BC交于点,E F为BC上一点，且EAF C
∠=∠．
求证：（1）EAF B ∠=∠；（2）2AF FE FB =?．
F
E
D
C B
A
【难度】1星
【解析】（1）根据AB CD ∥得到内错角相等B C ∠=∠，又已知EAF C ∠=∠，所以等量代换EAF B ∠=∠．
（2）根据结论和三点定形法，可推断AFE BFA △∽△．借助第一问的结论，再结合公共角
AFE BFA ∠=∠，可证明假设，同时得到
AF FB
FE AF
=
，问题得证． 【答案】（1）∵AB CD ∥
∴B C ∠=∠ 又EAF C ∠=∠ ∴EAF B ∠=∠
（2）∵EAF B ∠=∠，AFE BFA ∠=∠
∴AFE BFA △∽△ ∴AF FB
FE AF
=
，即2AF FE FB =?
【巩固】如图，ABC △中，60ABC ∠=?，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，
86PA PC ==，，则PB = ．
P
C
B
A
【难度】4星
【解析】120APB BPC ∠=∠=?，6060BAP ABP ABC ABP ABP CBP ∠=?-∠=∠-∠=?-∠=∠，故
ABP BCP △∽△，2
PB PA PC =?
,PB =
【答案】
?两边对应成比例且夹角相等，三角形相似
如图，在ABC △与A B C '''△中，若
AB BC
A B B C
=
''''且'B B ∠=∠，则有'''ABC A B C △∽△．
A '
B '
C '
C
B A
方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等
的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题．
【例6】 已知，如图，D 为ABC △内一点连结,ED AD ，以BC 为边在ABC △外作
,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠．求证：DBE ABC △∽△．
D
A
C
E
B
【难度】2星
【解析】由,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠，得到ABD CBE △∽△，得到
AB BD
BC BE
=
和ABD CBE ∠=∠，即AB BC
BD BE
=
和ABC DBE ∠=∠，根据两边对应成比例且夹角相等，证明DBE ABC △∽△． 【答案】∵,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠
∴ABD CBE △∽△ ∴AB BD
BC BE
=
，ABD CBE ∠=∠ ∴
AB BC
BD BE
=
，ABC DBE ∠=∠ ∴DBE ABC △∽△
【巩固】在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，
那么DEF △的周长、面积依次为（ ）．
【难度】2星
【解析】根据已知可证ABC DEF △∽△，且ABC △和DEF △的相似比为2，再根据相似三角形周长的比
等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求DEF △的周长、面积．
【答案】∵在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF ==，
∴
2AB AC
DE DF
== 又∵A D ∠=∠
∴ABC DEF △∽△，且ABC △和DEF △的相似比为2 ∵ABC △的周长是16，面积是12 ∴DEF △的周长为8，面积为3
【拓展】如图，在ABC △中,AD BC ⊥，垂足为D ，且CE BE ⊥，垂足为E ，交BA 的延长线于点E ．求
证：BDE BAC △∽△．
E
D
B
A
C
【难度】2星
【解析】由两个对应角相等证明出ABD CBE △∽△，得出
AB BD BC BE =所以有AB BC
BD BE
=
，再由一个公共角ABC DBE ∠=∠，由三角形相似的判定定理可证BDE BAC △∽△
【答案】略
课堂检测
1．如图，CD 是Rt ABC △斜边上的中线，过点D 作垂线直于AB 的直线交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，求证：DCF DEC △∽△．
A
B
C
D
E F
【难度】2星
【解析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知BDC △为等腰三角形，又由Rt ABC △和
Rt AED △有一个公共角可知，E B ∠=∠，由此可证DCF DEC △∽△．
【答案】∵,DE AB BC AE ⊥⊥
∴在Rt ADE △和Rt ACB △中，E B ∠=∠ 又∵CD 是Rt ABC △斜边上的中线 ∴DC BD = ∴B BCD ∠=∠
∴BCD E ∠=∠，CDF EDC ∠=∠ ∴DCF DEC △∽△
2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．
H
G
F
E
D C
B A
【难度】3星
【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=?，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，
问题的关键是证明BCG FDB △∽△．
【答案】45?
3．如图，已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则
AF EF
FC FD
+的值为（ ）
A D
E
F
C
B
A ．
52 B ．1 C ．3
2
D ．2 【难度】4星
【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用
梅氏定理来解题．
【答案】C
4．在Rt ABC △
中90,C AB B ∠=?==
，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连接AP ．
（1）求AC BC 、的长；
（2）设PC 的长为x ，ADP △的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．
A
B C
D
P
【难度】3星
【解析】（1
）在Rt ABC △
中，AB B =
得AC AB =∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =； （2）∵PD AB ∥，∴ABC DPC △∽△，∴1
2
DC AC PC BC == 设PC x =，则11,222
DC x AD x =
=- ∴当2x =时，y 的最大值是1．
【答案】2AC =,4BC =；2x =时，y 的最大值是1．
总结复习
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ．
课后作业
1．已知ABC △的三条边长分别为2、5、6，DEF △的三条边长分别为20、8、24，这两个三角形是否相似？为什么？ 【难度】1星 【解析】略
【答案】相似，三边对应成比例，即28520624==∶∶∶．
2. 如图，在直角梯形ABCD 中，7,2,3AD AB DC ===，P 为AD 上一点，以A B P 、、为顶点的三角形与 以P D C 、、为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有几个？为什么？
P
【难度】2星
【解析】解答此题，必须引导学生进行分类讨论，拓展思维．
1．APB DPC △∽△此时有一个点P ，145PA =
，21
5
PD = 2．APB DCP △∽△此时有两个点P ，1PA =，6PD =或6PA =，1PD =
【答案】3个
3．如图所示，在Rt ABC △中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，D 、E 分别是边AB AC 、的中点，点P 从点
D 出发沿D
E 方向运动，
过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动，设,BQ x QR y ==． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
E
R
P
Q
H A
B
C
D
【难度】3星
【解析】（1）利用ADE HBD △∽△的相似比，和点D E 、分别为线段,AB AC 的中点，求得12
5
DH =
； （2）根据线段的比例关系求得：365
x y =-
． 【答案】125；365
x y =-
4．如图所示，已知四边形BDEF 是菱形，1
2
DC BD =
，且4DC =，求AF 的长． A
B
C
D
E
F
【难度】2星
【解析】由平行线的性质能判定AFE △和EDC △的任意两个角相等，证明AFE EDC △∽△得到对应线段
成比例
2
1
FE AF DC DE ==，4DC =，8FE DE BD BF ====，所以16AF =． 【答案】16
5. 如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为20B ,53??
- ???
，D 是AB 边上
的点，将ADO △沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的 图象上，那么该函数的解析式是（ ）
【难度】2星
【解析】先作EF CO ⊥，连接OD ，构造全等三角形，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E 点作标，
利用待定系数法解答即可．
【答案】作EF CO ⊥，连接OD ．
因为点B 的坐标为20,53B ??
- ???
，
所以20
3
AB =
，5AO =， 根据折叠不变性，5OE OA ==，
根据勾股定理，253OB ，
又因为OEF OBC △∽△， 所以 5
25
53
EF =，解得3EF =， 又因为点A 的坐标为()0,5A ，
所以4OF
所以E点坐标为()
4,3
-，
设解析式为
k
y
x =，
将()
4,3
-代入解析式得4312
k=-?=-
所以解析式为
12 y
x =-
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ?所以全等三角形是相似三角形的特例?其 区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0 △ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1 ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小 的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ?/ DE // BC ,???△ ABC ADE ; ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的 应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似 （二）相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADE A （双A型）
相似三角形的判定一
2．相似三角形的识别 第一课时相似三角形的识别(一) 教学目标： 1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。 2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似? 根据定义：对应角相等，对应边成比例。 3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。 (1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试： 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。 2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否
有相同结果。 3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢? 这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个 三角形，是否一定会相似呢? 例题： 1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。 2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗? 3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。 三、练习 1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。 2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样? 四、小结 本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两个三角形相似。 五、作业
(完整版)初三数学相似三角形的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例1. 如图，△ABC中，∠A= 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB 于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
相似三角形的判定和应用
相似三角形的判定和应用 知识点： 1. 对应角________，对应边_________的两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的对应角________，对应边_________. 3. 相似三角形中，对应边的比叫做___________(或相似系数). 4.证明两个三角形相似的方法: (1)先证_____组对应角相等. (2)先证两边对应成比例,并且____________. (3)先证三边对应___________. 5.如图1，如果ΔABC与ΔA/B/C/的相似比是AB∶A/B/=k,那么ΔA/B/C/与ΔABC的相似比是_ . 6.在图2和图3中: 要证明ΔADE∽ΔABC，只需先证明_________(填一个条件)。 7.在图3中，若DE∥BC，DB∶DA=9∶4，则ΔABC与ΔADE的相似比是______. 8.如图4, ABCD中，G是BC边延长线上一点，AG交DB、DC于E、F, 则图中的相似三角形共有_____对；若AE∶EF=4∶3则ΔAFD与ΔGFC的相似比是______. 9．如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC∽ΔACD；当A2=_________时，ΔABC∽ΔACD. 10. ΔABC的三边长为3、4、5,ΔA/B/C/的最短边为5,若ΔABC∽ΔA /B / C /,则ΔA/B/C/的面积为____. 一、选择题 1.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 第1题第2题第3题第4题第5题 2.如图，P是Rt ABC △斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件不能使ΔABE和ΔACD相似的是（） A. ∠B=∠C . ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB 4.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（） A ΔADE∽ΔAEF B ΔECF∽ΔAEF C ΔADE∽ΔECF D ΔAEF∽ΔABF 5.如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，图中有相似三角形（） 1
相似三角形的判定
相似三角形的判定 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 相似三角形的由来 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答． 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自
语起来． 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法． 例题精讲 模块一 相似三角形的判定 ?角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠， ''''''AB BC AC A B B C A C == ，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于” ． A ' B ' C ' C B A 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△． M F E D C B A
相似三角形的判定教案
《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有
相似三角形的判定()
年 级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1． 了解相似三角形及相似比的概念； 2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论； 3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法. 过程 方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法. 情感 态度 发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系. 教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似. 教学难点 能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 1.什么是相似多边形? 2.怎样判断两个多边形相似? 3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？ 4.给相似三角形下定义. 5.怎么样判断两个三角形相似？ 二、自主探究 （一）平行线分线段成比例定理及其推论 教材40页探究1 ● 平行线分线段成比例定理 分析: 1.线段AB,BC,DE,EF 的长度随着直线5,43,l l l 的位置的变化而变化吗？ 2.猜测BC AB 与EF DE 相等吗？ 3.通过画图，测量，计算验证你的猜想. 4.用数学语言描述你的发现. 得到：平行线分线段成比例定理 教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的. ● 平行线分线段成比例定理的推论 1.定理图形中的直线21,l l 交点在直线43,l l 上时，对应线段还成比例吗？ 2.擦去四周的部分，只留下△ABC 和△ADE ，原来的对应线段还成比例吗？ 你可以得到什么结论？ 得到：平行线分线段成比例定理构的推论 （二）相似三角形的判定方法 ● 平行线法 在上面的两幅图形中，△ABC 和△ADE 相似吗？你能用学过的知识说明吗？ 教师提出问题，学生回忆，思考，并回答 教师组织学生按照探究要求进行活动，并回答教师设计的问题，逐步完善探究到的结论. 教师进行必要点拨，让学生认识到所有的成比例线段以及他们的内在联系. 教师利用图形的变化自然将教学内容过渡到推论的探究，引导学生思考问题，逐步认识到定理内容在三角形中体现，从而得到推论，学生尝试叙述，教师引导完善，规范. 复习相关知识，引出课题。建立新旧知识之间的联系，感知事物之间由一般到特殊，由特殊到一般的关系. 激起学生的好奇心，探索欲望. 通过实践，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(定理). 让学生亲自进行观察，分析，探究，得到结论，培养学生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法. 23
相似三角形的判定一
孟津县直中学教案 编号： 时间：2013年 10月 10 日年级 段 九年级学科数学主备人 课题2．相似三角形的判定课时 课前 准备 教学目标1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。 2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似?
教 学 过 程 根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三 角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三 角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。 这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。 (1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直 角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边， 是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学 们动手试一试： 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际 画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 增删、点评 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角 ∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180° 所确定的。 2．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个 角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三 角形相似。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简
相似三角形的判定讲义全
相似三角形的判定 一、知识点讲解 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。 （2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。 二、典例分析 （一）运用判定定理判定三角形相似 例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。 （1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。 变式练习： 1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ） A 、有一个角是40°两个等腰三角形 B 、两个等腰直角三角形 C 、有一个角为100°的两个等腰三角形 D 、两个等边三角形 例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217 ,求AD 的长。
变式练习： 1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ） A 、∠AED=∠ B B 、∠ADE=∠ C C 、AB AC AE A D = D 、AC AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证： △ADM ∽△MCP 。 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习： 1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ） A 、△ABC 与△A ＇ B ＇ C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1 D 、AB 与A ＇C ＇是对应边 2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。
相似三角形的判定(一)
相似三角形的判定 [教学目标] 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． [教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法]探究法 [教学媒体]多媒体课件直尺、三角板 [教学过程] 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
图1 记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”． [注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在 对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角． 对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有 ∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝' 'A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗? 三、探索交流 （一）［探究］1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB ∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？ （1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ． ∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ． （2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？ Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 ∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点， ∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线． 图 2 （三角形中位线定理的逆定理） ∴DE ＝2 1BC ．（三角形中位线定理）
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：??? ????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． F E D C B A
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 相似三角形的判定 1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 相似三角形的判定方法 根据相似图形的特征来判断。 1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似； 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 绝对相似三角形 1.两个全等的三角形一定相似。 2.两个等腰直角三角形一定相似。 3.两个等边三角形一定相似。 直角三角形相似判定定理 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 射影定理 三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
相似三角形的判定(简单)
学科教师辅导讲义 讲义编号_10sh1sx001 学员编号：年级：初二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题相似三角形的判定 授课日期及时段 教学目的相似三角形的判定定理 教学内容 1．相似三角形的定义 相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形 符号“∽”，读作：“相似于”，记作：∽， 如图所示. ∴∽ 反之亦然．即相似三角形对应角相等，对应边成比例（性质）。 ∵∽， ∴ 另外，相似三角形具有传递性（性质）。 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 思考问题： （l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？
2．相似比的概念 相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。 注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。 如果与的相似比是K，那么与的相似比是 . ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。 3．预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. ∽，如图 根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同 一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它 们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细。 有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形。 4．三角形相似的判定定理 我们已经知道相似三角形的有关概念。根据相似三角形的定义，可以知道相似三角形的对应边、对应角有怎样的关系？对应边的比叫做什么？ 当两个相似三角形的相似比k为1时，它们具有什么关系？它们的对应边、对应角分别怎样？ 反过来，要判定两个一般的三角形全等有哪些方法？（ASA、AAS、SAS、SSS。）分别满足几个条件？ 由于全等三角形是对应边相等的特殊的相似三角形，那么判定两个三角形相似与判定两个三角形全等相比，哪个条件少一些？ 判定定理1.如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3。如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定 一、知识导航 1、相似三角形定义 2、相似三角形判定 二、典例精讲： 精讲一、相似三角形定义： 定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）． 注意： ①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 ②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同 ③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例． ④相似三角形有传递性： 若222111∽C B A C B A ??，333222∽C B A C B A ??，则111C B A ? 333C B A ? 精讲二、相似三角形的判定： 1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、相似三角形的判定定理 ★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
例1、（1）如图，,,B C D 三点共线，且,,AB BD DE BD AC CE ⊥⊥⊥. 求证：ABC CDE ??∽． （2）如图,,B C D 三点共线，且B D ACE α∠=∠=∠=，求证：ABC CDE ??∽． 变式： 1、如图，ABC ?中， 60=∠ACB ,点P 是ABC ?内一点，使得CPA BPC APB ∠=∠=∠，求证：CPB APC ??∽． 2、已知PQR ?是等边三角形，?=∠120APB ，指出图中的相似三角形并证明．
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相似三角形的判定(基础） 一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.
8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.
相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
相似三角形的判定知识点及习题精选
知识点：相似三角形 1、相似三角形 1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。 4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 直角三角形相似判定定理: ○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理： CD2=AD·BD， AC2=AD·AB， BC2=BD·BA （在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的定义及判定
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的定义及判定 学习目标 1．了解相似比的定义；(重点) 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点) 3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似． 二、合作探究 探究点一：相似三角形的有关概念 如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求： (1)△OAC 和△OBD 的相似比； (2)BD 的长． 解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长． 解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与 △OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21 ； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24 ＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 探究点二：平行线分线段成比例定理 【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24. (1)求CB AB 的值； (2)求AB 的长．